Giusto per ridere un poco...
ragazzi
qualche giorno fa l’utente Stefano [presumo sia il suo vero nome…] ha proposto una equazione differenziale che ha dato luogo a considerazioni [almeno dal mio punto di vista…] assai interessanti. L’equazione [del primo ordine…] era la seguente…
$x*y’=cos^2(xy)-y$ (1 )
Non erano poste ‘condizioni iniziali’ e sul momento la cosa non sembrava dar luogo a difficoltà. La soluzione generale non è difficile da trovare e in forma implicita è data da…
$tan(xy)=x+c$ (2)
… ove c è la solita ‘costante arbitraria’. Con una semplice verifica si trova che ogni funzione y(x) che soddisfa la (2) soddisfa anche la (1) qualunque sia il valore della costante c. Dalla (2) di ottiene facilmente l’espressione esplicita di $y(x)$ che è…
$y(x)= (tan^(-1) (x+c))/x$ (3)
Fin qui naturalmente è tutto ok. Qualche problema tuttavia sussiste quando si tratta di fissare il valore della costante c partendo da una qualche ‘condizione iniziale’, ossia imporre che per un certo $xo$ sia $y(xo)=yo$. Una prima difficoltà sembra essere legata al fatto che la funzione arcotangente ha valori compresi tra $-pi/2$ e $pi/2$, ma questa in fondo è superabile considerando che la funzione stessa è definita a meno di un qualsiasi multiplo intero di $pi$. Decisamente più critico invece sembra essere il caso in cui sia $xo=0$ , nel qual caso l’unico valore possibile per la funzione è $y(0)=1$ il che impone $c=0$ e porta alla soluzione…
$y(x)= (tan^(-1) x)/x$ (4)
Dal momento che nulla vieta nella (3) di porre $c=0$, sembra che la cosa sia ok. Inoltre nel diagramma che segue…
… è del tutto evidente che la funzione espressa dalla (4) non solo vale 1 per $x=0$, ma altresì ha un andamento regolare in tutto e per tutto. Di più, in tutta la famiglia di soluzioni espressa dalla (3), questa è la sola funzione che non presenta singolarità per $x=0$. Anzi nel caso, tutt’altro che raro nella pratica, che il problema espresso dalla (1) richieda una soluzione priva di singolarità, la (4) rappresenta l’unica soluzione accettabile del problema. E allora ragazzi ci si può ben chiedere: ma che vuoi di più dalla vita!…
Eh già!… Il fatto è che, non appena ho postato queste considerazioni, subito [o quasi…] sono partite le ‘contestazioni’ nei termini che qui vedete…
… per x=0 la funzione non è continua, in quanto neppur definita… [Camillo]
… infatti Camillo, mi era sfuggito ‘il solito errore di lupo grigio’... la funzione data si può prolungare per continuità ad x=0, ma per come è scritta non è una funzione definita in x=0, di conseguenza nemmeno continua... [Luca]
… tendo a ribadire che la funzione $y=arctan(x)/x$ non è la soluzione del problema di Cauchy con dato $y(0)=1$… questa funzione non risulta definita in $x=0$ e tra l'altro non ha nemmeno senso porsi nel problema di Cauchy $y(0)=c$, dal momento che nemmeno $f(x,y)$ è definita in $x=0$. Tutte queste ‘scoperte’ sono fatte a posteriori, non seguendo l'enunciato di un teorema ben preciso… [Luca]
… credo poi sia inutile aprire uno spazio per il tuo ‘solito errore’, visto che non mi sembri molto disposto a riconoscere che sbagli… non voglio assolutamente essere polemico, ma credo che il tuo errore sia già stato sottolineato più volte e non solo da me… come dicono: ‘errare è umano, ma perseverare è da diabolici’… [Luca]
Gulp!!!…
per fortuna non siamo più nel Medio Evo, quando i ‘diabolici’ [ossia coloro che erano sospettati di avere ‘rapporti con il demonio’…] finivano sul rogo!!!… mah!… sapete che vi dico ragazzi?… oggi è venerdì, non c’è molto da fare e il ‘diabolico’ [ 
]vuol giusto divertirsi un poco… e qual migliore divertimento vi può essere se non provare a dimostrare vera una ‘eresia’ [tanto i roghi non ci sono più…], non alla c**** di cane si capisce, bensì ‘seguendo l’enunciato di un teorema ben preciso’?… E’ quello che mi impegno a fare da qui a poco, ragazzi… nel frattempo se qualcuno ha qualche osservazione da fare…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
qualche giorno fa l’utente Stefano [presumo sia il suo vero nome…] ha proposto una equazione differenziale che ha dato luogo a considerazioni [almeno dal mio punto di vista…] assai interessanti. L’equazione [del primo ordine…] era la seguente…
$x*y’=cos^2(xy)-y$ (1 )
Non erano poste ‘condizioni iniziali’ e sul momento la cosa non sembrava dar luogo a difficoltà. La soluzione generale non è difficile da trovare e in forma implicita è data da…
$tan(xy)=x+c$ (2)
… ove c è la solita ‘costante arbitraria’. Con una semplice verifica si trova che ogni funzione y(x) che soddisfa la (2) soddisfa anche la (1) qualunque sia il valore della costante c. Dalla (2) di ottiene facilmente l’espressione esplicita di $y(x)$ che è…
$y(x)= (tan^(-1) (x+c))/x$ (3)
Fin qui naturalmente è tutto ok. Qualche problema tuttavia sussiste quando si tratta di fissare il valore della costante c partendo da una qualche ‘condizione iniziale’, ossia imporre che per un certo $xo$ sia $y(xo)=yo$. Una prima difficoltà sembra essere legata al fatto che la funzione arcotangente ha valori compresi tra $-pi/2$ e $pi/2$, ma questa in fondo è superabile considerando che la funzione stessa è definita a meno di un qualsiasi multiplo intero di $pi$. Decisamente più critico invece sembra essere il caso in cui sia $xo=0$ , nel qual caso l’unico valore possibile per la funzione è $y(0)=1$ il che impone $c=0$ e porta alla soluzione…
$y(x)= (tan^(-1) x)/x$ (4)
Dal momento che nulla vieta nella (3) di porre $c=0$, sembra che la cosa sia ok. Inoltre nel diagramma che segue…
