In aiuto di Silvia...
Ragazzi
ieri nel Borgo della Val d’Arda dove vive il vecchio lupo e che potete ammirare qui sotto in fotografia…
... si svolgeva una delle tradizionali ‘feste d’estate’ in costumi medioevali. Stavo osservando un poco distrattamente ‘guerrieri in armatura’, ‘giullari di corte’ e ‘leggiadre donzelle in abiti multicolori’ e ascoltando la ‘melodiosa’ [anche se un pò ‘stonata’…] musica di mandolini e flauti allorché mi colpiva la presenza tra la gente di una bellissima ragazza dai capelli rosso-rame, il viso dolcissimo e le forme assai aggraziate. In evidente contrasto con l’atmosfera ‘gaia’ tutto intorno a lei, notavo tuttavia profonda tristezza nel suo sguardo. E’ stato così che il vecchio lupo ha pregato un suo amico stregone di trasformarlo in ‘agnello’ e in questo nuovo aspetto ha avvicinato la fanciulla, domandando a lei la causa di cotanta tristezza. Rasserenata dall’aspetto del tutto ‘innocuo’ dell’animaletto che l’aveva avvicinata, la fanciulla confidava all’agnellino il proprio nome: Silvia. Subito dopo però il sorriso che per un attimo aveva illuminato il suo dolce visino spariva improvvisamente, lasciando unicamente ombra di profonda tristezza.Avendo l’agnellino chiestole il motivo di tanta angoscia ella rivelava che il giorno 10 settembre sarebbe comparsa davanti al Tribunale della Santa Inquisizione per rispondere della accusa gravissima che le era stata rivolta: stregoneria. Disse poi che il giudice inquisitore, tale Torquemada, era noto per la sadica soddisfazione che provava vedendo le streghe bruciare vive sul rogo. Esisteva una possibile ‘prova di appello’, che tuttavia nessuna era mai riuscito a superare: risolvere tutti e quattro gli ‘enigmi matematici’ che Padre Don Peder Azzeccaintegrale avrebbe proposto. Silvia però sapeva bene che da sola mai e poi mai avrebbe potuto essere all’altezza di tale compito e che la sua sorte era ormai segnata. Non potete immaginare quanto il vecchio lupo si sia ‘addolorato’ per la possibile sorte riservata a Silvia e così le ha promesso che sarebbe andato alla ricerca di alcuni degli ‘enigmi’ proposti in passato da Padre Azzeccaintegrale e avrebbe dedicato giorno e notte alla loro ‘soluzione’…
Capirete ragazzi che a questo punto non mi resta che mettermi al lavoro… confidando magari nell’aiuto costruttivo dei più ‘volonterosi’ di voi. Posterò quindi in serie il maggior numero di ‘enigmi’ proposti in passato da Padre Azzeccaintegrale e vediamo poi di risolverli tutti insieme uno alla volta… ops!… scusate il bisticcio di parole
…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perdetempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
ieri nel Borgo della Val d’Arda dove vive il vecchio lupo e che potete ammirare qui sotto in fotografia…
... si svolgeva una delle tradizionali ‘feste d’estate’ in costumi medioevali. Stavo osservando un poco distrattamente ‘guerrieri in armatura’, ‘giullari di corte’ e ‘leggiadre donzelle in abiti multicolori’ e ascoltando la ‘melodiosa’ [anche se un pò ‘stonata’…] musica di mandolini e flauti allorché mi colpiva la presenza tra la gente di una bellissima ragazza dai capelli rosso-rame, il viso dolcissimo e le forme assai aggraziate. In evidente contrasto con l’atmosfera ‘gaia’ tutto intorno a lei, notavo tuttavia profonda tristezza nel suo sguardo. E’ stato così che il vecchio lupo ha pregato un suo amico stregone di trasformarlo in ‘agnello’ e in questo nuovo aspetto ha avvicinato la fanciulla, domandando a lei la causa di cotanta tristezza. Rasserenata dall’aspetto del tutto ‘innocuo’ dell’animaletto che l’aveva avvicinata, la fanciulla confidava all’agnellino il proprio nome: Silvia. Subito dopo però il sorriso che per un attimo aveva illuminato il suo dolce visino spariva improvvisamente, lasciando unicamente ombra di profonda tristezza.Avendo l’agnellino chiestole il motivo di tanta angoscia ella rivelava che il giorno 10 settembre sarebbe comparsa davanti al Tribunale della Santa Inquisizione per rispondere della accusa gravissima che le era stata rivolta: stregoneria. Disse poi che il giudice inquisitore, tale Torquemada, era noto per la sadica soddisfazione che provava vedendo le streghe bruciare vive sul rogo. Esisteva una possibile ‘prova di appello’, che tuttavia nessuna era mai riuscito a superare: risolvere tutti e quattro gli ‘enigmi matematici’ che Padre Don Peder Azzeccaintegrale avrebbe proposto. Silvia però sapeva bene che da sola mai e poi mai avrebbe potuto essere all’altezza di tale compito e che la sua sorte era ormai segnata. Non potete immaginare quanto il vecchio lupo si sia ‘addolorato’ per la possibile sorte riservata a Silvia e così le ha promesso che sarebbe andato alla ricerca di alcuni degli ‘enigmi’ proposti in passato da Padre Azzeccaintegrale e avrebbe dedicato giorno e notte alla loro ‘soluzione’…
Capirete ragazzi che a questo punto non mi resta che mettermi al lavoro… confidando magari nell’aiuto costruttivo dei più ‘volonterosi’ di voi. Posterò quindi in serie il maggior numero di ‘enigmi’ proposti in passato da Padre Azzeccaintegrale e vediamo poi di risolverli tutti insieme uno alla volta… ops!… scusate il bisticcio di parole
… cordiali saluti
lupo grigio
... chè perdetempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Risposte
Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale $y’’-2*y’+y=e^x$. Trovare poi la soluzione con $y(1)=1$, y’(1)=2$
L’equazione…
$y’’-2*y’+y=e^x$ (1)
e definita come equazione differenziale lineare completa [oppure non omogenea…] a coeffcienti costanti. La corrispondente equazione incompleta [oppure omogenea…] è
$y’’-2*y’+y=0$ (2)
… la quale differisce dalla (1) per avere il termine noto uguale a zero. La ‘teoria’ afferma che l’integrale generale dell’equazione completa è dato dalla somma dell’integrale generale dell equazione incompleta e di un integrale particolare [uno qualunque…] della equazione completa, ossia…
$f(x)= gamma (x)+ pi(x)$ (3)
Trovare l’integrale generale della equazione incompleta [$gamma(x)$] è semplificato dal fatto che l’equazione è a coefficienti costanti, nel qual caso l’equazione può essere scritta in ‘forma simbolica’ indicando l’operazione di derivata con la variabile $p$. Nel nostro caso l’equazione in ‘forma simbolica’ è…
$p^2-2*p+1$ (4)
La (4) è un’equazione algebrica di secondo grado le cui radici [due] possono essere…
a) reali distinte
In tal caso, chiamando $p_1$ e $p_2$ le radici, l’integrale generale della incompleta sarà…
$gamma(x)= c_1*e^(p_1*x)+c_2*e^(p_2*x)$ (5)
… essendo $c_1$ e $c_2$ due ‘costanti arbitrarie’
b) reali coincidenti
In tal caso, chiamando $p_1$ la radice con ordine di molteplicità pari a $2$, l’integrale generale della incompleta sarà…
$gamma(x)=c_1*e^(p_1*x)+c_2*x*e^(p_1*x)$ (6)
... sempre con $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie
c) complesse e coniugate
In tal caso, chiamando $sigma + j*omega$ e $sigma - j*omega$ la coppia di radici, l’integrale generale della incompleta sarà…
$gamma(x)= e^(sigma*x)*(c_1*cos omega*x+c_2*sin omega*x)$ (7)
... anche qui con $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie
Dal momento che la (4) ha radice $p=1$ di molteplicità $2$ ci troviamo nel caso b). Sarà…
$gamma(x)=(c_1+c_2*x)*e^x$ (8)
Rimane a questo punto da determinare l’integrale particolare dell’equazione completa. Dal momento che il termine noto è $b(x)=e^x$, l’integrale particolare conterrà certamente il termine $e^x$. Esso è sottoposto alla ulteriore condizione che non sia ricavabile dall’integrale generale per alcuna scelta delle costanti $c_1$ e $c_2$. Tenendo conto di tutto questo cerchiamo un integrale particolare della forma…
$pi(x)= (a_0+a_1*x+a_2*x^2)*e^x$ (9)
… essendo $a_0,a_1,a_2$ tre costanti da determinare. Derivando due volte la (9) si ha…
$pi’(x)=[a_0+a_1+(a_1+2*a_2)*x+a_2*x^2]*e^x$ (10)
$pi’’(x)=[a_0+2*a_1+2*a_2+(a_1+4*a_2)*x+a_2*x^2]*e^x$ (11)
Sostituendo le (9), (10),(11) nella (1) ed eguagliando primo e secondo termine si ottiene…
$a_2=1/2$
$a_1=a_0=0$ (12)
Risulta pertanto…
$pi(x)=x^2/2*e^x$ (13)
L’integrale generale della (1) è pertanto…
$y(x)= (c_1+c_2*x)*e^x+x^2/2*e^x$ (14)
Le costanti $c_1$ e $c_2$ si trovano imponendo le condizioni iniziali $y(1)=1$, $y’(1)=2$. Calcolando dalla (14) la derivata prima e seconda e imponendo le condizioni ora viste si ottiene il sistema…
$c_1+c_2=1-e/2$
$c_1+2*c_2=2-3/2*e$ (15)
… il quale risolto fornisce…
$c_1=5/2*e-4$
$c_2=5-3*e$ (16)
Occorre dire che questo Padre Azzeccaintegrali non manca di un certo ‘sadismo’. In questa equazione differenziale dall’aspetto del tutto ‘innocente’ si celano diversi ‘tranelli’ quali…
a) l’equazione caratteristica con una radice di molteplicità $2$
b) il ‘termine noto’ coincidente con un integrale particolare dell’equazione ‘incompleta’, il che rende la ricerca dell’integrale particolare dell’equazione ‘completa’ un poco ‘acrobatica’
