Esercizi su limiti....
buona sera ho un paio di limiti che non riesco a risolvere sono più o meno semplici ma non riesco a capire come si procede non c'è un procedimento uguale per tutti e per questo mi confondo sempre, ad esempio:
$lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)$ è una forma indeterminata $0/0$ dunque ho pensato al De L'Hopital opuure alla gerarchia degli infinitesimi di ordina maggiore:
con la prima pensata: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=$ $lim_(x->0)([(4x+4x^3)tanx+(2x^2+x^4)*1/(cos^2x)](x-sinx)-[(2x^2+x^4)tanx](1-cosx))/(x-sinx)^2$ però questo diventa una cosa lunghissima e laboriosa che se non si sta attenti si sbaglia molto sicuramente al 99.9999%.....
con gli infinitesimi: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=(2tanx^3+tanx^4)/(x-sinx)$ al denominatore posso trascurare il seno al numeratore trascuro $2tanx^3$ che è di ordine minore e ottengo $lim_(x->0)(tanx^4)/(x)$ solo che ora non so che fare.... come posso procedere?
$lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)$ è una forma indeterminata $0/0$ dunque ho pensato al De L'Hopital opuure alla gerarchia degli infinitesimi di ordina maggiore:
con la prima pensata: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=$ $lim_(x->0)([(4x+4x^3)tanx+(2x^2+x^4)*1/(cos^2x)](x-sinx)-[(2x^2+x^4)tanx](1-cosx))/(x-sinx)^2$ però questo diventa una cosa lunghissima e laboriosa che se non si sta attenti si sbaglia molto sicuramente al 99.9999%.....
con gli infinitesimi: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=(2tanx^3+tanx^4)/(x-sinx)$ al denominatore posso trascurare il seno al numeratore trascuro $2tanx^3$ che è di ordine minore e ottengo $lim_(x->0)(tanx^4)/(x)$ solo che ora non so che fare.... come posso procedere?
Risposte
buon giorno, ho questo limite semplice semplice solo che non so se il mio ragionamento fila e se l'ho fatto bene:
il limite è:
$lim_(x->oo)(log(x^2-3xx+2))/x$ è del tipo $oo/oo$ ho pensato di ragionare su "chi comanda": allora dato che il logaritmo va a $+oo$ molto più lentamente di x allora si riduce tutto a risolvere il $lim_(x->+-oo)x= +-oo$ però non saprei se è giusto...
ho provato anche col De L'Hopital giusto per curiosità: $lim_(x->oo)(log(x^2-3x+2))/x= lim_(x->oo)((2x-3)/(x^2-3x+2)*x-log(x^2-3x+2))/(x^2)=$ $lim_(x->oo){(2x^2-3x)/(x^2-3x+2)-log(x^2-3x+2)}*1/(x^2)=$ $lim_(x->oo){(x^2(2-3/x))/(x^2(1-3/x+2/x^2))-log[x^2(1-3/x+2/x^2)]}*1/(x^2)=$ $lim_(x->oo)((2x^2)/(x^2)-log x^2)*1/x^2=$ $lim_(x->oo)(2-log x^2)/x^2$ riscrivo il logaritmo come $2logx$ per una delle sue proprietà:
$lim_(x->oo)(2-2log x)/x^2=$ $lim_(x->oo)(2(1-log x))/x^2$ dato che il limite notevole $logx/x^p=0$ il $lim_(x->oo)(2(1-log x))/x^2=2$ e non credo che si trova con quello precedente che invece va a $+-oo$
dove ho sbagliato?
il limite è:
$lim_(x->oo)(log(x^2-3xx+2))/x$ è del tipo $oo/oo$ ho pensato di ragionare su "chi comanda": allora dato che il logaritmo va a $+oo$ molto più lentamente di x allora si riduce tutto a risolvere il $lim_(x->+-oo)x= +-oo$ però non saprei se è giusto...
ho provato anche col De L'Hopital giusto per curiosità: $lim_(x->oo)(log(x^2-3x+2))/x= lim_(x->oo)((2x-3)/(x^2-3x+2)*x-log(x^2-3x+2))/(x^2)=$ $lim_(x->oo){(2x^2-3x)/(x^2-3x+2)-log(x^2-3x+2)}*1/(x^2)=$ $lim_(x->oo){(x^2(2-3/x))/(x^2(1-3/x+2/x^2))-log[x^2(1-3/x+2/x^2)]}*1/(x^2)=$ $lim_(x->oo)((2x^2)/(x^2)-log x^2)*1/x^2=$ $lim_(x->oo)(2-log x^2)/x^2$ riscrivo il logaritmo come $2logx$ per una delle sue proprietà:
$lim_(x->oo)(2-2log x)/x^2=$ $lim_(x->oo)(2(1-log x))/x^2$ dato che il limite notevole $logx/x^p=0$ il $lim_(x->oo)(2(1-log x))/x^2=2$ e non credo che si trova con quello precedente che invece va a $+-oo$
dove ho sbagliato?
Ti consiglio di rivedere i simboli di Landau...Se il logaritmo tende a infinito più lentamente rispetto a x significa che è un "o piccolo" rispetto ad x e quindi il limite del loro rapporto tende a zero
Non abbiamo fatto Landau, soltanto gli ordini di infinito ma in una sola lezione.....
Non ho capito bene come hai fatto per dire che va a zero questo limite.....non si deve prendere quello che va all'infinito per prima?
Non ho capito bene come hai fatto per dire che va a zero questo limite.....non si deve prendere quello che va all'infinito per prima?
ho capito, cosa si è fatto e cosa ho sbagliato nell' Hopital: arrivati a $lim_(x->oo)(2-logx^2)*1/x^2$ anzicchè dare ad entrambi il denominatore comune procedo così:
$lim_(x->oo)2/x^2-(2logx)/x^2=0-0=0$
oppure senza applicare il De L'Hopital, il logaritmo va a infinito molto più lentamente di x e questo significa ad esempio $log9/9=0.95/9=0.106$ quindi tende a zero....
$lim_(x->oo)2/x^2-(2logx)/x^2=0-0=0$
oppure senza applicare il De L'Hopital, il logaritmo va a infinito molto più lentamente di x e questo significa ad esempio $log9/9=0.95/9=0.106$ quindi tende a zero....
"ciampax":
Mai viste tante assurdità tutte insieme!
Ma usare semplicemente i confronti asintotici cioè Taylor ai termini più bassi)?
Guarda che
[tex]$\sqrt[3]{1+\tan x}-\cos^2 x\sim\sqrt[3]{1+x}-\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2\sim 1+\frac{x}{3}-1+x^2-\frac{x^4}{4}\sim\frac{x}{3}$[/tex]
e
[tex]$2\log(1+\sin x)-e^{\cos x-1}-\cos\sqrt[3]{x}\sim2\log(1+x)+(1+\cos x-1)-\left(1-\frac{\sqrt[3]{x^2}}{2}\right)\sim 2x+1-\frac{x^2}{2}-1+\frac{x^{2/3}}{2}\sim\frac{x^{2/3}}{2}$[/tex]
per cui il limite equivale a
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{x/3}{x^{2/3}/2}=\lim_{x\to 0}\frac{2}{3} x^{1/2}=0$[/tex]
penso ci sia un grande equivoco in questo passaggio quando scrivi
[tex]\cos\sqrt[3]{x}\sim\left(1-\frac{\sqrt[3]{x^2}}{2}\right)\[/tex]
NON è coseno di radice cubica di x ma sul testo del esercizio era coseno al cubo di radice quadrata di x; quindi cambia tutto.
non so se ho fatto bene i conti ma mi viene $1/6$ come risultato, qualcuno può controllare?
deve uscire $2/21$.....
Me lo visualizzaza in questo modo, che ti devo dire? Comunque, se è come dici tu allora hai
[tex]$\cos^3 \sqrt{x}\sim\left(1-\frac{\sqrt{x}^2}{2}\right)^3\sim 1-\frac{3x}{2}$[/tex]
per cui il denominatore diventa
[tex]$\sim 2x+1-\frac{x^2}{2}-1+\frac{3x}{2}=\frac{7x}{2}$[/tex]
e quindi il limite
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{x/3}{7x/2}=\frac{2}{21}$[/tex]
Scusate ma a volte le visualizzazioni di certe formule sul mio firefox sono strane e vedevo il 3 come indice della radice cubica.
[tex]$\cos^3 \sqrt{x}\sim\left(1-\frac{\sqrt{x}^2}{2}\right)^3\sim 1-\frac{3x}{2}$[/tex]
per cui il denominatore diventa
[tex]$\sim 2x+1-\frac{x^2}{2}-1+\frac{3x}{2}=\frac{7x}{2}$[/tex]
e quindi il limite
[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{x/3}{7x/2}=\frac{2}{21}$[/tex]
Scusate ma a volte le visualizzazioni di certe formule sul mio firefox sono strane e vedevo il 3 come indice della radice cubica.
pensavo che usavi explorer...non so il perchè
ok io l'ho costruita una più o meno ma per esempio ho il limite $lim_(x->0)(root(4)(1+4x^2)-1)/((e^-x+1)*log(4-3cosx))$
ora il numeratore $root(4)(1+4x^2)-1 sim 1+4/4x^2-1 sim x^2$
al denominatore so che $(e^x+1) sim x$ dunque analogamente $(e^-x+1)sim -x$
ora il logaritmo è più difficile abbiamo $log(4-3cosx)$ ora $cosx sim 1-x^2/2$ e quindi abbiamo $log(4-3+x^2/2)=$ $log(1+x^2/2)$ ora se $log(1+x) sim x$ allora $log(1+x^2/2) sim x^2/2$... giusto?????
ora il numeratore $root(4)(1+4x^2)-1 sim 1+4/4x^2-1 sim x^2$
al denominatore so che $(e^x+1) sim x$ dunque analogamente $(e^-x+1)sim -x$
ora il logaritmo è più difficile abbiamo $log(4-3cosx)$ ora $cosx sim 1-x^2/2$ e quindi abbiamo $log(4-3+x^2/2)=$ $log(1+x^2/2)$ ora se $log(1+x) sim x$ allora $log(1+x^2/2) sim x^2/2$... giusto?????
Giusto! 
siiiiii!!!!!!!!!!!! 
dunque quel limite diventa: $lim_(x->0)x^2/(-x+3/2x^2)= lim_(x->0)x^2/(-2x+3x^2)=x^2/(-2x)*x^2/(3x^2)= 0* 1/3=0$....?
dunque quel limite diventa: $lim_(x->0)x^2/(-x+3/2x^2)= lim_(x->0)x^2/(-2x+3x^2)=x^2/(-2x)*x^2/(3x^2)= 0* 1/3=0$....?
No: A denominatore hai un prodotto! $-x\cdot({x^2}/2)$
giusto, hai ragione.. ma $3cosx sim 3(1-x^2/2)sim 3-3/2x^2$?
Eh sì, ti eri scordato di moltiplicare tutto per $-3$.
ok, dunque il limite diventa $lim_(x->0)x^2/(-3/2x^3)=1/(-3/2x)=-1/0=-oo$...
però non esce così...deve uscire $1/3$...
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