… è del tutto evidente che la funzione espressa dalla (4) non solo vale 1 per $x=0$, ma altresì ha un andamento regolare in tutto e per tutto. Di più, in tutta la famiglia di soluzioni espressa dalla (3), questa è la sola funzione che non presenta singolarità per $x=0$. Anzi nel caso, tutt’altro che raro nella pratica, che il problema espresso dalla (1) richieda una soluzione priva di singolarità, la (4) rappresenta l’unica soluzione accettabile del problema. E allora ragazzi ci si può ben chiedere: ma che vuoi di più dalla vita!…
Eh già!… Il fatto è che, non appena ho postato queste considerazioni, subito [o quasi…] sono partite le ‘contestazioni’ nei termini che qui vedete…
… per x=0 la funzione non è continua, in quanto neppur definita… [Camillo]
… infatti Camillo, mi era sfuggito ‘il solito errore di lupo grigio’... la funzione data si può prolungare per continuità ad x=0, ma per come è scritta non è una funzione definita in x=0, di conseguenza nemmeno continua... [Luca]
… tendo a ribadire che la funzione $y=arctan(x)/x$ non è la soluzione del problema di Cauchy con dato $y(0)=1$… questa funzione non risulta definita in $x=0$ e tra l'altro non ha nemmeno senso porsi nel problema di Cauchy $y(0)=c$, dal momento che nemmeno $f(x,y)$ è definita in $x=0$. Tutte queste ‘scoperte’ sono fatte a posteriori, non seguendo l'enunciato di un teorema ben preciso… [Luca]
… credo poi sia inutile aprire uno spazio per il tuo ‘solito errore’, visto che non mi sembri molto disposto a riconoscere che sbagli… non voglio assolutamente essere polemico, ma credo che il tuo errore sia già stato sottolineato più volte e non solo da me… come dicono: ‘errare è umano, ma perseverare è da diabolici’… [Luca]
Gulp!!!…
per fortuna non siamo più nel Medio Evo, quando i ‘diabolici’ [ossia coloro che erano sospettati di avere ‘rapporti con il demonio’…] finivano sul rogo!!!… mah!… sapete che vi dico ragazzi?… oggi è venerdì, non c’è molto da fare e il ‘diabolico’ [ ]vuol giusto divertirsi un poco… e qual migliore divertimento vi può essere se non provare a dimostrare vera una ‘eresia’ [tanto i roghi non ci sono più…], non alla c**** di cane si capisce, bensì ‘seguendo l’enunciato di un teorema ben preciso’?… E’ quello che mi impegno a fare da qui a poco, ragazzi… nel frattempo se qualcuno ha qualche osservazione da fare… cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
Ecco, bravo, impara invece a dire come stanno veramente le cose; l'ultimo esercizio dovrebbe recitare
Verificare che la funzione
$f(z)=(1- cos z)/(z^2)$
si prolunga analiticamente in $z=0$.
Verificare che la funzione
$f(z)=(1- cos z)/(z^2)$
si prolunga analiticamente in $z=0$.
"Luca.Lussardi":
Ecco, bravo, impara invece a dire come stanno veramente le cose; l'ultimo esercizio dovrebbe recitare
Verificare che la funzione
$f(z)=(1- cos z)/(z^2)$
si prolunga analiticamente in $z=0$.
Direi di no. Il testo l'ho copiato integralmente dal libro e mi sembra coerente con la definizione data. Forse hai letto frettolosamente il mio post.
Edit: non sto sostenendo che quello che hai scritto tu sia sbagliato!
Infatti la definizione in neretto è un abuso di linguaggio; dovrebbe essere scritta come
"condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione sia prolungabile per analiticità in $z=a$ è..."
"condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione sia prolungabile per analiticità in $z=a$ è..."
"Luca.Lussardi":
Infatti la definizione in neretto è un abuso di linguaggio; dovrebbe essere scritta come
"condizione necessaria e sufficiente affinchè una funzione sia prolungabile per analiticità in $z=a$ è..."
Ho corretto il mio messaggio precedente. Comunque è appunto questo che volevo sapere: se è una definizione oppure un teorema ciò che ha scritto lupo grigio. Se è una definizione, ok, che la si chiami prolungamento o altro non mi interessa più di tanto; se è invece un teorema, allora ci sarà una dimostrazione, o no?
Boh, torno a studiare che è meglio.
Saluti.
... la frase ‘stabilire se f è analitica in z=0, non sapendo quanto fa f(0)’ non ha senso...
Altra affermazione buttata lì senza adeguata riflessione, cosa che ricorda il noto detto popolare 'prima di aprire bocca assicurati che... etc, etc...'...
Facciamo un esempio semplice e istruttivo, quello che ci vuole per chiarire le idee. Supponiamo di non sapere quanto vale $f(z)$ in $z=0$ ma di sapere che sul cerchio unitario è...
$f(e^(j*w))= e^(-j*w)$ (1)
Applichiamo ora la prima formula di Cauchy, la quale afferma che se $f(z)$ è analitica sui punti del cerchio unitario e in ogni punto interno ad esso deve essere necessariamente ...
$int_C f(z) dz=0$ (2)
Benissimo, applichiamo ora la (2) e otteniamo...
$int_C f(z) dz = j *int_0^(2*pi) e^(j*w)*e^(-j*w) dw= 2*pi*j$ (3)
Dal momento che l'integrale non vale $0$ possiamo concludere che $f(z)$ non è analitica in $z=0$ e la faccenda si chiude qui, nel senso che non mi è consentito arrivare a conoscere quanto vale $f(z)$ in $z=0$. La cosa non deve destare sopresa in quanto esistono almeno due funzioni $f(z)$ che sul cerchio unitario assumono il valore dato dalla (1). Queste sono...
$f(z)=1/z$ e $f(z)=z^*$ (3)
... dove la seconda deve intendersi come 'coniugata di z'. La prima ha una singolarità in $z=0$ e pertanto non è calcolabile in quel punto, la seconda in $z=0$ vale $0$. Tutto ciò però è scarsamente rilevante in quanto il test preliminare ha stabilito che $f(z)$ non è analitica in $z=0$ e questo ha posto la parole 'fine' a tutto il resto...
