In aiuto di Silvia...
Ragazzi
ieri nel Borgo della Val d’Arda dove vive il vecchio lupo e che potete ammirare qui sotto in fotografia…
... si svolgeva una delle tradizionali ‘feste d’estate’ in costumi medioevali. Stavo osservando un poco distrattamente ‘guerrieri in armatura’, ‘giullari di corte’ e ‘leggiadre donzelle in abiti multicolori’ e ascoltando la ‘melodiosa’ [anche se un pò ‘stonata’…] musica di mandolini e flauti allorché mi colpiva la presenza tra la gente di una bellissima ragazza dai capelli rosso-rame, il viso dolcissimo e le forme assai aggraziate. In evidente contrasto con l’atmosfera ‘gaia’ tutto intorno a lei, notavo tuttavia profonda tristezza nel suo sguardo. E’ stato così che il vecchio lupo ha pregato un suo amico stregone di trasformarlo in ‘agnello’ e in questo nuovo aspetto ha avvicinato la fanciulla, domandando a lei la causa di cotanta tristezza. Rasserenata dall’aspetto del tutto ‘innocuo’ dell’animaletto che l’aveva avvicinata, la fanciulla confidava all’agnellino il proprio nome: Silvia. Subito dopo però il sorriso che per un attimo aveva illuminato il suo dolce visino spariva improvvisamente, lasciando unicamente ombra di profonda tristezza.Avendo l’agnellino chiestole il motivo di tanta angoscia ella rivelava che il giorno 10 settembre sarebbe comparsa davanti al Tribunale della Santa Inquisizione per rispondere della accusa gravissima che le era stata rivolta: stregoneria. Disse poi che il giudice inquisitore, tale Torquemada, era noto per la sadica soddisfazione che provava vedendo le streghe bruciare vive sul rogo. Esisteva una possibile ‘prova di appello’, che tuttavia nessuna era mai riuscito a superare: risolvere tutti e quattro gli ‘enigmi matematici’ che Padre Don Peder Azzeccaintegrale avrebbe proposto. Silvia però sapeva bene che da sola mai e poi mai avrebbe potuto essere all’altezza di tale compito e che la sua sorte era ormai segnata. Non potete immaginare quanto il vecchio lupo si sia ‘addolorato’ per la possibile sorte riservata a Silvia e così le ha promesso che sarebbe andato alla ricerca di alcuni degli ‘enigmi’ proposti in passato da Padre Azzeccaintegrale e avrebbe dedicato giorno e notte alla loro ‘soluzione’…
Capirete ragazzi che a questo punto non mi resta che mettermi al lavoro… confidando magari nell’aiuto costruttivo dei più ‘volonterosi’ di voi. Posterò quindi in serie il maggior numero di ‘enigmi’ proposti in passato da Padre Azzeccaintegrale e vediamo poi di risolverli tutti insieme uno alla volta… ops!… scusate il bisticcio di parole
…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perdetempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
ieri nel Borgo della Val d’Arda dove vive il vecchio lupo e che potete ammirare qui sotto in fotografia…
... si svolgeva una delle tradizionali ‘feste d’estate’ in costumi medioevali. Stavo osservando un poco distrattamente ‘guerrieri in armatura’, ‘giullari di corte’ e ‘leggiadre donzelle in abiti multicolori’ e ascoltando la ‘melodiosa’ [anche se un pò ‘stonata’…] musica di mandolini e flauti allorché mi colpiva la presenza tra la gente di una bellissima ragazza dai capelli rosso-rame, il viso dolcissimo e le forme assai aggraziate. In evidente contrasto con l’atmosfera ‘gaia’ tutto intorno a lei, notavo tuttavia profonda tristezza nel suo sguardo. E’ stato così che il vecchio