c) le condizioni iniziali un poco ‘ferraginose’ che portano ad un sistema lineare in apparenza ‘semplice’ ma nel quale è possibile ad ogni passo mettere il piede in fallo
… e siamo solo all’inizio!… Povera la mia Silvia!…
Che volete che vi dica ragazzi… inutile mettersi a piangere!… Se qualcuno intanto controlla quanto fatto dal vecchio lupo [non si sa mai…] farà buona cosa!… Ora sbrigo un poco di lavoro e poi ci rivediamo per un altro ‘enigma’ da risolvere…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
L’equazione…
$y’’-2*y’+y=e^x$ (1)
e definita come equazione differenziale lineare completa [oppure non omogenea…] a coeffcienti costanti. La corrispondente equazione incompleta [oppure omogenea…] è
$y’’-2*y’+y=0$ (2)
… la quale differisce dalla (1) per avere il termine noto uguale a zero. La ‘teoria’ afferma che l’integrale generale dell’equazione completa è dato dalla somma dell’integrale generale dell equazione incompleta e di un integrale particolare [uno qualunque…] della equazione completa, ossia…
$f(x)= gamma (x)+ pi(x)$ (3)
Trovare l’integrale generale della equazione incompleta [$gamma(x)$] è semplificato dal fatto che l’equazione è a coefficienti costanti, nel qual caso l’equazione può essere scritta in ‘forma simbolica’ indicando l’operazione di derivata con la variabile $p$. Nel nostro caso l’equazione in ‘forma simbolica’ è…
$p^2-2*p+1$ (4)
La (4) è un’equazione algebrica di secondo grado le cui radici [due] possono essere…
a) reali distinte
In tal caso, chiamando $p_1$ e $p_2$ le radici, l’integrale generale della incompleta sarà…
$gamma(x)= c_1*e^(p_1*x)+c_2*e^(p_2*x)$ (5)
… essendo $c_1$ e $c_2$ due ‘costanti arbitrarie’
b) reali coincidenti
In tal caso, chiamando $p_1$ la radice con ordine di molteplicità pari a $2$, l’integrale generale della incompleta sarà…
$gamma(x)=c_1*e^(p_1*x)+c_2*x*e^(p_1*x)$ (6)
... sempre con $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie
c) complesse e coniugate
In tal caso, chiamando $sigma + j*omega$ e $sigma - j*omega$ la coppia di radici, l’integrale generale della incompleta sarà…
$gamma(x)= e^(sigma*x)*(c_1*cos omega*x+c_2*sin omega*x)$ (7)
... anche qui con $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie
Dal momento che la (4) ha radice $p=1$ di molteplicità $2$ ci troviamo nel caso b). Sarà…
$gamma(x)=(c_1+c_2*x)*e^x$ (8)
Rimane a questo punto da determinare l’integrale particolare dell’equazione completa. Dal momento che il termine noto è $b(x)=e^x$, l’integrale particolare conterrà certamente il termine $e^x$. Esso è sottoposto alla ulteriore condizione che non sia ricavabile dall’integrale generale per alcuna scelta delle costanti $c_1$ e $c_2$. Tenendo conto di tutto questo cerchiamo un integrale particolare della forma…
$pi(x)= (a_0+a_1*x+a_2*x^2)*e^x$ (9)
… essendo $a_0,a_1,a_2$ tre costanti da determinare. Derivando due volte la (9) si ha…
$pi’(x)=[a_0+a_1+(a_1+2*a_2)*x+a_2*x^2]*e^x$ (10)
$pi’’(x)=[a_0+2*a_1+2*a_2+(a_1+4*a_2)*x+a_2*x^2]*e^x$ (11)
Sostituendo le (9), (10),(11) nella (1) ed eguagliando primo e secondo termine si ottiene…
$a_2=1/2$
$a_1=a_0=0$ (12)
Risulta pertanto…
$pi(x)=x^2/2*e^x$ (13)
L’integrale generale della (1) è pertanto…
$y(x)= (c_1+c_2*x)*e^x+x^2/2*e^x$ (14)
Le costanti $c_1$ e $c_2$ si trovano imponendo le condizioni iniziali $y(1)=1$, $y’(1)=2$. Calcolando dalla (14) la derivata prima e seconda e imponendo le condizioni ora viste si ottiene il sistema…
$c_1+c_2=1-e/2$
$c_1+2*c_2=2-3/2*e$ (15)
… il quale risolto fornisce…
$c_1=5/2*e-4$
$c_2=5-3*e$ (16)
Occorre dire che questo Padre Azzeccaintegrali non manca di un certo ‘sadismo’. In questa equazione differenziale dall’aspetto del tutto ‘innocente’ si celano diversi ‘tranelli’ quali…
a) l’equazione caratteristica con una radice di molteplicità $2$
b) il ‘termine noto’ coincidente con un integrale particolare dell’equazione ‘incompleta’, il che rende la ricerca dell’integrale particolare dell’equazione ‘completa’ un poco ‘acrobatica’
c) le condizioni iniziali un poco ‘ferraginose’ che portano ad un sistema lineare in apparenza ‘semplice’ ma nel quale è possibile ad ogni passo mettere il piede in fallo
… e siamo solo all’inizio!… Povera la mia Silvia!…
Che volete che vi dica ragazzi… inutile mettersi a piangere!… Se qualcuno intanto controlla quanto fatto dal vecchio lupo [non si sa mai…] farà buona cosa!… Ora sbrigo un poco di lavoro e poi ci rivediamo per un altro ‘enigma’ da risolvere…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Calcolare l’area della regione A del piano $x,y$ delimitata dalla retta $y=x$ e dalla curva $gamma$ di equazione $x=t^2+t$, $y=t^4+t$ con $t in [0,1]$
Ragazzi
la regione A di cui si vuole calcolare l’area è quella colorata in grigio…
A prima vista si direbbe di avere a che fare con ‘il solito integrale doppio’. Il guaio è che non è facile tradurre la coppia di equazioni in $t$ in una relazione esplicita tra $y$ e $x$ per cui l’approccio ‘normale’ è destinato a fallire. Per fortuna in nostro aiuto interviene la seguente formula, dovuta ai signori Gauss e Green…
$Area A= ½*int_gamma x*dy-y*dx$ (1)
… ove con $gamma$ si intende il percorso $A-B-A$ di figura. Lungo il percorso $A-B$ è…
$x=t+t^2$, $dx=(1+2*t)*dt$, $y=t+t^4$, $dy=1+4*t^3$, $0
Sarà dunque…
$int_(A->B) x*dy-y*dx= int_0^1 2*t^5+3*t^4-t^2*dt=3/5$ (3)
Lungo il percorso $B-A$ è invece…
$x=t$, $dx=dt$, $y=t$, $dx=dt$ $0
Sarà dunque…
$int_(B->A) y*dx-x*dy= 0$ (5)
L’area colorata in grigio di figura è pari dunque a…
$Area A= ½* int_(A->B) x*dy-y*dx=3/10$ (5)
Anche qui ragazzi vi pregherei di controllare il risultato perchè ‘non si sa mai’. Mi ci è voluta un’intera giornata solo per due quesiti di Padre Azzeccaintegrale… se sono tutti così mi sa tanto che sono pochi quelli che sfangano!…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Ragazzi
la regione A di cui si vuole calcolare l’area è quella colorata in grigio…
A prima vista si direbbe di avere a che fare con ‘il solito integrale doppio’. Il guaio è che non è facile tradurre la coppia di equazioni in $t$ in una relazione esplicita tra $y$ e $x$ per cui l’approccio ‘normale’ è destinato a fallire. Per fortuna in nostro aiuto interviene la seguente formula, dovuta ai signori Gauss e Green…
$Area A= ½*int_gamma x*dy-y*dx$ (1)
… ove con $gamma$ si intende il percorso $A-B-A$ di figura. Lungo il percorso $A-B$ è…
$x=t+t^2$, $dx=(1+2*t)*dt$, $y=t+t^4$, $dy=1+4*t^3$, $0
Sarà dunque…
$int_(A->B) x*dy-y*dx= int_0^1 2*t^5+3*t^4-t^2*dt=3/5$ (3)
Lungo il percorso $B-A$ è invece…
$x=t$, $dx=dt$, $y=t$, $dx=dt$ $0
Sarà dunque…
$int_(B->A) y*dx-x*dy= 0$ (5)
L’area colorata in grigio di figura è pari dunque a…
$Area A= ½* int_(A->B) x*dy-y*dx=3/10$ (5)
Anche qui ragazzi vi pregherei di controllare il risultato perchè ‘non si sa mai’. Mi ci è voluta un’intera giornata solo per due quesiti di Padre Azzeccaintegrale… se sono tutti così mi sa tanto che sono pochi quelli che sfangano!…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Calcolare il lavoro del campo vettoriale $F^( -> ) (x,y)=(x,y)$ lungo la curva $gamma$ data dall’unione delle curve…
$gamma_1=[(x,y) in RR^2: y= 1-(x^2)/4, y>0]$ e $gamma_2=[(x,y) in RR^2: x^2+y^2=4, x>=0, y>=0]$
… orientata da $(0,1)$ a $(0,2)$
Dunque, dunque… Dato un campo vettoriale $F^(->): RR^2 -> RR^2$ questo si dice conservativo se esiste una funzione $U(x,y)$ su una regione $D$ di $RR^2$ in modo che valga la relazione…
$F^(->) = (F_1,F_2) = grad U(x,y)$ (1)
La funzione $U(x,y)$ è chiamata potenziale. Condizione necessaria perchè il campo sia conservativo è la seguente…
$(del F_1)/(del y)=(del F_2)/(del x)$ (2)
Condizione necessaria e sufficiente perché il campo sia conservativo è che la regione $D$ sia convessa, vale a dire ogni segmento congiungente due punti di $D$ è interamente contenuto in $D$. Nel nostro caso è…
$F_1(x,y)=x$
$(del F_1)/(del y)=0$
$F_2(x,y)=y$
$(del F_2)/(del x)=0$ (3)
… e la regione $A$ è convessa. Quindi il campo vettoriale è conservativo. Altra condizione necessaria e sufficiente perché il campo sia conservativo e che l’integrale curvilineo lungo qualsiasi linea chiusa congiungente i punti $A$ e $B$ valga…
$int_A^B F^(->)*ds^(->)= U(B)-U(A)$ (4)
E’ immediato concludere quindi che se il campo è conservativo il lavoro fatto del campo vettoriale è lo stesso qualunque sia il percorso che va da $A$ a $B$. Se osserviamo la figura…
… notiamo subito che l’integrazione da $A$ a $C$ lungo l’asse $y$ rappresenta la ‘scorciatoia’ che ci permette subito di arrivare al risultato…
$L= int_1^2 y*dy= |1/2*y^2|_1^2= 3/2$ (5)
Al solito ragazzi verificate con attenzione quello che ho scritto… Questa volta Don Azzeccaintegrale non sembra essere stato tanto ‘cattivo’… certo per non finire nelle ‘sabbie mobili’ è necessario ricordare la proprietà fondamentale dei campi conservativi [o campi irrotazionali]…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III,
78
Le considerazioni matematiche dell'utente lupo grigio in questo post sono errate.
