In aiuto di Silvia...
Ragazzi
ieri nel Borgo della Val d’Arda dove vive il vecchio lupo e che potete ammirare qui sotto in fotografia…
... si svolgeva una delle tradizionali ‘feste d’estate’ in costumi medioevali. Stavo osservando un poco distrattamente ‘guerrieri in armatura’, ‘giullari di corte’ e ‘leggiadre donzelle in abiti multicolori’ e ascoltando la ‘melodiosa’ [anche se un pò ‘stonata’…] musica di mandolini e flauti allorché mi colpiva la presenza tra la gente di una bellissima ragazza dai capelli rosso-rame, il viso dolcissimo e le forme assai aggraziate. In evidente contrasto con l’atmosfera ‘gaia’ tutto intorno a lei, notavo tuttavia profonda tristezza nel suo sguardo. E’ stato così che il vecchio lupo ha pregato un suo amico stregone di trasformarlo in ‘agnello’ e in questo nuovo aspetto ha avvicinato la fanciulla, domandando a lei la causa di cotanta tristezza. Rasserenata dall’aspetto del tutto ‘innocuo’ dell’animaletto che l’aveva avvicinata, la fanciulla confidava all’agnellino il proprio nome: Silvia. Subito dopo però il sorriso che per un attimo aveva illuminato il suo dolce visino spariva improvvisamente, lasciando unicamente ombra di profonda tristezza.Avendo l’agnellino chiestole il motivo di tanta angoscia ella rivelava che il giorno 10 settembre sarebbe comparsa davanti al Tribunale della Santa Inquisizione per rispondere della accusa gravissima che le era stata rivolta: stregoneria. Disse poi che il giudice inquisitore, tale Torquemada, era noto per la sadica soddisfazione che provava vedendo le streghe bruciare vive sul rogo. Esisteva una possibile ‘prova di appello’, che tuttavia nessuna era mai riuscito a superare: risolvere tutti e quattro gli ‘enigmi matematici’ che Padre Don Peder Azzeccaintegrale avrebbe proposto. Silvia però sapeva bene che da sola mai e poi mai avrebbe potuto essere all’altezza di tale compito e che la sua sorte era ormai segnata. Non potete immaginare quanto il vecchio lupo si sia ‘addolorato’ per la possibile sorte riservata a Silvia e così le ha promesso che sarebbe andato alla ricerca di alcuni degli ‘enigmi’ proposti in passato da Padre Azzeccaintegrale e avrebbe dedicato giorno e notte alla loro ‘soluzione’…
Capirete ragazzi che a questo punto non mi resta che mettermi al lavoro… confidando magari nell’aiuto costruttivo dei più ‘volonterosi’ di voi. Posterò quindi in serie il maggior numero di ‘enigmi’ proposti in passato da Padre Azzeccaintegrale e vediamo poi di risolverli tutti insieme uno alla volta… ops!… scusate il bisticcio di parole
…
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perdetempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
ieri nel Borgo della Val d’Arda dove vive il vecchio lupo e che potete ammirare qui sotto in fotografia…
... si svolgeva una delle tradizionali ‘feste d’estate’ in costumi medioevali. Stavo osservando un poco distrattamente ‘guerrieri in armatura’, ‘giullari di corte’ e ‘leggiadre donzelle in abiti multicolori’ e ascoltando la ‘melodiosa’ [anche se un pò ‘stonata’…] musica di mandolini e flauti allorché mi colpiva la presenza tra la gente di una bellissima ragazza dai capelli rosso-rame, il viso dolcissimo e le forme assai aggraziate. In evidente contrasto con l’atmosfera ‘gaia’ tutto intorno a lei, notavo tuttavia profonda tristezza nel suo sguardo. E’ stato così che il vecchio lupo ha pregato un suo amico stregone di trasformarlo in ‘agnello’ e in questo nuovo aspetto ha avvicinato la fanciulla, domandando a lei la causa di cotanta tristezza. Rasserenata dall’aspetto del tutto ‘innocuo’ dell’animaletto che l’aveva avvicinata, la fanciulla confidava all’agnellino il proprio nome: Silvia. Subito dopo però il sorriso che per un attimo aveva illuminato il suo dolce visino spariva improvvisamente, lasciando unicamente ombra di profonda tristezza.Avendo l’agnellino chiestole il motivo di tanta angoscia ella rivelava che il giorno 10 settembre sarebbe comparsa davanti al Tribunale della Santa Inquisizione per rispondere della accusa gravissima che le era stata rivolta: stregoneria. Disse poi che il giudice inquisitore, tale Torquemada, era noto per la sadica soddisfazione che provava vedendo le streghe bruciare vive sul rogo. Esisteva una possibile ‘prova di appello’, che tuttavia nessuna era mai riuscito a superare: risolvere tutti e quattro gli ‘enigmi matematici’ che Padre Don Peder Azzeccaintegrale avrebbe proposto. Silvia però sapeva bene che da sola mai e poi mai avrebbe potuto essere all’altezza di tale compito e che la sua sorte era ormai segnata. Non potete immaginare quanto il vecchio lupo si sia ‘addolorato’ per la possibile sorte riservata a Silvia e così le ha promesso che sarebbe andato alla ricerca di alcuni degli ‘enigmi’ proposti in passato da Padre Azzeccaintegrale e avrebbe dedicato giorno e notte alla loro ‘soluzione’…
