Esercizi su limiti....

[kioccolatino90]

buona sera ho un paio di limiti che non riesco a risolvere sono più o meno semplici ma non riesco a capire come si procede non c'è un procedimento uguale per tutti e per questo mi confondo sempre, ad esempio:

$lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)$ è una forma indeterminata $0/0$ dunque ho pensato al De L'Hopital opuure alla gerarchia degli infinitesimi di ordina maggiore:

con la prima pensata: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=$ $lim_(x->0)([(4x+4x^3)tanx+(2x^2+x^4)*1/(cos^2x)](x-sinx)-[(2x^2+x^4)tanx](1-cosx))/(x-sinx)^2$ però questo diventa una cosa lunghissima e laboriosa che se non si sta attenti si sbaglia molto sicuramente al 99.9999%.....

con gli infinitesimi: $lim_(x->0)((2x^2+x^4)tanx)/(x-sinx)=(2tanx^3+tanx^4)/(x-sinx)$ al denominatore posso trascurare il seno al numeratore trascuro $2tanx^3$ che è di ordine minore e ottengo $lim_(x->0)(tanx^4)/(x)$ solo che ora non so che fare.... come posso procedere?

[kioccolatino90]

poi avevo questo limite un pò complicato $lim_(x->0)(e^x-cosx)/(log(1+sinx))$ è una forma $0/0$ provo ad applicare L'Hopital:

$lim_(x->0)((e^x+sinx)log(1+sinx)-(e^x-cosx)((cosx)/(1+sinx)))/(log(1+sinx))^2$ ma non conviene come sempre (solo per una funzione semplice suppongo), provo in quest'altro modo:

$lim_(x->0)(e^x-cosx)/(log(1+sinx)) =lim_(x->0)((e^x-cosx)/x)/((log(1+sinx))/x)= (lim_(x->0)(e^x-cosx)/x)/(lim_(x->0)(log(1+sinx))/x)$ e non so più come andare avanti...

[ciampax]

Banalmente [tex]$\sin x\sim x$[/tex] e quindi [tex]$\log(1+\sin x)\sim\log(1+x)\sim x$[/tex]. A questo punto usa il fatto che

[tex]$e^x\sim 1+x,\qquad \cos x\sim 1-\frac{x^2}{2}$[/tex]

[Sk_Anonymous]

"domy90":poi avevo questo limite un pò complicato $lim_(x->0)(e^x-cosx)/(log(1+sinx))$ è una forma $0/0$ provo ad applicare L'Hopital:

$lim_(x->0)((e^x+sinx)log(1+sinx)-(e^x-cosx)((cosx)/(1+sinx)))/(log(1+sinx))^2$ ma non conviene come sempre (solo per una funzione semplice suppongo), provo in quest'altro modo:

$lim_(x->0)(e^x-cosx)/(log(1+sinx)) =lim_(x->0)((e^x-cosx)/x)/((log(1+sinx))/x)= (lim_(x->0)(e^x-cosx)/x)/(lim_(x->0)(log(1+sinx))/x)$ e non so più come andare avanti...

ciao, basta che sviluppi semplicemente con McLaurin al primo grado oppure usi i limiti notevoli, e quel limite diventa davvero facile!
Applicare de l'Hopital è da suicidio...

[kioccolatino90]

ah si, ma si poteva anche fare così: $lim_(x->0)(e^x-cosx)/(log(1+sinx))=$ $lim_(x->0)((1+x+x^2/2+x^3/6)-(1-x^2/2))/log[1+(x-x^3/6)]$ per cui si vede facilmente che tutto è contenuto in $e^x$ e quindi il limite viene: $lim_(x->0)e^x=1$???