Gli amministratori e i moderatori del forum hanno deliberato di porre questo avviso per evitare che tali affermazioni possano indurre in errore gli utenti del forum e minare la credibilità del forum stesso.
In caso di recidività verranno presi provvedimenti di sospensione dal forum.
Questo messaggio non deve essere rimosso pena la sospensione dal forum.
Gli amministratori e i moderatori del forum.
$gamma_1=[(x,y) in RR^2: y= 1-(x^2)/4, y>0]$ e $gamma_2=[(x,y) in RR^2: x^2+y^2=4, x>=0, y>=0]$
… orientata da $(0,1)$ a $(0,2)$
Dunque, dunque… Dato un campo vettoriale $F^(->): RR^2 -> RR^2$ questo si dice conservativo se esiste una funzione $U(x,y)$ su una regione $D$ di $RR^2$ in modo che valga la relazione…
$F^(->) = (F_1,F_2) = grad U(x,y)$ (1)
La funzione $U(x,y)$ è chiamata potenziale. Condizione necessaria perchè il campo sia conservativo è la seguente…
$(del F_1)/(del y)=(del F_2)/(del x)$ (2)
Condizione necessaria e sufficiente perché il campo sia conservativo è che la regione $D$ sia convessa, vale a dire ogni segmento congiungente due punti di $D$ è interamente contenuto in $D$. Nel nostro caso è…
$F_1(x,y)=x$
$(del F_1)/(del y)=0$
$F_2(x,y)=y$
$(del F_2)/(del x)=0$ (3)
… e la regione $A$ è convessa. Quindi il campo vettoriale è conservativo. Altra condizione necessaria e sufficiente perché il campo sia conservativo e che l’integrale curvilineo lungo qualsiasi linea chiusa congiungente i punti $A$ e $B$ valga…
$int_A^B F^(->)*ds^(->)= U(B)-U(A)$ (4)
E’ immediato concludere quindi che se il campo è conservativo il lavoro fatto del campo vettoriale è lo stesso qualunque sia il percorso che va da $A$ a $B$. Se osserviamo la figura…
… notiamo subito che l’integrazione da $A$ a $C$ lungo l’asse $y$ rappresenta la ‘scorciatoia’ che ci permette subito di arrivare al risultato…
$L= int_1^2 y*dy= |1/2*y^2|_1^2= 3/2$ (5)
Al solito ragazzi verificate con attenzione quello che ho scritto… Questa volta Don Azzeccaintegrale non sembra essere stato tanto ‘cattivo’… certo per non finire nelle ‘sabbie mobili’ è necessario ricordare la proprietà fondamentale dei campi conservativi [o campi irrotazionali]…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III,
78
Le considerazioni matematiche dell'utente lupo grigio in questo post sono errate.
Gli amministratori e i moderatori del forum hanno deliberato di porre questo avviso per evitare che tali affermazioni possano indurre in errore gli utenti del forum e minare la credibilità del forum stesso.
In caso di recidività verranno presi provvedimenti di sospensione dal forum.
Questo messaggio non deve essere rimosso pena la sospensione dal forum.
Gli amministratori e i moderatori del forum.
Sia $T$ il triangolo del piano $x,y$ di vertici $(0,0)$,$(3,0)$ e $(0,2)$. Sia $E$ il cilindroide formato dalle rette parallele all’asse $z$ che passano per un punto di $T$. Infine sia $V$ la regione di $E$ compresa tra $T$ e la superficie di equazione $z=2*x^2$. Si calcoli il volume di $V$
La base del ‘cilindroide’ è il triangolo colorato in grigio che si vede in figura…
La cosa non sembra neanche in questo caso troppo ‘difficile’. Basta considerare che è $0
$V=int_0^3 int_0^2 int_0^(2*x^2) dx*dy*dz$ (1)
Integriamo prima rispetto a $z$…
$int_0^(2*x^2) dz= 2*x^2$ (2)
Poi rispetto a $y$…
$int_0^2 dy=2$ (3)
Infine rispetto a $x$…
$V=int_0^3 4*x^2*dx=4/3*|x^3|_0^3=36$ (4)
Al solito ragazzi controllate!… Sembra proprio che Don Azzeccaintegrale sia diventato di colpo ‘buono come il pane’… oppure sono diventato io più bravo?… uhm!… gatta ci cova
…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
La base del ‘cilindroide’ è il triangolo colorato in grigio che si vede in figura…
La cosa non sembra neanche in questo caso troppo ‘difficile’. Basta considerare che è $0
$V=int_0^3 int_0^2 int_0^(2*x^2) dx*dy*dz$ (1)
Integriamo prima rispetto a $z$…
$int_0^(2*x^2) dz= 2*x^2$ (2)
Poi rispetto a $y$…
$int_0^2 dy=2$ (3)
Infine rispetto a $x$…
$V=int_0^3 4*x^2*dx=4/3*|x^3|_0^3=36$ (4)
Al solito ragazzi controllate!… Sembra proprio che Don Azzeccaintegrale sia diventato di colpo ‘buono come il pane’… oppure sono diventato io più bravo?… uhm!… gatta ci cova
… cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Trovare massimo e minimo assoluti della funzione $f(x,y)=x^(3/2)*e^(x^2+y^2)$ nella regione del piano $D$ delimitata dai segmenti $[(0,y): 0<=y<=1]$ e $[(x,1): 0<=x<=1]$ e da un arco della circonferenza $x^2+y^2-2*x=0$ :
$D=[(x,y) in RR^2: x^2+y^2-2*x>=0, 0<=x<=1, 0<=y<=1]$
Ragazzi
sembra proprio che questo Don Azzeccaintegrale abbia una spiccata predilezione per il primo quadrante. La regione $D$ è quella colorata in grigio nella figura qui sotto…
In problemi come questo è buona norma prima di ‘tuffarsi’ spendere un minuto o due in una salutare ‘pausa di riflessione’. Osserviamo innanzitutto la funzione sotto esame…
$f(x,y)= sqrt(x^3)* e^(x^2+y^2)$ (1)
Per prima cosa osserviamo che il termine esponenziale è sempre $>1$ per tutti i punti del piano $x,y$. La seconda cosa che si osserva è la presenza del termine $sqrt(x^3)$ che, come tutte le radici quadrate, è definito se l’argomento è $>=0$ [ e fin qui ci siamo…] e dove è definito può assumere due distinti valori, uno corrispondente all’altro cambiato di segno. Qui facciamo l’ipotesi che valga la radice positiva dando per scontato che in caso si faccia la scelta opposta quello che si dirà per i massimi sarà per i minimi e viceversa. Ferma restando questa ipotesi concludiamo dunque che la (1) è sempre non negativa, per cui gli eventuali punti in cui si annulla saranno punti di minimo. Poiché è evidente che la (1) si annulla per $x=0$ essa si annulla su tutti i punti del segmento $(0,y), 0<=y<=1$ per cui non esistono punti di minimo assoluto. Per quanto riguarda la ricerca dei punti di massimo assoluti è immediato osservare che, dal momento che la (1) cresce al crescere sia di $x$ sia di $y$, il punto di massimo assoluto sarà un punto ammissibile estremo, vale a dire un punto il cui sia $x$ sia $y$ assumono il loro massimo valore. È immediato verificare che tale punto è situato in $(x,y)=(1,1)$, cui corrisponde un valore della funzione pari a $f(1,1)=e^2$…
Di tutti gli ‘enigmi’ di Don Azzecaintegrale esaminati finora questo è certamente il più ‘facile’ … di fatto non richiede il calcolo delle derivate parziali e di fatto si procede ‘in discesa’… uhm!… sono sempre più perplesso …
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
$D=[(x,y) in RR^2: x^2+y^2-2*x>=0, 0<=x<=1, 0<=y<=1]$
Ragazzi