lupo ha pregato un suo amico stregone di trasformarlo in ‘agnello’ e in questo nuovo aspetto ha avvicinato la fanciulla, domandando a lei la causa di cotanta tristezza. Rasserenata dall’aspetto del tutto ‘innocuo’ dell’animaletto che l’aveva avvicinata, la fanciulla confidava all’agnellino il proprio nome: Silvia. Subito dopo però il sorriso che per un attimo aveva illuminato il suo dolce visino spariva improvvisamente, lasciando unicamente ombra di profonda tristezza.Avendo l’agnellino chiestole il motivo di tanta angoscia ella rivelava che il giorno 10 settembre sarebbe comparsa davanti al Tribunale della Santa Inquisizione per rispondere della accusa gravissima che le era stata rivolta: stregoneria. Disse poi che il giudice inquisitore, tale Torquemada, era noto per la sadica soddisfazione che provava vedendo le streghe bruciare vive sul rogo. Esisteva una possibile ‘prova di appello’, che tuttavia nessuna era mai riuscito a superare: risolvere tutti e quattro gli ‘enigmi matematici’ che Padre Don Peder Azzeccaintegrale avrebbe proposto. Silvia però sapeva bene che da sola mai e poi mai avrebbe potuto essere all’altezza di tale compito e che la sua sorte era ormai segnata. Non potete immaginare quanto il vecchio lupo si sia ‘addolorato’ per la possibile sorte riservata a Silvia e così le ha promesso che sarebbe andato alla ricerca di alcuni degli ‘enigmi’ proposti in passato da Padre Azzeccaintegrale e avrebbe dedicato giorno e notte alla loro ‘soluzione’…
Capirete ragazzi che a questo punto non mi resta che mettermi al lavoro… confidando magari nell’aiuto costruttivo dei più ‘volonterosi’ di voi. Posterò quindi in serie il maggior numero di ‘enigmi’ proposti in passato da Padre Azzeccaintegrale e vediamo poi di risolverli tutti insieme uno alla volta… ops!… scusate il bisticcio di parole
… cordiali saluti
lupo grigio
... chè perdetempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Risposte
Esatto.
A questo punto mi pare proprio sia necessaria [almeno per me] una pausa di riflessione per 'riordinare le idee' 
...
Riassumendo mi pare siano stati evidenziati i seguenti elementi fondamentali...
a) esistono funzioni $F_i in C^1$ che non rispettano la condizione $(del F_1)/(del y)= (del F_2)/(del x)$ e non generano un campo conservativo
b) esistono funzioni $F_i non in C^1$ che rispettano la condizione $(del F_1)/(del y)= (del F_2)/(del x)$ e non generano un campo conservativo
c) vi sono campi non conservativi che non rispettano la condizione $(del F_1)/(del y)= (del F_2)/(del x)$ e le cui componenti sono funzioni $F_i in C^1$ che però non sono derivate di alcuna funzione potenziale
Da riesaminare con un poco di calma...
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
...Riassumendo mi pare siano stati evidenziati i seguenti elementi fondamentali...
a) esistono funzioni $F_i in C^1$ che non rispettano la condizione $(del F_1)/(del y)= (del F_2)/(del x)$ e non generano un campo conservativo
b) esistono funzioni $F_i non in C^1$ che rispettano la condizione $(del F_1)/(del y)= (del F_2)/(del x)$ e non generano un campo conservativo
c) vi sono campi non conservativi che non rispettano la condizione $(del F_1)/(del y)= (del F_2)/(del x)$ e le cui componenti sono funzioni $F_i in C^1$ che però non sono derivate di alcuna funzione potenziale
Da riesaminare con un poco di calma...