[Sk_Anonymous]

"domy90":ah si, ma si poteva anche fare così: $lim_(x->0)(e^x-cosx)/(log(1+sinx))=$ $lim_(x->0)((1+x+x^2/2+x^3/6)-(1-x^2/2))/log[1+(x-x^3/6)]$ per cui si vede facilmente che tutto è contenuto in $e^x$ e quindi il limite viene: $lim_(x->0)e^x=1$???

giusto, a me veniva uno applicando i limiti notevoli

[kioccolatino90]

ho provato con i limiti notevoli ma non ci sono riuscito.....

[Sk_Anonymous]

"domy90":ho provato con i limiti notevoli ma non ci sono riuscito.....

aggiungi e sottrai 1 al numeratore, poi dividi e moltiplichi per x ecc ed ecco che ti esce 1

[kioccolatino90]

Se non do troppo fastidio volevo farvi vedere come ho risolto quest'altro, però non avendo il risultato non so se ho fatto bene:

$lim_(x->-oo)(root(6)(x^6-5x^4+3x^3)+x)/(2x)= lim_(x->-oo)(root(6)(x^6(1-5/x^2+3/x^3))+x)/(2x) =lim_(x->-oo)(|x|root(6)(1-5/x^2+3/x^3)+x)/(2x)$ osserviamo che $|x|=-x$ in un intorno di $-oo$; $lim_(x->-oo)(-x(root(6)(1-5/x^2+3/x^3)-1))/(2x)$ la radice tende a uno e quindi:


$lim_(x->-oo)(-x(1-1))/(2x)=0$.....va bene così? io penso che c'è qualche imprecisione o no?.....

[kioccolatino90]

anzi è tutto sbagliato:
$lim_(x->-oo)(root(6)(x^6-5x^4+3x^3)+x)/(2x)= lim_(x->-oo)(root(6)(x^6(1-5/x^2+3/x^3))+x)/(2x)$osserviamo che $|x|=-x$ in un intorno di $-oo$; $lim_(x->-oo)(-x (root(6)(1-5/x^2+3/x^3)-1))/(2x)=$ $lim_(x->-oo)-x((1-5/x^2+3/x^3)^(1/6)-1)/(2x)$ adesso moltiplico e divito per la stessa quantità numeratore e denominatore:

$lim_(x->-oo)-x((1-5/x^2+3/x^3)^(1/6)-1)/(2x(-5/x^2+3/x^3))*(-5/x^2+3/x^3)= lim_(x->-oo)-((1-5/x^2+3/x^3)^(1/6)-1)/(2x(-5/x^2+3/x^3))*(-5/x+3/x^3)$ sono quasi giunto alla soluzione solo che non riesco a togliere quel $2x$... come posso fare?

[ciampax]

Ti faccio presente che ti sei dimenticato il $-x$ raccolto a numeratore che puoi semplificare con la $x$ a denominatore.

[kioccolatino90]

l'ho semplificata con $-5/x^2$, però ora che ci penso è meglio con il $2x$.... e mi esce $$

$lim_(x->-oo)-x((1-5/x^2+3/x^3)^(1/6)-1)/(2x(-5/x^2+3/x^3))*(-5/x^2+3/x^3)= lim_(x->-oo)-((1-5/x^2+3/x^3)^(1/6)-1)/(2(-5/x^2+3/x^3))*(-5/x^2+3/x^3)= lim_(x->-oo)-1/12*(-5/x^2+3/x^3)=-1/12*0=0^-$.... giusto?

[ciampax]

Giusto.