Capirete ragazzi che a questo punto non mi resta che mettermi al lavoro… confidando magari nell’aiuto costruttivo dei più ‘volonterosi’ di voi. Posterò quindi in serie il maggior numero di ‘enigmi’ proposti in passato da Padre Azzeccaintegrale e vediamo poi di risolverli tutti insieme uno alla volta… ops!… scusate il bisticcio di parole
… cordiali saluti
lupo grigio
... chè perdetempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
Risposte
Ragazzi
dovete sapere che a me spesso ‘andando a caso’ in internet capita di trovare ‘quella cosa che và a fagiolo’… E’ accaduto così che mi sono imbattuto nel seguente ‘quesito’ rivolto da un non meglio definito ‘pinco-pallo’ ad un cosiddetto ‘esperto’…
Come faccio a stabilire se un dato campo vettoriale è gradiente e in caso affermativo determinarne uno scalare?…
E’ del tutto evidente che la formulazione del ‘quesito’ è un pochino ‘imprecisa’ ma l’argomento mi interessava in quanto riguardava il famoso ‘esercizio scritto’ nel quale avrei commesso ‘un esorbitante numero di errori plateali’. La risposta dell’insigne ‘esperto’ l’ho trovata in…
http://64.233.183.104/search?q=cache:Ae ... cd=2&gl=it
La riporterò ‘pezzo per pezzo’ in modo che non ci siano dubbi circa la ‘intepretazione’ e la raffronteremo con quanto da me scritto nel post ‘incriminato’… vi anticipo subito che ‘le sorprese non mancheranno’…
La domanda appare imprecisa nella formulazione… un campo vettoriale può essere il gradiente di una funzione scalare ed in tal caso tale funzione si dice potenziale del campo stesso…
Un campo vettoriale $F: RR^n -> RR^n$ si dice conservativo se esiste $phi: RR^n-> RR$ regolare tale che $F= grad phi$.
Per il Lemma di Schwartz (uguaglianza delle derivate seconde miste) se $F$ è un campo conservativo e di classe $C^1$, allora vale l'uguaglianza delle derivate in croce; ovvero (in $RR^2$) dette $F_1$ ed $F_2$ le due componenti scalari di $F$ si ha…
$(del F_1)/(del y)=(del F_2)/(del x)$ (1)
L’esimio ‘esperto’ ha cominciato con un campo di dimensione $n$ ‘comunque grande’ per ‘svicolare’ quasi subito al caso ‘confortevole’ $n=2$… in fondo meglio così dal momento che anche nel post ‘incriminato’ era $n=2$… dunque ok!...
La (1) è in effetti conseguenza diretta del Lemma di Schwartz, il quale afferma che, data una $phi(x,y)$ e un punto $(x_0,y_0)$ interno ad un campo $A$, se in un intorno di questo esistono [finite] entrambe le derivate parziali $phi’_x$ e $phi’_y$, se anche la derivata parziale seconda $phi’’_(xy)$ esiste ed è continua in $(x_0,y_0)$, allora esiste anche la derivata seconda $phi’’_(yx)$ ed è…
$phi’’_(xy)(x_0,y_0)=phi’’_(yx)(x_0,y_0)$ (2)
E’ essenziale a questo punto rilevare che la continuità [oltre che l’esistenza ovviamente… ] delle derivate prime $phi’_x$ e $phi’_y$ nonché seconde $phi’’_(xy)$ e $phi’’_(yx)$ è condizione necessaria per la (2). In base alle regole logiche che si insegnano alle elementari e di cui si trova conferma in…
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21706
… la (2) risulta essere condizione sufficiente per l’esistenza e la continuità delle derivate prime e seconde. Risulta dunque del tutto evidente che la verifica della (1) comporta automaticamente anche il fatto che le $F_1$ e $F_2$ sono ‘almeno’ di classe $C^1$ e non c’è alcun bisogno di specificarlo né ‘prima’ né ‘dopo’. Per fare un esempio della ‘vita di tutti i giorni’ converrete che sarebbe davvero esilarante se dicessi che ‘Filomena è la più bella gnocca dell’Universo’ e ‘specificassi’ [prima o poi…] che ‘Filomena è individuo della specie umana di sesso femminile’
…
Nel caso specifico del post ‘incriminato’ non vi è dubbio che la ‘partenza giusta’ per la soluzione di una prova scritta di esame stia nella verifica diretta della (1) senza alcun inutile preambolo, sia per ‘efficienza’, sia per ‘chiarezza’. Detto questo cediamo nuovamente la parola al nostro ‘esperto’ [alcune ‘enfasi’ sono aggiunte…]
Tale condizione [la (1)…] è solo necessaria per la conservatività del campo, a meno che il campo $F$ sia definito e regolare su un insieme semplicemente connesso (‘un connesso senza buchi’). Allora in tal caso la condizione dell'uguaglianza delle derivate in croce diventa sufficiente per la conservatività di $F$. Per esempio un campo $F$ definito e regolare su tutto $RR^2$ è conservativo se e solo se vale l'uguaglianza delle derivate in croce, essendo tutto lo spazio semplicemente connesso…