Naturalmente a tutto ciò si arriva prendendo per buono quanto ci è stato lasciato in eredità da Cauchy e Laurent. Se questi signori, al pari di Vanna Marchi, hanno raccontato 'bufale' beh allora...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Altra affermazione buttata lì senza adeguata riflessione, cosa che ricorda il noto detto popolare 'prima di aprire bocca assicurati che... etc, etc...'...
Facciamo un esempio semplice e istruttivo, quello che ci vuole per chiarire le idee. Supponiamo di non sapere quanto vale $f(z)$ in $z=0$ ma di sapere che sul cerchio unitario è...
$f(e^(j*w))= e^(-j*w)$ (1)
Applichiamo ora la prima formula di Cauchy, la quale afferma che se $f(z)$ è analitica sui punti del cerchio unitario e in ogni punto interno ad esso deve essere necessariamente ...
$int_C f(z) dz=0$ (2)
Benissimo, applichiamo ora la (2) e otteniamo...
$int_C f(z) dz = j *int_0^(2*pi) e^(j*w)*e^(-j*w) dw= 2*pi*j$ (3)
Dal momento che l'integrale non vale $0$ possiamo concludere che $f(z)$ non è analitica in $z=0$ e la faccenda si chiude qui, nel senso che non mi è consentito arrivare a conoscere quanto vale $f(z)$ in $z=0$. La cosa non deve destare sopresa in quanto esistono almeno due funzioni $f(z)$ che sul cerchio unitario assumono il valore dato dalla (1). Queste sono...
$f(z)=1/z$ e $f(z)=z^*$ (3)
... dove la seconda deve intendersi come 'coniugata di z'. La prima ha una singolarità in $z=0$ e pertanto non è calcolabile in quel punto, la seconda in $z=0$ vale $0$. Tutto ciò però è scarsamente rilevante in quanto il test preliminare ha stabilito che $f(z)$ non è analitica in $z=0$ e questo ha posto la parole 'fine' a tutto il resto...
Naturalmente a tutto ciò si arriva prendendo per buono quanto ci è stato lasciato in eredità da Cauchy e Laurent. Se questi signori, al pari di Vanna Marchi, hanno raccontato 'bufale' beh allora...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Per stan: tieni ben presente che all'esame, pena sicuro insuccesso, non devi neppur minimamente acennare a quanto asserito in questo post da lupo grigio [noto eretico che quanto prima riceverà giusta ed esemplare punizione ...]. Il giorno dopo l'esame [the day after] si vedrà... tieni comunque ben presente che se l'università italiana nella classifica internazionale viene ora dopo paesi come il Botswana e lo Zimbawe qualche ragione ci dovrà pur essere
cordiali saluti
lupo grigio
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...]. Il giorno dopo l'esame [the day after] si vedrà... tieni comunque ben presente che se l'università italiana nella classifica internazionale viene ora dopo paesi come il Botswana e lo Zimbawe qualche ragione ci dovrà pur essere cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Sia:
$ f(x) = {(1 \qquad x \in \mathbb{Q}),(x \qquad x \in \mathbb{R}\\ \mathbb{Q}):} $
questa bella funzione gode della simpatica proprietà di essere discontinua ovunque a parte che nel punto $1$. Questa funzione è quando di più diverso da una funzione analitica che mi è venuto in mente.
Sia:
$ g(z)=f(r)e^{j\theta} $
dove:
$ z = r e^{j\theta} $
studiamo un po' questa funzione particolare:
$ \int_{C_r} g(z) z^kdz = 1/(2\pi) f(r) \int_{0}^{2\pi) e^{j(k+1)\theta} d\theta = 0 \qquad \forall k\geq 0 , \ \forall r > 0$
quindi $g(z)$ è analitica in 0?!? Io direi proprio di no... Non solo è ivi discontinua, ma è perfino difficile calcolarne il limite fissata una direzione... tra l'altro notare che $g(z)$ è continua quasi ovunque....
Per concludere: potrei anche aver sbatliato tutti questi pochi conti e l'esempio essere cannato, ma l'idea che si possa stabilire che una funzione é continua e di più analitica in un punto studiandola su un'altra regione e senza altra condizione mi sembra assurda: secondo me il th. di Laurent non é qui applicato in maniera corretta...
$ f(x) = {(1 \qquad x \in \mathbb{Q}),(x \qquad x \in \mathbb{R}\\ \mathbb{Q}):} $
questa bella funzione gode della simpatica proprietà di essere discontinua ovunque a parte che nel punto $1$. Questa funzione è quando di più diverso da una funzione analitica che mi è venuto in mente.
Sia:
$ g(z)=f(r)e^{j\theta} $
dove:
$ z = r e^{j\theta} $
studiamo un po' questa funzione particolare:
$ \int_{C_r} g(z) z^kdz = 1/(2\pi) f(r) \int_{0}^{2\pi) e^{j(k+1)\theta} d\theta = 0 \qquad \forall k\geq 0 , \ \forall r > 0$
quindi $g(z)$ è analitica in 0?!? Io direi proprio di no... Non solo è ivi discontinua, ma è perfino difficile calcolarne il limite fissata una direzione... tra l'altro notare che $g(z)$ è continua quasi ovunque....
Per concludere: potrei anche aver sbatliato tutti questi pochi conti e l'esempio essere cannato, ma l'idea che si possa stabilire che una funzione é continua e di più analitica in un punto studiandola su un'altra regione e senza altra condizione mi sembra assurda: secondo me il th. di Laurent non é qui applicato in maniera corretta...
"david_e":
ma l'idea che si possa stabilire che una funzione é continua e di più analitica in un punto studiandola su un'altra regione e senza altra condizione mi sembra assurda...
Non vorrei intervenire a sproposito ma mi è venuta in mente una cosa che riguarda appunto calcolare una funzione in un punto conoscendone i valori in altri punti
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=9299
in questo caso conoscendone i valori per l'argomento $in NN$.
"carlo23":
[quote="david_e"]
ma l'idea che si possa stabilire che una funzione é continua e di più analitica in un punto studiandola su un'altra regione e senza altra condizione mi sembra assurda...