sembra proprio che questo Don Azzeccaintegrale abbia una spiccata predilezione per il primo quadrante. La regione $D$ è quella colorata in grigio nella figura qui sotto…
In problemi come questo è buona norma prima di ‘tuffarsi’ spendere un minuto o due in una salutare ‘pausa di riflessione’. Osserviamo innanzitutto la funzione sotto esame…
$f(x,y)= sqrt(x^3)* e^(x^2+y^2)$ (1)
Per prima cosa osserviamo che il termine esponenziale è sempre $>1$ per tutti i punti del piano $x,y$. La seconda cosa che si osserva è la presenza del termine $sqrt(x^3)$ che, come tutte le radici quadrate, è definito se l’argomento è $>=0$ [ e fin qui ci siamo…] e dove è definito può assumere due distinti valori, uno corrispondente all’altro cambiato di segno. Qui facciamo l’ipotesi che valga la radice positiva dando per scontato che in caso si faccia la scelta opposta quello che si dirà per i massimi sarà per i minimi e viceversa. Ferma restando questa ipotesi concludiamo dunque che la (1) è sempre non negativa, per cui gli eventuali punti in cui si annulla saranno punti di minimo. Poiché è evidente che la (1) si annulla per $x=0$ essa si annulla su tutti i punti del segmento $(0,y), 0<=y<=1$ per cui non esistono punti di minimo assoluto. Per quanto riguarda la ricerca dei punti di massimo assoluti è immediato osservare che, dal momento che la (1) cresce al crescere sia di $x$ sia di $y$, il punto di massimo assoluto sarà un punto ammissibile estremo, vale a dire un punto il cui sia $x$ sia $y$ assumono il loro massimo valore. È immediato verificare che tale punto è situato in $(x,y)=(1,1)$, cui corrisponde un valore della funzione pari a $f(1,1)=e^2$…
Di tutti gli ‘enigmi’ di Don Azzecaintegrale esaminati finora questo è certamente il più ‘facile’ … di fatto non richiede il calcolo delle derivate parziali e di fatto si procede ‘in discesa’… uhm!… sono sempre più perplesso
… cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale…
$y’’-y’-2*y=8*e^(-2*t)-6*cos 2t –18*sin 2t$
a) tra tutte le soluzioni ve ne sono di limitate in $(0,+oo)$?…
b) risolvere il problema di Cauchy $y(0)=3$, $y’(0)=-2$
Bene ragazzi!… Ancora una equazione lineare completa di secondo ordine a coefficienti costanti per cui non resta che andare a ripassarci quello che abbiamo scritto nel primo postato…
L’equazione caratteristica è…
$p^2-p-2$ (1)
… la quale ha per soluzioni $p=-1$ e $p=2$. L’integrale generale della incompleta sarà dunque…
$gamma (x)= c_1*e^(-t)+c_2*e^(2t)$ (2)
La ricerca dell’integrale particolare dell’equazione completa deve essere suddiviso in tre step [cosa possibile in quanto l’equazione è lineare…]. Dal momento che non è integrale della equazione incompleta cerchiamo da prima un termine nella forma $pi(t)=a*e^(-2*t)$ e determiniamo $a$. Risulta…
$pi’(t)=-2*a*e^(-2t)$
$pi’’(t)=4*a*e^(-2t)$ (3)
Sostituendo risulta…
$(4*a+2*a-2*a)=4*a=8$ -> $a=2$ (4)
Dal momento che non è un integrale dell’equazione incompleta cerchiamo un termine della forma $pi(t)= a*sin 2t+ b*cos 2t$ con a e b da determinare. Risulta…
$pi’(t)=2*a*cos 2t-2*b*sin 2t$
$pi’’(t)=-4*a*sin 2t-4*b* cos 2t$ (5)
Sostituendo risulta…
$-4*a+2*b-2*a=-6*a+2*b=-18$
$-4*b-2*a-2*b= -2*a-6*b=-6$ -> $a=3$, $b=0$ (6)
Pertanto un integrale particolare dell’equazione completa risulta essere…
$pi(t)= 2*e^(-2t)+3*sin 2t$ (7)
In definitiva l’integrale generale dell’equazione completa risulta…
$y(t)= c_1*e^(-t)+c_2*e^(2t)+2*e^(-2t)+3*sin 2t$ (8)
... con $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie…
Risposta ai quesiti…
a) perché la $y(t)$ sia limitata in $(0,+oo)$ deve essere $c_2=0$
b) la soluzione al problema di Cauchy con $y(0)=3$, $y’(0)=-2$ risulta…
$y(x)= 2/3*e^(-t)+1/3*e^(2t)+2*e^(-t)+3*sin 2t$ (9)
Non proprio uno ‘zuccherino’ certo… tuttavia assai più ‘agevole’ di quella trattata ieri… mah! …
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
$y’’-y’-2*y=8*e^(-2*t)-6*cos 2t –18*sin 2t$
a) tra tutte le soluzioni ve ne sono di limitate in $(0,+oo)$?…
b) risolvere il problema di Cauchy $y(0)=3$, $y’(0)=-2$
Bene ragazzi!… Ancora una equazione lineare completa di secondo ordine a coefficienti costanti per cui non resta che andare a ripassarci quello che abbiamo scritto nel primo postato…
L’equazione caratteristica è…
$p^2-p-2$ (1)
… la quale ha per soluzioni $p=-1$ e $p=2$. L’integrale generale della incompleta sarà dunque…
$gamma (x)= c_1*e^(-t)+c_2*e^(2t)$ (2)
La ricerca dell’integrale particolare dell’equazione completa deve essere suddiviso in tre step [cosa possibile in quanto l’equazione è lineare…]. Dal momento che non è integrale della equazione incompleta cerchiamo da prima un termine nella forma $pi(t)=a*e^(-2*t)$ e determiniamo $a$. Risulta…
$pi’(t)=-2*a*e^(-2t)$
$pi’’(t)=4*a*e^(-2t)$ (3)
Sostituendo risulta…
$(4*a+2*a-2*a)=4*a=8$ -> $a=2$ (4)
Dal momento che non è un integrale dell’equazione incompleta cerchiamo un termine della forma $pi(t)= a*sin 2t+ b*cos 2t$ con a e b da determinare. Risulta…
$pi’(t)=2*a*cos 2t-2*b*sin 2t$
$pi’’(t)=-4*a*sin 2t-4*b* cos 2t$ (5)
Sostituendo risulta…
$-4*a+2*b-2*a=-6*a+2*b=-18$
$-4*b-2*a-2*b= -2*a-6*b=-6$ -> $a=3$, $b=0$ (6)
Pertanto un integrale particolare dell’equazione completa risulta essere…
$pi(t)= 2*e^(-2t)+3*sin 2t$ (7)
In definitiva l’integrale generale dell’equazione completa risulta…
$y(t)= c_1*e^(-t)+c_2*e^(2t)+2*e^(-2t)+3*sin 2t$ (8)
... con $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie…
Risposta ai quesiti…
a) perché la $y(t)$ sia limitata in $(0,+oo)$ deve essere $c_2=0$
b) la soluzione al problema di Cauchy con $y(0)=3$, $y’(0)=-2$ risulta…
$y(x)= 2/3*e^(-t)+1/3*e^(2t)+2*e^(-t)+3*sin 2t$ (9)
Non proprio uno ‘zuccherino’ certo… tuttavia assai più ‘agevole’ di quella trattata ieri… mah!
… cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Qualche osservazione circa il post sullo studio del campo vettoriale:
1) La conservativita' va definita su $D$ che, per questioni di derivabilita' di $F$, andrebbe anche supposto aperto.
2) Il campo vettoriale deve essere almeno $C^1(D)$ per avere la condizione necessaria delle derivate in croce.
3) La condizione necessaria e sufficiente data dalla convessita' di $D$ e' falsa: basta prendere un campo conservativo su tutto lo spazio, e questo sara' conservativo su ogni aperto.
1) La conservativita' va definita su $D$ che, per questioni di derivabilita' di $F$, andrebbe anche supposto aperto.
2) Il campo vettoriale deve essere almeno $C^1(D)$ per avere la condizione necessaria delle derivate in croce.
3) La condizione necessaria e sufficiente data dalla convessita' di $D$ e' falsa: basta prendere un campo conservativo su tutto lo spazio, e questo sara' conservativo su ogni aperto.
