Giusto per ridere un poco...
ragazzi
qualche giorno fa l’utente Stefano [presumo sia il suo vero nome…] ha proposto una equazione differenziale che ha dato luogo a considerazioni [almeno dal mio punto di vista…] assai interessanti. L’equazione [del primo ordine…] era la seguente…
$x*y’=cos^2(xy)-y$ (1 )
Non erano poste ‘condizioni iniziali’ e sul momento la cosa non sembrava dar luogo a difficoltà. La soluzione generale non è difficile da trovare e in forma implicita è data da…
$tan(xy)=x+c$ (2)
… ove c è la solita ‘costante arbitraria’. Con una semplice verifica si trova che ogni funzione y(x) che soddisfa la (2) soddisfa anche la (1) qualunque sia il valore della costante c. Dalla (2) di ottiene facilmente l’espressione esplicita di $y(x)$ che è…
$y(x)= (tan^(-1) (x+c))/x$ (3)
Fin qui naturalmente è tutto ok. Qualche problema tuttavia sussiste quando si tratta di fissare il valore della costante c partendo da una qualche ‘condizione iniziale’, ossia imporre che per un certo $xo$ sia $y(xo)=yo$. Una prima difficoltà sembra essere legata al fatto che la funzione arcotangente ha valori compresi tra $-pi/2$ e $pi/2$, ma questa in fondo è superabile considerando che la funzione stessa è definita a meno di un qualsiasi multiplo intero di $pi$. Decisamente più critico invece sembra essere il caso in cui sia $xo=0$ , nel qual caso l’unico valore possibile per la funzione è $y(0)=1$ il che impone $c=0$ e porta alla soluzione…
$y(x)= (tan^(-1) x)/x$ (4)
Dal momento che nulla vieta nella (3) di porre $c=0$, sembra che la cosa sia ok. Inoltre nel diagramma che segue…
… è del tutto evidente che la funzione espressa dalla (4) non solo vale 1 per $x=0$, ma altresì ha un andamento regolare in tutto e per tutto. Di più, in tutta la famiglia di soluzioni espressa dalla (3), questa è la sola funzione che non presenta singolarità per $x=0$. Anzi nel caso, tutt’altro che raro nella pratica, che il problema espresso dalla (1) richieda una soluzione priva di singolarità, la (4) rappresenta l’unica soluzione accettabile del problema. E allora ragazzi ci si può ben chiedere: ma che vuoi di più dalla vita!…
Eh già!… Il fatto è che, non appena ho postato queste considerazioni, subito [o quasi…] sono partite le ‘contestazioni’ nei termini che qui vedete…
… per x=0 la funzione non è continua, in quanto neppur definita… [Camillo]
… infatti Camillo, mi era sfuggito ‘il solito errore di lupo grigio’... la funzione data si può prolungare per continuità ad x=0, ma per come è scritta non è una funzione definita in x=0, di conseguenza nemmeno continua... [Luca]
… tendo a ribadire che la funzione $y=arctan(x)/x$ non è la soluzione del problema di Cauchy con dato $y(0)=1$… questa funzione non risulta definita in $x=0$ e tra l'altro non ha nemmeno senso porsi nel problema di Cauchy $y(0)=c$, dal momento che nemmeno $f(x,y)$ è definita in $x=0$. Tutte queste ‘scoperte’ sono fatte a posteriori, non seguendo l'enunciato di un teorema ben preciso… [Luca]
… credo poi sia inutile aprire uno spazio per il tuo ‘solito errore’, visto che non mi sembri molto disposto a riconoscere che sbagli… non voglio assolutamente essere polemico, ma credo che il tuo errore sia già stato sottolineato più volte e non solo da me… come dicono: ‘errare è umano, ma perseverare è da diabolici’… [Luca]
Gulp!!!…
per fortuna non siamo più nel Medio Evo, quando i ‘diabolici’ [ossia coloro che erano sospettati di avere ‘rapporti con il demonio’…] finivano sul rogo!!!… mah!… sapete che vi dico ragazzi?… oggi è venerdì, non c’è molto da fare e il ‘diabolico’ [ 
]vuol giusto divertirsi un poco… e qual migliore divertimento vi può essere se non provare a dimostrare vera una ‘eresia’ [tanto i roghi non ci sono più…], non alla c**** di cane si capisce, bensì ‘seguendo l’enunciato di un teorema ben preciso’?… E’ quello che mi impegno a fare da qui a poco, ragazzi… nel frattempo se qualcuno ha qualche osservazione da fare…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
qualche giorno fa l’utente Stefano [presumo sia il suo vero nome…] ha proposto una equazione differenziale che ha dato luogo a considerazioni [almeno dal mio punto di vista…] assai interessanti. L’equazione [del primo ordine…] era la seguente…
$x*y’=cos^2(xy)-y$ (1 )
Non erano poste ‘condizioni iniziali’ e sul momento la cosa non sembrava dar luogo a difficoltà. La soluzione generale non è difficile da trovare e in forma implicita è data da…
$tan(xy)=x+c$ (2)
… ove c è la solita ‘costante arbitraria’. Con una semplice verifica si trova che ogni funzione y(x) che soddisfa la (2) soddisfa anche la (1) qualunque sia il valore della costante c. Dalla (2) di ottiene facilmente l’espressione esplicita di $y(x)$ che è…
$y(x)= (tan^(-1) (x+c))/x$ (3)
Fin qui naturalmente è tutto ok. Qualche problema tuttavia sussiste quando si tratta di fissare il valore della costante c partendo da una qualche ‘condizione iniziale’, ossia imporre che per un certo $xo$ sia $y(xo)=yo$. Una prima difficoltà sembra essere legata al fatto che la funzione arcotangente ha valori compresi tra $-pi/2$ e $pi/2$, ma questa in fondo è superabile considerando che la funzione stessa è definita a meno di un qualsiasi multiplo intero di $pi$. Decisamente più critico invece sembra essere il caso in cui sia $xo=0$ , nel qual caso l’unico valore possibile per la funzione è $y(0)=1$ il che impone $c=0$ e porta alla soluzione…
$y(x)= (tan^(-1) x)/x$ (4)
Dal momento che nulla vieta nella (3) di porre $c=0$, sembra che la cosa sia ok. Inoltre nel diagramma che segue…
… è del tutto evidente che la funzione espressa dalla (4) non solo vale 1 per $x=0$, ma altresì ha un andamento regolare in tutto e per tutto. Di più, in tutta la famiglia di soluzioni espressa dalla (3), questa è la sola funzione che non presenta singolarità per $x=0$. Anzi nel caso, tutt’altro che raro nella pratica, che il problema espresso dalla (1) richieda una soluzione priva di singolarità, la (4) rappresenta l’unica soluzione accettabile del problema. E allora ragazzi ci si può ben chiedere: ma che vuoi di più dalla vita!…
Eh già!… Il fatto è che, non appena ho postato queste considerazioni, subito [o quasi…] sono partite le ‘contestazioni’ nei termini che qui vedete…
… per x=0 la funzione non è continua, in quanto neppur definita… [Camillo]
… infatti Camillo, mi era sfuggito ‘il solito errore di lupo grigio’... la funzione data si può prolungare per continuità ad x=0, ma per come è scritta non è una funzione definita in x=0, di conseguenza nemmeno continua... [Luca]
… tendo a ribadire che la funzione $y=arctan(x)/x$ non è la soluzione del problema di Cauchy con dato $y(0)=1$… questa funzione non risulta definita in $x=0$ e tra l'altro non ha nemmeno senso porsi nel problema di Cauchy $y(0)=c$, dal momento che nemmeno $f(x,y)$ è definita in $x=0$. Tutte queste ‘scoperte’ sono fatte a posteriori, non seguendo l'enunciato di un teorema ben preciso… [Luca]
… credo poi sia inutile aprire uno spazio per il tuo ‘solito errore’, visto che non mi sembri molto disposto a riconoscere che sbagli… non voglio assolutamente essere polemico, ma credo che il tuo errore sia già stato sottolineato più volte e non solo da me… come dicono: ‘errare è umano, ma perseverare è da diabolici’… [Luca]
Gulp!!!…
per fortuna non siamo più nel Medio Evo, quando i ‘diabolici’ [ossia coloro che erano sospettati di avere ‘rapporti con il demonio’…] finivano sul rogo!!!… mah!… sapete che vi dico ragazzi?… oggi è venerdì, non c’è molto da fare e il ‘diabolico’ [ ]vuol giusto divertirsi un poco… e qual migliore divertimento vi può essere se non provare a dimostrare vera una ‘eresia’ [tanto i roghi non ci sono più…], non alla c**** di cane si capisce, bensì ‘seguendo l’enunciato di un teorema ben preciso’?… E’ quello che mi impegno a fare da qui a poco, ragazzi… nel frattempo se qualcuno ha qualche osservazione da fare… cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Risposte
Ragazzi
