Giusto per ridere un poco...
ragazzi
qualche giorno fa l’utente Stefano [presumo sia il suo vero nome…] ha proposto una equazione differenziale che ha dato luogo a considerazioni [almeno dal mio punto di vista…] assai interessanti. L’equazione [del primo ordine…] era la seguente…
$x*y’=cos^2(xy)-y$ (1 )
Non erano poste ‘condizioni iniziali’ e sul momento la cosa non sembrava dar luogo a difficoltà. La soluzione generale non è difficile da trovare e in forma implicita è data da…
$tan(xy)=x+c$ (2)
… ove c è la solita ‘costante arbitraria’. Con una semplice verifica si trova che ogni funzione y(x) che soddisfa la (2) soddisfa anche la (1) qualunque sia il valore della costante c. Dalla (2) di ottiene facilmente l’espressione esplicita di $y(x)$ che è…
$y(x)= (tan^(-1) (x+c))/x$ (3)
Fin qui naturalmente è tutto ok. Qualche problema tuttavia sussiste quando si tratta di fissare il valore della costante c partendo da una qualche ‘condizione iniziale’, ossia imporre che per un certo $xo$ sia $y(xo)=yo$. Una prima difficoltà sembra essere legata al fatto che la funzione arcotangente ha valori compresi tra $-pi/2$ e $pi/2$, ma questa in fondo è superabile considerando che la funzione stessa è definita a meno di un qualsiasi multiplo intero di $pi$. Decisamente più critico invece sembra essere il caso in cui sia $xo=0$ , nel qual caso l’unico valore possibile per la funzione è $y(0)=1$ il che impone $c=0$ e porta alla soluzione…
$y(x)= (tan^(-1) x)/x$ (4)
Dal momento che nulla vieta nella (3) di porre $c=0$, sembra che la cosa sia ok. Inoltre nel diagramma che segue…
… è del tutto evidente che la funzione espressa dalla (4) non solo vale 1 per $x=0$, ma altresì ha un andamento regolare in tutto e per tutto. Di più, in tutta la famiglia di soluzioni espressa dalla (3), questa è la sola funzione che non presenta singolarità per $x=0$. Anzi nel caso, tutt’altro che raro nella pratica, che il problema espresso dalla (1) richieda una soluzione priva di singolarità, la (4) rappresenta l’unica soluzione accettabile del problema. E allora ragazzi ci si può ben chiedere: ma che vuoi di più dalla vita!…
Eh già!… Il fatto è che, non appena ho postato queste considerazioni, subito [o quasi…] sono partite le ‘contestazioni’ nei termini che qui vedete…
… per x=0 la funzione non è continua, in quanto neppur definita… [Camillo]
… infatti Camillo, mi era sfuggito ‘il solito errore di lupo grigio’... la funzione data si può prolungare per continuità ad x=0, ma per come è scritta non è una funzione definita in x=0, di conseguenza nemmeno continua... [Luca]
… tendo a ribadire che la funzione $y=arctan(x)/x$ non è la soluzione del problema di Cauchy con dato $y(0)=1$… questa funzione non risulta definita in $x=0$ e tra l'altro non ha nemmeno senso porsi nel problema di Cauchy $y(0)=c$, dal momento che nemmeno $f(x,y)$ è definita in $x=0$. Tutte queste ‘scoperte’ sono fatte a posteriori, non seguendo l'enunciato di un teorema ben preciso… [Luca]
… credo poi sia inutile aprire uno spazio per il tuo ‘solito errore’, visto che non mi sembri molto disposto a riconoscere che sbagli… non voglio assolutamente essere polemico, ma credo che il tuo errore sia già stato sottolineato più volte e non solo da me… come dicono: ‘errare è umano, ma perseverare è da diabolici’… [Luca]
Gulp!!!…
per fortuna non siamo più nel Medio Evo, quando i ‘diabolici’ [ossia coloro che erano sospettati di avere ‘rapporti con il demonio’…] finivano sul rogo!!!… mah!… sapete che vi dico ragazzi?… oggi è venerdì, non c’è molto da fare e il ‘diabolico’ [ 