Non vorrei intervenire a sproposito ma mi è venuta in mente una cosa che riguarda appunto calcolare una funzione in un punto conoscendone i valori in altri punti
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=9299
in questo caso conoscendone i valori per l'argomento $in NN$.[/quote]
Si certo esistono numerosi risultati grazie ai quali si riduce l'informazione sul continuo a quella sul discreto ad esempio la serie di Fourier o quella qui citata di Laurent... tuttavia sono risultati che non valgono in generale senza ipotesi, ma richiedono comunque la conoscenza di alcune proprietà generali della funzione per poter essere applicati. Qui si dice che la conoscenza della funzione sulle circonferenze garantisce la conoscenza delle proprietà della funzione... per me è assolutamente contro-intuitivo. Soprattutto quando si parla di proprietà intrinsecamente locali come continuità o derivabilità in un punto che sono "mascherate" negli altri punti....
"david_e":
Sia:
$ f(x) = {(1 \qquad x \in \mathbb{Q}),(x \qquad x \in \mathbb{R}\\ \mathbb{Q}):} $
questa bella funzione gode della simpatica proprietà di essere discontinua ovunque a parte che nel punto $1$. Questa funzione è quando di più diverso da una funzione analitica che mi è venuto in mente.
Sia:
$ g(z)=f(r)e^{j\theta} $
dove:
$ z = r e^{j\theta} $
studiamo un po' questa funzione particolare:
$ \int_{C_r} g(z) z^kdz = 1/(2\pi) f(r) \int_{0}^{2\pi) e^{j(k+1)\theta} d\theta = 0 \qquad \forall k\geq 0 , \ \forall r > 0$
quindi $g(z)$ è analitica in 0?!? Io direi proprio di no... Non solo è ivi discontinua, ma è perfino difficile calcolarne il limite fissata una direzione... tra l'altro notare che $g(z)$ è continua quasi ovunque....
Per concludere: potrei anche aver sbatliato tutti questi pochi conti e l'esempio essere cannato, ma l'idea che si possa stabilire che una funzione é continua e di più analitica in un punto studiandola su un'altra regione e senza altra condizione mi sembra assurda: secondo me il th. di Laurent non é qui applicato in maniera corretta...
Non mi sembra che si possa portare $f(r)$ fuori dall'integrale così... in effetti se $z= re^(jtheta)$, $g(z)=f(re^(jtheta))$ e non solo $f(r)$... se no la stessa cosa si potrebbe fare per una funzione qualsiasi e il risultato sarebbe sempre lo stesso...
Credo che ormai sia diventata una inutile polemica. Non c'è peggior sordo di chi non vuole sentire.
Continua a restare in errore se è questo che vuoi, tanto alla fine sei tu che stai sbagliando, a questo punto me ne lavo le mani; tu stesso hai detto di esserti fermato ai tempi di Cauchy, ed è vero infatti, anche Cauchy non sapeva per bene come si trattasse la definizione di funzione, e verosimilmente commetteva i tuoi stessi sbagli. Ma oggi lo sappiamo, e sappiamo correggerci, per cui sei rimasto indietro, cerca di recuperare...
Mi viene solo da pensare che se al mio esame orale di Analisi complessa avessi detto che $(sen z)/z$ è analitica in $z=0$, probabilmente mi avrebbe dato un 18, o forse, conoscendo il professore, mi avrebbe mandato anche a casa. In Matematica non conta solo il calcolo, conta anche come uno dice le cose, ed uno deve imparare a dirle nel modo corretto.
Continua a restare in errore se è questo che vuoi, tanto alla fine sei tu che stai sbagliando, a questo punto me ne lavo le mani; tu stesso hai detto di esserti fermato ai tempi di Cauchy, ed è vero infatti, anche Cauchy non sapeva per bene come si trattasse la definizione di funzione, e verosimilmente commetteva i tuoi stessi sbagli. Ma oggi lo sappiamo, e sappiamo correggerci, per cui sei rimasto indietro, cerca di recuperare...
Mi viene solo da pensare che se al mio esame orale di Analisi complessa avessi detto che $(sen z)/z$ è analitica in $z=0$, probabilmente mi avrebbe dato un 18, o forse, conoscendo il professore, mi avrebbe mandato anche a casa. In Matematica non conta solo il calcolo, conta anche come uno dice le cose, ed uno deve imparare a dirle nel modo corretto.
Non ho capito la tua obbiezione Arkon $g(z)$ è già assegnata in coordinate polari:
$ g(re^{j\theta})=f(r) e^{j\theta}$
per definizione...
$ g(re^{j\theta})=f(r) e^{j\theta}$
per definizione...