perdonate la mia noiosità, ma quello che sto per scrivere mi riporta indietro di [ahimeh!…] tanti anni, quando a Pavia [lì ho fatto l’università…], dedicavo ben pochi ritagli di tempo per seguire le sole lezioni che mi parevano di qualche interesse. Tra queste certamente vi erano quelle di ‘Metodi metematici’, soprattutto a causa della natura ‘folkloristica’ del personaggio che le teneva. Ebbene, ancora oggi ricordo benissimo lo ‘stupore’ [è proprio il caso di chiamarlo così…] da me provato allorché il personaggio in questione ci ha ‘spiegato’ [il termine in realtà è un poco esagerato…] i rudimenti della Teoria delle funzioni di variabile complessa. In particolare quando il simpatico omino si è messo ad illustrare il concetto di ‘funzione analitica’ e di alcune sue proprietà ‘magiche’, vi posso assicurare chi vi scrive è rimasto letteralmente a bocca aperta…
Che cosa è una ‘funzione analitica’ di variabile complessa?… In tanti anni mi è capitato di leggere un sacco di definizioni diverse [anche contrastanti tra loro…] per cui quella che darò ora non è da prendere come oro colato. Diciamo che una funzione di variabile complessa $f(z)$ è detta analitica se in tutti i punti di una regione del piano complesso delimitata da un curva chiusa C è univocamente definita insieme a tutte le sue derivate. Le proprietà fondamentali di una funzione analitica sono riassunte da tre relazioni note come ‘integrali di Cauchy’, dal nome del grande matematico francese che quasi due secoli or sono ha fissato i fondamenti dell’analisi complessa. Vediamoli uno dopo l’altro…
a) Sia C una linea semplice chiusa. Se $f(z)$ è analitica nella regione delimitata da C è…
$int_C f(z) dz=0$ (1)
... ove l’integrale di linea deve essere eseguito in senso antiorario. Nulla di rilevante da dire, salvo precisare che si tratta di una condizione necessaria ma non sufficiente perché $f(z)$ sia analitica…
b) Se f(z) è analitica all’interno e sulla linea semplice chiusa C e $a$ è un qualunque punto interno a C, allora è…
$f(a)= 1/(2*pi*j) int_C (f(z))/(z-a) dz$ (2)
… ove l’integrale di linea deve essere eseguito in senso antiorario. Questa è la relazione che mi ha fatto restare a bocca aperta… e il motivo si può ben intuire. La (2) afferma in sostanza che la conoscenza dei valori assunti da una funzione analitica sulla frontiera di una certa regione permette di calcolare la funzione stessa in qualunque punto interno della regione. Questo è già un risultato notevole… ma ancora di più lo è se si considera che la (2) resta vera anche se la funzione non è definita da una espressione analitica univoca in tutti i punti interni alla regione…. Caspiterina!!!…
c) Se f(z) è analitica all’interno e sulla linea semplice chiusa C e $a$ è un qualunque punto interno a C allora è…
$f^((n)) (a) = (n!)/(2*pi*j) int_C (f(z))/((z-a)^(n+1)) dz$ (3)
… ove l’integrale di linea deve essere eseguito in senso antiorario. Ciò significa che non solo che, se $f(z)$ è analitica possiede le derivate di tutti gli ordini, ma è anche vero che lo stesso discorso fatto al punto b) vale anche per le derivate di $f(z)$… Stracaspiterina!!!…
Passata l’emozione che accompagna sempre i momenti in cui rivedo le formule di Cauchy, pensiamo un poco ragazzi al ‘compitino’ che ci attende. Prendiamo una $f(z)$ e…
Primo step: stabiliamo con la (1) se $f(z)$ può essere analitica [ricordiamo che la (1) è condizione solamente necessaria…]
Secondo step: calcoliamo con la (2) il valore di $f(z)$ nel punto interno a C che più ci piace…
Terzo step: già che ci siamo calcoliamo con la (3) il valore delle derivate di $f(z)$ nel punto interno a C che più ci piace…
Per ora mi fermo ragazzi… a presto! … e se ci sono commenti, prego!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
perdonate la mia noiosità, ma quello che sto per scrivere mi riporta indietro di [ahimeh!…] tanti anni, quando a Pavia [lì ho fatto l’università…], dedicavo ben pochi ritagli di tempo per seguire le sole lezioni che mi parevano di qualche interesse. Tra queste certamente vi erano quelle di ‘Metodi metematici’, soprattutto a causa della natura ‘folkloristica’ del personaggio che le teneva. Ebbene, ancora oggi ricordo benissimo lo ‘stupore’ [è proprio il caso di chiamarlo così…] da me provato allorché il personaggio in questione ci ha ‘spiegato’ [il termine in realtà è un poco esagerato…] i rudimenti della Teoria delle funzioni di variabile complessa. In particolare quando il simpatico omino si è messo ad illustrare il concetto di ‘funzione analitica’ e di alcune sue proprietà ‘magiche’, vi posso assicurare chi vi scrive è rimasto letteralmente a bocca aperta…
Che cosa è una ‘funzione analitica’ di variabile complessa?… In tanti anni mi è capitato di leggere un sacco di definizioni diverse [anche contrastanti tra loro…] per cui quella che darò ora non è da prendere come oro colato. Diciamo che una funzione di variabile complessa $f(z)$ è detta analitica se in tutti i punti di una regione del piano complesso delimitata da un curva chiusa C è univocamente definita insieme a tutte le sue derivate. Le proprietà fondamentali di una funzione analitica sono riassunte da tre relazioni note come ‘integrali di Cauchy’, dal nome del grande matematico francese che quasi due secoli or sono ha fissato i fondamenti dell’analisi complessa. Vediamoli uno dopo l’altro…
a) Sia C una linea semplice chiusa. Se $f(z)$ è analitica nella regione delimitata da C è…
$int_C f(z) dz=0$ (1)
... ove l’integrale di linea deve essere eseguito in senso antiorario. Nulla di rilevante da dire, salvo precisare che si tratta di una condizione necessaria ma non sufficiente perché $f(z)$ sia analitica…
b) Se f(z) è analitica all’interno e sulla linea semplice chiusa C e $a$ è un qualunque punto interno a C, allora è…
$f(a)= 1/(2*pi*j) int_C (f(z))/(z-a) dz$ (2)
… ove l’integrale di linea deve essere eseguito in senso antiorario. Questa è la relazione che mi ha fatto restare a bocca aperta… e il motivo si può ben intuire. La (2) afferma in sostanza che la conoscenza dei valori assunti da una funzione analitica sulla frontiera di una certa regione permette di calcolare la funzione stessa in qualunque punto interno della regione. Questo è già un risultato notevole… ma ancora di più lo è se si considera che la (2) resta vera anche se la funzione non è definita da una espressione analitica univoca in tutti i punti interni alla regione…. Caspiterina!!!…
c) Se f(z) è analitica all’interno e sulla linea semplice chiusa C e $a$ è un qualunque punto interno a C allora è…
$f^((n)) (a) = (n!)/(2*pi*j) int_C (f(z))/((z-a)^(n+1)) dz$ (3)
… ove l’integrale di linea deve essere eseguito in senso antiorario. Ciò significa che non solo che, se $f(z)$ è analitica possiede le derivate di tutti gli ordini, ma è anche vero che lo stesso discorso fatto al punto b) vale anche per le derivate di $f(z)$… Stracaspiterina!!!…
Passata l’emozione che accompagna sempre i momenti in cui rivedo le formule di Cauchy, pensiamo un poco ragazzi al ‘compitino’ che ci attende. Prendiamo una $f(z)$ e…
Primo step: stabiliamo con la (1) se $f(z)$ può essere analitica [ricordiamo che la (1) è condizione solamente necessaria…]
Secondo step: calcoliamo con la (2) il valore di $f(z)$ nel punto interno a C che più ci piace…
Terzo step: già che ci siamo calcoliamo con la (3) il valore delle derivate di $f(z)$ nel punto interno a C che più ci piace…
Per ora mi fermo ragazzi… a presto! … e se ci sono commenti, prego!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Bene ragazzi
ora ci si comincia a divertire!… Allora proviamo per prima cosa a cercare una curva chiusa C con la quale lavorare. Naturalmente approfitto del consiglio e scelgo senza dubbio, quella rappresentata qui sotto, vale a dire un cerchio di raggio unitario con centro nel punto $z=0$…
L’integrale lungo la curva in questo caso può essere eseguito operando la trasformazione di variabile seguente…
$z=e^(j*w)$ -> $dz=j*e^(j*w) * dw$ (1)
Data una generica funzione $h(z)$ sarà quindi…
$int_C f(z) dz = j * int_0^(2*pi) h(e^(j*w))* e^(j*w)* dw$ (2)
E fin qui ok… Ora è doveroso rispondere alla domanda posta da Luca, vale a dire se $f(z)=(sin z)/z$ è analitica entro la regione $|z|<1$… Proviamo ad applicare il primo degli integrali di Cauchy e vediamo che cosa succede. Applicando la (2)…
$int_C (sin z)/z dz= j*int_0^(2*pi) sin (e^(j*w))* e^(j*w)*e^(-j*w)*dw =$
$=j*int_0^(2*pi) sin(e^(j*w))*dw$ (3)
Naturalmente occorre ora lavorare il termine $sin(e^(j*w))$ in modo da poterlo maneggiare… Dato che è…
$sin z= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n * (z^(2n+1))/((2n+1)!)$ (4)
... sarà...