E’ interessante a questo punto riportare quanto al riguardo da me scritto nel post ‘incriminato’…
Dato un campo vettoriale $F^(→) : RR^2→R^2$ questo si dice conservativo se esiste una funzione $U(x,y)$ su una regione $D$ di $RR^2$ in modo che valga la relazione…
$F^(->)=(F_1,F_2)= grad U(x,y)$
La funzione $U(x,y)$ è chiamata potenziale. Condizione necessaria perchè il campo sia conservativo è la seguente…
$(del F_1)/(del y)= (del F_2)/ (del x)$
Condizione necessaria e sufficiente perché il campo sia conservativo è che la regione $D$ sia convessa, vale a dire ogni segmento congiungente due punti di $D$ è interamente contenuto in $D$…
Nessun dubbio che sul fatto che la (1) sia condizione necessaria perché il campo sia conservativo quanto scritto da me e quanto scritto dal nostro ‘esperto’ concordano pienamente. A questo punto il nostro esperto passa ad esaminare una condizione sufficiente… ed è noto che in fatto di ‘condizioni sufficienti’ nella stragrande maggioranza dei casi vi è solo ‘imbarazzo nella scelta’… La condizione sufficiente indicata dal nostro ‘esperto’ è che il campo sia definito su un insieme semplicemente connesso… ineccepibile!… Dopo di che il nostro esperto indica una condizione necessaria e sufficiente estendendo la regione $D$ all’intero insieme $RR^2$… ultraineccepibile!…
Qui viene il punto sul quale in effetti mi sono trovato in difficoltà e dove ho deciso coscientemente di scivolare ‘sulla buccia di banana’… quale è la condizione ‘necessaria e sufficiente’ quando $D$ presenta una 'frontiera'?… una bella domanda sulla quale però non avevo il tempo di ‘meditare a sufficienza’ soprattutto perché il tempo doveva essere ‘speso’ per ‘aiutare Silvia’… è stato così che ho deciso di ‘barare’ e presentare come condizione ‘necessaria e sufficiente’ la convessità di $D$, ben sapendo che essa era una delle tante condizioni ‘solo sufficienti’… Và detto a onor del vero che alla cosa ho ‘posto rimedio’ non appena è cominciato ‘l’impallinamento’, come è dimostrato inequivocabilmente dal seguente scritto…
Sta bene!… allora facciamo così… ferma restando che deve essere verificata la condizione necessaria…
$ (del F_1)/ (del y)=(del F_2)/(del x)$
… la condizione che la regione A sia convessa sarà ‘soltanto’ sufficiente affinché il campo sia conservativo…
Dopo questa ‘doverosa rettifica’, essendo in tutte le ‘prove scritte’ da me esaminate la regione $D$ convessa, è chiaro che tanto nel post ‘incriminato’ come nei successivi post ‘non incriminati’ che vertevano sui campi vettoriali non risultano presenti ‘vizi formali’ di alcun tipo… salvo naturalmente che qualcuno a questo punto non dimostri il contrario…
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
dovete sapere che a me spesso ‘andando a caso’ in internet capita di trovare ‘quella cosa che và a fagiolo’… E’ accaduto così che mi sono imbattuto nel seguente ‘quesito’ rivolto da un non meglio definito ‘pinco-pallo’ ad un cosiddetto ‘esperto’…
Come faccio a stabilire se un dato campo vettoriale è gradiente e in caso affermativo determinarne uno scalare?…
E’ del tutto evidente che la formulazione del ‘quesito’ è un pochino ‘imprecisa’ ma l’argomento mi interessava in quanto riguardava il famoso ‘esercizio scritto’ nel quale avrei commesso ‘un esorbitante numero di errori plateali’. La risposta dell’insigne ‘esperto’ l’ho trovata in…
http://64.233.183.104/search?q=cache:Ae ... cd=2&gl=it
La riporterò ‘pezzo per pezzo’ in modo che non ci siano dubbi circa la ‘intepretazione’ e la raffronteremo con quanto da me scritto nel post ‘incriminato’… vi anticipo subito che ‘le sorprese non mancheranno’…
La domanda appare imprecisa nella formulazione… un campo vettoriale può essere il gradiente di una funzione scalare ed in tal caso tale funzione si dice potenziale del campo stesso…
Un campo vettoriale $F: RR^n -> RR^n$ si dice conservativo se esiste $phi: RR^n-> RR$ regolare tale che $F= grad phi$.
Per il Lemma di Schwartz (uguaglianza delle derivate seconde miste) se $F$ è un campo conservativo e di classe $C^1$, allora vale l'uguaglianza delle derivate in croce; ovvero (in $RR^2$) dette $F_1$ ed $F_2$ le due componenti scalari di $F$ si ha…
$(del F_1)/(del y)=(del F_2)/(del x)$ (1)
L’esimio ‘esperto’ ha cominciato con un campo di dimensione $n$ ‘comunque grande’ per ‘svicolare’ quasi subito al caso ‘confortevole’ $n=2$… in fondo meglio così dal momento che anche nel post ‘incriminato’ era $n=2$… dunque ok!...