]vuol giusto divertirsi un poco… e qual migliore divertimento vi può essere se non provare a dimostrare vera una ‘eresia’ [tanto i roghi non ci sono più…], non alla c**** di cane si capisce, bensì ‘seguendo l’enunciato di un teorema ben preciso’?… E’ quello che mi impegno a fare da qui a poco, ragazzi… nel frattempo se qualcuno ha qualche osservazione da fare…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
qualche giorno fa l’utente Stefano [presumo sia il suo vero nome…] ha proposto una equazione differenziale che ha dato luogo a considerazioni [almeno dal mio punto di vista…] assai interessanti. L’equazione [del primo ordine…] era la seguente…
$x*y’=cos^2(xy)-y$ (1 )
Non erano poste ‘condizioni iniziali’ e sul momento la cosa non sembrava dar luogo a difficoltà. La soluzione generale non è difficile da trovare e in forma implicita è data da…
$tan(xy)=x+c$ (2)
… ove c è la solita ‘costante arbitraria’. Con una semplice verifica si trova che ogni funzione y(x) che soddisfa la (2) soddisfa anche la (1) qualunque sia il valore della costante c. Dalla (2) di ottiene facilmente l’espressione esplicita di $y(x)$ che è…
$y(x)= (tan^(-1) (x+c))/x$ (3)
Fin qui naturalmente è tutto ok. Qualche problema tuttavia sussiste quando si tratta di fissare il valore della costante c partendo da una qualche ‘condizione iniziale’, ossia imporre che per un certo $xo$ sia $y(xo)=yo$. Una prima difficoltà sembra essere legata al fatto che la funzione arcotangente ha valori compresi tra $-pi/2$ e $pi/2$, ma questa in fondo è superabile considerando che la funzione stessa è definita a meno di un qualsiasi multiplo intero di $pi$. Decisamente più critico invece sembra essere il caso in cui sia $xo=0$ , nel qual caso l’unico valore possibile per la funzione è $y(0)=1$ il che impone $c=0$ e porta alla soluzione…
$y(x)= (tan^(-1) x)/x$ (4)
Dal momento che nulla vieta nella (3) di porre $c=0$, sembra che la cosa sia ok. Inoltre nel diagramma che segue…
… è del tutto evidente che la funzione espressa dalla (4) non solo vale 1 per $x=0$, ma altresì ha un andamento regolare in tutto e per tutto. Di più, in tutta la famiglia di soluzioni espressa dalla (3), questa è la sola funzione che non presenta singolarità per $x=0$. Anzi nel caso, tutt’altro che raro nella pratica, che il problema espresso dalla (1) richieda una soluzione priva di singolarità, la (4) rappresenta l’unica soluzione accettabile del problema. E allora ragazzi ci si può ben chiedere: ma che vuoi di più dalla vita!…
Eh già!… Il fatto è che, non appena ho postato queste considerazioni, subito [o quasi…] sono partite le ‘contestazioni’ nei termini che qui vedete…
… per x=0 la funzione non è continua, in quanto neppur definita… [Camillo]
… infatti Camillo, mi era sfuggito ‘il solito errore di lupo grigio’... la funzione data si può prolungare per continuità ad x=0, ma per come è scritta non è una funzione definita in x=0, di conseguenza nemmeno continua... [Luca]
… tendo a ribadire che la funzione $y=arctan(x)/x$ non è la soluzione del problema di Cauchy con dato $y(0)=1$… questa funzione non risulta definita in $x=0$ e tra l'altro non ha nemmeno senso porsi nel problema di Cauchy $y(0)=c$, dal momento che nemmeno $f(x,y)$ è definita in $x=0$. Tutte queste ‘scoperte’ sono fatte a posteriori, non seguendo l'enunciato di un teorema ben preciso… [Luca]
… credo poi sia inutile aprire uno spazio per il tuo ‘solito errore’, visto che non mi sembri molto disposto a riconoscere che sbagli… non voglio assolutamente essere polemico, ma credo che il tuo errore sia già stato sottolineato più volte e non solo da me… come dicono: ‘errare è umano, ma perseverare è da diabolici’… [Luca]
Gulp!!!…