$sin (e^(j*w))= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n * e^(j*(2n+1)*w)/((2n+1)!)$ (5)
Per finire quindi…
$int_C (sin z)/z dz = j* sum_(n=0)^(+oo) ((-1)^n)/((2n+1)!) int_0^(2*pi) e^(j*(2n+1)*w) dw$ (6)
E’ abbastanza agevole verificare che tutti gli integrali che compaiono nella serie sono nulli e pertanto il risultato finale è zero…
La conseguenza è che la funzione $f(z)=(sin z)/z$ potrebbe essere analitica all’interno del cerchio indicato in figura. Riservandomi di fare poi una ulteriore verifica diciamo che la risposta è comunque... sì…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
ora ci si comincia a divertire!… Allora proviamo per prima cosa a cercare una curva chiusa C con la quale lavorare. Naturalmente approfitto del consiglio e scelgo senza dubbio, quella rappresentata qui sotto, vale a dire un cerchio di raggio unitario con centro nel punto $z=0$…
L’integrale lungo la curva in questo caso può essere eseguito operando la trasformazione di variabile seguente…
$z=e^(j*w)$ -> $dz=j*e^(j*w) * dw$ (1)
Data una generica funzione $h(z)$ sarà quindi…
$int_C f(z) dz = j * int_0^(2*pi) h(e^(j*w))* e^(j*w)* dw$ (2)
E fin qui ok… Ora è doveroso rispondere alla domanda posta da Luca, vale a dire se $f(z)=(sin z)/z$ è analitica entro la regione $|z|<1$… Proviamo ad applicare il primo degli integrali di Cauchy e vediamo che cosa succede. Applicando la (2)…
$int_C (sin z)/z dz= j*int_0^(2*pi) sin (e^(j*w))* e^(j*w)*e^(-j*w)*dw =$
$=j*int_0^(2*pi) sin(e^(j*w))*dw$ (3)
Naturalmente occorre ora lavorare il termine $sin(e^(j*w))$ in modo da poterlo maneggiare… Dato che è…
$sin z= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n * (z^(2n+1))/((2n+1)!)$ (4)
... sarà...
$sin (e^(j*w))= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n * e^(j*(2n+1)*w)/((2n+1)!)$ (5)
Per finire quindi…
$int_C (sin z)/z dz = j* sum_(n=0)^(+oo) ((-1)^n)/((2n+1)!) int_0^(2*pi) e^(j*(2n+1)*w) dw$ (6)
E’ abbastanza agevole verificare che tutti gli integrali che compaiono nella serie sono nulli e pertanto il risultato finale è zero…
La conseguenza è che la funzione $f(z)=(sin z)/z$ potrebbe essere analitica all’interno del cerchio indicato in figura. Riservandomi di fare poi una ulteriore verifica diciamo che la risposta è comunque... sì…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ragazzi
ve lo dicevo che il divertimento era cominciato!!!… Come già detto in precedenza di definizioni di funzione analitica negli ultimi lustri ne ho sentite una montagna, una più fantasiosa dell’altra. Quest’ultima però non l’avevo mai sentita e posso davvero dire che è veramente formidabile!… Che volete farci ragazzi, io sono rimasto ancora ai tempi di Cauchy e certe ‘modernità’ le lascio volentieri ad altri…
Allora ragazzi, torniamo agli integrali di Cauchy [davvero un grande!…] e, dopo aver fatto il primo step, aver cioè stabilito che $f(z)=(sin z)/z$ potrebbe essere analitica in quanto soddisfa la prima condizione di Cauchy [in realtà soddisfa anche tutte le altre condizioni ma per brevità sorvoliamo…] , procediamo con il secondo step, vale a dire il calcolo della funzione $f(z)=(sin z)/z$ in un punto a nostra scelta entro il cerchio. A tal fine riscriviamo il secondo integrale di Cauchy…
$f(a)= 1/(2*pi*j) int_C (f(z))/(z-a) dz$ (1)
Che valore scegliamo per $a$?… Bah, già che ci siamo suggerirei, tanto per prendere un valore a caso… $a=0$… very good!…
Sfruttando le relazioni trovate in precedenza possiamo scrivere…
$f(0) = 1/(2*pi*j) int_C (sin z)/(z^2) dz =$
$=1/(2*pi*j)*j*int_0^(2*pi) sin (e^(j*w)) * e(-j*w) dw=$
$=1/(2*pi)*sum_(n=0)^(+oo) ((-1)^n)/((2*n+1)!) int_0^(2*pi) e^(j*2n*w) dw$ (2)
Anche in questo caso tutti gli integrali che compaiono nella serie sono nulli… tranne quello per n=0 che vale…
$int_0^(2*pi) dw = 2*pi$ (3)
Andando a sostituire nella (2) si trova… tenetevi forte ragazzi…
$f(0)= (2*pi)/(2*pi)= 1$ (4)
Ragazzi, ma chi l’avrebbe mai detto che $(sin z)/z$ per $z=0$ valesse proprio… 1 … Incredibili le sorprese che la vita riserva!!!…
Bene… e dopo aver terminato il secondo step porgo a tutti voi…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
ve lo dicevo che il divertimento era cominciato!!!… Come già detto in precedenza di definizioni di funzione analitica negli ultimi lustri ne ho sentite una montagna, una più fantasiosa dell’altra. Quest’ultima però non l’avevo mai sentita e posso davvero dire che è veramente formidabile!… Che volete farci ragazzi, io sono rimasto ancora ai tempi di Cauchy e certe ‘modernità’ le lascio volentieri ad altri…
Allora ragazzi, torniamo agli integrali di Cauchy [davvero un grande!…] e, dopo aver fatto il primo step, aver cioè stabilito che $f(z)=(sin z)/z$ potrebbe essere analitica in quanto soddisfa la prima condizione di Cauchy [in realtà soddisfa anche tutte le altre condizioni ma per brevità sorvoliamo…] , procediamo con il secondo step, vale a dire il calcolo della funzione $f(z)=(sin z)/z$ in un punto a nostra scelta entro il cerchio. A tal fine riscriviamo il secondo integrale di Cauchy…
$f(a)= 1/(2*pi*j) int_C (f(z))/(z-a) dz$ (1)
Che valore scegliamo per $a$?… Bah, già che ci siamo suggerirei, tanto per prendere un valore a caso… $a=0$… very good!…
Sfruttando le relazioni trovate in precedenza possiamo scrivere…
$f(0) = 1/(2*pi*j) int_C (sin z)/(z^2) dz =$
$=1/(2*pi*j)*j*int_0^(2*pi) sin (e^(j*w)) * e(-j*w) dw=$
$=1/(2*pi)*sum_(n=0)^(+oo) ((-1)^n)/((2*n+1)!) int_0^(2*pi) e^(j*2n*w) dw$ (2)
Anche in questo caso tutti gli integrali che compaiono nella serie sono nulli… tranne quello per n=0 che vale…
$int_0^(2*pi) dw = 2*pi$ (3)
Andando a sostituire nella (2) si trova… tenetevi forte ragazzi…
$f(0)= (2*pi)/(2*pi)= 1$ (4)
Ragazzi, ma chi l’avrebbe mai detto che $(sin z)/z$ per $z=0$ valesse proprio… 1 … Incredibili le sorprese che la vita riserva!!!…
Bene… e dopo aver terminato il secondo step porgo a tutti voi…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Ragazzi
mi fermo per un pò per il semplice motivo che tra mezz'ora devo staccare e prendere il treno. Ci rivediamo lunedì ragazzi...
