Esercizi Spazi Metrici
Ho il seguente esercizio 2.1
Sia $X$ un insieme e sia, per $x,y in X$:
$ d(x,y)={ ( 0 if x=y ),( 1 if x!=y ):} $
Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.
Potreste darmi per favore qualche dritta in merito a quello che bisogna dire per rispondere alla traccia???
Sia $X$ un insieme e sia, per $x,y in X$:
$ d(x,y)={ ( 0 if x=y ),( 1 if x!=y ):} $
Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.
Potreste darmi per favore qualche dritta in merito a quello che bisogna dire per rispondere alla traccia???
Risposte
Def. di Palla:
Sia $M$ uno spazio metrico. La palla (aperta) di raggio $r > 0$ centrata nel punto $p$ di $M$ è definita come
$B_r (p) = {x in M | d(x,p)
dove $d$ è la distanza o metrica. Se il simbolo di minore$ (<)$ è sostituito dal simbolo di minore o uguale$ (≤)$ ,la definizione precedente diventa quella di una palla chiusa:
$bar(B)_r (p) = {x in M | d(x,p) <=r}$
Adesso provvedo a rispondere al terzo punto!
Ecco qui'
\[
B(y, r)\subset B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2).
\]
Ricorda che, per definizione di intersezione, si ha che \(A\subset B\cap C\) se e solo se comunque tu prenda \(x\in A\) risulta che \(x\in B\) e anche \(x\in C\).
Allora per ogni $x in B(x_1,r_1)$ intersecato con ogni $x in B(x_2,r_2)$, allora si ha che ogni $ x in B(y,r)$ e' incluso nello spazio di intersezione tra $B(x_1,r_1) $ ed $B(x_2,r_2)$.
Credimi, di piu' di questo non so dirti e penso che adesso potresti aiutarmi e dire qualcosa.
Sia $M$ uno spazio metrico. La palla (aperta) di raggio $r > 0$ centrata nel punto $p$ di $M$ è definita come
$B_r (p) = {x in M | d(x,p)
dove $d$ è la distanza o metrica. Se il simbolo di minore$ (<)$ è sostituito dal simbolo di minore o uguale$ (≤)$ ,la definizione precedente diventa quella di una palla chiusa:
$bar(B)_r (p) = {x in M | d(x,p) <=r}$
Adesso provvedo a rispondere al terzo punto!
Ecco qui'
\[
B(y, r)\subset B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2).
\]
Ricorda che, per definizione di intersezione, si ha che \(A\subset B\cap C\) se e solo se comunque tu prenda \(x\in A\) risulta che \(x\in B\) e anche \(x\in C\).
Allora per ogni $x in B(x_1,r_1)$ intersecato con ogni $x in B(x_2,r_2)$, allora si ha che ogni $ x in B(y,r)$ e' incluso nello spazio di intersezione tra $B(x_1,r_1) $ ed $B(x_2,r_2)$.
Credimi, di piu' di questo non so dirti e penso che adesso potresti aiutarmi e dire qualcosa.
[Per caso ho visto che avevi finalmente risposto a tutti e tre i punti. Se modifichi i messaggi non arriva notifica e io non me ne posso accorgere.]
Guarda, prima di commentare quanto hai scritto commenterei questo:
Quello che tu stai cercando da me non lo avrai mai. Tu cerchi qualcuno che ti faccia l'esercizio mostrandotene la meccanica, in modo tale che tu possa sperare di risolvere esercizi simili per imitazione. Forse hai sempre fatto così, forse qualcun altro ti ha trattato così, io no. Questo qualcuno, se c'è stato, non ti ha aiutato, ma ti ha danneggiato.
L'esercizio in questione non è meccanico. Non si tratta di calcolare un limite o un integrale applicando delle regole di calcolo, ma si tratta di dimostrare una proposizione. L'unico modo per farlo è ragionare autonomamente.
Ora commentiamo la risposta. Hai risposto bene alle domande 1 e 2, ma sulla 3 hai solo copiato un mio intervento precedente e poi scritto una frase priva di senso:
Non ha senso intersecare due elementi, si intersecano due insiemi. Riformulo la domanda 3, rifletti e cerca di rispondere con calma:
3. Supponi che si abbia $B(y, r)\subset B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2)$. Per definizione, ciò significa che ogni elemento $x$ di $B(y, r)$ appartiene anche a $B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2)$. Fissa allora un punto $x\in B(y, r)$. Scrivi una formula che esprima il fatto che $x\in B(x_1, r_2)\cap B(x_2, r_2)$. Suggerimento: tale formula deve essere della forma
$d(x, x_1)< ?, \quad d(x, x_2)< ?$
Guarda, prima di commentare quanto hai scritto commenterei questo:
penso che adesso potresti aiutarmi e dire qualcosa.
Quello che tu stai cercando da me non lo avrai mai. Tu cerchi qualcuno che ti faccia l'esercizio mostrandotene la meccanica, in modo tale che tu possa sperare di risolvere esercizi simili per imitazione. Forse hai sempre fatto così, forse qualcun altro ti ha trattato così, io no. Questo qualcuno, se c'è stato, non ti ha aiutato, ma ti ha danneggiato.
L'esercizio in questione non è meccanico. Non si tratta di calcolare un limite o un integrale applicando delle regole di calcolo, ma si tratta di dimostrare una proposizione. L'unico modo per farlo è ragionare autonomamente.
Ora commentiamo la risposta. Hai risposto bene alle domande 1 e 2, ma sulla 3 hai solo copiato un mio intervento precedente e poi scritto una frase priva di senso:
Allora per ogni \(x\in B(x_1, r_1)\) intersecato con ogni \(x\in B(x_2, r_2)\)...
Non ha senso intersecare due elementi, si intersecano due insiemi. Riformulo la domanda 3, rifletti e cerca di rispondere con calma:
3. Supponi che si abbia $B(y, r)\subset B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2)$. Per definizione, ciò significa che ogni elemento $x$ di $B(y, r)$ appartiene anche a $B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2)$. Fissa allora un punto $x\in B(y, r)$. Scrivi una formula che esprima il fatto che $x\in B(x_1, r_2)\cap B(x_2, r_2)$. Suggerimento: tale formula deve essere della forma
$d(x, x_1)< ?, \quad d(x, x_2)< ?$
"dissonance":
Suggerimento: tale formula deve essere della forma
$d(x, x_1)< ?, \quad d(x, x_2)< ?$
Allora deve essere cosi' :
$d(x,x_1) < d(x_1, r_1) - d(x,r)$
e poi
$d(x,x_2) < d(x_2,r_2) - d(x, r)$
Va bene cosi'???
Ma no che non va bene. Dimentica per un secondo la palla $B(y, r)$. Scrivi in formule la condizione
\[
x\in B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2).\]
Cosa significa questo? Dillo a parole se vuoi.
\[
x\in B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2).\]
Cosa significa questo? Dillo a parole se vuoi.
penso proprio di aver compreso ed e' questo il disegno:
Poi lo dico a parole!
Poi lo dico a parole!
Va bene dai. Prova a risolvere l'esercizio adesso. Scrivi con calma, io domani lo vedo e ti dico che ne penso. Mi raccomando non scrivere di getto.
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