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Allora… degli elementi isolati ieri direi di restringere l’attenzione su quanto è importante ai fini di chiarire i nodi del discorso. In particolare gli elementi del tipo a) e c) [che potrebbero in realtà costituire una tipologia unica…] , ossia quei campi vettoriali che non soddisfano al vincolo…
$(del F_1)/(del y)=(del F_2)/(del x)$ (1)
… e che pertanto non sono conservativi direi, se siete d’accordo, di ‘trascurarli’ [almeno per ora…] in quanto ‘non al centro dell’interesse’. Sarebbe invece da approfondire [e di molto…] il discorso su campi del tipo b), i quali soddisfano la (1) ma le cui componenti $F_1$ ed $F_2$ non appartengono alla classe $C^1$. Di questa tipologia di campi si è detto [o si è lasciato intendere…] che essi non sono conservativi…
Per esaminare con efficacia la questione proporrei l’introduzione di un piccolo ‘test’ sui campi che da ora in poi si andranno ad esaminare. Il test consiste nel calcolo [quando è possibile…] dell’integrale…
$int_C F^(->)*dr^(->)$ (2)
… lungo il percorso ‘quadrato’ della figura seguente…
E’ vero che tale percorso è ‘particolare’… su questo non ci piove… è altrettanto vero però che così si semplificano le cose e sarà sempre possibile estendere i risultati ottenuti al ‘caso generale’. E’ noto che se il campo è conservativo l’integrale (2) è nullo lungo qualunque percorso chiuso contenuto nell’insieme $D$ in cui è definito il campo. Se ipotizziamo che $D$ coincida con l’intero insieme $RR^2$ quindi non ci saranno problemi. Un paio di considerazioni preliminari…
Piccolo ‘lemma’: se un campo $F^(->)= (F_1,F_2)$ soddisfa la (1), allora il campo…
$G^(->)= (F_1+phi(x), F_2+psi(y))$ (3)
… in cui $phi(x)$ è una funzione arbitraria purchè della sola $x$ e $psi(y)$ è una funzione arbitraria purchè della sola $y$, soddisferà anch'esso la (1)
Non vi è bisogno di fornire ‘dimostrazione’ di ciò… non è vero?… Naturalmente il ‘lemma’ vale anche per $F^(->)=(0,0)$. E qui veniamo al primo punto. Ieri mi sono stati forniti con sollecitudine [ne prendo atto…] due ‘esempi’ di campi vettoriali del tipo (3) con $F_1=F_2=0$. Li cito nell’ordine temporale ‘di arrivo’…
1) le funzioni $phi$ e $psi$ sono le seguenti…
$phi(x)= x^2*sin (1/x)$, $x ne 0$, $=0$, $x=0$
$psi(y)=0$ (4)
2) le funzioni $phi$ e $psi$ sono le seguenti…
$phi(x)=H(x)$
$psi(y)=1$ (5)
In 1) vi è una funzione del tipo che mi ha sempre ‘affascinato’: la famiglia delle ‘funzioni emicrania’. Di tutte le funzioni della ‘famiglia’ quella che di gran lunga ho sempre preferito è la ‘funzione superemicrania’ definita come…
$sigma epsilon (x)= (sin (1/x))/x$ (6)
Mi rimarrà sempre impresso nella memoria la ‘intima gioia’ che ho provato la prima volta che ho ‘scoperto’ che…
$int_(-oo)^(+oo) (sin (1/x))/x*dx= pi$ (7)
A parte i ‘bei ricordi’, diciamo che se la ‘funzione superemicrania’ è integrabile su qualunque intervallo finito, la stessa cosa vale per la ‘cugina’ che stà nelle (4) e questo vedremo subito che ‘ci sta molto bene’. Le funzioni (5) [spero che il ‘proponente’ di queste non se ne abbia a male…] sono al confronto decisamente ‘banalucce’ ma anch’esse godono della proprietà di essere integrabili su ogni porzione finita di $RR$…
Very good!… Dal momento che le (4) e le (5) godono delle proprietà che ci interessano le tratteremo allo stesso modo nel procedere alla loro integrazione sul ‘quadrato’ $ABCDA$ . Procediamo…
$int_C F^(->)*dr^(->) = int_(-1)^1 phi(x)*dx+int_(-1)^1 psi(y)*dy+int_1^(-1) phi(x)*dx+int_1^(-1) psi(y)*dy$ (8)
Nella ipotesi [verificata…] di esistenza di tutti gli integrali che compaiono nella (8) mi auguro di non turbare nessuno dicendo che è…
$int_C F^(->)*dr^(->)=0$ (9)