Per finire però vi do una formula un poco più generale del primo integrale di Cauchy...
Se $f(z)$ è analitica all'interno e sopra il contorno C di una regione chiusa, eccezion fatta per un numero finito di singolarità a,b,c,... allora è...
$int_C f(z) dz= 2*pi*j*(ra+rb+rc+...)$ (1)
... dove ra, rb,rc,... sono i residui delle singolarità a,b,c,... E' evidente che se f(z) è analitica nella regione racchiusa entro C, l'integrale che compare nella (1) sarà nullo e ricadiamo nella prima formula di Cauchy...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
mi fermo per un pò per il semplice motivo che tra mezz'ora devo staccare e prendere il treno. Ci rivediamo lunedì ragazzi...
Per finire però vi do una formula un poco più generale del primo integrale di Cauchy...
Se $f(z)$ è analitica all'interno e sopra il contorno C di una regione chiusa, eccezion fatta per un numero finito di singolarità a,b,c,... allora è...
$int_C f(z) dz= 2*pi*j*(ra+rb+rc+...)$ (1)
... dove ra, rb,rc,... sono i residui delle singolarità a,b,c,... E' evidente che se f(z) è analitica nella regione racchiusa entro C, l'integrale che compare nella (1) sarà nullo e ricadiamo nella prima formula di Cauchy...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Devo dire che leggo sempre molto volentieri i post di Lupo Grigio e, se mi ricordo bene, il mio secondo post su questo forum l'ho scritto proprio riguardo a questa eterna diatriba sulla questione seno cardinale ($sin(x)/x$) (il primo fu su ing. matematica)... vorrei cercare di chiudere questa eterna discussione.
Secondo me tutta questa questione nasce dal fatto che vengono attribuiti significati diversi alla scritta:
$ f(z)=sin(z)/z$
Luca, Camillo e molti altri interpetano questa scritta come:
$ f(z)={(sin(z)/z \qquad z\ne 0),(\text{Non definito} \qquad z=0):}$
per loro $f(z)$ non può essere analitica in alcuna regione che contenga lo zero perché non vale la condizione (b) di Cauchy: infatti è necessario che $f(z)$ sia definita in tutta la regione interna alla curva $C$ perché il risultato sia applicabile.
Lupo Grigio interpreta invece la scritta come:
$ f(z)={(sin(z)/z \qquad z\ne 0),(1 \qquad z=0):}$
ovvero sottointende che la funzione in zero debba essere intesa come prolungamento continuo della funzione come la intendono Luca e Camillo. Quindi è lecito utilizzare il th. di Cauchy.
Secondo me tutta questa questione nasce dal fatto che vengono attribuiti significati diversi alla scritta:
$ f(z)=sin(z)/z$
Luca, Camillo e molti altri interpetano questa scritta come:
$ f(z)={(sin(z)/z \qquad z\ne 0),(\text{Non definito} \qquad z=0):}$
per loro $f(z)$ non può essere analitica in alcuna regione che contenga lo zero perché non vale la condizione (b) di Cauchy: infatti è necessario che $f(z)$ sia definita in tutta la regione interna alla curva $C$ perché il risultato sia applicabile.
Lupo Grigio interpreta invece la scritta come:
$ f(z)={(sin(z)/z \qquad z\ne 0),(1 \qquad z=0):}$
ovvero sottointende che la funzione in zero debba essere intesa come prolungamento continuo della funzione come la intendono Luca e Camillo. Quindi è lecito utilizzare il th. di Cauchy.
Beh, c'è sempre il brutto vizio, ogni qual volta si parla di funzione, di omettere di precisare il suo insieme di definizione. Da qui possono nascere i fraintendimenti. Nel caso particolare di una funzione analitica spesso è sottointeso che essa va automaticamente intesa come estesa a tutto il suo campo di analiticità. Un equivoco simile capita per esempio quando si parla di funzione Gamma e la si indica tramite il solito integrale. Gamma indica solo la funzione definita tramite l'integrale o va intesa nel senso di funziona Gamma definita per per prolungamento analitico per ogni complesso diverso da un intero negativo?
"CA":
Beh, c'è sempre il brutto vizio, ogni qual volta si parla di funzione, di omettere di precisare il suo insieme di definizione. Da qui possono nascere i fraintendimenti. Nel caso particolare di una funzione analitica spesso è sottointeso che essa va automaticamente intesa come estesa a tutto il suo campo di analiticità. Un equivoco simile capita per esempio quando si parla di funzione Gamma e la si indica tramite il solito integrale. Gamma indica solo la funzione definita tramite l'integrale o va intesa nel senso di funziona Gamma definita per per prolungamento analitico per ogni complesso diverso da un intero negativo?
Si, capita anche con la zeta di Riemann e santano fuori discussioni riguardo $zeta(-2n)$ che per alcuni diverge e per altri invece converge a zero (uno zero banale tra l'altro).
