Esercizi su limiti....
buona sera ho un paio di limiti che non riesco a risolvere sono più o meno semplici ma non riesco a capire come si procede non c'è un procedimento uguale per tutti e per questo mi confondo sempre, ad esempio:
$lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)$ è una forma indeterminata $0/0$ dunque ho pensato al De L'Hopital opuure alla gerarchia degli infinitesimi di ordina maggiore:
con la prima pensata: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=$ $lim_(x->0)([(4x+4x^3)tanx+(2x^2+x^4)*1/(cos^2x)](x-sinx)-[(2x^2+x^4)tanx](1-cosx))/(x-sinx)^2$ però questo diventa una cosa lunghissima e laboriosa che se non si sta attenti si sbaglia molto sicuramente al 99.9999%.....
con gli infinitesimi: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=(2tanx^3+tanx^4)/(x-sinx)$ al denominatore posso trascurare il seno al numeratore trascuro $2tanx^3$ che è di ordine minore e ottengo $lim_(x->0)(tanx^4)/(x)$ solo che ora non so che fare.... come posso procedere?
$lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)$ è una forma indeterminata $0/0$ dunque ho pensato al De L'Hopital opuure alla gerarchia degli infinitesimi di ordina maggiore:
con la prima pensata: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=$ $lim_(x->0)([(4x+4x^3)tanx+(2x^2+x^4)*1/(cos^2x)](x-sinx)-[(2x^2+x^4)tanx](1-cosx))/(x-sinx)^2$ però questo diventa una cosa lunghissima e laboriosa che se non si sta attenti si sbaglia molto sicuramente al 99.9999%.....
con gli infinitesimi: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=(2tanx^3+tanx^4)/(x-sinx)$ al denominatore posso trascurare il seno al numeratore trascuro $2tanx^3$ che è di ordine minore e ottengo $lim_(x->0)(tanx^4)/(x)$ solo che ora non so che fare.... come posso procedere?
Risposte
[clap] [clap] [clap].
Direi che ora non hai bisogno di aiuto
Direi che ora non hai bisogno di aiuto
ma se invece la traccia mi chiedeva di risolverlo senza la gerarchia degli infinitesimi come avrei potuto incominciare?
Non mi sembra che tu abbia usato la "gerarchia degli infinitesimi", ma la Formula di Taylor!
ho sbagliato a dire comunque intendevo Taylor..... in quel caso scomponendo come potevo fare? io pensavo ad esempio:
$lim_(x->+oo)(e^(1/x)+(sin^2 1/x+3/x^2)/(1-cos (1/x)))=$ $lim_(x->+oo)e^(1/x)+(sin^2 1/x+3/x^2)/(1-cos (1/x))*cos(1/x)/(cos(1/x))$ però non mi sembra un passaggio molto sensato, mi vado solo a complicare la vita....
$lim_(x->+oo)(e^(1/x)+(sin^2 1/x+3/x^2)/(1-cos (1/x)))=$ $lim_(x->+oo)e^(1/x)+(sin^2 1/x+3/x^2)/(1-cos (1/x))*cos(1/x)/(cos(1/x))$ però non mi sembra un passaggio molto sensato, mi vado solo a complicare la vita....
Ma perché cerchi un'alternativa?
A me piece molto questo metodo e non so se si può applicare in qualsiasi limite per questo cerco un'alternativa....
poi volevo far vedere questo limite che mi sta facendo uscire pazzo da 2 ore circa: $lim_(x->0)((1+x)/(1-x))^(1/x)$ è una forma del tipo $1^(1/0)$ per me è difficile più o meno perchè non posso usare il De L'Hopital, Taylor l'unica cosa e cercare qualche limite notevole che ho trovato in questo modo:
$lim_(x->0)((1+x)/(1-x))^(1/x)= lim_(x->0)e^((1/x)log((1+x)/(1-x)))=e^(lim_(x->0)(1/x)log((1+x)/(1-x))$ il logaritmo tenderebbe a zero e mi resterebbe solo il limite di $1/x$ però non credo che mi serve a tanto....
$lim_(x->0)((1+x)/(1-x))^(1/x)= lim_(x->0)e^((1/x)log((1+x)/(1-x)))=e^(lim_(x->0)(1/x)log((1+x)/(1-x))$ il logaritmo tenderebbe a zero e mi resterebbe solo il limite di $1/x$ però non credo che mi serve a tanto....
"domy90":
poi volevo far vedere questo limite che mi sta facendo uscire pazzo da 2 ore circa: $lim_(x->0)((1+x)/(1-x))^(1/x)$ è una forma del tipo $1^(1/0)$ per me è difficile più o meno perchè non posso usare il De L'Hopital, Taylor l'unica cosa e cercare qualche limite notevole che ho trovato in questo modo:
$lim_(x->0)((1+x)/(1-x))^(1/x)= lim_(x->0)e^((1/x)log((1+x)/(1-x)))=e^(lim_(x->0)(1/x)log((1+x)/(1-x))$ il logaritmo tenderebbe a zero e mi resterebbe solo il limite di $1/x$ però non credo che mi serve a tanto....
perchè non puoi usare de l'Hopital o Taylor?
cioè L'hopital è lungo e Taylor in questo caso non lo so applicare visto che la funzione $((1+x)/(1-x))^(1/x)$ non è come il seno coseno tangente ecc....
Perché non usare una bella sostituzione? Tipo $t=1/x$ e scoprire che quel limite diventa uguale a...
avevo pensato alla soluzione della variabile solo che poi nn sapevo come diventava t... se $t=1/x$ allora $x=1/t$??? giusto????
Esatto.
ok quindi si trova: $lim_(t->0)((1+1/t)/(1-1/t))^t=1^t=1$....
Mi sembra di vedere una piccola imprecisione nel penultimo passaggio, controlla i segni!
A me sembra di vedere una totale assurdità, invece! Ma svolgere i conti, prima? La funzione diventa
[tex]$\left(\frac{t+1}{t-1}\right)^t=\left(\frac{t-1+2}{t-1}\right)^t=\left(1+\frac{2}{t-1}\right)^t$[/tex]
e dal momento che ore $t\to\infty$ dovresti riconoscere un limite notevole MOOOOOOOLTOOOOO famoso! (Perdonate il maiuscolo).
[tex]$\left(\frac{t+1}{t-1}\right)^t=\left(\frac{t-1+2}{t-1}\right)^t=\left(1+\frac{2}{t-1}\right)^t$[/tex]
e dal momento che ore $t\to\infty$ dovresti riconoscere un limite notevole MOOOOOOOLTOOOOO famoso! (Perdonate il maiuscolo).
scusate ma non mi trovo con la sostituzione: $lim_(x->0)((1+x)/(1-x))^(1/x)$ pongo $t=1/x$ dunque per l'esponente di quella frazione è $t$ e ci sono poi in parentesi perchè esce $(1+t)/(1-t)$? non dovrebbe uscire $(1+1/t)/(1-1/t)$?
[tex]$\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\left(\frac{1+\frac{1}{t}}{1-\frac{1}{t}}\right)=\left(\frac{\frac{t+1}{t}}{\frac{t-1}{t}}\right)=\left(\frac{t+1}{t-1}\right)$[/tex]
chiaro?
chiaro?
giusto, poi in questo punto:
cosa si è fatto? si è aggiunto e sottatto $+1-1$?
"ciampax":
$...=((t-1+2)/(t-1))^t$=...
cosa si è fatto? si è aggiunto e sottatto $+1-1$?
Esatto.
ok ho capito il limite è uguale a $e^2$
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