per fortuna non siamo più nel Medio Evo, quando i ‘diabolici’ [ossia coloro che erano sospettati di avere ‘rapporti con il demonio’…] finivano sul rogo!!!… mah!… sapete che vi dico ragazzi?… oggi è venerdì, non c’è molto da fare e il ‘diabolico’ [ ]vuol giusto divertirsi un poco… e qual migliore divertimento vi può essere se non provare a dimostrare vera una ‘eresia’ [tanto i roghi non ci sono più…], non alla c**** di cane si capisce, bensì ‘seguendo l’enunciato di un teorema ben preciso’?… E’ quello che mi impegno a fare da qui a poco, ragazzi… nel frattempo se qualcuno ha qualche osservazione da fare… cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
Ragazzi
il motivo per cui ho ‘trascurato’ per un po’ questo thread vi sarà chiaro tra poco. La verità è che sono andato alla ricerca di un ‘qualcosa’ che sapevo esisteva da qualche parte e che è indispensabile per continuare il discorso iniziato a proposito della funzione gamma. Come dice un saggio proverbio ‘chi cerca trova’ [nella fattispecie anche grazie all’aiuto di uno di voi che ringrazio sentitamente…] e così eccoci di nuovo qui…
Quando ci eravamo lasciati eravamo riusciti a scrivere i primi due termini dello sviluppo di Taylor della funzione gamma…
$gamma(x)= 1-gamma*x+…$ (1)
… dove $gamma$ è la costante di Eulero, che vale…
$gamma=.577215664901…$ (2)
Dal momento che due soli termini non bastano al calcolo preciso della funzione, il prossimo step consisterà nel calcolare le derivate successive della funzione nel punto $x=0$. Ricordando la definizione della funzione…
$gamma(x)= int_0^(+oo) t^x*e^(-t)*dt$ (3)
... si trova senza troppo penare che …
$(d^n)/(dx^n) gamma (x)= int_0^(+oo) t^x*ln^n t*e^(-t)*dt$ (4)
... per cui è…
$gamma^((n)) (0)= int_0^(+oo) ln^n t*e^(-t)*dt$ (5)
Il caso con $n=1$ è già non proprio una passeggiata ed è stato affrontato la scorsa puntata scomodando una signora non certo ‘disponibile al primo venuto’, la funzione integralesponenziale. Ora che occorre andare oltre però prudenza suggerisce di non tentare più un [sia pur galante] ‘approccio frontale’, ma di escogitare qualche sorta di ‘aggiramento’…
Rivedendo il calcolo dell’integrale della volta scorsa…
$gamma’(0)= int_0^(+oo) ln t*e^(-t)*dt$ (6)
... ci si accorge di una cosa, vale a dire che è…
$gamma’(0)= L[ln t]_(s=1)$ (7)
... in cui l’operatore $L[f(t)]$ indica la ‘Trasformata di Laplace’…
$L[f(t)]=int_0^(+oo) f(t)*e^(-s*t)*dt$ (8)
Niente di eccezionale, d’accordo, ma proviamo un poco a calcolare la trasformata di $f(t)=ln t$ e vedere se le cose tornano. Allora…
$L[ln t]= int_0^(+oo) ln t*e^(-s*t)*dt$ (9)
Procedendo come la volta scorsa e operando il cambio di variabile $p=s*t$ si trova…
$int_0^(+oo)ln t*e^(-s*t) dt= 1/s*int_0^(+oo) ln (p/s)*e^(-p)*dp$ (10)
Applicando una sola integrazione per parti…
$int ln p/s e^(-p)*dp= -e^(-p)*ln (p/s)+1/s*int(e^(-p))/p*dp$ (11)
Ci troviamo dunque ancora una volta con la funzione integralesponenziale e, approfittando ancora una volta della sua ‘disponibilità’, troviamo alla fine il risultato voluto…
$int_0^(+oo) ln t*e^(-s*t)*dt= lim_(x->0) 1/s*(e^(-x)*ln (x/s)-gamma- ln (x/s))=$
$=lim_(x->0) 1/s*((e^(-x)-1) (ln x-ln s)-gamma)= -(gamma+ln s)/s$ (12)
A questo punto è sufficiente porre $s=1$ nella formula trovata e sostituirla nella (7) per ritrovare…
$gamma’(0)=-gamma$ (13)
Ma allora siamo ancora al punto di prima?… in un certo senso sì… in un certo senso no come vedremo presto…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
il motivo per cui ho ‘trascurato’ per un po’ questo thread vi sarà chiaro tra poco. La verità è che sono andato alla ricerca di un ‘qualcosa’ che sapevo esisteva da qualche parte e che è indispensabile per continuare il discorso iniziato a proposito della funzione gamma. Come dice un saggio proverbio ‘chi cerca trova’ [nella fattispecie anche grazie all’aiuto di uno di voi che ringrazio sentitamente…] e così eccoci di nuovo qui…