cari amici
inutile vi dica che mi ha fatto gran piacere scoprire che vi sono stati interventi riguardo all’argomento da me proposto. Prima di proseguire rispondendo alle vostre questioni è meglio fare una importante ‘premessa’. Già dal titolo che ho voluto dare a questo thread si può arguire lo ‘scopo’ che mi ero prefisso di raggiungere, ossia scambiarsi in allegria e senza spirito polemico alcune ‘ipotesi’ più o meno ‘strampalate’ e vedere che magari in qualcuna di esse non ci sia qualcosa che vale la pena di approfondire. Se volgiamo dirla in termini anglosassoni, si tratta di una specie di brainstorming [letteralmente ‘tempesta di cervelli’, si tratta di riunioni ‘a ruota libera’ nelle quali ognuno dice la sua su un certo argomento senza curarsi troppo dei ‘commenti’ dei colleghi… pare che più di una ‘soluzione decisiva’ per la realizzazione della bomba atomica a Los Alamos sia stata proposta in riunioni di questo tipo…]. Pertanto devo assolutamente mettere in guardia i ‘giovani’ che studiano all’università [e non solo…] affinché si guardino bene dal ‘prendere per buona’ una qualsiasi delle ‘affermazioni’ di lupo grigio che compaiono in questo thread e magari [orribile dictu…] andarle a riferire in un colloquio di esame. E ben vero che la punizione in voga nel Medio Evo per chi diffondeva ‘eresie’ , vale a dire il rogo, non si applica più. La semplice bocciatura all’esame però è [sfortunatamente] ancora praticata e lupo grigio, il quale gli esami di matematica li ha superati un sacco di anni or sono, avrebbe un gravissimo rimorso di coscienza sapendo che qualche giovane è stato ‘segato’ all’esame per aver avuto l’ardire di esporre le ‘eresie’ da lui teorizzate …
Dopo questa doverosa premessa veniamo alle vostre ‘osservazioni’. L’esempio di Carlo23 è interessante e chissà se non riusciremo a venire a capo [non si sa mai…] anche della funzione di Riemann. Quello però cui tengo di più è ringraziare di cuore David[e] del complimento [invero immeritato…] che ha voluto tributarmi. Riguardo alle sue osservazioni circa il differente ‘approccio’ seguito da lupo grigio e da altri a proposito della funzione $(sin z)/z$ [si tratta ovviamente di un esempio come tanti altri…], devo però dire che esse non corrispondono a quello che ho asserito nel secondo postato. In sostanza David[e] sostiene che con una certa ‘definizione’ di $f(z)$ all’interno di una curva chiusa $C$ è possibile applicare le formule integrali di Cauchy, con una ‘definizione’ diversa no. L’impostazione del problema data a suo tempo da Cauchy è stata però non solo differente, bensì antitetica. In sostanza le formule integrali di Cauchy richiedono che $f(z)$ sia definita su una curva chiusa del piano complesso [e neppure in tutti i punti, ma a meno di un insieme di punti ‘a misura nulla’…] e in tale ipotesi consentono due cose…
a) stabilire se $f(z)$ è o no analitica all’interno della regione delimitata da $C$
b) in caso $f(z)$ risulti analitica, calcolare il valore di $f(z)$ e delle sue derivate in ogni punto interno della regione delimitata da $C$
E’ evidente che con questo approccio il problema risulta capovolto e la definizione della funzione $(sin z)/z$ in $z=0$ viene ad essere non già la premessa, bensì la soluzione del problema…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
inutile vi dica che mi ha fatto gran piacere scoprire che vi sono stati interventi riguardo all’argomento da me proposto. Prima di proseguire rispondendo alle vostre questioni è meglio fare una importante ‘premessa’. Già dal titolo che ho voluto dare a questo thread si può arguire lo ‘scopo’ che mi ero prefisso di raggiungere, ossia scambiarsi in allegria e senza spirito polemico alcune ‘ipotesi’ più o meno ‘strampalate’ e vedere che magari in qualcuna di esse non ci sia qualcosa che vale la pena di approfondire. Se volgiamo dirla in termini anglosassoni, si tratta di una specie di brainstorming [letteralmente ‘tempesta di cervelli’, si tratta di riunioni ‘a ruota libera’ nelle quali ognuno dice la sua su un certo argomento senza curarsi troppo dei ‘commenti’ dei colleghi… pare che più di una ‘soluzione decisiva’ per la realizzazione della bomba atomica a Los Alamos sia stata proposta in riunioni di questo tipo…]. Pertanto devo assolutamente mettere in guardia i ‘giovani’ che studiano all’università [e non solo…] affinché si guardino bene dal ‘prendere per buona’ una qualsiasi delle ‘affermazioni’ di lupo grigio che compaiono in questo thread e magari [orribile dictu…] andarle a riferire in un colloquio di esame. E ben vero che la punizione in voga nel Medio Evo per chi diffondeva ‘eresie’ , vale a dire il rogo, non si applica più. La semplice bocciatura all’esame però è [sfortunatamente] ancora praticata e lupo grigio, il quale gli esami di matematica li ha superati un sacco di anni or sono, avrebbe un gravissimo rimorso di coscienza sapendo che qualche giovane è stato ‘segato’ all’esame per aver avuto l’ardire di esporre le ‘eresie’ da lui teorizzate
… Dopo questa doverosa premessa veniamo alle vostre ‘osservazioni’. L’esempio di Carlo23 è interessante e chissà se non riusciremo a venire a capo [non si sa mai…] anche della funzione di Riemann. Quello però cui tengo di più è ringraziare di cuore David[e] del complimento [invero immeritato…] che ha voluto tributarmi. Riguardo alle sue osservazioni circa il differente ‘approccio’ seguito da lupo grigio e da altri a proposito della funzione $(sin z)/z$ [si tratta ovviamente di un esempio come tanti altri…], devo però dire che esse non corrispondono a quello che ho asserito nel secondo postato. In sostanza David[e] sostiene che con una certa ‘definizione’ di $f(z)$ all’interno di una curva chiusa $C$ è possibile applicare le formule integrali di Cauchy, con una ‘definizione’ diversa no. L’impostazione del problema data a suo tempo da Cauchy è stata però non solo differente, bensì antitetica. In sostanza le formule integrali di Cauchy richiedono che $f(z)$ sia definita su una curva chiusa del piano complesso [e neppure in tutti i punti, ma a meno di un insieme di punti ‘a misura nulla’…] e in tale ipotesi consentono due cose…
a) stabilire se $f(z)$ è o no analitica all’interno della regione delimitata da $C$
b) in caso $f(z)$ risulti analitica, calcolare il valore di $f(z)$ e delle sue derivate in ogni punto interno della regione delimitata da $C$
E’ evidente che con questo approccio il problema risulta capovolto e la definizione della funzione $(sin z)/z$ in $z=0$ viene ad essere non già la premessa, bensì la soluzione del problema…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Bene ragazzi
pur conscio della ‘dannazione perpetua’ che incombe sul sottoscritto [cui non è detto che il ‘pentimento’ possa dare via di uscita…], continuiamo nel nostro ‘viaggio eretico’. Per evitare inutili ripetizioni però prima chiariamo che, salvo diverso avviso, gli integrali di Cauchy saranno sempre eseguiti sul cerchio di raggio unitario centrato nell’origine del piano complesso [vedremo tra poco che la scelta di un cerchio è assai indovinata e in pratica sarà sempre possibile ridursi a questo caso…], di modo che, per una qualsiasi $f(z)$ complessa risulterà…
$int_C f(z) dz = j*int_0^(2*pi) f(e^(j*w)) e^(j*w) dw$ (1)
Ora proviamo un poco ad esaminare la prima relazione integrale di Cauchy, la quale afferma che se $f(z)$ è analitica su tutti i punti di una curva chiusa $C$ e in tutti i punti interni ad essa risulta…
$int_C f(z) dz=0$ (2)
Si è già detto che tale condizione e solamente necessaria e non sufficiente perché $f(z)$ risulti analitica in tutti i punti interni a $C$. Per sincerarci di ciò è sufficiente considerare l’esempio $f(z)=1/(z^2)$. L’applicazione della (2) fornisce…
$int_C 1/(z^2) dz = j*int_0^(2*pi) e^(-2*j*w) e^(j*w) dw =$
$= j*int_0^(2*pi) e^(-j*w) dw = 0$ (3)
La (2) è quindi soddisfatta ma affermare che $1/(z^2)$ esiste con tutte le sue derivate in $z=0$ è, ne converrete, cosa a little questionable. Dunque la rispondenza alla (2) da sola non consente di affermare che una certa $f(z)$ è analitica in una certa regione del piano $z$. In altre parole è solo condizione necessaria. Ora il naturale successivo step del nostro brainstorming dovrebbe essere quello di cercare [se c’è…] una estensione della (2) che ci consenta di dire se dalla conoscenza della funzione $f(z)$ su $C$ è possibile stabilire se, all’interno di $C$, $f(z)$ è analitica oppure no. Certo si tratta di un compito assai arduo ma per fortuna qualcuno lo ha affrontato e risolto oltre un secolo e mezzo fa. Sto parlando di Pierre Alphonse Laurent [$alpha=1813$, $omega=1854$] il quale in una memoria inviata nel 1843 all’Accademia delle Scienze di Parigi propose una espansione di una funzione in una serie di potenze infinita che generalizzava l’espansione di Taylor. Dal momento che Laurent era un emerito sconosciuto, la ‘memoria’ non venne neppure presa in considerazione dai ‘dotti di Francia’. Solo dopo la sua morte [avvenuta nel 1854 a soli 41 anni…] l’opera di Laurent è stata ‘riscoperta’ e ciò nonostante oggi, pur non essendo più uno ‘sconosciuto’, egli non di meno è considerato figura del tutto secondaria. Che gradevoli persone i matematici, non trovate!…
Polemiche a parte, cari amici, vediamo in che cosa consiste la ‘innovazione’ conosciuta ancora oggi come ‘serie di Laurent’. Supponiamo di avere una $f(z)$ analitica in tutti i punti di una certa regione del piano complesso ad eccezione di un punto $z=a$. In tal caso esiste un cerchio avente centro in $a$ tale che per tutti i punti interni ad esso diversi da $a$ vale lo sviluppo…
$f(z)= … (a_(-m))/((z-a)^m) + (a_(-m+1))/(z-a)^(m-1) + … + (a_(-1))/(z-a) + a_0 +$
$+ a_1* (z-a) + a_2*(z-a)^2 + … + a_n * (z-a)^n +… = sum_(k=-oo)^(+oo) a_k *(z-a)^k $ (4)
La ‘intuizione’ di Laurent espressa dalla relazione (4) rappresenta, a mio modestissimo modo di vedere si capisce, una autentica ‘svolta’ nel pensiero matematico, la quale ha reso in pratica obsoleta la quasi totalità della analisi matematica dei secoli precedenti. Una delle più immediate e importanti [ma anche assai evidenti…] conseguenze della formula (4) è la seguente…
Condizione necessaria e sufficiente affinché una $f(z)$ sia analitica in $z=a$ è che nella (4) sia…
$a_k=0$ per ogni $k<0$ (5)
A questo punto non ci resta che ingegnarci a trovare la maniera di calcolare $a_k$ in forma esplicita e, come si suol dire, ‘il gioco è fatto’. Allora ragazzi, prima di tutto una osservazione abbastanza semplice. Se nella (4) poniamo $u=z-a$ ci riduciamo ancora una volta ad operare sul cerchio centrato nell’origine e vale la formula (1). In secondo luogo vi propongo un bell’esercizio: utilizzando sempre la (1) dimostrare che è…
$int_C (du)/(u^k) = 2*pi*j$ per $k=1$
$ = 0$ per $k ne 1$ (6)
Dalla combinazione della (4) e della (6) si trova facilmente che è…
$a_(-k) = 1/(2*pi*j)*int_C f(u) *u^(k-1) du$ (7)
Voilà ragazzi!… A questo punto siamo arrivati alla condizione ‘necessaria e sufficiente’ che tanto stavamo cercando, vale a dire la seguente…
Sia sia $f(z)$ una qualsiasi funzione di variabile complessa. La $f(z)$ è analitica in $z=a$ se e solo esiste un cerchio centrato in $z=a$ di raggio $r>0$ sul quale $f(z)$ è definita quasi ovunque e per ogni valore di $k$ intero non negativo è verificata la relazione…
$int_C f(z)*(z-a)^k dz=0$ (8)
... ove l’integrale di linea deve essere eseguito in senso antiorario.