Sta bene!… allora facciamo così… ferma restando che deve essere verificata la condizione necessaria…
$(del F_1)/(del y)= (del F_2)/(del x)$ (1)
… la condizione che la regione $A$ sia convessa sarà ‘soltanto’ sufficiente affinché il campo sia conservativo. Riguardo la consistenza di certe ‘obiezioni’ non è superfluo rilevare che l’obiettivo più pressante di Silvia è quello di superare la prova e che certe ‘sottigliezze’ [come l’esperienza purtroppo insegna…] rischiano di risolversi unicamente in perdita di tempo… e se al vecchio lupo ‘perder tempo spiace’ a Silvia ancora meno!… Il seguente ‘enigma’ sui campi vettoriali ideato da Don Azzeccaintegrale è ad esempio già abbastanza ‘tosto’ e non mi pare il caso di perder troppo tempo in ‘sofismi’…
Si consideri il campo vettoriale $F^(->) (x,y) = (phi(x,y)+ x/(x+y))*i^(->) + x/(x+y)*j^(->)$
a) si determini una funzione $phi(x,y)$ in modo chr $F^(->)$ risulti conservativo nell’insieme $A=[(x,y) in RR^2: x+y>0]$
b) si determini il potenziale $U(x,y)$ in $A$ che si annulla nel punto $(1,1)$
c) si calcoli il lavoro del campo lungo il segmento che ha per estremi i punti $P=(1,1)$ e $Q=(2,2)$, sia direttamene sia usando il potenziale
La regione $A$ è quella colorata in celeste nella figura seguente…
Dal momento che essa è ‘convessa’ una condizione sufficiente perché il campo vettoriale sia conservativo è assicurata. Non ci resta che verificare la condizione necessaria, ossia che il campo sia ‘irrotazionale’. A tale scopo calcoliamo le derivate parziali ‘incrociate’ delle componenti il campo…
$(del F_1)/(del y)= (del phi)/(del y) – x/((x+y)^2)$
$(del F_2)/(del x)= y/((x+y)^2)$ (1)
La condizione necessaria perché il campo sia conservativo si ottiene imponendo l’eguaglianza dei due termini in (1)…
$(del phi)/(del y)= 1/(x+y)$ (2)
La (2) è una equazione alle derivate parziali che integrata fornisce la soluzione generale…
$phi(x,y)= ln (x+y) + psi (x)$ (3)
… essendo $psi(x)$ una funzione arbitraria purchè della sola $x$. Dal momento che è richiesta una funzione $phi$ qualsiasi purchè il campo sia conservativo poniamo per semplicità $psi(x)=0$. Le componenti del campo vettoriale saranno pertanto…
$F_1(x,y) = ln (x+y) + x/(x+y)$
$F_2(x,y) = x/(x+y)$ (4)
… e con ciò la prima parte del problema è risolta. Prima di affrontare il punto b) una piccola osservazione sulle (4). E’ evidente anche ad un cieco che la retta $x+y=0$ rappresenta la ‘frontiera’ del campo vettoriale e, guarda caso, il comportamento di entrambe le componenti del campo da quelle parti è un poco… un poco strano, ecco tutto… Per evitare di dover assistere nuovamente a certi ‘spettacoli comici’ che certo fanno ridere ma che fanno soprattutto perder tempo, il vecchio lupo si terrà d’ora in poi ben lontano dalla frontiera e sono sicuro che Silvia non me ne vorrà per questo …
Per determinare il potenziale $U(x,y)$ sapendo che è $U(1,1)=0$ si sfrutta il fatto che il campo è conservativo, ossia il lavoro compiuto dal campo lungo un qualsiasi percorso congiungente due punti $P$ e $Q$ è indipendente dal percorso stesso [purchè si capisce tutti i punti del percorso siano interni ad $A$…] ed è uguale alla differenza del potenziale tra $Q$ e $P$. Traducendo il formula ciò si scrive…
$U(x,y)= U(1,1)+ int_1^x F_1(u,1)*du+ int_1^y F_2(x,v)*dv= int_1^x*[ln (1+u)+u/(1+u)]*du+int_1^y x/(x+v)*dv=$
$=x*ln (x+y)–ln 2$ (5)
Voilà, les jeux sont fait!… Rispondere al punto c) è ora abbastanza semplice. Applicando la formula la (5) si ha…
$L= U(2,2)-U(1,1)= 2*ln 4-ln 2=3*ln 2 $ (6)
Calcolare $L$ ‘direttamente’ come chiede Don Azzeccaintegrale significa nient’altro che ripetere il calcolo che ha portato alla (5) per cui
…
Di tutti gli enigmi ideati da Don Azzeccaintegrale questo è il più ‘diabolico’ in cui mi sono finora imbattuto… Di fatto richiede la soluzione di un’equazione differenziale alle derivate parziali [anche se del tipo più semplice…] e poi… soprattutto… presenta tutte le possibili ‘insidie’ legate al ‘burrone’ posto sulla linea di frontiera $x+y=0$…
Brrrr!... spero proprio che a Silvia non capiti una ‘prova’ di questo genere
… Quanto a voi boys and girls… ricontrollate quello che ho scritto!… ok?…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
$(del F_1)/(del y)= (del F_2)/(del x)$ (1)
… la condizione che la regione $A$ sia convessa sarà ‘soltanto’ sufficiente affinché il campo sia conservativo. Riguardo la consistenza di certe ‘obiezioni’ non è superfluo rilevare che l’obiettivo più pressante di Silvia è quello di superare la prova e che certe ‘sottigliezze’ [come l’esperienza purtroppo insegna…] rischiano di risolversi unicamente in perdita di tempo… e se al vecchio lupo ‘perder tempo spiace’ a Silvia ancora meno!… Il seguente ‘enigma’ sui campi vettoriali ideato da Don Azzeccaintegrale è ad esempio già abbastanza ‘tosto’ e non mi pare il caso di perder troppo tempo in ‘sofismi’…
Si consideri il campo vettoriale $F^(->) (x,y) = (phi(x,y)+ x/(x+y))*i^(->) + x/(x+y)*j^(->)$
a) si determini una funzione $phi(x,y)$ in modo chr $F^(->)$ risulti conservativo nell’insieme $A=[(x,y) in RR^2: x+y>0]$
b) si determini il potenziale $U(x,y)$ in $A$ che si annulla nel punto $(1,1)$
c) si calcoli il lavoro del campo lungo il segmento che ha per estremi i punti $P=(1,1)$ e $Q=(2,2)$, sia direttamene sia usando il potenziale
La regione $A$ è quella colorata in celeste nella figura seguente…
Dal momento che essa è ‘convessa’ una condizione sufficiente perché il campo vettoriale sia conservativo è assicurata. Non ci resta che verificare la condizione necessaria, ossia che il campo sia ‘irrotazionale’. A tale scopo calcoliamo le derivate parziali ‘incrociate’ delle componenti il campo…
$(del F_1)/(del y)= (del phi)/(del y) – x/((x+y)^2)$
$(del F_2)/(del x)= y/((x+y)^2)$ (1)
La condizione necessaria perché il campo sia conservativo si ottiene imponendo l’eguaglianza dei due termini in (1)…
$(del phi)/(del y)= 1/(x+y)$ (2)
La (2) è una equazione alle derivate parziali che integrata fornisce la soluzione generale…
$phi(x,y)= ln (x+y) + psi (x)$ (3)
… essendo $psi(x)$ una funzione arbitraria purchè della sola $x$. Dal momento che è richiesta una funzione $phi$ qualsiasi purchè il campo sia conservativo poniamo per semplicità $psi(x)=0$. Le componenti del campo vettoriale saranno pertanto…
$F_1(x,y) = ln (x+y) + x/(x+y)$
$F_2(x,y) = x/(x+y)$ (4)
… e con ciò la prima parte del problema è risolta. Prima di affrontare il punto b) una piccola osservazione sulle (4). E’ evidente anche ad un cieco che la retta $x+y=0$ rappresenta la ‘frontiera’ del campo vettoriale e, guarda caso, il comportamento di entrambe le componenti del campo da quelle parti è un poco… un poco strano, ecco tutto… Per evitare di dover assistere nuovamente a certi ‘spettacoli comici’ che certo fanno ridere ma che fanno soprattutto perder tempo, il vecchio lupo si terrà d’ora in poi ben lontano dalla frontiera e sono sicuro che Silvia non me ne vorrà per questo …
Per determinare il potenziale $U(x,y)$ sapendo che è $U(1,1)=0$ si sfrutta il fatto che il campo è conservativo, ossia il lavoro compiuto dal campo lungo un qualsiasi percorso congiungente due punti $P$ e $Q$ è indipendente dal percorso stesso [purchè si capisce tutti i punti del percorso siano interni ad $A$…] ed è uguale alla differenza del potenziale tra $Q$ e $P$. Traducendo il formula ciò si scrive…
$U(x,y)= U(1,1)+ int_1^x F_1(u,1)*du+ int_1^y F_2(x,v)*dv= int_1^x*[ln (1+u)+u/(1+u)]*du+int_1^y x/(x+v)*dv=$
$=x*ln (x+y)–ln 2$ (5)
Voilà, les jeux sont fait!… Rispondere al punto c) è ora abbastanza semplice. Applicando la formula la (5) si ha…
$L= U(2,2)-U(1,1)= 2*ln 4-ln 2=3*ln 2 $ (6)
Calcolare $L$ ‘direttamente’ come chiede Don Azzeccaintegrale significa nient’altro che ripetere il calcolo che ha portato alla (5) per cui
… Di tutti gli enigmi ideati da Don Azzeccaintegrale questo è il più ‘diabolico’ in cui mi sono finora imbattuto… Di fatto richiede la soluzione di un’equazione differenziale alle derivate parziali [anche se del tipo più semplice…] e poi… soprattutto… presenta tutte le possibili ‘insidie’ legate al ‘burrone’ posto sulla linea di frontiera $x+y=0$…
Brrrr!... spero proprio che a Silvia non capiti una ‘prova’ di questo genere
… Quanto a voi boys and girls… ricontrollate quello che ho scritto!… ok?…cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Superare la prova senza aver capito a fondo quello che si sta facendo serve a ben poco nella vita. Silvia prendera' anche un 30, ma non vale nulla se crede che la teoria corretta che ci sta sotto sia solo un sofisma.
A volte "perdere tempo" fa guadagnare.
A volte "perdere tempo" fa guadagnare.
Ragazzi
sempre nell’ottica del ‘non perdere tempo’ non è superfluo osservare che siamo arrivati alla vigilia del fine-settimana e il momento della ‘prova’ per Silvia è vicino per cui bando agli indugi ed esaminiamo alcuni altri ‘enigmi’ partoriti dalla mente ‘vulcanica’ di questo Don Azzeccaintegrale…
Sia $f:RR -> RR$ la funzione pari, $2*pi$-periodica, definita in $[0,pi]$ con $f(x)=pi-x$
a) rappresentare graficamente la funzione
b) scrivere la serie di Fourier associata
c) spiegare perché la serie converge a $f(x)$ per ogni $x$ reale
Benissimo!… per ‘scaldarsi’ un poco la mattina non c’è niente di meglio che una bella serie di Fourier!… Disegnare la funzione in $[-pi,pi]$ è assai semplice e qui la si può vedere…
Vediamo prima di tutto che cosa afferma la ‘teoria’…
Se una data $f(x)$ soddisfa i seguenti punti…
a) $f(x)$ p definita in $c
… allora in ogni punto di continuità è…
$f(x)= a_0/2 + sum_(n=1)^(+oo) a_n*cos ((n*pi*x)/l) + b_n*sin((n*pi*x)/l)$ (1)
… con…
$a_n= 1/l*int_c^(c+2*l) f(x)*cos (n*pi*x)/l*dx$
$b_n= 1/l*int_c^(c+2*l) f(x)*sin (n*pi*x)/l*dx$ (2)
In un punto di discontinuità $x_0$ di $f(x)$, la serie (1) fornisce il valore $1/2*[lim_(x-> x_0-) f(x)+lim_(x->x_0+) f(x)]$. E’ bene ricordare che le condizioni sopra poste sono sufficienti ma non necessarie per la convergenza della (1).