La (1) è in effetti conseguenza diretta del Lemma di Schwartz, il quale afferma che, data una $phi(x,y)$ e un punto $(x_0,y_0)$ interno ad un campo $A$, se in un intorno di questo esistono [finite] entrambe le derivate parziali $phi’_x$ e $phi’_y$, se anche la derivata parziale seconda $phi’’_(xy)$ esiste ed è continua in $(x_0,y_0)$, allora esiste anche la derivata seconda $phi’’_(yx)$ ed è…
$phi’’_(xy)(x_0,y_0)=phi’’_(yx)(x_0,y_0)$ (2)
E’ essenziale a questo punto rilevare che la continuità [oltre che l’esistenza ovviamente… ] delle derivate prime $phi’_x$ e $phi’_y$ nonché seconde $phi’’_(xy)$ e $phi’’_(yx)$ è condizione necessaria per la (2). In base alle regole logiche che si insegnano alle elementari e di cui si trova conferma in…
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21706
… la (2) risulta essere condizione sufficiente per l’esistenza e la continuità delle derivate prime e seconde. Risulta dunque del tutto evidente che la verifica della (1) comporta automaticamente anche il fatto che le $F_1$ e $F_2$ sono ‘almeno’ di classe $C^1$ e non c’è alcun bisogno di specificarlo né ‘prima’ né ‘dopo’. Per fare un esempio della ‘vita di tutti i giorni’ converrete che sarebbe davvero esilarante se dicessi che ‘Filomena è la più bella gnocca dell’Universo’ e ‘specificassi’ [prima o poi…] che ‘Filomena è individuo della specie umana di sesso femminile’
… Nel caso specifico del post ‘incriminato’ non vi è dubbio che la ‘partenza giusta’ per la soluzione di una prova scritta di esame stia nella verifica diretta della (1) senza alcun inutile preambolo, sia per ‘efficienza’, sia per ‘chiarezza’. Detto questo cediamo nuovamente la parola al nostro ‘esperto’ [alcune ‘enfasi’ sono aggiunte…]
Tale condizione [la (1)…] è solo necessaria per la conservatività del campo, a meno che il campo $F$ sia definito e regolare su un insieme semplicemente connesso (‘un connesso senza buchi’). Allora in tal caso la condizione dell'uguaglianza delle derivate in croce diventa sufficiente per la conservatività di $F$. Per esempio un campo $F$ definito e regolare su tutto $RR^2$ è conservativo se e solo se vale l'uguaglianza delle derivate in croce, essendo tutto lo spazio semplicemente connesso…
E’ interessante a questo punto riportare quanto al riguardo da me scritto nel post ‘incriminato’…
Dato un campo vettoriale $F^(→) : RR^2→R^2$ questo si dice conservativo se esiste una funzione $U(x,y)$ su una regione $D$ di $RR^2$ in modo che valga la relazione…
$F^(->)=(F_1,F_2)= grad U(x,y)$
La funzione $U(x,y)$ è chiamata potenziale. Condizione necessaria perchè il campo sia conservativo è la seguente…
$(del F_1)/(del y)= (del F_2)/ (del x)$
Condizione necessaria e sufficiente perché il campo sia conservativo è che la regione $D$ sia convessa, vale a dire ogni segmento congiungente due punti di $D$ è interamente contenuto in $D$…
Nessun dubbio che sul fatto che la (1) sia condizione necessaria perché il campo sia conservativo quanto scritto da me e quanto scritto dal nostro ‘esperto’ concordano pienamente. A questo punto il nostro esperto passa ad esaminare una condizione sufficiente… ed è noto che in fatto di ‘condizioni sufficienti’ nella stragrande maggioranza dei casi vi è solo ‘imbarazzo nella scelta’… La condizione sufficiente indicata dal nostro ‘esperto’ è che il campo sia definito su un insieme semplicemente connesso… ineccepibile!… Dopo di che il nostro esperto indica una condizione necessaria e sufficiente estendendo la regione $D$ all’intero insieme $RR^2$… ultraineccepibile!…
Qui viene il punto sul quale in effetti mi sono trovato in difficoltà e dove ho deciso coscientemente di scivolare ‘sulla buccia di banana’… quale è la condizione ‘necessaria e sufficiente’ quando $D$ presenta una 'frontiera'?… una bella domanda sulla quale però non avevo il tempo di ‘meditare a sufficienza’ soprattutto perché il tempo doveva essere ‘speso’ per ‘aiutare Silvia’… è stato così che ho deciso di ‘barare’ e presentare come condizione ‘necessaria e sufficiente’ la convessità di $D$, ben sapendo che essa era una delle tante condizioni ‘solo sufficienti’… Và detto a onor del vero che alla cosa ho ‘posto rimedio’ non appena è cominciato ‘l’impallinamento’, come è dimostrato inequivocabilmente dal seguente scritto…
Sta bene!… allora facciamo così… ferma restando che deve essere verificata la condizione necessaria…
$ (del F_1)/ (del y)=(del F_2)/(del x)$
… la condizione che la regione A sia convessa sarà ‘soltanto’ sufficiente affinché il campo sia conservativo…
Dopo questa ‘doverosa rettifica’, essendo in tutte le ‘prove scritte’ da me esaminate la regione $D$ convessa, è chiaro che tanto nel post ‘incriminato’ come nei successivi post ‘non incriminati’ che vertevano sui campi vettoriali non risultano presenti ‘vizi formali’ di alcun tipo… salvo naturalmente che qualcuno a questo punto non dimostri il contrario…
cordiali saluti
lupo grigio
an old wolf may lose his teeth, but never his nature
Allora cerco di schematizzare:
$ A : F \text{ e' } C^1 $
$ B : {\partial F_1}/{\partial y} = {\partial F_2}/{\partial x} $
$ C: \text{Il dominio e' semplicemente connesso} $
$ D : \exists \phi \text{ regolare } : \nabla \phi = F $
$ E: { \partial \phi }/{\partial x \partial y} = { \partial \phi }/{\partial y \partial x} $
allora abbiamo:
$ A \text{ e } B \text{ e } C hArr D \text{ e } E $
non:
$ B \text{ e } C hArr D \text{ e } E \implies A $
come sostieni tu. Questo perche' e' vera l'implicazione:
$ D \text{ e } E \implies A $
come sostieni tu, ma non:
$ B \text{ e } C hArr D \text{ e } E $
quella che tu chiami condizione necessaria e sufficiente $ B \text{ e } C $ non e' necessaria e sufficiente (al di la del fatto che hai sostituito in alcuni punto la $C$ con la richiesta di dominio convesso che la renderebbe solo sufficiente se anche unita alla $A$), perche' la regolarita' del campo e' richiesta anche lei. Non viene gratis. (Come ha scritto giustamente Luca Lussardi). Spero di aver chiarito una volta per tutte questa questione.