La ‘obiezione’ di Arkon non è priva di valore in quanto nella impostazione [un poco singolare in verità…] data da David[e] $z$ non è una variabile indipendente ma essa stessa è funzione di $r$ e $theta$ in quanto è…
$z= r * e^(j*theta)$ (1)
Ora questo fa sì che l’integrale sia in effetti un integrale doppio e tutto quanto diventa più difficile. In realtà non era necessario arrampicarsi sugli specchi con funzioni particolarmente ‘fantasiose’ per svelare un punto debole nella impostazione da me data al problema. Proviamo infatti a considerare la ‘semplice’ funzione ‘modulo-quadrato’, vale a dire…
$f(z)= |z|^2 = z*z^(*)$ (2)
Che essa non ha derivata, e di conseguenza non è funzione analitica, in nessun punto del piano complesso ad eccezione di $z=0$ lo si verifica abbastanza agevolmente considerando la definizione di derivata complessa, ossia…
$d/(dz)*f(z) = lim_(delta z ->0) (f(z+delta z)-f(z))/(delta z)$ (3)
Posto $z=x+j*y$ e $delta z=delta x+j*delta y$ con facili passaggi si ottiene…
$d/(dz)*f(z)= lim_(delta x+j*delta y ->0) (2*x*delta x+delta x^2+2*y*delta y+delta y^2)/(delta x+j*delta y)$ (4)
La funzione ammette derivata se il limite (4) è indipendente dal modo in cui $delta z$ tende a zero. Sfortunatamente si trova che, ad esempio, se impongo $delta y=0$ è…
$lim_(delta x->0) d/(dz)*f(z)= 2*x$ (5)
… e se impongo $delta x=0$ è…
$lim_(delta y->0) d/(dz)*f(z)=-2*j*y$ (6)
La (2) pertanto non ammette derivate e pertanto non è analitica. Se però procedo con il test da me proposto e sul cerchio unitario centrato in $z=0$ vado a calcolare l’integrale…
$int_C f(z) *z^k *dz$ (7)
... scopro che esso è nullo per tutti i valori di $k$ non negativi. In effetti la funzione banale $f(z)=1$ [certamente analitica…] sul cerchio unitario assume gli stessi valori della $f(z)$ data e pertanto è indistinguibile da essa. Ciò vuol dire che il fatto che l’integrale (7) sia nullo per tutti le $k$ non negative costituisce condizione solo necessaria perché $f(z)$ sia analitica. Certo costituisce una estensione della prima formula di Cauchy, ma una condizione necessaria e sufficiente ancora la si deve trovare. Non disperiamo ragazzi, la sfida è solo all’inizio!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$z= r * e^(j*theta)$ (1)
Ora questo fa sì che l’integrale sia in effetti un integrale doppio e tutto quanto diventa più difficile. In realtà non era necessario arrampicarsi sugli specchi con funzioni particolarmente ‘fantasiose’ per svelare un punto debole nella impostazione da me data al problema. Proviamo infatti a considerare la ‘semplice’ funzione ‘modulo-quadrato’, vale a dire…
$f(z)= |z|^2 = z*z^(*)$ (2)
Che essa non ha derivata, e di conseguenza non è funzione analitica, in nessun punto del piano complesso ad eccezione di $z=0$ lo si verifica abbastanza agevolmente considerando la definizione di derivata complessa, ossia…
$d/(dz)*f(z) = lim_(delta z ->0) (f(z+delta z)-f(z))/(delta z)$ (3)
Posto $z=x+j*y$ e $delta z=delta x+j*delta y$ con facili passaggi si ottiene…
$d/(dz)*f(z)= lim_(delta x+j*delta y ->0) (2*x*delta x+delta x^2+2*y*delta y+delta y^2)/(delta x+j*delta y)$ (4)
La funzione ammette derivata se il limite (4) è indipendente dal modo in cui $delta z$ tende a zero. Sfortunatamente si trova che, ad esempio, se impongo $delta y=0$ è…
$lim_(delta x->0) d/(dz)*f(z)= 2*x$ (5)
… e se impongo $delta x=0$ è…
$lim_(delta y->0) d/(dz)*f(z)=-2*j*y$ (6)
La (2) pertanto non ammette derivate e pertanto non è analitica. Se però procedo con il test da me proposto e sul cerchio unitario centrato in $z=0$ vado a calcolare l’integrale…
$int_C f(z) *z^k *dz$ (7)
... scopro che esso è nullo per tutti i valori di $k$ non negativi. In effetti la funzione banale $f(z)=1$ [certamente analitica…] sul cerchio unitario assume gli stessi valori della $f(z)$ data e pertanto è indistinguibile da essa. Ciò vuol dire che il fatto che l’integrale (7) sia nullo per tutti le $k$ non negative costituisce condizione solo necessaria perché $f(z)$ sia analitica. Certo costituisce una estensione della prima formula di Cauchy, ma una condizione necessaria e sufficiente ancora la si deve trovare. Non disperiamo ragazzi, la sfida è solo all’inizio!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Veramente c'è il Teorema di Morera che afferma che se $f$ è definita su un aperto $A$ di $C$ e tale che la $1$-forma $fdz$ è chiusa, allora $f$ è olomorfa.
Ragazzi
sono or ora ritornato in treno da Trieste [dove ero stato anche lo scorso fine settimana... ma questa è un'altra storia...] e subito ho capito di aver fatto un errore 'calcistico' ...
Eh sì... perchè anche chi si intende poco di calcio, guardando la tv in questi giorni, avrà certamente capito una delle regole d'oro di quello sport: quando hai pa palla buona calciala subito... altrimenti qualcuno si sicuro ti 'anticipa'...
Così è successo a me... pur avendo una 'palla goal' sul piede [il citato teorema di Morera...] ho 'cincischiato' aspettando il lunedì e così sono stato 'anticipato'... e poco mi vale la consolazione che quella di Luca non sembra proprio essere 'farina del suo sacco', bensì un 'suggerimento' arrivatogli da qualche 'collega' a titolo di 'solidarietà'
Pazienza ragazzi!... ci rivediamo domani per parlare, tra l'altro, di Giacinto Morera [sì... un italiano!...
] e del suo teorema...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
sono or ora ritornato in treno da Trieste [dove ero stato anche lo scorso fine settimana... ma questa è un'altra storia...] e subito ho capito di aver fatto un errore 'calcistico' ...
Eh sì... perchè anche chi si intende poco di calcio, guardando la tv in questi giorni, avrà certamente capito una delle regole d'oro di quello sport: quando hai pa palla buona calciala subito... altrimenti qualcuno si sicuro ti 'anticipa'...
Così è successo a me... pur avendo una 'palla goal' sul piede [il citato teorema di Morera...] ho 'cincischiato' aspettando il lunedì e così sono stato 'anticipato'... e poco mi vale la consolazione che quella di Luca non sembra proprio essere 'farina del suo sacco', bensì un 'suggerimento' arrivatogli da qualche 'collega' a titolo di 'solidarietà'
Pazienza ragazzi!... ci rivediamo domani per parlare, tra l'altro, di Giacinto Morera [sì... un italiano!...
] e del suo teorema... cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Adesso stai esagerando Lupo grigio, potrei anche offendermi, fino ad adesso ho cercato di restare calmo, ma fai attenzione a quello che dici.
Per lo più credo di essere abbastanza preparato in Analisi e Geometria complessa, è anche uno dei miei campi di ricerca; la stessa cosa a quanto sembra non vale per te. Se conoscevi il Teorema di Morera perchè non l'hai citato subito?
Per lo più credo di essere abbastanza preparato in Analisi e Geometria complessa, è anche uno dei miei campi di ricerca; la stessa cosa a quanto sembra non vale per te. Se conoscevi il Teorema di Morera perchè non l'hai citato subito?