Nel caso in cui $c=-pi$ e $l=pi$ [il nostro caso cioè…] le (2) si semplificano e divengono…
$a_n=1/pi*int_(-pi)^pi f(x)*cos (n*x)*dx$
$b_n= 1/pi*int_(-pi)^pi f(x)*sin (n*x)*dx$ (3)
Una funzione $f(x)$ è pari se è $f(x)=f(-x)$. Se $f(x)$ è pari allora tutte le $b_n$ che compaiono nelle (3) si annullano.
Una funzione $f(x)$ è dispari se è $f(x)=-f(-x)$. Se $f(x)$ è dispari allora tutte le $a_n$ che compaiono nelle (3) si annullano.
Nel nostro caso la funzione assegnata è pari, col che le $a_n$ divengono…
$a_0= 1/pi* int_(-pi)^pi (pi-x)*dx= 2/pi*int_0^pi (pi-x)*dx= pi$ (4)
$a_n=1/pi* int_(-pi)^pi (pi-x)*cos (n*x)*dx= 2/pi*int_0^pi (pi-x)*cos (n*x)*dx=2/pi*(cos (n*pi)-1)/(n^2)$ (5)
Sostituendo nelle (3) si ottiene…
$f(x)= pi/2 + 4/pi*(cos x + 1/9*cos 3x + 1/25*cos 5x+…)$ (6)
E così siamo arrivati all’ultimo quesito, vale a dire ‘spiegare perché la (6) converge per ogni valore di $x$ alla funzione data’. Beh!… dal momento che la $f(x)$ data non solo è ‘continua quasi ovunque’ ma è ‘continua ovunque’ , in base alle condizioni sufficienti già citate possiamo concludere con fiducia che la (6) converge ovunque a $f(x)$…
L’ultimo ‘quesito’ del nostro bravo Don Azzeccaintegrale appartiene dunque a quel genere di ‘trabocchetti’ che sono una specie di ‘ideale del subconscio’ di certi ‘esaminatori’… vabbè!… lasciamo perdere se no riprende il ‘teatrino’ che ben conosciamo e chi ci và di mezzo è la povera Silvia!…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
P.S. Dalla (6) è possibile calcolare senza sforzo la serie...
$1+1/9+1/25+...+1/((2*n+1)^2)+...= pi^2/8$
sempre nell’ottica del ‘non perdere tempo’ non è superfluo osservare che siamo arrivati alla vigilia del fine-settimana e il momento della ‘prova’ per Silvia è vicino per cui bando agli indugi ed esaminiamo alcuni altri ‘enigmi’ partoriti dalla mente ‘vulcanica’ di questo Don Azzeccaintegrale…
Sia $f:RR -> RR$ la funzione pari, $2*pi$-periodica, definita in $[0,pi]$ con $f(x)=pi-x$
a) rappresentare graficamente la funzione
b) scrivere la serie di Fourier associata
c) spiegare perché la serie converge a $f(x)$ per ogni $x$ reale
Benissimo!… per ‘scaldarsi’ un poco la mattina non c’è niente di meglio che una bella serie di Fourier!… Disegnare la funzione in $[-pi,pi]$ è assai semplice e qui la si può vedere…
Vediamo prima di tutto che cosa afferma la ‘teoria’…
Se una data $f(x)$ soddisfa i seguenti punti…
a) $f(x)$ p definita in $c
… allora in ogni punto di continuità è…
$f(x)= a_0/2 + sum_(n=1)^(+oo) a_n*cos ((n*pi*x)/l) + b_n*sin((n*pi*x)/l)$ (1)
… con…
$a_n= 1/l*int_c^(c+2*l) f(x)*cos (n*pi*x)/l*dx$
$b_n= 1/l*int_c^(c+2*l) f(x)*sin (n*pi*x)/l*dx$ (2)
In un punto di discontinuità $x_0$ di $f(x)$, la serie (1) fornisce il valore $1/2*[lim_(x-> x_0-) f(x)+lim_(x->x_0+) f(x)]$. E’ bene ricordare che le condizioni sopra poste sono sufficienti ma non necessarie per la convergenza della (1).
Nel caso in cui $c=-pi$ e $l=pi$ [il nostro caso cioè…] le (2) si semplificano e divengono…
$a_n=1/pi*int_(-pi)^pi f(x)*cos (n*x)*dx$
$b_n= 1/pi*int_(-pi)^pi f(x)*sin (n*x)*dx$ (3)
Una funzione $f(x)$ è pari se è $f(x)=f(-x)$. Se $f(x)$ è pari allora tutte le $b_n$ che compaiono nelle (3) si annullano.
Una funzione $f(x)$ è dispari se è $f(x)=-f(-x)$. Se $f(x)$ è dispari allora tutte le $a_n$ che compaiono nelle (3) si annullano.
Nel nostro caso la funzione assegnata è pari, col che le $a_n$ divengono…
$a_0= 1/pi* int_(-pi)^pi (pi-x)*dx= 2/pi*int_0^pi (pi-x)*dx= pi$ (4)
$a_n=1/pi* int_(-pi)^pi (pi-x)*cos (n*x)*dx= 2/pi*int_0^pi (pi-x)*cos (n*x)*dx=2/pi*(cos (n*pi)-1)/(n^2)$ (5)
Sostituendo nelle (3) si ottiene…
$f(x)= pi/2 + 4/pi*(cos x + 1/9*cos 3x + 1/25*cos 5x+…)$ (6)
E così siamo arrivati all’ultimo quesito, vale a dire ‘spiegare perché la (6) converge per ogni valore di $x$ alla funzione data’. Beh!… dal momento che la $f(x)$ data non solo è ‘continua quasi ovunque’ ma è ‘continua ovunque’ , in base alle condizioni sufficienti già citate possiamo concludere con fiducia che la (6) converge ovunque a $f(x)$…
L’ultimo ‘quesito’ del nostro bravo Don Azzeccaintegrale appartiene dunque a quel genere di ‘trabocchetti’ che sono una specie di ‘ideale del subconscio’ di certi ‘esaminatori’… vabbè!… lasciamo perdere se no riprende il ‘teatrino’ che ben conosciamo e chi ci và di mezzo è la povera Silvia!…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
P.S. Dalla (6) è possibile calcolare senza sforzo la serie...
$1+1/9+1/25+...+1/((2*n+1)^2)+...= pi^2/8$
Dato il campo vettoriale $F^(->) (x,y) = e^(x*y) * (y*i^(->)+x*j^(->))$, sia $PQ$ il segmento orientato congiungente i punti $P=(1,0)$ e $Q=(3,2)$
a) si calcoli $int_(PQ) F^(->)*dr^(->)$ usando la definizione di integrale di linea
b) il campo $F^(->)$ è conservativo nel suo dominio?… se sì si determini il potenziale
c) si utilizzi il potenziale per calcolare nuovamente l’integrale in a)
Tanto per cominciare un bel grafico…
Per il calcolo richiesto in a) è opportuno definire il punti del segmento $PQ$ il forma ponendo…
$x=1+t$
$y=t$ (1)
… e far variare $t$ nell’intervallo $0
$int_(PQ) F^(->)*dr^(->)= int_(PQ) (F_1*dx+F_2*dx)=$
$=int_0^2 (1+ 2*t)*e^(t+t^2)*dt=|e^(t+t^2)|_0^2= e^6-1$ (2)
Neanche tanto complicato ragazzi, non è vero?… Vediamo se anche nel calcolo del potenziale le cose filano lisce. Prima però occorre dimostrare che il campo è conservativo. Calcolando le derivate parziali incrociate si trova…
$(del F_1)/(del y)= e^(x*y)*(1+x*y)$
$(delF_2)/(del x)= e^(x*y)*(1+x*y)$ (3)
… dunque il campo è conservativo. La procedura per calcolare il potenziale $U(x,y)$ è la stessa seguita ieri [quindi riguardarsela!…]. Imponendo senza perdere nulla che sia $U(0,0)=0$ di trova…
$U(x,y)= int_0^x F_1 (u,0)*du+ int_0^y F_2(x,v)*dv= int_0^y e^(x*v)*x*dv= |e^(x*v)|_0^y= e^(x*y)-1$ (4)
L’integrale (2) calcolato con il potenziale risulterà pertanto…
$L= U(3,2)-U(1,0)= e^6-1-1+1=e^6-1$ (5)
Non è stato tanto difficile tutto sommato!… quella volta Don Azzeccaintegrale doveva essere di buonumore!… Naturalmente è appena il caso di accennare ad un dettaglio importante. La prova impone di risolvere prima l’integrale di linea e poi verificare se lo stesso risultato si ottiene con il calcolo del potenziale. E’ ovvio che se torna più comodo si procede nell’altra maniera e poi ‘si gira la frittata’… tanto solo Dio ed il Demonio vi osservano!…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
a) si calcoli $int_(PQ) F^(->)*dr^(->)$ usando la definizione di integrale di linea
b) il campo $F^(->)$ è conservativo nel suo dominio?… se sì si determini il potenziale
c) si utilizzi il potenziale per calcolare nuovamente l’integrale in a)
Tanto per cominciare un bel grafico…
Per il calcolo richiesto in a) è opportuno definire il punti del segmento $PQ$ il forma ponendo…
$x=1+t$
$y=t$ (1)
… e far variare $t$ nell’intervallo $0
$int_(PQ) F^(->)*dr^(->)= int_(PQ) (F_1*dx+F_2*dx)=$
$=int_0^2 (1+ 2*t)*e^(t+t^2)*dt=|e^(t+t^2)|_0^2= e^6-1$ (2)
Neanche tanto complicato ragazzi, non è vero?… Vediamo se anche nel calcolo del potenziale le cose filano lisce. Prima però occorre dimostrare che il campo è conservativo. Calcolando le derivate parziali incrociate si trova…
$(del F_1)/(del y)= e^(x*y)*(1+x*y)$
$(delF_2)/(del x)= e^(x*y)*(1+x*y)$ (3)
… dunque il campo è conservativo. La procedura per calcolare il potenziale $U(x,y)$ è la stessa seguita ieri [quindi riguardarsela!…]. Imponendo senza perdere nulla che sia $U(0,0)=0$ di trova…