Quando ci eravamo lasciati eravamo riusciti a scrivere i primi due termini dello sviluppo di Taylor della funzione gamma…
$gamma(x)= 1-gamma*x+…$ (1)
… dove $gamma$ è la costante di Eulero, che vale…
$gamma=.577215664901…$ (2)
Dal momento che due soli termini non bastano al calcolo preciso della funzione, il prossimo step consisterà nel calcolare le derivate successive della funzione nel punto $x=0$. Ricordando la definizione della funzione…
$gamma(x)= int_0^(+oo) t^x*e^(-t)*dt$ (3)
... si trova senza troppo penare che …
$(d^n)/(dx^n) gamma (x)= int_0^(+oo) t^x*ln^n t*e^(-t)*dt$ (4)
... per cui è…
$gamma^((n)) (0)= int_0^(+oo) ln^n t*e^(-t)*dt$ (5)
Il caso con $n=1$ è già non proprio una passeggiata ed è stato affrontato la scorsa puntata scomodando una signora non certo ‘disponibile al primo venuto’, la funzione integralesponenziale. Ora che occorre andare oltre però prudenza suggerisce di non tentare più un [sia pur galante] ‘approccio frontale’, ma di escogitare qualche sorta di ‘aggiramento’…
Rivedendo il calcolo dell’integrale della volta scorsa…
$gamma’(0)= int_0^(+oo) ln t*e^(-t)*dt$ (6)
... ci si accorge di una cosa, vale a dire che è…
$gamma’(0)= L[ln t]_(s=1)$ (7)
... in cui l’operatore $L[f(t)]$ indica la ‘Trasformata di Laplace’…
$L[f(t)]=int_0^(+oo) f(t)*e^(-s*t)*dt$ (8)
Niente di eccezionale, d’accordo, ma proviamo un poco a calcolare la trasformata di $f(t)=ln t$ e vedere se le cose tornano. Allora…
$L[ln t]= int_0^(+oo) ln t*e^(-s*t)*dt$ (9)
Procedendo come la volta scorsa e operando il cambio di variabile $p=s*t$ si trova…
$int_0^(+oo)ln t*e^(-s*t) dt= 1/s*int_0^(+oo) ln (p/s)*e^(-p)*dp$ (10)
Applicando una sola integrazione per parti…
$int ln p/s e^(-p)*dp= -e^(-p)*ln (p/s)+1/s*int(e^(-p))/p*dp$ (11)
Ci troviamo dunque ancora una volta con la funzione integralesponenziale e, approfittando ancora una volta della sua ‘disponibilità’, troviamo alla fine il risultato voluto…
$int_0^(+oo) ln t*e^(-s*t)*dt= lim_(x->0) 1/s*(e^(-x)*ln (x/s)-gamma- ln (x/s))=$
$=lim_(x->0) 1/s*((e^(-x)-1) (ln x-ln s)-gamma)= -(gamma+ln s)/s$ (12)
A questo punto è sufficiente porre $s=1$ nella formula trovata e sostituirla nella (7) per ritrovare…
$gamma’(0)=-gamma$ (13)
Ma allora siamo ancora al punto di prima?… in un certo senso sì… in un certo senso no come vedremo presto…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ragazzi
siamo oramai alla vigilia del tradizionale ‘lungo weekend’ di inizio dicembre e riprendiamo un poco il discorso iniziato tempo fa ‘giusto per ridere un poco’…
Negli ultimi postati si è da prima definita la ‘sorella minore’ della funzione Gamma [lettera maiuscola] come segue…
$gamma(x)= int_0^(+oo) t^x*e^(-t)*dt$ (1)
... di cui poi si è trovata l’espressione seguente delle sue derivate…
$gamma^((n)) (x)= int_0^(+oo) t^x*ln^n t*e^(-t)*dt$ (2)
In particolare in $x=0$ è…
$gamma^((n)) (0)= int_0^(+oo) ln^n t*e^(-t)*dt$ (3)
Ora vediamo di fare se possibile qualche piccolo progresso. Cominciamo col definire una famiglia di funzioni nella variabile complessa $s$ in questo modo…
$lambda_n(s) = L[ln^n t]= int_0^(+oo) ln^n t*e^(-st)*dt$ (4)
… di modo che è…
$gamma^((n)) (0)= lambda_n(1)$ (5)
Mostriamo ora come trovare le $lambda_n(s)$ in maniera iterativa partendo da $lambda_0(s)= 1/s$. Dalla semplice identità…
$d/dt* t*ln^n t= ln^n t+n*ln^(n-1) t$ (6)
… si deduce che…
$t*ln^n t= int_0^t ln^n u*du + n*int _0^t ln^(n-1) t*dt$ (7)
Facendo ora la L-trasformata di entrambi i membri della della (7) si ha…
$lambda_n^’(s)= -1/s *[lambda_n(s)-n*lambda_(n-1) (s)]$ (8)