[kioccolatino90]

Poi ho fatto questo limite davvero complicato, però non saprei dire se l'ho fatto bene:

$lim_(x->0+)(root(3)(1+tanx)-cos^2x)/(2log(1+sinx)+e^(cos x-1)-cos^3sqrtx)$ dio è difficilissimo però sono partito molto rapidamente con Taylor e in manco due minutoi l'ho svolto, però non so se è fatto bene...

l'ho risolto così:

al numeratore $root(3)(1+tanx)$ è di ordine inferiore e mi resta solo il coseno:

$lim_(x->0+)(-(1-x^2/2)^2)/(2log(1+sinx)+e^(cos x-1)-cos^3sqrtx)$

al denominatore si vede chiaramente che:

-1). il logaritmo va all'infinito molto lentamente rispetto all'esponenziale, idem per $cos^3sqrtx$;

-2). tutto è contenuto nell'esponenziale.... è fatto bene?

e dunque mi resta da fare semplici calcoli:

$lim_(x->0+)(-(1-x^2/2)^2)/(+e^(cos x-1))=$ $lim_(x->0+)(-1+x^4/4)/(+e^(1-1))=$ $lim_(x->0+)(-1+0^4/4)/(+e^0)=-1^+$

[ciampax]

Mai viste tante assurdità tutte insieme!

Ma usare semplicemente i confronti asintotici cioè Taylor ai termini più bassi)?

Guarda che

[tex]$\sqrt[3]{1+\tan x}-\cos^2 x\sim\sqrt[3]{1+x}-\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2\sim 1+\frac{x}{3}-1+x^2-\frac{x^4}{4}\sim\frac{x}{3}$[/tex]

e

[tex]$2\log(1+\sin x)-e^{\cos x-1}-\cos\sqrt[3]{x}\sim2\log(1+x)+(1+\cos x-1)-\left(1-\frac{\sqrt[3]{x^2}}{2}\right)\sim 2x+1-\frac{x^2}{2}-1+\frac{x^{2/3}}{2}\sim\frac{x^{2/3}}{2}$[/tex]

per cui il limite equivale a

[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{x/3}{x^{2/3}/2}=\lim_{x\to 0}\frac{2}{3} x^{1/2}=0$[/tex]

[Sk_Anonymous]

"ciampax":Mai viste tante assurdità tutte insieme!

Ma usare semplicemente i confronti asintotici cioè Taylor ai termini più bassi)?

Guarda che

[tex]$\sqrt[3]{1+\tan x}-\cos^2 x\sim\sqrt[3]{1+x}-\left(1-\frac{x^2}{2}\right)^2\sim 1+\frac{x}{3}-1+x^2-\frac{x^4}{4}\sim\frac{x}{3}$[/tex]

e

[tex]$2\log(1+\sin x)-e^{\cos x-1}-\cos\sqrt[3]{x}\sim2\log(1+x)+(1+\cos x-1)-\left(1-\frac{\sqrt[3]{x^2}}{2}\right)\sim 2x+1-\frac{x^2}{2}-1+\frac{x^{2/3}}{2}\sim\frac{x^{2/3}}{2}$[/tex]

per cui il limite equivale a

[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{x/3}{x^{2/3}/2}=\lim_{x\to 0}\frac{2}{3} x^{1/2}=0$[/tex]

Ha ragione ciampax, non puoi fare quei ragionamenti quando stai calcolando un limite per x che tende a 0. Io l'ho risolto applicando i limiti notevoli.

[kioccolatino90]

o no!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

diciamo che in parte volevo fare così solo che non sapevo come si scrivavano i termini con le radici cubiche e il logaritmo poi visto che c'era l'esponenziale elevato a qualcosa non sapevo come fare....

comunque perchè $-e^(cos x-1)$ è circa $1+cos (x-1)$?

[ciampax]

Ora spero sia chiaro come procedere. Secondo me una bella tabella dei confronti asintotici vi servirebbe!

[kioccolatino90]

se hai qualche consiglio su dove posso trovarla una tabella del genere perchè io sto girando in rete ma trovo soltanto la teoria....

[ciampax]

La puoi costruire automaticamente usando i limiti notevoli.

[kioccolatino90]

cioè? come si fa?

ps. mi hanno dato il risultato del limite precedente dovrebbe uscire $2/21$, mi sa che non si trova....possibile che abbiamo sbagliato? non penso che dipenda dal tipo di svolgimento che si è usato... o no?