$U(x,y)= int_0^x F_1 (u,0)*du+ int_0^y F_2(x,v)*dv= int_0^y e^(x*v)*x*dv= |e^(x*v)|_0^y= e^(x*y)-1$ (4)
L’integrale (2) calcolato con il potenziale risulterà pertanto…
$L= U(3,2)-U(1,0)= e^6-1-1+1=e^6-1$ (5)
Non è stato tanto difficile tutto sommato!… quella volta Don Azzeccaintegrale doveva essere di buonumore!… Naturalmente è appena il caso di accennare ad un dettaglio importante. La prova impone di risolvere prima l’integrale di linea e poi verificare se lo stesso risultato si ottiene con il calcolo del potenziale. E’ ovvio che se torna più comodo si procede nell’altra maniera e poi ‘si gira la frittata’… tanto solo Dio ed il Demonio vi osservano!…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Sia $L$ una lamina che occupa la regione del piano definita in coordinate polari da…
$0<=theta<=pi/2$, $theta+pi/2<=rho<=pi$
Calcolare l’ascissa e l’ordinata del baricentro conoscendo la densità $delta(x,y)=1/(x^2+y^2)$
Very good!… La forma geometrica della lamina è l’area colorata in blù nella figura…
La figura richiama molto quello dello spinnacker, la vela issata a prua delle imbarcazioni da regata nelle andature con ‘vento in poppa’ e questo particolare ad un vecchio ‘lupo di mare’ non poteva certo sfuggire!… anche Padre Azzeccaintegrale sarà magari apppassionato di vela?… Non sapendolo diciamo ‘basta’ agli indugi e affrontiamo questo nuovo ‘cimento’…
Dai vaghi ricordi che serbo di meccanica razionale [una disciplina che mi è sempre stata assai ‘ostica’…] mi par di ricordare che occorreva eseguire una sorta di ‘somma pesata’ o qualcosa del genere. Per rinfrescarmi un poco la memoria sono andato allora a consultarmi il bell’articolo di Marcello Pedone che trovate qui…
http://win.matematicamente.it/fisica/Baricentro.pdf
Vedo che si deve procedere in questo modo. Da prima si calcola la ‘massa complessiva’ della lamina…
$M= int int _L delta (x,y)*dx*dy$ (1)
Poi si calcolano le coordinate del baricentro così…
$x_g=1/M*int int_L x*delta(x,y)*dx*dy$
$y_g=1/M*int int_L y*delta(x,y)*dx*dy$ (2)
La cosa parrebbe semplice se non fosse che siamo in coordinate polari e non in coordinate cartesiane. Per fortuna esiste una formula che consente il ‘passaggio’. Posto…
$x= rho* cos theta$
$y=rho*sin theta$ (3)
… risulta…
$int int L f(x,y)*dx*dy= int int_L f(rho*cos theta, rho*sin theta)* rho*d rho* d theta$ (4)
… ove bisogna ricordarsi di inserire lo ‘Jacobiano’ $J= rho$. Procediamo…
$M= int_0^(pi/2) int_(theta + pi/2)^pi 1/rho*d rho*d theta=int_ 0^(pi/2) |ln rho|_(theta + pi/2)^pi*d theta=$
$= int_0^(pi/2) [ln pi –ln (theta +pi/2)]* d theta= ln pi*|theta|_0^(pi/2)-|(theta + pi/2)*[ln (theta+pi/2)-1]|_0^(pi/2)=$
$=pi/2 (1-ln pi+ln (pi/2))= pi/2*(1-ln 2)=.48200328164…$ (5)
Un pochino faticoso certo… ma si vede di peggio!… Bene!… ora non resta che risolvere le (2)…
$x_g= 1/M*int_0^(pi/2) int_(theta+pi/2)^pi cos theta* d rho* d theta=1/M*int_0^(pi/2) cos theta*|rho|_(theta + pi/2)^pi *d theta=$
$= 1/M*int_0^pi/2 cos theta*d theta-1/M*int_0^(pi/2) theta*cos theta* d theta=1/M* pi/2*|sin theta|_0^(pi/2)-1/M*|cos theta+ theta*sin theta|_0^(pi/2)=$
$=1/M*(pi/2-pi/2+1)=1/M=2,07467467149…$ (6)
$y_g= 1/M*int_0^(pi/2) int_(theta+pi/2)^pi sin theta* d rho* d theta=1/M*int_0^(pi/2) sin theta*|rho|_(theta + pi/2)^pi *d theta=$
$= 1/M*int_0^(pi/2) sin theta*d theta-1/M*int_0^(pi/2) theta*sin theta* d theta=-1/M* pi/2*|cos theta|_0^(pi/2)-1/M*|sin theta- theta*cos theta|_0^(pi/2)=$
$=1/M*(pi/2-1)=1,18421668178…$ (7)
Very good!… Se una buon’anima controlla farà opera assai meritoria. E’ chiaro che un calcolo del genere non presenta particolari difficoltà ‘concettuali’ ma richiede unicamente grande attenzione ad ogni passaggio… mah!…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
$0<=theta<=pi/2$, $theta+pi/2<=rho<=pi$
Calcolare l’ascissa e l’ordinata del baricentro conoscendo la densità $delta(x,y)=1/(x^2+y^2)$
Very good!… La forma geometrica della lamina è l’area colorata in blù nella figura…
La figura richiama molto quello dello spinnacker, la vela issata a prua delle imbarcazioni da regata nelle andature con ‘vento in poppa’ e questo particolare ad un vecchio ‘lupo di mare’ non poteva certo sfuggire!… anche Padre Azzeccaintegrale sarà magari apppassionato di vela?… Non sapendolo diciamo ‘basta’ agli indugi e affrontiamo questo nuovo ‘cimento’…
Dai vaghi ricordi che serbo di meccanica razionale [una disciplina che mi è sempre stata assai ‘ostica’…] mi par di ricordare che occorreva eseguire una sorta di ‘somma pesata’ o qualcosa del genere. Per rinfrescarmi un poco la memoria sono andato allora a consultarmi il bell’articolo di Marcello Pedone che trovate qui…
http://win.matematicamente.it/fisica/Baricentro.pdf
Vedo che si deve procedere in questo modo. Da prima si calcola la ‘massa complessiva’ della lamina…
$M= int int _L delta (x,y)*dx*dy$ (1)
Poi si calcolano le coordinate del baricentro così…
$x_g=1/M*int int_L x*delta(x,y)*dx*dy$
$y_g=1/M*int int_L y*delta(x,y)*dx*dy$ (2)
La cosa parrebbe semplice se non fosse che siamo in coordinate polari e non in coordinate cartesiane. Per fortuna esiste una formula che consente il ‘passaggio’. Posto…
$x= rho* cos theta$
$y=rho*sin theta$ (3)
… risulta…
$int int L f(x,y)*dx*dy= int int_L f(rho*cos theta, rho*sin theta)* rho*d rho* d theta$ (4)
… ove bisogna ricordarsi di inserire lo ‘Jacobiano’ $J= rho$. Procediamo…
$M= int_0^(pi/2) int_(theta + pi/2)^pi 1/rho*d rho*d theta=int_ 0^(pi/2) |ln rho|_(theta + pi/2)^pi*d theta=$
$= int_0^(pi/2) [ln pi –ln (theta +pi/2)]* d theta= ln pi*|theta|_0^(pi/2)-|(theta + pi/2)*[ln (theta+pi/2)-1]|_0^(pi/2)=$
$=pi/2 (1-ln pi+ln (pi/2))= pi/2*(1-ln 2)=.48200328164…$ (5)
Un pochino faticoso certo… ma si vede di peggio!… Bene!… ora non resta che risolvere le (2)…
$x_g= 1/M*int_0^(pi/2) int_(theta+pi/2)^pi cos theta* d rho* d theta=1/M*int_0^(pi/2) cos theta*|rho|_(theta + pi/2)^pi *d theta=$
$= 1/M*int_0^pi/2 cos theta*d theta-1/M*int_0^(pi/2) theta*cos theta* d theta=1/M* pi/2*|sin theta|_0^(pi/2)-1/M*|cos theta+ theta*sin theta|_0^(pi/2)=$
$=1/M*(pi/2-pi/2+1)=1/M=2,07467467149…$ (6)
$y_g= 1/M*int_0^(pi/2) int_(theta+pi/2)^pi sin theta* d rho* d theta=1/M*int_0^(pi/2) sin theta*|rho|_(theta + pi/2)^pi *d theta=$
$= 1/M*int_0^(pi/2) sin theta*d theta-1/M*int_0^(pi/2) theta*sin theta* d theta=-1/M* pi/2*|cos theta|_0^(pi/2)-1/M*|sin theta- theta*cos theta|_0^(pi/2)=$
$=1/M*(pi/2-1)=1,18421668178…$ (7)
Very good!… Se una buon’anima controlla farà opera assai meritoria. E’ chiaro che un calcolo del genere non presenta particolari difficoltà ‘concettuali’ ma richiede unicamente grande attenzione ad ogni passaggio… mah!…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
"lupo grigio":
Sta bene!… allora facciamo così… ferma restando che deve essere verificata la condizione necessaria…
∂F1∂y=∂F2∂x (1)
… la condizione che la regione A sia convessa sarà ‘soltanto’ sufficiente affinché il campo sia conservativo. Riguardo la consistenza di certe ‘obiezioni’ non è superfluo rilevare che l’obiettivo più pressante di Silvia è quello di superare la prova e che certe ‘sottigliezze’ [come l’esperienza purtroppo insegna…] rischiano di risolversi unicamente in perdita di tempo… e se al vecchio lupo ‘perder tempo spiace’ a Silvia ancora meno!…
Se non si precisa che $F$ è di classe $C^1$, questa NON è una condizione necessaria, come già fatto notare da Luca.Lussardi
Se questa affermazione fosse stata inserita all'interno di un esercizio, in cui è assegnato un campo di classe $C^1$, la si sarebbe potuta considerare superflua, "sottintesa".