La (8) è una equazione differenziale del primo ordine lineare per cui è agevole applicare la formula risolvente. Si trova così…
$lambda_n (s)= 1/s*[c_n-n*int lambda_(n-1) (s)*ds]$ (9)
… dove $c_n$ è una ‘costante arbitraria’ che per il momento non specifichiamo. Applicando la (9) con $n=1$ e $lambda_0=1/s$ si ha…
$lambda_1(s)= 1/s * [c_1-int ds/s]= 1/s*[c_1-ln s]$ (10)
Con $n=2$…
$lambda_2(s)=1/s*[c_2-2*int (c_1-ln s)/s*ds]= 1/s*[c_2-2*c_1*ln s+ln^2 s] (11)
Con un ‘$n$ qualunque’…
$lambda_n(s)= 1/s*sum_(k=0)^(n) (-1)^k*((n),(k))*c_k*ln^k s$ (12)
Non è difficile arrivare a scoprire a questo punto che è…
$c_n=lambda_n(1)= gamma^((n)) (0)$ (13)
In attesa di proseguire il discorso auguro a tutti quanti un buon ‘lungo weekend’!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
siamo oramai alla vigilia del tradizionale ‘lungo weekend’ di inizio dicembre e riprendiamo un poco il discorso iniziato tempo fa ‘giusto per ridere un poco’…
Negli ultimi postati si è da prima definita la ‘sorella minore’ della funzione Gamma [lettera maiuscola] come segue…
$gamma(x)= int_0^(+oo) t^x*e^(-t)*dt$ (1)
... di cui poi si è trovata l’espressione seguente delle sue derivate…
$gamma^((n)) (x)= int_0^(+oo) t^x*ln^n t*e^(-t)*dt$ (2)
In particolare in $x=0$ è…
$gamma^((n)) (0)= int_0^(+oo) ln^n t*e^(-t)*dt$ (3)
Ora vediamo di fare se possibile qualche piccolo progresso. Cominciamo col definire una famiglia di funzioni nella variabile complessa $s$ in questo modo…
$lambda_n(s) = L[ln^n t]= int_0^(+oo) ln^n t*e^(-st)*dt$ (4)
… di modo che è…
$gamma^((n)) (0)= lambda_n(1)$ (5)
Mostriamo ora come trovare le $lambda_n(s)$ in maniera iterativa partendo da $lambda_0(s)= 1/s$. Dalla semplice identità…
$d/dt* t*ln^n t= ln^n t+n*ln^(n-1) t$ (6)
… si deduce che…
$t*ln^n t= int_0^t ln^n u*du + n*int _0^t ln^(n-1) t*dt$ (7)
Facendo ora la L-trasformata di entrambi i membri della della (7) si ha…
$lambda_n^’(s)= -1/s *[lambda_n(s)-n*lambda_(n-1) (s)]$ (8)
La (8) è una equazione differenziale del primo ordine lineare per cui è agevole applicare la formula risolvente. Si trova così…
$lambda_n (s)= 1/s*[c_n-n*int lambda_(n-1) (s)*ds]$ (9)
… dove $c_n$ è una ‘costante arbitraria’ che per il momento non specifichiamo. Applicando la (9) con $n=1$ e $lambda_0=1/s$ si ha…
$lambda_1(s)= 1/s * [c_1-int ds/s]= 1/s*[c_1-ln s]$ (10)
Con $n=2$…
$lambda_2(s)=1/s*[c_2-2*int (c_1-ln s)/s*ds]= 1/s*[c_2-2*c_1*ln s+ln^2 s] (11)
Con un ‘$n$ qualunque’…
$lambda_n(s)= 1/s*sum_(k=0)^(n) (-1)^k*((n),(k))*c_k*ln^k s$ (12)
Non è difficile arrivare a scoprire a questo punto che è…
$c_n=lambda_n(1)= gamma^((n)) (0)$ (13)
In attesa di proseguire il discorso auguro a tutti quanti un buon ‘lungo weekend’!…
cordiali saluti
lupo grigio
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I post di lupo grigio hanno sempre a prescindere da tutto un aspetto positivo: l'originalità. Vengono trattati argomenti che in modo contrario sarebbero spesso ignorati (come fanno molti testi di analisi complessa). Spero che lupo grigio scriva delle dispense con tutti questi risultati e le metta a disposizione di chi vuole consultarle, in modo da tenere compatta tutta la mole di risultati che descrive (purtroppo in modo sparpagliato) sui vari topic di questo forum.
Ringrazio Kroldar per le belle parole e i complimenti immeritati... 
Mi auguro di avere prima o poi il tempo di raccogliere qualche cosa dalla massa di 'stupidaggini' che scrivo quà e là...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Mi auguro di avere prima o poi il tempo di raccogliere qualche cosa dalla massa di 'stupidaggini' che scrivo quà e là...
cordiali saluti
lupo grigio
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