Il risultato (9) sembrerebbe indicare una sorta di carattere conservativo dei campi vettoriali definiti con le (4) e (5)…
o forse mi sbaglio?… la parola a voi!…
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
$(del F_1)/(del y)=(del F_2)/(del x)$ (1)
… e che pertanto non sono conservativi direi, se siete d’accordo, di ‘trascurarli’ [almeno per ora…] in quanto ‘non al centro dell’interesse’. Sarebbe invece da approfondire [e di molto…] il discorso su campi del tipo b), i quali soddisfano la (1) ma le cui componenti $F_1$ ed $F_2$ non appartengono alla classe $C^1$. Di questa tipologia di campi si è detto [o si è lasciato intendere…] che essi non sono conservativi…
Per esaminare con efficacia la questione proporrei l’introduzione di un piccolo ‘test’ sui campi che da ora in poi si andranno ad esaminare. Il test consiste nel calcolo [quando è possibile…] dell’integrale…
$int_C F^(->)*dr^(->)$ (2)
… lungo il percorso ‘quadrato’ della figura seguente…
E’ vero che tale percorso è ‘particolare’… su questo non ci piove… è altrettanto vero però che così si semplificano le cose e sarà sempre possibile estendere i risultati ottenuti al ‘caso generale’. E’ noto che se il campo è conservativo l’integrale (2) è nullo lungo qualunque percorso chiuso contenuto nell’insieme $D$ in cui è definito il campo. Se ipotizziamo che $D$ coincida con l’intero insieme $RR^2$ quindi non ci saranno problemi. Un paio di considerazioni preliminari…
Piccolo ‘lemma’: se un campo $F^(->)= (F_1,F_2)$ soddisfa la (1), allora il campo…
$G^(->)= (F_1+phi(x), F_2+psi(y))$ (3)
… in cui $phi(x)$ è una funzione arbitraria purchè della sola $x$ e $psi(y)$ è una funzione arbitraria purchè della sola $y$, soddisferà anch'esso la (1)
Non vi è bisogno di fornire ‘dimostrazione’ di ciò… non è vero?… Naturalmente il ‘lemma’ vale anche per $F^(->)=(0,0)$. E qui veniamo al primo punto. Ieri mi sono stati forniti con sollecitudine [ne prendo atto…] due ‘esempi’ di campi vettoriali del tipo (3) con $F_1=F_2=0$. Li cito nell’ordine temporale ‘di arrivo’…
1) le funzioni $phi$ e $psi$ sono le seguenti…
$phi(x)= x^2*sin (1/x)$, $x ne 0$, $=0$, $x=0$
$psi(y)=0$ (4)
2) le funzioni $phi$ e $psi$ sono le seguenti…
$phi(x)=H(x)$
$psi(y)=1$ (5)
In 1) vi è una funzione del tipo che mi ha sempre ‘affascinato’: la famiglia delle ‘funzioni emicrania’. Di tutte le funzioni della ‘famiglia’ quella che di gran lunga ho sempre preferito è la ‘funzione superemicrania’ definita come…
$sigma epsilon (x)= (sin (1/x))/x$ (6)
Mi rimarrà sempre impresso nella memoria la ‘intima gioia’ che ho provato la prima volta che ho ‘scoperto’ che…
$int_(-oo)^(+oo) (sin (1/x))/x*dx= pi$ (7)
A parte i ‘bei ricordi’, diciamo che se la ‘funzione superemicrania’ è integrabile su qualunque intervallo finito, la stessa cosa vale per la ‘cugina’ che stà nelle (4) e questo vedremo subito che ‘ci sta molto bene’. Le funzioni (5) [spero che il ‘proponente’ di queste non se ne abbia a male…] sono al confronto decisamente ‘banalucce’ ma anch’esse godono della proprietà di essere integrabili su ogni porzione finita di $RR$…
Very good!… Dal momento che le (4) e le (5) godono delle proprietà che ci interessano le tratteremo allo stesso modo nel procedere alla loro integrazione sul ‘quadrato’ $ABCDA$ . Procediamo…
$int_C F^(->)*dr^(->) = int_(-1)^1 phi(x)*dx+int_(-1)^1 psi(y)*dy+int_1^(-1) phi(x)*dx+int_1^(-1) psi(y)*dy$ (8)
Nella ipotesi [verificata…] di esistenza di tutti gli integrali che compaiono nella (8) mi auguro di non turbare nessuno dicendo che è…
$int_C F^(->)*dr^(->)=0$ (9)
Il risultato (9) sembrerebbe indicare una sorta di carattere conservativo dei campi vettoriali definiti con le (4) e (5)…
o forse mi sbaglio?… la parola a voi!…
cordiali saluti
lupo grigio
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