Il fatto è che lupo grigio ha fatto quella affermazione in un contesto teorico preliminare (con una notevole densità di errori, oltretutto, non solo questo qui).
Non capisco cosa impedisca a lupo grigio di riconoscere che si era dimenticato una ipotesi. Parla invece di sofismi.
No, si tratta di un teorema falso. E con i teoremi falsi non fanno molta strada neanche gli ingegneri.
Il punto grave, in questo comportamento reiterato di lupo grigio però è un altro. Enunciando teoremi falsi non si fa un buon servizio a questo forum, in particolare a quegli utenti che cercano qui delle risposte, un aiuto.
Ovviamente la cosa grave non è fare un errore. Ma è il fatto di non volerlo riconoscere. Basterebbe pendere un testo di analisi per trovarsi un controesempio (è sufficiente avere a disposizione un esempio di una funzione che ha derivate seconde miste diverse!). A che pro quindi sostenere una tesi così platealmente falsa? Una tesi così non convincerà mai nessuno che sappia l'analisi. Instillerà invece dei dubbi, delle incertezze proprio in quelli che sono meno sicuri. Bel servizio, davvero!
Ragazzi
oggi è domenica 9 settembre e oramai manca solo un giorno alla ‘prova’ che attende Silvia. Spero quindi che nessuno se ne abbia a male se mi permetto di dare un piccolo consiglio che è questo: siate brevi nei vostri ‘interventi’!…
Il fatto è che ‘interventi’ come quello del ‘redivivo’, certamente ‘lungo’, ‘articolato’, nonché ‘abbondante di citazioni’ quanto assolutamente privo di contenuto, producono l’inevitabile risposta che segue…
E’ pertanto evidente che in ogni caso è bene essere ‘concisi’ e soprattutto ‘ridursi all’essenziale’… evitando di ‘sprecare’ il bene più prezioso concesso a noi umani: il tempo…
In ossequio a questo sano principio ci dedichiamo un poco a Silvia…
Dato il sistema…
$x’=3*x+4*y$
$y’=4*x-3*y$
i) si determini l’integrale generale
ii) si risolva il problema di Cauchy con le condizioni $x(0)=3$, $y(0)=9$
Si tratta di un sistema di due equazioni lineari in due incognite del primo ordine di cui esistono due procedimenti risolutivi…
a) utilizzando l’analisi vettoriale e il calcolo dell’integrale generale nella forma…
$v^(->)(t)=c^(->)*e^(A(t)$ (1)
… metodo sicuramente ‘moderno’, funzionale e [cosa che non guasta…] anche ‘elegante’
b) utilizzando l’approccio ‘liceale’ alla soluzione di un istema di due equazioni lineari in due incognite… metodo sicuramente un poco ‘da baluba’
Io spero di tutto cuore che Silvia non se ne abbia a male se il vecchio lupo è rimasto ancora al metodo b) … ragazzi… conoscete il detto : ‘chi lascia la via vecchia per la nuova…’
Procedendo dunque come il b) si ha dalla prima equazione…
$y=(x’)/4-3/4*x$ (2)
… che sostituita nella seconda dà…
$y’=(x’’)/4-3/4*x’=4*x-3/4*x’+9/4*x$ (3)
… ovvero…
$x’’-25*x=0$ (4)
Voilà garcons e filles!… Avviamo una equazione del secondo ordine incompleta che sappiamo ormai risolvere ad occhi chiusi!… L’integrale generale è…
$x(t)= c_1*e^(5t)+c_2*e^(-5t)$ (4)
Sostiturendo $x$ e $x’$ ora trovate nella (2) si trova...
$y(t)=1/2*c_1*e^(5t)-2*c_2*e^(-5t)$ (5)
La (4) e la (5) costituiscono l’integrale generale del sistema inventato da Don Azzeccaintegrale… che questa volta non ha voluto infierire più di tanto… voi ragazzi in ogni caso controllate!… ok?…
A questo punto per trovare la soluzione al ‘problema di Cauchy’ si impongono nell’integrale generale appena trovato le condizioni $x(0)=3$ e $y(0)=9$ e si ottiene un sistema di due equazioni lineari nelle incognite $c_1$ e $c_2$… che Silvia sicuramente sa maneggiare meglio del vecchio lupo!…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
oggi è domenica 9 settembre e oramai manca solo un giorno alla ‘prova’ che attende Silvia. Spero quindi che nessuno se ne abbia a male se mi permetto di dare un piccolo consiglio che è questo: siate brevi nei vostri ‘interventi’!…
Il fatto è che ‘interventi’ come quello del ‘redivivo’, certamente ‘lungo’, ‘articolato’, nonché ‘abbondante di citazioni’ quanto assolutamente privo di contenuto, producono l’inevitabile risposta che segue…
E’ pertanto evidente che in ogni caso è bene essere ‘concisi’ e soprattutto ‘ridursi all’essenziale’… evitando di ‘sprecare’ il bene più prezioso concesso a noi umani: il tempo…
In ossequio a questo sano principio ci dedichiamo un poco a Silvia…
Dato il sistema…
$x’=3*x+4*y$
$y’=4*x-3*y$
i) si determini l’integrale generale
ii) si risolva il problema di Cauchy con le condizioni $x(0)=3$, $y(0)=9$
Si tratta di un sistema di due equazioni lineari in due incognite del primo ordine di cui esistono due procedimenti risolutivi…
a) utilizzando l’analisi vettoriale e il calcolo dell’integrale generale nella forma…
$v^(->)(t)=c^(->)*e^(A(t)$ (1)
… metodo sicuramente ‘moderno’, funzionale e [cosa che non guasta…] anche ‘elegante’
b) utilizzando l’approccio ‘liceale’ alla soluzione di un istema di due equazioni lineari in due incognite… metodo sicuramente un poco ‘da baluba’
Io spero di tutto cuore che Silvia non se ne abbia a male se il vecchio lupo è rimasto ancora al metodo b) … ragazzi… conoscete il detto : ‘chi lascia la via vecchia per la nuova…’
Procedendo dunque come il b) si ha dalla prima equazione…
$y=(x’)/4-3/4*x$ (2)
… che sostituita nella seconda dà…
$y’=(x’’)/4-3/4*x’=4*x-3/4*x’+9/4*x$ (3)
… ovvero…
$x’’-25*x=0$ (4)
Voilà garcons e filles!… Avviamo una equazione del secondo ordine incompleta che sappiamo ormai risolvere ad occhi chiusi!… L’integrale generale è…
$x(t)= c_1*e^(5t)+c_2*e^(-5t)$ (4)
Sostiturendo $x$ e $x’$ ora trovate nella (2) si trova...
$y(t)=1/2*c_1*e^(5t)-2*c_2*e^(-5t)$ (5)
La (4) e la (5) costituiscono l’integrale generale del sistema inventato da Don Azzeccaintegrale… che questa volta non ha voluto infierire più di tanto… voi ragazzi in ogni caso controllate!… ok?…
A questo punto per trovare la soluzione al ‘problema di Cauchy’ si impongono nell’integrale generale appena trovato le condizioni $x(0)=3$ e $y(0)=9$ e si ottiene un sistema di due equazioni lineari nelle incognite $c_1$ e $c_2$… che Silvia sicuramente sa maneggiare meglio del vecchio lupo!…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
"Purtroppo, troppo spesso lo studente alla fine pensa solo alle cose che sono obbligatorie, ai corsi in cui deve dare l'esame, e si interessa poco alle cose che invece dovrebbero interessarlo per puro amore della sapienza"
Ennio De Giorgi.
Ennio De Giorgi.
'Quando sento qualcuno parlare di cultura, la mano mi corre al revolver!...'
Hermann Goering
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Hermann Goering
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
"lupo grigio":
'Quando sento qualcuno parlare di cultura, la mano mi corre al revolver!...'
Hermann Goering
chi, quello condannato a Norimberga per crimini di guerra e crimini contro l'umanità?
complimenti, hai un ottimo modello di vita.
"lupo grigio":
'Quando sento qualcuno parlare di cultura, la mano mi corre al revolver!...'
Hermann Goering
cordiali saluti
lupo grigio
Sei senza parole, vero? Pure io, il povero DeGiorgi si rigira nella tomba....
Devo dire che Lupo Grigio mi ha spesso colpito per la sua abilità di calcolo nel gestire serie di potenze, sviluppi, integrali di funzioni speciali etc etc, allo stesso tempo la sua repulsione verso alcuni aspetti formali della teoria della funzioni in $RR$, nonchè la sua tendenza a voler interpretarle come funzioni a variabili complesse, anche quando non è richiesto mi ha sempre turbato....Devo dire che quest'uomo mi affascina, è una persona che non può lasciare indifferenti.
Chiaramente citare un gerarca nazista come si potrebbe citare un filosofo mi sembra un comportamento molto forte, in linea di principio censurabile.
Chiaramente citare un gerarca nazista come si potrebbe citare un filosofo mi sembra un comportamento molto forte, in linea di principio censurabile.
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