E’ immediato a questo punto verificare che la prima condizione di Cauchy altro non è che la (8) nel solo caso $k=0$.
Allora ragazzi, arrivati a questo punto e d’obbligo ancora una volta la domanda: la funzione $(sin z)/z$ è analitica per $z=0$?… Non resta che calcolare la (8), per esempio sul cerchio unitario centrato in $z=0$…
$int_C (sin z) z^(k-1) dz= 1/(2pi) int_0^(2pi) sin(e^(j*w)) (e^(j*k*w)) dw=$
$= 1/(2*pi) sum_(n=0)^(+oo) ((-1)^n)/((2*n+1)!) int_0^(2pi) e^(j*(2*n+1+k)*w) *dw$ (9)
Dal momento che l’integrale è nullo per tutti i valori di $k$ non negativi possiamo felicemente concludere che… sì… con buona pace di chi sappiamo… $(sin z)/z$ è analitica entro il cerchio di raggio unitario centrato in $z=0$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
pur conscio della ‘dannazione perpetua’ che incombe sul sottoscritto [cui non è detto che il ‘pentimento’ possa dare via di uscita…], continuiamo nel nostro ‘viaggio eretico’. Per evitare inutili ripetizioni però prima chiariamo che, salvo diverso avviso, gli integrali di Cauchy saranno sempre eseguiti sul cerchio di raggio unitario centrato nell’origine del piano complesso [vedremo tra poco che la scelta di un cerchio è assai indovinata e in pratica sarà sempre possibile ridursi a questo caso…], di modo che, per una qualsiasi $f(z)$ complessa risulterà…
$int_C f(z) dz = j*int_0^(2*pi) f(e^(j*w)) e^(j*w) dw$ (1)
Ora proviamo un poco ad esaminare la prima relazione integrale di Cauchy, la quale afferma che se $f(z)$ è analitica su tutti i punti di una curva chiusa $C$ e in tutti i punti interni ad essa risulta…
$int_C f(z) dz=0$ (2)
Si è già detto che tale condizione e solamente necessaria e non sufficiente perché $f(z)$ risulti analitica in tutti i punti interni a $C$. Per sincerarci di ciò è sufficiente considerare l’esempio $f(z)=1/(z^2)$. L’applicazione della (2) fornisce…
$int_C 1/(z^2) dz = j*int_0^(2*pi) e^(-2*j*w) e^(j*w) dw =$
$= j*int_0^(2*pi) e^(-j*w) dw = 0$ (3)
La (2) è quindi soddisfatta ma affermare che $1/(z^2)$ esiste con tutte le sue derivate in $z=0$ è, ne converrete, cosa a little questionable. Dunque la rispondenza alla (2) da sola non consente di affermare che una certa $f(z)$ è analitica in una certa regione del piano $z$. In altre parole è solo condizione necessaria. Ora il naturale successivo step del nostro brainstorming dovrebbe essere quello di cercare [se c’è…] una estensione della (2) che ci consenta di dire se dalla conoscenza della funzione $f(z)$ su $C$ è possibile stabilire se, all’interno di $C$, $f(z)$ è analitica oppure no. Certo si tratta di un compito assai arduo ma per fortuna qualcuno lo ha affrontato e risolto oltre un secolo e mezzo fa. Sto parlando di Pierre Alphonse Laurent [$alpha=1813$, $omega=1854$] il quale in una memoria inviata nel 1843 all’Accademia delle Scienze di Parigi propose una espansione di una funzione in una serie di potenze infinita che generalizzava l’espansione di Taylor. Dal momento che Laurent era un emerito sconosciuto, la ‘memoria’ non venne neppure presa in considerazione dai ‘dotti di Francia’. Solo dopo la sua morte [avvenuta nel 1854 a soli 41 anni…] l’opera di Laurent è stata ‘riscoperta’ e ciò nonostante oggi, pur non essendo più uno ‘sconosciuto’, egli non di meno è considerato figura del tutto secondaria. Che gradevoli persone i matematici, non trovate!…
Polemiche a parte, cari amici, vediamo in che cosa consiste la ‘innovazione’ conosciuta ancora oggi come ‘serie di Laurent’. Supponiamo di avere una $f(z)$ analitica in tutti i punti di una certa regione del piano complesso ad eccezione di un punto $z=a$. In tal caso esiste un cerchio avente centro in $a$ tale che per tutti i punti interni ad esso diversi da $a$ vale lo sviluppo…
$f(z)= … (a_(-m))/((z-a)^m) + (a_(-m+1))/(z-a)^(m-1) + … + (a_(-1))/(z-a) + a_0 +$
$+ a_1* (z-a) + a_2*(z-a)^2 + … + a_n * (z-a)^n +… = sum_(k=-oo)^(+oo) a_k *(z-a)^k $ (4)
La ‘intuizione’ di Laurent espressa dalla relazione (4) rappresenta, a mio modestissimo modo di vedere si capisce, una autentica ‘svolta’ nel pensiero matematico, la quale ha reso in pratica obsoleta la quasi totalità della analisi matematica dei secoli precedenti. Una delle più immediate e importanti [ma anche assai evidenti…] conseguenze della formula (4) è la seguente…
Condizione necessaria e sufficiente affinché una $f(z)$ sia analitica in $z=a$ è che nella (4) sia…
$a_k=0$ per ogni $k<0$ (5)
A questo punto non ci resta che ingegnarci a trovare la maniera di calcolare $a_k$ in forma esplicita e, come si suol dire, ‘il gioco è fatto’. Allora ragazzi, prima di tutto una osservazione abbastanza semplice. Se nella (4) poniamo $u=z-a$ ci riduciamo ancora una volta ad operare sul cerchio centrato nell’origine e vale la formula (1). In secondo luogo vi propongo un bell’esercizio: utilizzando sempre la (1) dimostrare che è…
$int_C (du)/(u^k) = 2*pi*j$ per $k=1$
$ = 0$ per $k ne 1$ (6)
Dalla combinazione della (4) e della (6) si trova facilmente che è…
$a_(-k) = 1/(2*pi*j)*int_C f(u) *u^(k-1) du$ (7)
Voilà ragazzi!… A questo punto siamo arrivati alla condizione ‘necessaria e sufficiente’ che tanto stavamo cercando, vale a dire la seguente…
Sia sia $f(z)$ una qualsiasi funzione di variabile complessa. La $f(z)$ è analitica in $z=a$ se e solo esiste un cerchio centrato in $z=a$ di raggio $r>0$ sul quale $f(z)$ è definita quasi ovunque e per ogni valore di $k$ intero non negativo è verificata la relazione…
$int_C f(z)*(z-a)^k dz=0$ (8)
... ove l’integrale di linea deve essere eseguito in senso antiorario.