Ragazzi
a quanto pare c’è qualcuno assai facile ad scomporsi!… Da ora in poi ragazzi quindi basta ‘battutine’ e se vorremo ‘ridere un poco’ [scopo del presente thread...] occorrerà ridere ‘sotto i baffi’ [per chi di voi ce li ha ragazzi … per le ragazze… boh!… non so che cosa consigliare…
]
Allora la domanda è: se conoscevi il teorema di Morera perché non lo hai citato?… Dal momento che una risposta ‘esaudiente’ a questa domanda potrebbe essere ‘mal intepretata’, mi si consenta prima di fare una indispensabile ‘digressione’…
La ‘digressione’ prende spunto da un ‘nuovo elemento’ comparso all’improvviso sulla scena senza che fosse prima presentato: la ‘funzione olomorfa’. Che cos’è?… La definizione è la seguente…
Una funzione $f(z)$ definita su un dominio $D$ del piano complesso si dice olomorfa su $D$ se per ogni punto $z$ di $D$ esiste la derivata complessa $f’(z)$
Benissimo… e allora che differenza vi è con la ‘funzione analitica’?…Nessuna!… I termini ‘olomorfa’ e ‘analitica’, riferiti ad una funzione di variabile complessa, sono sinonimi. E allora, magari chiederete, perché mai usare due terminologie e ingenerare così confusione?… Oh nel caso specifico il motivo di questa ‘stranezza’, stando a quanto si legge in http://mathworld.wolfram.com/ è quanto mai ‘banale’: i matematici usano il termine ‘funzione olomorfa’ per distinguersi da fisici, ingegneri e ‘autori di vecchi testi’, i quali invece utilizzano il termine ‘funzione analitica’. Chiaro no?… Spero mi si voglia perdonare se, non tanto perchè ingegnere quanto perché ‘lettore di vecchi testi’, continuerò ad usare il termine ‘funzione analitica’. L’importante è aver eliminato questa ‘fonte di confusione’ . Il problema è che, esaminando testi di autori differenti [o magari dello stesso autore…], di queste ‘fonti di confusione’ ne saltano fuori altre e non sempre è agevole raccapezzarsi. Questo e non altro è il motivo per il quale non ho citato subito il teorema di Morera. Prima di esso ritengo [in tutta modestia naturalmente…] sia il caso di cercare di sfrondare un poco di questa ‘confusione’ per cercare di arrivare a conclusioni ‘sicure’ e [si spera…] ‘condivisibili’…
Ragazzi, per concretare la cosa deviamo un poco di stabilire delle premesse sicure sulle quali poi non si debba tornare. La prima riguarda lo sviluppo di una funzione analitica in serie di potenze, cioè una espressione del tipo…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n* (z-a)^n = a_0 + a_1*(z-a)+a_2*(z-a)^2+…+a_n* (z-a)^n+…$ (1)
Proprietà fondamentale di una serie di potenze è che converge in tutti all’interno di un cerchio [ chiamato appunto ‘cerchio di convergenza’…] ossia per…
$|z-a| < R$ (2)
Se nella (1) si pone $z-a=u$ è evidente ci si riduce ad una espressione del tipo…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n * u^n$ (3)
… ossia ad una serie di potenze convergente entro un cerchio di raggio $R$ centrato in $u=0$. Per questa ragione, ogni volta che sarà possibile farlo, per semplificare le cose procederemo così…
a) ci riferiremo ad una serie di potenze convergente in un intorno circolare del punto $z=0$
b) integrali di linea saranno [salvo diversamente specificato…] calcolati lungo un percorso circolare di raggio $r$ centrato in $z=0$, ossia…
$int_C f(z)*dz = j*r*int_0^(2pi) f(r*e^(jw))* e^(jw)*dw$ (4)
Infine supporremo vero quanto segue…
c) se si conoscono i coefficienti $a_n$, una funzione analitica di variabile complessa in tutti i punti interni ad un cerchio di raggio $R$ centrato in $z=a$ è calcolabile come serie di potenze in conformità con la (1). Il dominio D della funzione coincide con i punti interni al cerchio di convergenza
d) se si conosce il valore della funzione e di tutte le sue derivate in $z=a$, i coefficienti della (1) sono dati da…
$a_n= (f^((n)) (a))/(n!)$ (5)
A risentirci presto!… cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
a quanto pare c’è qualcuno assai facile ad scomporsi!… Da ora in poi ragazzi quindi basta ‘battutine’ e se vorremo ‘ridere un poco’ [scopo del presente thread...] occorrerà ridere ‘sotto i baffi’ [per chi di voi ce li ha ragazzi … per le ragazze… boh!… non so che cosa consigliare…
]Allora la domanda è: se conoscevi il teorema di Morera perché non lo hai citato?… Dal momento che una risposta ‘esaudiente’ a questa domanda potrebbe essere ‘mal intepretata’, mi si consenta prima di fare una indispensabile ‘digressione’…
La ‘digressione’ prende spunto da un ‘nuovo elemento’ comparso all’improvviso sulla scena senza che fosse prima presentato: la ‘funzione olomorfa’. Che cos’è?… La definizione è la seguente…
Una funzione $f(z)$ definita su un dominio $D$ del piano complesso si dice olomorfa su $D$ se per ogni punto $z$ di $D$ esiste la derivata complessa $f’(z)$
Benissimo… e allora che differenza vi è con la ‘funzione analitica’?…Nessuna!… I termini ‘olomorfa’ e ‘analitica’, riferiti ad una funzione di variabile complessa, sono sinonimi. E allora, magari chiederete, perché mai usare due terminologie e ingenerare così confusione?… Oh nel caso specifico il motivo di questa ‘stranezza’, stando a quanto si legge in http://mathworld.wolfram.com/ è quanto mai ‘banale’: i matematici usano il termine ‘funzione olomorfa’ per distinguersi da fisici, ingegneri e ‘autori di vecchi testi’, i quali invece utilizzano il termine ‘funzione analitica’. Chiaro no?… Spero mi si voglia perdonare se, non tanto perchè ingegnere quanto perché ‘lettore di vecchi testi’, continuerò ad usare il termine ‘funzione analitica’. L’importante è aver eliminato questa ‘fonte di confusione’ . Il problema è che, esaminando testi di autori differenti [o magari dello stesso autore…], di queste ‘fonti di confusione’ ne saltano fuori altre e non sempre è agevole raccapezzarsi. Questo e non altro è il motivo per il quale non ho citato subito il teorema di Morera. Prima di esso ritengo [in tutta modestia naturalmente…] sia il caso di cercare di sfrondare un poco di questa ‘confusione’ per cercare di arrivare a conclusioni ‘sicure’ e [si spera…] ‘condivisibili’…