*** EDIT ***
Per $\phi$ regolare intendo dire che valgono le ipotesi del th. di Schwartz.
$ A : F \text{ e' } C^1 $
$ B : {\partial F_1}/{\partial y} = {\partial F_2}/{\partial x} $
$ C: \text{Il dominio e' semplicemente connesso} $
$ D : \exists \phi \text{ regolare } : \nabla \phi = F $
$ E: { \partial \phi }/{\partial x \partial y} = { \partial \phi }/{\partial y \partial x} $
allora abbiamo:
$ A \text{ e } B \text{ e } C hArr D \text{ e } E $
non:
$ B \text{ e } C hArr D \text{ e } E \implies A $
come sostieni tu. Questo perche' e' vera l'implicazione:
$ D \text{ e } E \implies A $
come sostieni tu, ma non:
$ B \text{ e } C hArr D \text{ e } E $
quella che tu chiami condizione necessaria e sufficiente $ B \text{ e } C $ non e' necessaria e sufficiente (al di la del fatto che hai sostituito in alcuni punto la $C$ con la richiesta di dominio convesso che la renderebbe solo sufficiente se anche unita alla $A$), perche' la regolarita' del campo e' richiesta anche lei. Non viene gratis. (Come ha scritto giustamente Luca Lussardi). Spero di aver chiarito una volta per tutte questa questione.
*** EDIT ***
Per $\phi$ regolare intendo dire che valgono le ipotesi del th. di Schwartz.
Aggiungo in un post separato, dato che cambio argomento, che e' stato reso necessario mettere il post "in rosso" per segnalare a chi legge che lo svolgimento degli esercizi e' quanto meno "poco ortodosso". Nel senso che ci sono un certo numero di questi sottili errori che possono mandare in confusione uno che leggesse nella speranza di imparare.
Come ha fatto notare Lupo Grigio questa manovra potrebbe essere considerata tardiva, ma lo invito anche a tenere presente che la poca efficacia di questa manovra potrebbe rendere necessario il ricorrere ad altri provvedimenti. Dato che ormai sono anni che si discutono, pare inutilmente, questi argomenti con Lupo Grigio, io lo inviterei a fare una di queste due cose:
1. Adeguarsi alla "matematica ufficiale", per lo meno su queste questioni dove, ormai, dovrebbe aver capito il punto di vista "ufficiale".
2. Postare in qualche altra sezione del forum (ad esempio "Generale") indicando chiaramente che si tratta di metodi e/o "teoremi" il cui uso viene considerato errato dal 100% della comunita' matematica. (Senza farlo in maniera polemica!)
Altrimenti si rischia solo di creare un danno a chi si vuole aiutare.
In ogni caso ogni azione che decidesse di prendere l'amministrazione, non si tratta di censura e non lede alcun diritto costituzionale. La costituzione sancisce la liberta' di stampa, non l'obbligo di stampare e pubblicare le idee, non condivise, di terzi. La liberta' di opinione e' garantita dal fatto che chiunque puo' pubblicare le proprie idee con i propri mezzi, ad esempio su un proprio blog (e magari mettere il link a tale blog nella firma), non dal fatto di poter scrivere qualunque cosa qui.
Come ha fatto notare Lupo Grigio questa manovra potrebbe essere considerata tardiva, ma lo invito anche a tenere presente che la poca efficacia di questa manovra potrebbe rendere necessario il ricorrere ad altri provvedimenti. Dato che ormai sono anni che si discutono, pare inutilmente, questi argomenti con Lupo Grigio, io lo inviterei a fare una di queste due cose:
1. Adeguarsi alla "matematica ufficiale", per lo meno su queste questioni dove, ormai, dovrebbe aver capito il punto di vista "ufficiale".
2. Postare in qualche altra sezione del forum (ad esempio "Generale") indicando chiaramente che si tratta di metodi e/o "teoremi" il cui uso viene considerato errato dal 100% della comunita' matematica. (Senza farlo in maniera polemica!)
Altrimenti si rischia solo di creare un danno a chi si vuole aiutare.
In ogni caso ogni azione che decidesse di prendere l'amministrazione, non si tratta di censura e non lede alcun diritto costituzionale. La costituzione sancisce la liberta' di stampa, non l'obbligo di stampare e pubblicare le idee, non condivise, di terzi. La liberta' di opinione e' garantita dal fatto che chiunque puo' pubblicare le proprie idee con i propri mezzi, ad esempio su un proprio blog (e magari mettere il link a tale blog nella firma), non dal fatto di poter scrivere qualunque cosa qui.
