Integrale???

[tony883]

raga per favore mi potete spiegare questo integrale ...
integrale di (2x alla terza - 1)/(x alla terza -1) non li ho ancora capiti[/img]

[fireball1]

Hai una funzione elevata a qualcosa, moltiplicata
per la sua derivata... Quindi l'integrale è uguale
a quella stessa funzione elevata all'esponente
aumentato di 1, divisa per l'esponente aumentato di 1,
proprio come avviene quando calcoli:
$int x^a dx = x^(a+1)/(a+1)
se $a!= -1$.

[tony883]

"nicasamarciano":[quote="tony883"]il secondo integrale...

Allora
$int (2x^3-1)/(x^3-1)dx=int (2x^3-2+1)/(x^3-1)dx=int2dx+int 1/(x^3-1)dx$
Ora $int2dx=2x$ mentre$1/(x^3-1)=A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+x+1)$ e per il principio di identità dei polinomi si ha
${(A=1/3),(B=-1/3),(C=-2/3):}$ per cui $A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+x+1)=1/3*1/(x-1)-1/3*(x+2)/(x^2+x+1)=1/3*1/(x-1)-1/6*(2x+1)/(x^2+x+1)-1/2*1/(x^2+x+1)$=
=$1/3*1/(x-1)-1/6*(2x+1)/(x^2+x+1)-1/2*1/(3/4+(x+1/2)^2)=1/3*1/(x-1)-1/6*(2x+1)/(x^2+x+1)-(2/3)/(1+(2/sqrt(3)*(x+1/2))^2)$
=$1/3*1/(x-1)-1/6*(2x+1)/(x^2+x+1)-sqrt(3)/3*(2/sqrt(3))/(1+(2/sqrt(3)*(x+1/2))^2)$
Per cui $int1/(x^3-1)dx=1/3*int1/(x-1)dx-1/6*int(2x+1)/(x^2+x+1)dx-sqrt(3)/3int(2/sqrt(3))/(1+(2/sqrt(3)*(x+1/2))^2)dx$
=$1/3ln|x-1|-1/6ln(x^2+x+1)-sqrt(3)/3*ArcTg(2/sqrt(3)*(x+1/2))$
Per cui
$int (2x^3-1)/(x^3-1)dx=2x+1/3ln|x-1|-1/6ln(x^2+x+1)-sqrt(3)/3*ArcTg(2/sqrt(3)*(x+1/2))+C$[/quote]


perchè questo?? 1/3*1/(x-1)-1/6*(2x+1)/(x^2+x+1)-1/2*1/(x^2+x+1)$=sarebbe in corrispondenza di b

[_nicola de rosa]

"tony883":[quote="fireball"]No, è banale... E' ancora un caso del tipo
$int f^alpha(x) f'(x) dx$, basta guardarlo
come $int log^2x * 1/x dx = int log^2x d(logx)=...

non ho capito come si risolve[/quote]
$int f^alpha(x) f'(x) dx=(f^(alpha+1)(x))/(alpha+1)+C$ $alpha!=-1$

Ci provo in altro modo. Sostituzione $t=logx$ $->$ $dx*1/x=dt$ per cui
$int log^2x * 1/x dx =int t^2dt=t^3/3+C=(log^3x)/3+C

[tony883]

"nicasamarciano":[quote="tony883"][quote="fireball"]No, è banale... E' ancora un caso del tipo
$int f^alpha(x) f'(x) dx$, basta guardarlo
come $int log^2x * 1/x dx = int log^2x d(logx)=...

non ho capito come si risolve[/quote]
$int f^alpha(x) f'(x) dx=(f^(alpha+1)(x))/(alpha+1)+C$ $alpha!=-1$

Ci provo in altro modo. Sostituzione $t=logx$ $->$ $dx*1/x=dt$ per cui
$int log^2x * 1/x dx =int t^2dt=t^3/3+C=(log^3x)/3+C[/quote]

grazie ancora