Ragazzi, per concretare la cosa deviamo un poco di stabilire delle premesse sicure sulle quali poi non si debba tornare. La prima riguarda lo sviluppo di una funzione analitica in serie di potenze, cioè una espressione del tipo…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n* (z-a)^n = a_0 + a_1*(z-a)+a_2*(z-a)^2+…+a_n* (z-a)^n+…$ (1)
Proprietà fondamentale di una serie di potenze è che converge in tutti all’interno di un cerchio [ chiamato appunto ‘cerchio di convergenza’…] ossia per…
$|z-a| < R$ (2)
Se nella (1) si pone $z-a=u$ è evidente ci si riduce ad una espressione del tipo…
$sum_(n=0)^(+oo) a_n * u^n$ (3)
… ossia ad una serie di potenze convergente entro un cerchio di raggio $R$ centrato in $u=0$. Per questa ragione, ogni volta che sarà possibile farlo, per semplificare le cose procederemo così…
a) ci riferiremo ad una serie di potenze convergente in un intorno circolare del punto $z=0$
b) integrali di linea saranno [salvo diversamente specificato…] calcolati lungo un percorso circolare di raggio $r$ centrato in $z=0$, ossia…
$int_C f(z)*dz = j*r*int_0^(2pi) f(r*e^(jw))* e^(jw)*dw$ (4)
Infine supporremo vero quanto segue…
c) se si conoscono i coefficienti $a_n$, una funzione analitica di variabile complessa in tutti i punti interni ad un cerchio di raggio $R$ centrato in $z=a$ è calcolabile come serie di potenze in conformità con la (1). Il dominio D della funzione coincide con i punti interni al cerchio di convergenza
d) se si conosce il valore della funzione e di tutte le sue derivate in $z=a$, i coefficienti della (1) sono dati da…
$a_n= (f^((n)) (a))/(n!)$ (5)
A risentirci presto!… cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Non hai risposto alla mia domanda: perchè non l'hai citato subito, invece di dire "una condizione necessaria e sufficiente è ancora da trovare"?
Io ti dico perchè non l'ho citato subito: tutte le sbrodolate inutili che scrivi non le leggo nemmeno, mi basta leggere le conclusioni a cui arrivi, conclusioni palesemente errate viste le condizioni iniziali che dai poco chiare.
Quando in Matematica si assegna una funzione si danno:
1) dominio
2) codominio
3) come opera la funzione sul dominio.
Quindi al tuo prossimo tema, cerca di attenerti a questo, e quando dai una funzione precisa tutto come si deve.
Io ti dico perchè non l'ho citato subito: tutte le sbrodolate inutili che scrivi non le leggo nemmeno, mi basta leggere le conclusioni a cui arrivi, conclusioni palesemente errate viste le condizioni iniziali che dai poco chiare.
Quando in Matematica si assegna una funzione si danno:
1) dominio
2) codominio
3) come opera la funzione sul dominio.
Quindi al tuo prossimo tema, cerca di attenerti a questo, e quando dai una funzione precisa tutto come si deve.
Mi auguro che questo dibattito possa continuare in modo diverso, senza attacchi e illazioni personali.
Spegnamo i toni personalistici, a tutto vantaggio della Matematica e di chi vi legge!
Spegnamo i toni personalistici, a tutto vantaggio della Matematica e di chi vi legge!
Sono assai lieto di aderire all’invito di Camillo anche se, volendo essere sincero, l’espressione da lui usata ‘a tutto vantaggio della Matematica’ mi sembra decisamente… come dire… ‘sproporzionata’ all’entità della ‘discussione’ in oggetto…
Ricapitolando per quello che riguarda la ‘definizione’ di una funzione analitica si procederà come segue…
a) una funzione analitica $f(z)$ è, all’interno del suo dominio, sempre esprimibile come…
$f(z)= sum_(n=0)^(+oo) a_n * (z-a)^n$ (1)
Il dominio della $f(z)$ espressa dalla (1) è un cerchio centrato in $z=a$ e di raggio $R$. Se la serie (1) è convergente per tutti i valori di $z$ del piano complesso si dirà che la serie (1) ha raggio di convergenza infinito. Se si conoscono gli $a_n$ il calcolo della (1) è immediato…
b) se non si conoscono gli $a_n$ che caratterizzano una funzione analitica ma si sa che la $f(z)$ è analitica all’interno e sui punti di un cerchio di raggio $r$ centrato in $z=a$, gli $a_n$ sono calcolabili con la relazione…
$a_n= 1/(2*pi*j)*int_C (f(z))/((z-a)^(n+1)) dz$ (2)
La formula (2) è conseguenza evidente della combinazione del secondo e terzo integrale di Cauchy e della definizione delle $a_n$ nella (1) che qui ricordiamo…
$a_n= (f^((n)) (a))/(n!)$ (3)
Bene ragazzi, ora che abbiamo gli strumenti idonei proviamo ad usarli cominciando da una classe di funzioni assai interessanti: le cosiddette ‘funzioni meromorfe’. Un esaudiente esame di questo tipo di funzioni lo potete trovare in http://mathworld.wolfram.com/MeromorphicFunction.html. Qui ne daremo una versione un poco differente, più adatta al nostro scopo che è quello di ‘semplificare le cose’…
Supponiamo di avere una funzione $f(z)$ analitica su un dominio D tale che $f(a)=0$, ossia $a$ è uno ‘zero’ di $f(z)$. In tal caso dalla (1) è facile dedurre che $a_0=0$ e che $f(z)$ può essere scritta come…
$f(z)= (z-a)^p* f^*(z)$ (4)
… con $p$ intero $>0$ e $f^*(z)$ tale che $f^*(a) ne0$. L’intero $p$ che compare nella (4) è per definizione il minimo intero per cui vale la relazione $a_p ne0$. Siano ora $f(z)$ e $g(z)$ due funzioni analitiche su un identico dominio D, tali per cui in uno stesso punto $a$ interno a D sia…
$f(a)=g(a)=0$ (5)
Consideriamo ora la ‘funzione fratta’…
$h(z)= (f(z))/(g(z))$ (6)
Ponendo...