Unica 'osservazione' a quanto asserito da David_e, in linea di massima condivisibile almeno nella parte 'formale' [per quanto mi è stato dato di capire...]:
Il fatto che l'affermazione riguardo la 'condizione necessaria e sufficiente' fosse 'errata' è stato da me ammesso questa mattina e ne ho spiegato i motivi... subito dopo che tale circostanza [per altro ininfluente ai fini della soluzione degli elaborati ...] era emersa è stato mio primo impegno 'rettificare' questo errore... se 'colpa' può esservi stata da parte mia è stata quella di non 'correggere' il post 'incriminato' nel punto specifico, evitando così ogni contestazione formale... chiaramente le 'minacce' contenute nella 'scrittura in rosso' non mi hanno reso posssibile 'correggere' il post successivamente...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Il fatto che l'affermazione riguardo la 'condizione necessaria e sufficiente' fosse 'errata' è stato da me ammesso questa mattina e ne ho spiegato i motivi... subito dopo che tale circostanza [per altro ininfluente ai fini della soluzione degli elaborati ...] era emersa è stato mio primo impegno 'rettificare' questo errore... se 'colpa' può esservi stata da parte mia è stata quella di non 'correggere' il post 'incriminato' nel punto specifico, evitando così ogni contestazione formale... chiaramente le 'minacce' contenute nella 'scrittura in rosso' non mi hanno reso posssibile 'correggere' il post successivamente...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Non e' tanto la questione del necessario e sufficiente o del solo sufficiente a seconda del dominio, ma il fatto che $F \in C^1$ e' assolutamente richiesto come ipotesi. Non e' una conseguenza, come sostieni tu.
Ho corretto il mio precedente intervento per mettere piu' in chiaro questa cosa.
Ho corretto il mio precedente intervento per mettere piu' in chiaro questa cosa.
In tal caso temo di non essere d'accordo per quanto inequivocabilmente emerso in...
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21706
In sostanza se $A$ è condizione necessaria per $B$, allora il fatto che $B$ sia 'vera' implica automaticamente che sia 'vera' $A$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21706
In sostanza se $A$ è condizione necessaria per $B$, allora il fatto che $B$ sia 'vera' implica automaticamente che sia 'vera' $A$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Se ti riferisci alle mie proposizioni $A$ non e' affatto condizione necessaria per $B$. Come ha anche gia' detto Fioravante Patrone esistono funzioni non $C^1$ con derivate miste uguali.
A parte il fatto che la cosa andrebbe dimostrata [magari con un 'esempio'...], il punto cruciale è che in ogni caso il fatto che $B$ sia di per sè condizione necessaria perchè il campo sia conservativo [cosa che mi pare nessuno finora ha mai messo in dubbio...] e che essa divenga 'sufficiente' se certe 'caratteristiche topologiche' del campo sono verificate, implica comunque che una volta appurata $B$ non ha importanza stabilire se le $F_i$ appartengano oppure no a $C^1$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
A parte il fatto che la cosa andrebbe dimostrata [magari con un 'esempio'...], il punto cruciale è che in ogni caso il fatto che $B$ sia di per sè condizione necessaria perchè il campo sia conservativo [cosa che mi pare nessuno finora ha mai messo in dubbio...] e che essa divenga 'sufficiente' se certe 'caratteristiche topologiche' del campo sono verificate, implica comunque che una volta appurata $B$ non ha importanza stabilire se le $F_i$ appartengano oppure no a $C^1$...
Perche' ricopiare un esempio sul forum? Basta che tu apra un qualunque libro di Analisi e ne trovi quanti ne vuoi, senza che noi si sia costretti a fare gli amanuensi...
Poi $B$ diventa sufficiente (e necessaria) unita a $C$ e ad $A$. Senza la $A$ la condizione non e' ne necessaria ne sufficiente. Quindi il tuo argomento cade.
Lemma di Schwartz: data una $phi (x,y)$ e un punto $(x_0,y_0)$ interno ad un campo $A$, se in un intorno di questo esistono [finite] entrambe le derivate parziali $phi’_x$ e $phi’_y$, se anche la derivata parziale seconda $phi’’_(xy)$ esiste ed è continua in $(x_0,y_0)$, allora esiste anche la derivata seconda $phi’’_(yx)$ ed è…
$phi’’_(xy) (x_0,y_0)=phi’’_(yx)(x_0,y_0)$ (1)
Appare del tutto chiaro che nel caso in cui non è verificata la continuità [oltre che l'esistenza naturalmente...] delle derivate del primo ordine $phi'_x$ e $phi'_y$ vien meno la condizione che tutti i libri di Analisi in mio posesso definiscono come necessaria per la (1). In effetti i suddetti libri riportano svariati esempi in cui le derivate prime non sono continue in $(x_0,y_0)$ e in cui la (1) non è verificata. Nessun testo in mio possesso riporta invece un esempio il cui le derivate non sono continue in $(x_0,y_0)$ e invece la (1) è verificata. Se tale esempio fosse fornito allora sarebbe dimostrato che il Lemma di Schwartz come sopra formulato non è condizione necessaria perchè valga la (1). Anche in questo caso tuttavia il fatto che la condizione...
$(del F_1)/(del y)= (del F_2)/(del x)$ (2)
... insieme al fatto che $D$ è semplicemente connesso forniscono autonomamente una condizione sufficiente perchè il campo sia conservativo portano alla inevitabile conclusione che considerazioni riguardo alla appartenenza o no delle $F_i$ a $C^1$ sono superflue...