E’ immediato a questo punto verificare che la prima condizione di Cauchy altro non è che la (8) nel solo caso $k=0$.
Allora ragazzi, arrivati a questo punto e d’obbligo ancora una volta la domanda: la funzione $(sin z)/z$ è analitica per $z=0$?… Non resta che calcolare la (8), per esempio sul cerchio unitario centrato in $z=0$…
$int_C (sin z) z^(k-1) dz= 1/(2pi) int_0^(2pi) sin(e^(j*w)) (e^(j*k*w)) dw=$
$= 1/(2*pi) sum_(n=0)^(+oo) ((-1)^n)/((2*n+1)!) int_0^(2pi) e^(j*(2*n+1+k)*w) *dw$ (9)
Dal momento che l’integrale è nullo per tutti i valori di $k$ non negativi possiamo felicemente concludere che… sì… con buona pace di chi sappiamo… $(sin z)/z$ è analitica entro il cerchio di raggio unitario centrato in $z=0$…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Caro lupo grigio, mi dai la definizione di funzione?
Caro Luca
una definizione di funzione [nel senso che permettere di distinguere una 'funzione' da altre 'entità' che non sono una 'funzione'...] che metta tutti d'accordo, come ben sai, ancora non è stata trovata. Per il momento vediamo se riusciamo almeno a concordare su questa...
Sia dato un numero complesso $z$ compreso in una regione che indichiamo con $C$. Se, dato $z$ entro $C$, esiste una procedura che consente di determinare quasi ovunque a partire da $z$ uno e un solo numero complesso $f$, diciamo che $f$ è funzione di $z$ e lo indichiamo per convenzione con $f(z)$
Tanto per fare un esempio le cosidette 'funzioni polidrome' non rintrano nella definizione ora data ma... questo è chiaramente un altro discorso...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
una definizione di funzione [nel senso che permettere di distinguere una 'funzione' da altre 'entità' che non sono una 'funzione'...] che metta tutti d'accordo, come ben sai, ancora non è stata trovata. Per il momento vediamo se riusciamo almeno a concordare su questa...
Sia dato un numero complesso $z$ compreso in una regione che indichiamo con $C$. Se, dato $z$ entro $C$, esiste una procedura che consente di determinare quasi ovunque a partire da $z$ uno e un solo numero complesso $f$, diciamo che $f$ è funzione di $z$ e lo indichiamo per convenzione con $f(z)$
Tanto per fare un esempio le cosidette 'funzioni polidrome' non rintrano nella definizione ora data ma... questo è chiaramente un altro discorso...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Beh, in Matematica la definizione accettata di funzione esiste, forse tu non la conosci o la ignori.
Il discorso è poi generale, non necessariamente io chiedevo la definizione di funzione di variabile complessa.
Dati due insiemi $A$ e $B$ una funzione da $A$ in $B$ è una relazione tra $A$ e $B$ tale che per ogni $x$ in $A$ esiste un solo $y$ in $B$ con $xRy$, ovvero con $x$ in relazione con $y$. Per relazione $R$ si intende semplicemente un sottoinsieme di $AxB$.
Questa è la definizione ufficiale di funzione in Matematica, che non evoca affatto una rappresentazione analitica della funzione stessa.
Spero che almeno su questo punto cardinale della Matematica tu sia d'accordo con la Matematica stessa.... se no metti in dubbio l'intera Matematica, visto che tale definizione si trova nella Teoria degli insiemi, quindi alla base di tutto.
Ora credo che forzatamente devi essere anche d'accordo che la funzione a lungo dibattuta, nel contesto della definizione di funzione, si legge come
$f(z)=(sen z)/z$ se $z$ diverso da $0$ e $f(z)=1$ se $z=0$. Solo in questo modo tu dai la definizione di $f$ in tutto $C$. Dalla definizione di funzione infatti è chiaro che prima di ogni altra considerazione, una funzione è tale quando tu sai il valore assegnato dalla funzione stessa su ogni punto di $A$, che viene detto dominio. Quindi devi assegnare quanto vuoi che faccia "$(sen z)/z$" per $z=0$, prima di ogni altra considerazione analitica.
E' chiaro che non per forza io devo scegliere il valore $1$ in $z=0$, questo lo faccio alla luce di altri ragionamenti come quelli più volte postati da te. Se io dico che $(sen z)/z=0$ per $z=0$ (cosa lecita dal punto di vista della definizione di funzione) da tutta la teoria si vede che tale funzione non è nemmeno continua in $z=0$.
Il discorso è poi generale, non necessariamente io chiedevo la definizione di funzione di variabile complessa.
Dati due insiemi $A$ e $B$ una funzione da $A$ in $B$ è una relazione tra $A$ e $B$ tale che per ogni $x$ in $A$ esiste un solo $y$ in $B$ con $xRy$, ovvero con $x$ in relazione con $y$. Per relazione $R$ si intende semplicemente un sottoinsieme di $AxB$.
Questa è la definizione ufficiale di funzione in Matematica, che non evoca affatto una rappresentazione analitica della funzione stessa.
Spero che almeno su questo punto cardinale della Matematica tu sia d'accordo con la Matematica stessa.... se no metti in dubbio l'intera Matematica, visto che tale definizione si trova nella Teoria degli insiemi, quindi alla base di tutto.
Ora credo che forzatamente devi essere anche d'accordo che la funzione a lungo dibattuta, nel contesto della definizione di funzione, si legge come
$f(z)=(sen z)/z$ se $z$ diverso da $0$ e $f(z)=1$ se $z=0$. Solo in questo modo tu dai la definizione di $f$ in tutto $C$. Dalla definizione di funzione infatti è chiaro che prima di ogni altra considerazione, una funzione è tale quando tu sai il valore assegnato dalla funzione stessa su ogni punto di $A$, che viene detto dominio. Quindi devi assegnare quanto vuoi che faccia "$(sen z)/z$" per $z=0$, prima di ogni altra considerazione analitica.
E' chiaro che non per forza io devo scegliere il valore $1$ in $z=0$, questo lo faccio alla luce di altri ragionamenti come quelli più volte postati da te. Se io dico che $(sen z)/z=0$ per $z=0$ (cosa lecita dal punto di vista della definizione di funzione) da tutta la teoria si vede che tale funzione non è nemmeno continua in $z=0$.
Sulla definzione generale di funzione nulla da eccepire ovvimamente, in particolare il fatto che una funzione è da intendersi definita indipendentemente dalla esistenza di una espressione matematica che la rappresenti...
Proprio per questo non si può concordare con la seconda parte, ove si afferma che 'forzatamente' [ gulp!...
] una funzione per essere tale deve essere definita a priori su tutto il suo dominio di esistenza. Basta pensare all'esempio della temperatura indicata da un termometro funzione del tempo scandito da un orologio. E' evidente che la funzione del tempo...
$T=f(t)$ (1)
... esiste indipendentemente dalla operazione di misura, e solo la misura stessa permetterà di individuarne i valori, per altro limitatamente a un insieme discreto di valori di $t$.
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Proprio per questo non si può concordare con la seconda parte, ove si afferma che 'forzatamente' [ gulp!...
] una funzione per essere tale deve essere definita a priori su tutto il suo dominio di esistenza. Basta pensare all'esempio della temperatura indicata da un termometro funzione del tempo scandito da un orologio. E' evidente che la funzione del tempo...$T=f(t)$ (1)
... esiste indipendentemente dalla operazione di misura, e solo la misura stessa permetterà di individuarne i valori, per altro limitatamente a un insieme discreto di valori di $t$.
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Non ho capito niente; puoi spiegarti meglio?
Nel tuo esempio, la funzione temperatura sarà definita naturalmente su un sottoinsieme di $N$ per esempio...
Nel tuo esempio, la funzione temperatura sarà definita naturalmente su un sottoinsieme di $N$ per esempio...