$f(z)=(z-a)^p*f^*(z)$
$g(z)=(z-a)^q*g^*(z)$ (7)
... si ha...
$h(z) = (f(z))/(g(z)) = (z-a)^(p-q)*(f^*(z))/(g^*(z))$ (8)
E’ facile vedere che $h^*(z)=(f^*(z))/(g^*(z))$ è analitica in $a$ ed è $h^*(a) ne0$. Si hanno ora tre casi…
a) $p>q$. Allora $h(z)$ è analitica in $a$ ed è $h(a)=0$
b) $p=q$.Allora $h(z)$ è analitica in $a$ ed è $h(a)ne0$
c) $p
$lim_(z->a) |h(z)| = +oo$ (8)
Nel caso c) si dice che la funzione $h(z)$ è meromorfa sul dominio D. Utili ed interessanti proprietà delle funzioni meromorfe le potete leggere sul link che vi ho segnalato. In questo modesto e limitato spazio mi limiterei a far notare che, nei casi a) e b) ora trattati, $h(z)=(f(z))/(g(z))$ è una funzione analitica in $a$. Ora è appena il caso di ricordare che le solite ‘funzioni polemiche’ tipo $sin z/z$ [la più ‘polemica’in assoluto…], $(tan^(-1) z)/z$ e altre appartengono alla categoria delle ‘funzioni fratte’ trattata nel caso b) e di conseguenza sono analitiche. Nel prossimo post tenteremo di ricavare per una funzione fratta $h(z)$ che rientra nei casi a) e b) [quindi una funzione analitica…] i coefficienti $a_n$. Prima però mi piacerebbe sentire qualche osservazione…
cordiali saluti
lupo grigio
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Ricapitolando per quello che riguarda la ‘definizione’ di una funzione analitica si procederà come segue…
a) una funzione analitica $f(z)$ è, all’interno del suo dominio, sempre esprimibile come…
$f(z)= sum_(n=0)^(+oo) a_n * (z-a)^n$ (1)
Il dominio della $f(z)$ espressa dalla (1) è un cerchio centrato in $z=a$ e di raggio $R$. Se la serie (1) è convergente per tutti i valori di $z$ del piano complesso si dirà che la serie (1) ha raggio di convergenza infinito. Se si conoscono gli $a_n$ il calcolo della (1) è immediato…
b) se non si conoscono gli $a_n$ che caratterizzano una funzione analitica ma si sa che la $f(z)$ è analitica all’interno e sui punti di un cerchio di raggio $r$ centrato in $z=a$, gli $a_n$ sono calcolabili con la relazione…
$a_n= 1/(2*pi*j)*int_C (f(z))/((z-a)^(n+1)) dz$ (2)
La formula (2) è conseguenza evidente della combinazione del secondo e terzo integrale di Cauchy e della definizione delle $a_n$ nella (1) che qui ricordiamo…
$a_n= (f^((n)) (a))/(n!)$ (3)
Bene ragazzi, ora che abbiamo gli strumenti idonei proviamo ad usarli cominciando da una classe di funzioni assai interessanti: le cosiddette ‘funzioni meromorfe’. Un esaudiente esame di questo tipo di funzioni lo potete trovare in http://mathworld.wolfram.com/MeromorphicFunction.html. Qui ne daremo una versione un poco differente, più adatta al nostro scopo che è quello di ‘semplificare le cose’…
Supponiamo di avere una funzione $f(z)$ analitica su un dominio D tale che $f(a)=0$, ossia $a$ è uno ‘zero’ di $f(z)$. In tal caso dalla (1) è facile dedurre che $a_0=0$ e che $f(z)$ può essere scritta come…
$f(z)= (z-a)^p* f^*(z)$ (4)
… con $p$ intero $>0$ e $f^*(z)$ tale che $f^*(a) ne0$. L’intero $p$ che compare nella (4) è per definizione il minimo intero per cui vale la relazione $a_p ne0$. Siano ora $f(z)$ e $g(z)$ due funzioni analitiche su un identico dominio D, tali per cui in uno stesso punto $a$ interno a D sia…
$f(a)=g(a)=0$ (5)
Consideriamo ora la ‘funzione fratta’…
$h(z)= (f(z))/(g(z))$ (6)
Ponendo...
$f(z)=(z-a)^p*f^*(z)$
$g(z)=(z-a)^q*g^*(z)$ (7)
... si ha...
$h(z) = (f(z))/(g(z)) = (z-a)^(p-q)*(f^*(z))/(g^*(z))$ (8)
E’ facile vedere che $h^*(z)=(f^*(z))/(g^*(z))$ è analitica in $a$ ed è $h^*(a) ne0$. Si hanno ora tre casi…
a) $p>q$. Allora $h(z)$ è analitica in $a$ ed è $h(a)=0$
b) $p=q$.Allora $h(z)$ è analitica in $a$ ed è $h(a)ne0$
c) $p
$lim_(z->a) |h(z)| = +oo$ (8)
Nel caso c) si dice che la funzione $h(z)$ è meromorfa sul dominio D. Utili ed interessanti proprietà delle funzioni meromorfe le potete leggere sul link che vi ho segnalato. In questo modesto e limitato spazio mi limiterei a far notare che, nei casi a) e b) ora trattati, $h(z)=(f(z))/(g(z))$ è una funzione analitica in $a$. Ora è appena il caso di ricordare che le solite ‘funzioni polemiche’ tipo $sin z/z$ [la più ‘polemica’in assoluto…], $(tan^(-1) z)/z$ e altre appartengono alla categoria delle ‘funzioni fratte’ trattata nel caso b) e di conseguenza sono analitiche. Nel prossimo post tenteremo di ricavare per una funzione fratta $h(z)$ che rientra nei casi a) e b) [quindi una funzione analitica…] i coefficienti $a_n$. Prima però mi piacerebbe sentire qualche osservazione…
cordiali saluti
lupo grigio
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