Ho la netta sensazione che 'qualche cosa' da 'qualche parte' debba per forza essere 'riscritto'...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$phi’’_(xy) (x_0,y_0)=phi’’_(yx)(x_0,y_0)$ (1)
Appare del tutto chiaro che nel caso in cui non è verificata la continuità [oltre che l'esistenza naturalmente...] delle derivate del primo ordine $phi'_x$ e $phi'_y$ vien meno la condizione che tutti i libri di Analisi in mio posesso definiscono come necessaria per la (1). In effetti i suddetti libri riportano svariati esempi in cui le derivate prime non sono continue in $(x_0,y_0)$ e in cui la (1) non è verificata. Nessun testo in mio possesso riporta invece un esempio il cui le derivate non sono continue in $(x_0,y_0)$ e invece la (1) è verificata. Se tale esempio fosse fornito allora sarebbe dimostrato che il Lemma di Schwartz come sopra formulato non è condizione necessaria perchè valga la (1). Anche in questo caso tuttavia il fatto che la condizione...
$(del F_1)/(del y)= (del F_2)/(del x)$ (2)
... insieme al fatto che $D$ è semplicemente connesso forniscono autonomamente una condizione sufficiente perchè il campo sia conservativo portano alla inevitabile conclusione che considerazioni riguardo alla appartenenza o no delle $F_i$ a $C^1$ sono superflue...
Ho la netta sensazione che 'qualche cosa' da 'qualche parte' debba per forza essere 'riscritto'...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Sia $f : \RR \to \RR$ definita da $f(x)=x^2 sen(1/x)$ per $x \ne 0$ e $f(0)=0$. Allora $f$ è continua e derivabile su tutto $\RR$ ma la derivata non è continua in $x=0$. Dunque $f$ non è di classe $C^1$.
Sia dato, su tutto $\RR^2$, il campo $F(x,y)=(f(x),0)$. Allora $F$ non è di classe $C^1$, ma le derivate in croce sono nulle in ogni punto dello spazio che è semplicemente connesso.
Sia dato, su tutto $\RR^2$, il campo $F(x,y)=(f(x),0)$. Allora $F$ non è di classe $C^1$, ma le derivate in croce sono nulle in ogni punto dello spazio che è semplicemente connesso.
Ricapitoliamo:
$ A : F \in C^1 $
L'errore, se ho capito bene quello che dici, e' qui. Tu sostieni che:
$ B : {\partial F_1}/{\partial y} = {\partial F_2}/{\partial x} $
sia condizione necessaria per:
$ D : \exists \phi \text{ regolare } : \nabla \phi = F $
ma questo e' assolutamente falso. Infatti la condizione necessaria e' che valgano contemporaneamente la $A$ e la $B$. Poi sono d'accordo che $D$ implichi $A$ e $B$.
Che $B$ non implichi $A$, mi sembra abbastanza evidente. Ho dovuto inventare un esempio un po' idiota... spero di non aver sbagliato. Prendi il campo:
$ F(x,y) = H(x) \mathbf{i} + \mathbf{j} $
Chiaramente le derivate in croce sono uguali (zero entrambe), ma il campo non si sogna nemmeno di essere continuo (H e' la funzione di Heaviside vale 1 se $x>=0$ zero altrimenti.)... non c'e' speranza di trovare alcuna funzione $C^1$ che abbia come derivata l'Heaviside, quindi, tra l'altro, ovviamente, il teorema non vale per questo campo e non esiste alcun potenziale (funzione regolare il cui gradiente classico sia il campo).
*** EDIT ***
Ovviamente Luca mi ha battuto sul tempo e ha messo un esempio molto piu' bello del mio...
$ A : F \in C^1 $
L'errore, se ho capito bene quello che dici, e' qui. Tu sostieni che:
$ B : {\partial F_1}/{\partial y} = {\partial F_2}/{\partial x} $
sia condizione necessaria per:
$ D : \exists \phi \text{ regolare } : \nabla \phi = F $
ma questo e' assolutamente falso. Infatti la condizione necessaria e' che valgano contemporaneamente la $A$ e la $B$. Poi sono d'accordo che $D$ implichi $A$ e $B$.
Che $B$ non implichi $A$, mi sembra abbastanza evidente. Ho dovuto inventare un esempio un po' idiota... spero di non aver sbagliato.
Prendi il campo:$ F(x,y) = H(x) \mathbf{i} + \mathbf{j} $
Chiaramente le derivate in croce sono uguali (zero entrambe), ma il campo non si sogna nemmeno di essere continuo (H e' la funzione di Heaviside vale 1 se $x>=0$ zero altrimenti.)... non c'e' speranza di trovare alcuna funzione $C^1$ che abbia come derivata l'Heaviside, quindi, tra l'altro, ovviamente, il teorema non vale per questo campo e non esiste alcun potenziale (funzione regolare il cui gradiente classico sia il campo).
*** EDIT ***
Ovviamente Luca mi ha battuto sul tempo e ha messo un esempio molto piu' bello del mio...
Anche il tuo va bene, si possono fare infiniti esempi banali visto che le derivate in croce "non vedono" le altre variabili su cui uno può giocare e rendere le cose brutte quanto vuole.