C'è una cosa che non mi convince nella prova, fornita da Lupo Grigio, sulla analiticità di $sin(z)/z$: seguendo lo stesso ragionamento si può tranquillamente dimostrare che la funzione:
$ f(z)={(sin(z)/z \qquad z\ne 0),(pi \qquad z=0):}$
è analitica visto che integrando su qualunque circonferenza di raggio maggiore di zero non si riesce a leggere la discontinuità nell'origine... cosa peraltro assurda perchè ovviamente la funzione è discontinua e non vale il teorema della media (proprietà b) citata da Lupo Grigio)...
Il fatto è che quel teorema di Laurent è da intendersi riferito ai prolungamenti continui delle funzioni definite a meno di insiemi di misura nulla. Ovvero come non dimostra che $f(z)$ è analitica (visto che non è manco continua), così non dimostra che $sin(z)/z$ sia analitica. Ciò che dimostra è che è analitico il prolungamento continuo di $sin(z)/z$ che è:
$ g(z)={(sin(z)/z \qquad z\ne 0),(1 \qquad z=0):}$
è analitico.
$ f(z)={(sin(z)/z \qquad z\ne 0),(pi \qquad z=0):}$
è analitica visto che integrando su qualunque circonferenza di raggio maggiore di zero non si riesce a leggere la discontinuità nell'origine... cosa peraltro assurda perchè ovviamente la funzione è discontinua e non vale il teorema della media (proprietà b) citata da Lupo Grigio)...
Il fatto è che quel teorema di Laurent è da intendersi riferito ai prolungamenti continui delle funzioni definite a meno di insiemi di misura nulla. Ovvero come non dimostra che $f(z)$ è analitica (visto che non è manco continua), così non dimostra che $sin(z)/z$ sia analitica. Ciò che dimostra è che è analitico il prolungamento continuo di $sin(z)/z$ che è:
$ g(z)={(sin(z)/z \qquad z\ne 0),(1 \qquad z=0):}$
è analitico.
In effetti l'esempio della temperatura funzione del tempo non è stato fatto a caso e illustra assai bene un concetto che forse non a tutti è noto. In questo caso si sa che esiste una certa funzione $T=f(t)$ e il problema è ottenerla per per ogni valore di $t$. Giustamente si obietta che è possibile rilavare la funzione in corripondenza di un insieme discreto di valori della variabile indipendente $t$ [ad esempio eseguendo una misura al secondo...]. Ebbene se si sà a priori che $f(t)$ soddisfa a 'certe condizioni' [che per il momento non specifichiamo...], allora la conoscenza dei valori discreti...
$T_n = f(t_n)$ (1)
... consente di ottenere la funzione $f(t)$ per qualunque valore di $t$. Qualcosa di simile accade per una funzione di variabile complessa $f(z)$, della quale a priori è noto unicamente il valore sui punti di una linea chiusa $C$ [per altro anche non su ogni punto, ma 'quasi ovunque'...]. Ebbene la conoscenza di quei valori permette di ...
a) stabilire se $f(z)$ è analitica o no in qualunque punto interno a $C$
b) in caso che $f(z)$ sia analitica, calcolarne il valore di $f(z)$ e delle sue derivate in qualunque punto interno a $C$
Tutto qua... e scusa se è poco...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$T_n = f(t_n)$ (1)
... consente di ottenere la funzione $f(t)$ per qualunque valore di $t$. Qualcosa di simile accade per una funzione di variabile complessa $f(z)$, della quale a priori è noto unicamente il valore sui punti di una linea chiusa $C$ [per altro anche non su ogni punto, ma 'quasi ovunque'...]. Ebbene la conoscenza di quei valori permette di ...
a) stabilire se $f(z)$ è analitica o no in qualunque punto interno a $C$
b) in caso che $f(z)$ sia analitica, calcolarne il valore di $f(z)$ e delle sue derivate in qualunque punto interno a $C$
Tutto qua... e scusa se è poco...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Continui ad aggirare il problema, che rimane sempre lo stesso: tu vai a "calcolare" quanto fa la $f$ in $0$ sapendo che la vuoi continua e analitica; tutti lo sanno che trovi forzatamente che deve valere dunque $f(0)=1$, ma questo lo scopri a posteriori, dopo tutti quei conti che hai mostrato, che per altro sono stati messi in dubbio da Davide.
Ma se vuoi dire "a priori" quanto fa $f$ in $0$ sei costretto a dirlo.... e dalla forma $(sen z)/z$ ti sfido a darmi una ragione per la quale uno sceglie che tale espressione per $z=0$ faccia $1$: la divisione $0/0$ per quanto ne so io non ammette un risultato.
Ma se vuoi dire "a priori" quanto fa $f$ in $0$ sei costretto a dirlo.... e dalla forma $(sen z)/z$ ti sfido a darmi una ragione per la quale uno sceglie che tale espressione per $z=0$ faccia $1$: la divisione $0/0$ per quanto ne so io non ammette un risultato.
... tu vai a 'calcolare' quanto fa la $f$ in $0$ sapendo che la vuoi continua e analitica...
Si tratta di una affermazione non esatta!... Esatta sarebbe invece la seguente...
... tu vai prima a stabilire se $f(z)$ è o non analitica in $z=0$... appurato che è analitica vai a 'calcolare' il valore di $f(z)$ in $z=0$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Si tratta di una affermazione non esatta!... Esatta sarebbe invece la seguente...
... tu vai prima a stabilire se $f(z)$ è o non analitica in $z=0$... appurato che è analitica vai a 'calcolare' il valore di $f(z)$ in $z=0$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
La frase "Stabilire se $f$ è analitica in $z=0$, NON sapendo quanto fa $f(0)$" non ha senso.
Ti sfido a trovare un'altra persona che ti dica che questa frase ha senso.
E poi forse tutto il tuo ragionamento cade, visto il post di Davide....
Ti sfido a trovare un'altra persona che ti dica che questa frase ha senso.
E poi forse tutto il tuo ragionamento cade, visto il post di Davide....
"lupo grigio":
Supponiamo di avere una $f(z)$ analitica in tutti i punti di una certa regione del piano complesso ad eccezione di un punto $z=a$. In tal caso esiste un cerchio avente centro in $a$ tale che per tutti i punti interni ad esso diversi da $a$ vale lo sviluppo…
$f(z)= … (a_(-m))/((z-a)^m) + (a_(-m+1))/(z-a)^(m-1) + … + (a_(-1))/(z-a) + a_0 +$
$+ a_1* (z-a) + a_2*(z-a)^2 + … + a_n * (z-a)^n +… = sum_(k=-oo)^(+oo) a_k *(z-a)^k $ (4)
[...]conseguenze della formula (4) è la seguente…
Condizione necessaria e sufficiente affinché una $f(z)$ sia analitica in $z=a$ è che nella (4) sia $a_k=0$ per ogni $k<0$ (5)
Ma della parte in neretto c'è la dimostrazione? Perché sul mio libro mi sembra di capire che la spacciano per una definizione.
[Sul libro i coefficienti sono indicati con $c_n$ invece che con $a_k$, il punto $a$ con $z_0$ e $k$ con $n$]
Definizione
Sia $f(z)$ analitica per gli $z \in D$ ($D$ è la corona circolare centrata in $z_0$) e sia la (4) il suo sviluppo di Laurent in $D$:
1) ...
2) Si dice che la $f(z)$ è analitica e non nulla in $z_0$, se lo sviluppo in serie di Laurent (4) ha i coefficienti $c_n$ tali che $c_n = 0$ per tutti gli $n < 0$ e $c_0 \ne 0$;
3) ...
4) ...
Osservazione: Spesso si incontra la situazione di una funzione $f(z)$ analitica in $D$, non definita in $z_0$, che ammette uno sviluppo di Laurent del tipo 1) oppure 2). Prolungando $f(z)$ in $z_0$ con il valore fornito dallo sviluppo di Taylor, si ottiene una funzione analitica In questo caso si dice che $z_0$ è una singolarità apparente per $f(z)$.
C'è anche un esercizio del tipo:
Verificare che la funzione
$f(z) = \frac{1-\cos z}{z^2}$
è analitica e diversa da zero in $z_0$ = 0
Grazie dell'aiuto, prossimamente dovrò dare l'esame su queste cose e non vorrei passare anch'io per eretico.
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