Integrale???

[tony883]

raga per favore mi potete spiegare questo integrale ...
integrale di (2x alla terza - 1)/(x alla terza -1) non li ho ancora capiti[/img]

[_nicola de rosa]

"tony883":raga per favore mi potete spiegare questo integrale ...
integrale di (2x alla terza - 1)/(x alla terza -1) non li ho ancora capiti[/img]

Quale è il tuo integrale?
1)$int ((2x)^3-1)/(x^3-1)dx$ oppure
2)$int (2x^3-1)/(x^3-1)dx$
cioè al numeratore è $2x$ alla terza cioè $8x^3$, o solo $x^3$ e per cui hai $2*x^3$?

[tony883]

il secondo integrale...

[_nicola de rosa]

"tony883":il secondo integrale...

Allora
$int (2x^3-1)/(x^3-1)dx=int (2x^3-2+1)/(x^3-1)dx=int2dx+int 1/(x^3-1)dx$
Ora $int2dx=2x$ mentre$1/(x^3-1)=A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+x+1)$ e per il principio di identità dei polinomi si ha
${(A=1/3),(B=-1/3),(C=-2/3):}$ per cui $A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+x+1)=1/3*1/(x-1)-1/3*(x+2)/(x^2+x+1)=1/3*1/(x-1)-1/6*(2x+1)/(x^2+x+1)-1/2*1/(x^2+x+1)$=
=$1/3*1/(x-1)-1/6*(2x+1)/(x^2+x+1)-1/2*1/(3/4+(x+1/2)^2)=1/3*1/(x-1)-1/6*(2x+1)/(x^2+x+1)-(2/3)/(1+(2/sqrt(3)*(x+1/2))^2)$
=$1/3*1/(x-1)-1/6*(2x+1)/(x^2+x+1)-sqrt(3)/3*(2/sqrt(3))/(1+(2/sqrt(3)*(x+1/2))^2)$
Per cui $int1/(x^3-1)dx=1/3*int1/(x-1)dx-1/6*int(2x+1)/(x^2+x+1)dx-sqrt(3)/3int(2/sqrt(3))/(1+(2/sqrt(3)*(x+1/2))^2)dx$
=$1/3ln|x-1|-1/6ln(x^2+x+1)-sqrt(3)/3*ArcTg(2/sqrt(3)*(x+1/2))$
Per cui
$int (2x^3-1)/(x^3-1)dx=2x+1/3ln|x-1|-1/6ln(x^2+x+1)-sqrt(3)/3*ArcTg(2/sqrt(3)*(x+1/2))+C$

[tony883]

perchè hai fatto 2x^3-2+1?e poi perchè si fa bx+c???

[_nicola de rosa]

"tony883":perchè hai fatto 2x^3-2+1?

Perchè il numeratore e denominatore hanno stesso grado, per cui se vai a dividere i due polinomi ti esce come primo termine una costante. Ecco perchè ho fatto $2x^3-1=(2x^3-2+1)=2(x^3-1)+1$ per cui $(2x^3-1)/(x^3-1)=2+1/(x^3-1)$
Sul fatto che $1/(x^3-1)=A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+x+1)$ è legato al fatto che il $Delta$ del polinomio $x^2+x+1$ è $Delta=-3<0$. Se ti guardi un poco la teoria dell'integrazione di funzioni razionali fratte capirai il tutto

[tony883]

non ho capito questo passaggio a/(x-1)+(bx+x)/('x^2'+x+1)= non al primo uguale ma al secondo uguale mi puoi spiegare da dove uscito -1/2*.......

[_nicola de rosa]

"tony883":non ho capito questo passaggio a/(x-1)+(bx+x)/('x^2'+x+1)= non al primo uguale ma al secondo uguale mi puoi spiegare da dove uscito -1/2*.......

Allora $Bx+C=-1/3*x-2/3$. Ora $-1/3*x=-1/6*(2x)$ mentre $-2/3=-1/6-1/2$ per cui
$Bx+C=-1/3*x-2/3=-1/6*(2x)-1/6-1/2=-1/6*(2x+1)-1/2$

[tony883]

non ho proprio caito cosa fai in quel passaggio...moltiplichi e dividi er rendere il numeratore la derivata del denominatore??

[_nicola de rosa]

"tony883":non ho proprio caito cosa fai in quel passaggio...moltiplichi e dividi er rendere il numeratore la derivata del denominatore??

secondo te? certo

[giacor86]

direi che forse prima devi studiare un po'.........

[tony883]

per quanto riguarda gli integrali per sostituzione.....integrale di 1/(radice di x+x radice di x)....ponendo radice di x uguale a t....viene 1/(t+t alla terza)...come si continua poi

[_nicola de rosa]

"tony883":per quanto riguarda gli integrali per sostituzione.....integrale di 1/(radice di x+x radice di x)....ponendo radice di x uguale a t....viene 1/(t+t alla terza)...come si continua poi

Se l'integrale è $int1/(sqrt(x)+xsqrt(x))dx=int1/(sqrt(x)(1+x))dx$ e con la sostituzione
$sqrt(x)=t$ $->$ $x=t^2$ $->$ $dx=2tdt$ l'integrale diventa
$int2/(1+t^2)dt=2arctg(t)+C$ per cui l'integrale è
$int1/(sqrt(x)+xsqrt(x))dx=2arctg(sqrt(x))+C$

[tony883]

mi sai dire come mai al terzo rigo...viene 2 al numeratore??

[_nicola de rosa]

"tony883":mi sai dire come mai al terzo rigo...viene 2 al numeratore??

con la sostituzione l'integrale diventa
$int1/(t(1+t^2))*2tdt=int2/(1+t^2)dt$
non dimenticare che il differenziale $dx=2tdt$ con la sostituzione $sqrt(x)=t$

[tony883]

grazie...non sai...quanto mi stai aiutando

[tony883]

integrale di e elevato a tangente di x )/cos al quadrato di x
ho posto tangente di x =t quindi differenziale di tangente di x...è uguale a 1 su cos al quadrato di x per dt...sto facendo bene?

[_nicola de rosa]

"tony883":integrale di e elevato a tangente di x )/cos al quadrato di x
ho posto tangente di x =t quindi differenziale di tangente di x...è uguale a 1 su cos al quadrato di x per dt...sto facendo bene?

Banale
ricorda che $intf'(x)*e^(f(x))dx=e^(f(x))+C$
In tal caso $f(x)=tgx$ ed $f'(x)=1/(cos^2x)$

[Mortimer1]

$int e^(tanx)/cos^2xdx= int e^tanxd(tanx)=e^tanx$

[tony883]

NON LI RIESCO PROPRIO A CAPIRE ...INTEGRALE DI X PER RADICE DI X /(1+X)

[_nicola de rosa]

"tony883":NON LI RIESCO PROPRIO A CAIRE ...INTEGRALE DI X PER RADICE DI X /(1+X)

$int x*sqrt(x/(x+1))dx$
oppure
$int x*sqrt(x)/(x+1)dx$
cioè $x/(x+1)$ tutto sotto radice o solo $x$ sotto radice?