Nel caso che l'esempio sia 'corretto' [non val la pena verificarlo poichè altre funzioni $f(x)$ simili a quella data potrebbero costituire in ogni caso il 'controesempio' richiesto...] il Lemma di Scwartz, contrariamente a quanto affermato da parecchie 'fonti', non costituisce condizione necessaria perchè sia vera l'eguaglianza...
$(del F_ 1)/(del y)=(del F_2)/(del x)$ (1)
Bene!... rimane ora da dimostrare...
a) che la (1) unitamente alla condizione che $D$ sia semplicemente connesso non è condizione autonomamente sufficiente perchè il campo sia conservativo [e in tal caso le numerosi 'fonti' che affermano ciò sono automaticamente 'in errore'...]
b) che la condizione che le $F_i$ appartangano alla classe $C^1$ insieme al fatto che $D$ sia semplicemente connesso sono condizioni sufficienti perchè il campo sia conservativo [e in tal caso si potrebbe dire che la cosa è una specie di 'sorprendente novità'...]
Impresa forse un poco ardua?... ma no!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose hiteeth, but never his nature
$(del F_ 1)/(del y)=(del F_2)/(del x)$ (1)
Bene!... rimane ora da dimostrare...
a) che la (1) unitamente alla condizione che $D$ sia semplicemente connesso non è condizione autonomamente sufficiente perchè il campo sia conservativo [e in tal caso le numerosi 'fonti' che affermano ciò sono automaticamente 'in errore'...]
b) che la condizione che le $F_i$ appartangano alla classe $C^1$ insieme al fatto che $D$ sia semplicemente connesso sono condizioni sufficienti perchè il campo sia conservativo [e in tal caso si potrebbe dire che la cosa è una specie di 'sorprendente novità'...]
Impresa forse un poco ardua?... ma no!...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose hiteeth, but never his nature
"lupo grigio":
a) che la (1) unitamente alla condizione che $D$ sia semplicemente connesso non è condizione autonomamente sufficiente perchè il campo sia conservativo [e in tal caso le numerosi 'fonti' che affermano ciò sono automaticamente 'in errore'...]
Gia' dimostrato con il mio controesempio. Prendi il campo che ho messo io su tutto $RR^2$... non ammette alcun potenziale, a meno di non usare una definizione "distribuzionale" di potenziale...
"lupo grigio":
b) che la condizione che le $F_i$ appartangano alla classe $C^1$ insieme al fatto che $D$ sia semplicemente connesso sono condizioni sufficienti perchè il campo sia conservativo [e in tal caso si potrebbe dire che la cosa è una specie di 'sorprendente novità'...]
Questo e' impossibile perche' non basta, se aggiungi la (1) (derivate in croce uguali) hai il classico teorema e la dimostrazione e' su tutti i libri.
Un caso e' ad esempio:
$ F(x,y) = y \mathbf{i} - x \mathbf{j} $
viene a mancare la condizione necessaria (che e' $F \in C^1$ e derivate in croce). Quindi la b) e' falsa in generale.
*** EDIT ***
Riguardo alla a) faccio notare che le "numerose fonti" mettono anche l'ipotesi $F \in C^1$ per avere la condizione sufficiente, quindi non sono in errore...
"lupo grigio":
b) che la condizione che le $F_i$ appartangano alla classe $C^1$ insieme al fatto che $D$ sia semplicemente connesso sono condizioni sufficienti perchè il campo sia conservativo [e in tal caso si potrebbe dire che la cosa è una specie di 'sorprendente novità'...]
Questo e' impossibile perche' non basta, se aggiungi la (1) (derivate in croce uguali) hai il classico teorema e la dimostrazione e' su tutti i libri.
Un caso e' ad esempio:
$ F(x,y) = y \mathbf{i} - x \mathbf{j} $
viene a mancare la condizione necessaria (che e' $F \in C^1$ e derivate in croce). Quindi la b) e' falsa in generale.
Chiedo scusa ma forse non ho capito qualcosa... se le $F_i$ appartengono alla classe $C^1$ l'uguaglianza delle derivate in croce dovrebbe sussistere comunque per il Lemma di Schwartz... o no?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Chiedo scusa ma forse non ho capito qualcosa... se le $F_i$ appartengono alla classe $C^1$ l'uguaglianza delle derivate in croce dovrebbe sussistere comunque per il Lemma di Schwartz... o no?...
No il Lemma di Schwartz non centra qui. Nel caso:
$ F(x,y) = y \mathbf{i} - x \mathbf{j} $
le $F_i$ sono entrambe analitiche, quindi piu' che $C^\infty$, ma come vedi le derivate in croce sono diverse. Il lemma di Schwartz e' quello che hai enunciato tu, parla di derivate seconde, non di derivate prime delle componenti di un campo...
Infatti!... per definizione le $F_i$ sono le derivate parziali del primo ordine della 'funzione potenziale' $U$ e le derivate delle $F_i$ le derivate parziali del secondo ordine sempre della $U$... o no?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
Infatti!... per definizione le $F_i$ sono le derivate parziali del primo ordine della 'funzione potenziale' $U$ e le derivate delle $F_i$ le derivate parziali del secondo ordine sempre della $U$... o no?...
No. Le $F_i$ sono le componenti del campo, che siano le derivate parziali del primo ordine di una "funzione potenziale" $U$ e' tutto da dimostrare e, infatti, in generale non e' cosi'.
In altre parole se la funzione $U$ non esiste, non esistono neanche le sue derivate e il teorema di Schwartz in questo caso non serve a un fico secco... intendi dire questo?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo