Esercizi su limiti....
buona sera ho un paio di limiti che non riesco a risolvere sono più o meno semplici ma non riesco a capire come si procede non c'è un procedimento uguale per tutti e per questo mi confondo sempre, ad esempio:
$lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)$ è una forma indeterminata $0/0$ dunque ho pensato al De L'Hopital opuure alla gerarchia degli infinitesimi di ordina maggiore:
con la prima pensata: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=$ $lim_(x->0)([(4x+4x^3)tanx+(2x^2+x^4)*1/(cos^2x)](x-sinx)-[(2x^2+x^4)tanx](1-cosx))/(x-sinx)^2$ però questo diventa una cosa lunghissima e laboriosa che se non si sta attenti si sbaglia molto sicuramente al 99.9999%.....
con gli infinitesimi: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=(2tanx^3+tanx^4)/(x-sinx)$ al denominatore posso trascurare il seno al numeratore trascuro $2tanx^3$ che è di ordine minore e ottengo $lim_(x->0)(tanx^4)/(x)$ solo che ora non so che fare.... come posso procedere?
$lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)$ è una forma indeterminata $0/0$ dunque ho pensato al De L'Hopital opuure alla gerarchia degli infinitesimi di ordina maggiore:
con la prima pensata: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=$ $lim_(x->0)([(4x+4x^3)tanx+(2x^2+x^4)*1/(cos^2x)](x-sinx)-[(2x^2+x^4)tanx](1-cosx))/(x-sinx)^2$ però questo diventa una cosa lunghissima e laboriosa che se non si sta attenti si sbaglia molto sicuramente al 99.9999%.....
con gli infinitesimi: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=(2tanx^3+tanx^4)/(x-sinx)$ al denominatore posso trascurare il seno al numeratore trascuro $2tanx^3$ che è di ordine minore e ottengo $lim_(x->0)(tanx^4)/(x)$ solo che ora non so che fare.... come posso procedere?
Risposte
Ehm...
$x^2 \tan x$ non fa $\tan x^3$ (anche se hanno lo stesso infinitesimo principale per $x\to 0$).
Già che ci siamo: $x-\sin x$ non è asintotico a $x$ per $x\to 0$.
$x^2 \tan x$ non fa $\tan x^3$ (anche se hanno lo stesso infinitesimo principale per $x\to 0$).
Già che ci siamo: $x-\sin x$ non è asintotico a $x$ per $x\to 0$.
"Rigel":
$x^2 \tan x$ non fa $\tan x^3$ (anche se hanno lo stesso infinitesimo principale per $x\to 0$).
come non fa $\tan x^3$?
"Rigel":
Già che ci siamo: $x-\sin x$ non è asintotico a $x$ per $x\to 0$.
cioè cosa vuol dire?
domy scusa la domanda banale. hai studiato la formula di taylor?
Non capisco come fai ad affermare:
come non fa $\tan x^3$?
[/quote]
Puoi spiegarti meglio? Scritta così è una cosa assolutamente falsa, come già ti diceva Rigel.
"domy90":
[quote="Rigel"]
$x^2 \tan x$ non fa $\tan x^3$ (anche se hanno lo stesso infinitesimo principale per $x\to 0$).
come non fa $\tan x^3$?
[/quote]
Puoi spiegarti meglio? Scritta così è una cosa assolutamente falsa, come già ti diceva Rigel.
si si ho studiato Taylor....
Per Paolo90 e Riegel pensavo che $x^2*(tanx)=tanx^3$ però mi sbagliavo......si deve calcolare con le formule di duplicazione se non sbaglio di nuovo....
forse il limite l'ho risolto da come mi facevano notare, dagli sviluppi di Taylor la tangente ha lo stesso ordine di x e quindi lo posso trascurare e mi rimane solo:
$lim_(x->0)x^4$ e quindi quel limite fa zero, o mi sbaglio?
Per Paolo90 e Riegel pensavo che $x^2*(tanx)=tanx^3$ però mi sbagliavo......si deve calcolare con le formule di duplicazione se non sbaglio di nuovo....
forse il limite l'ho risolto da come mi facevano notare, dagli sviluppi di Taylor la tangente ha lo stesso ordine di x e quindi lo posso trascurare e mi rimane solo:
$lim_(x->0)x^4$ e quindi quel limite fa zero, o mi sbaglio?
sbagliatissimo ti posto tutti i passaggi applicando taylor:
il limite da te scritto diventa:
$((2x^2 +x^4)(x+o(x^2)))/(x-x+ (x^3)/6 + o(x^4))$
tenendo conto delle proprietà degli o piccoli e di qualche conto otteniamo:
$(2x^3 +o(x^4)+x^5 +o(x^6))/((x^3)/6 +o(x^4))$
vediamo che al numeratore le potenze di ordine superiore a 4 sono tutte contenibili in un o piccolo di $x^4$ quindi si possono anche trascurare.
Dividendo tutto per $x^3$ e passando al limite ottieni 12.
il limite da te scritto diventa:
$((2x^2 +x^4)(x+o(x^2)))/(x-x+ (x^3)/6 + o(x^4))$
tenendo conto delle proprietà degli o piccoli e di qualche conto otteniamo:
$(2x^3 +o(x^4)+x^5 +o(x^6))/((x^3)/6 +o(x^4))$
vediamo che al numeratore le potenze di ordine superiore a 4 sono tutte contenibili in un o piccolo di $x^4$ quindi si possono anche trascurare.
Dividendo tutto per $x^3$ e passando al limite ottieni 12.
"Paolo90":
Puoi spiegarti meglio? Scritta così è una cosa assolutamente falsa, come già ti diceva Rigel.
Secondo me qui c'è un problema di ambiguità di notazione: chiedo a domy90: quando scrivi [tex]\tan x^3[/tex]intendi [tex]\tan x \cdot \tan x \cdot \tan x[/tex] oppure [tex]\tan (x \cdot x \cdot x)[/tex] ?
Comunque il limite si risolve come detto da and1991.
"Raptorista":
Secondo me qui c'è un problema di ambiguità di notazione: chiedo a domy90: quando scrivi [tex]\tan x^3[/tex]intendi [tex]\tan x \cdot \tan x \cdot \tan x[/tex] oppure [tex]\tan (x \cdot x \cdot x)[/tex] ?
In realtà in questo caso non c'è nessun problema di notazione (nel senso che quanto scritto è sbagliato con ogni notazione).
Se uno scrive $x^2 \tan x = \tan x^3$ (supponendo che si tratti di un'identità) sbaglia comunque, a meno che non si assumano $t$, $a$ e $n$ variabili indipendenti.
"Rigel":
In realtà in questo caso non c'è nessun problema di notazione (nel senso che quanto scritto è sbagliato con ogni notazione).
Se uno scrive $x^2 \tan x = \tan x^3$ (supponendo che si tratti di un'identità) sbaglia comunque, a meno che non si assumano $t$, $a$ e $n$ variabili indipendenti.
Ok, ovviamente hai ragione, perché mancherebbero gli o-piccoli, oppure il simbolo di uguaglianza asintotica. Correggendo questa [NON trascurabile] mancanza, si ha l'ambiguità a cui mi riferivo, e l'ho tirata in ballo perché presumevo che domy90 avesse abusato consapevolmente della notazione [cosa che però, come mi fai giustamente notare, non si fa!].
Un attimo vediamo come si arriva alla soluzione.....
arrivati a questo punto: $(2x^3 +o(x^4)+x^5 +o(x^6))/((x^3)/6 +o(x^4))$ tutti i termini di ordine superiori a 4 si possono trascurare quindi: $(2x^3 )/((x^3)/6)$, passo al limite $lim_(x->0)(2x^3 )/((x^3)/6)= lim_(x->0)2x^3*6/x^3=12$...
riguardo al discorso sull'uguaglianza della tangente allora io quando ho scritto $tanx^3$ intendevo un po tutt'e due però di più questa: $tan(x*x*x)$...
arrivati a questo punto: $(2x^3 +o(x^4)+x^5 +o(x^6))/((x^3)/6 +o(x^4))$ tutti i termini di ordine superiori a 4 si possono trascurare quindi: $(2x^3 )/((x^3)/6)$, passo al limite $lim_(x->0)(2x^3 )/((x^3)/6)= lim_(x->0)2x^3*6/x^3=12$...
riguardo al discorso sull'uguaglianza della tangente allora io quando ho scritto $tanx^3$ intendevo un po tutt'e due però di più questa: $tan(x*x*x)$...
"domy90":
riguardo al discorso sull'uguaglianza della tangente allora io quando ho scritto $tanx^3$ intendevo un po tutt'e due però di più questa: $tan(x*x*x)$...
Dunque ha ragione Paolo!
in realtatà avevo pensato: "se moltiplico anche la tangente ($tanx* tanx* tanx$) è lo stesso risultato di $tan(x*x*x)$: ottengo lo stesso $tanx^3$"....però so che si deve fare così ($tanx* tanx* tanx$), ovvero che quel passaggio che ho fatto io $tan(x*x*x)$ non ha senso....Prima per me non era un errore fare così, però ora capisco che è qualcosa di grave....
se mi posso salvare in calcio d'angolo, so che in realtà si dovrebbe scrivere $tan^3x$ però molti scrivono come ho scritto io...
se mi posso salvare in calcio d'angolo, so che in realtà si dovrebbe scrivere $tan^3x$ però molti scrivono come ho scritto io...
"domy90":
in realtatà avevo pensato se moltiplico anche la tangente è lo stesso risultato....però so che si moltiplica la tangente cioè per me non era un errore però ora capisco che è qualcosa di grave....
Ti invito ad utilizzare la punteggiatura secondo le regole della grammatica corrente. La frase che ho citato è per me priva di qualsivoglia significato.
l'ho modificata, non so se ora va bene, in caso contrario cercherò ulteriormente di far in modo che si capisca....
Ora si capisce. Il fatto è che [tex]x \to 0 \Rightarrow \tan (x) \sim x[/tex] e quindi [tex]x^2 \cdot \tan (x) \sim x^3[/tex]; il calcio d'angolo in cui volevo salvarti io è che la relazione di prima implica anche che [tex]x^3 \sim \tan^3(x)[/tex] [infatti, e qui spero davvero di non dire una scemenza, l'uguaglianza asintotica è una relazione di equivalenza]; comunque la relazione generalmente più utile, e quindi più usata, è la prima.
A parte questo, la notazione: [tex]\tan x^3 = \tan (x^3) = \tan (x \cdot x \cdot x)[/tex];
[tex]\tan^3 (x) = \tan (x) \cdot \tan (x) \cdot \tan (x)[/tex].
Un paio di note alla notazione: alcune volte ho visto la scrittura \tan (x)^3 essere usata con il significato di \tan^3(x).
La notazione [tex]\tan^3 (x)[/tex] è usata per indicare [tex]\tan (x) \cdot \tan (x) \cdot \tan (x)[/tex], ma è una notazione impropria: secondo il mio libro di analisi, [tex]\tan^3 (x) = \tan (x) \circ \tan (x) \circ \tan (x)[/tex], ossia [tex]\tan(\tan(\tan(x)))[/tex], il prodotto di composizione.
Ma queste sono più curiosità
A parte questo, la notazione: [tex]\tan x^3 = \tan (x^3) = \tan (x \cdot x \cdot x)[/tex];
[tex]\tan^3 (x) = \tan (x) \cdot \tan (x) \cdot \tan (x)[/tex].
Un paio di note alla notazione: alcune volte ho visto la scrittura \tan (x)^3 essere usata con il significato di \tan^3(x).
La notazione [tex]\tan^3 (x)[/tex] è usata per indicare [tex]\tan (x) \cdot \tan (x) \cdot \tan (x)[/tex], ma è una notazione impropria: secondo il mio libro di analisi, [tex]\tan^3 (x) = \tan (x) \circ \tan (x) \circ \tan (x)[/tex], ossia [tex]\tan(\tan(\tan(x)))[/tex], il prodotto di composizione.
Ma queste sono più curiosità
ok capito la notazione normale è $tanx*tanx*tanx$
non so posso inserire un altro esercizio senza che apro un nuovo topic....
ho questo limite: $lim_(x->+oo)(e^(1/x)+(sin^2 1/x+3/x^2)/(1-cos (1/x)))$ con i lmiti non so mai da dove cominciare, le uniche cose che mi vengono ripetutamente in mente sono il De L'Hopital e gli infinitesimi.....se devo scomporre non ci riesco...
ad esempio con gli infinitesimi: pongo $y=1/x$
$lim_(y->+oo)(e^y+((y-y^3/6)^2+3y^2)/(1-1-y^2/2))= lim_(y->+oo)(e^y+(y^2-y^3/3+y^6/12+3y^2)/(-y^2/2))= lim_(y->+oo)(e^y+(4y^2-y^3/3+y^6/12)/(-y^2/2))= lim_(y->+oo)(e^y+(4y^2)/(-y^2/2))= lim_(y->+oo)e^y+(4y^2)*(-2/y^2)= lim_(y->+oo)e^y-8= 7$ va bene così si trova?
non so posso inserire un altro esercizio senza che apro un nuovo topic....
ho questo limite: $lim_(x->+oo)(e^(1/x)+(sin^2 1/x+3/x^2)/(1-cos (1/x)))$ con i lmiti non so mai da dove cominciare, le uniche cose che mi vengono ripetutamente in mente sono il De L'Hopital e gli infinitesimi.....se devo scomporre non ci riesco...
ad esempio con gli infinitesimi: pongo $y=1/x$
$lim_(y->+oo)(e^y+((y-y^3/6)^2+3y^2)/(1-1-y^2/2))= lim_(y->+oo)(e^y+(y^2-y^3/3+y^6/12+3y^2)/(-y^2/2))= lim_(y->+oo)(e^y+(4y^2-y^3/3+y^6/12)/(-y^2/2))= lim_(y->+oo)(e^y+(4y^2)/(-y^2/2))= lim_(y->+oo)e^y+(4y^2)*(-2/y^2)= lim_(y->+oo)e^y-8= 7$ va bene così si trova?
"domy90":
$ lim_(y->+oo)e^y-8= -7$ è fatto bene?
Questo pezzo di sicuro no!
Comunque visto che usi gli sviluppi di Taylor [molto bene!] devi solo stare attenta ai calcoli; comunque non era necessario il cambio di variabile!
a già è vero ho commesso un errore, se invece ritorno alla variabile x ottengo: $lim_(x->+oo)e^(1/x)-8= -7$... adesso il risultato dovrebbe trovarsi almeno che il cambio di variabile mi costringe a dare il risultato con la variabile stessa ($y$) e allora sarebbe un problema....
Il risultato deve essere lo stesso con tutte le variabili 
Hai dimenticato una cosa più importante: se [tex]y = \frac{1}{x}[/tex], quando [tex]x \to +\infty[/tex], [tex]y[/tex] cosa fa?
Hai dimenticato una cosa più importante: se [tex]y = \frac{1}{x}[/tex], quando [tex]x \to +\infty[/tex], [tex]y[/tex] cosa fa?
giusto!!!! $y$ tende a $0^+$ quando $x->+oo$...
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