Esercizi Spazi Metrici
Ho il seguente esercizio 2.1
Sia $X$ un insieme e sia, per $x,y in X$:
$ d(x,y)={ ( 0 if x=y ),( 1 if x!=y ):} $
Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.
Potreste darmi per favore qualche dritta in merito a quello che bisogna dire per rispondere alla traccia???
Sia $X$ un insieme e sia, per $x,y in X$:
$ d(x,y)={ ( 0 if x=y ),( 1 if x!=y ):} $
Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.
Potreste darmi per favore qualche dritta in merito a quello che bisogna dire per rispondere alla traccia???
Risposte
Premesso che non ho capito questa frase
per verificare che quello è uno spazio metrico devi sottoporre quella definizione della distanza che hai scritto alle condizioni che hai postato l'altra volta.
E' sempre non negativa?
E' nulla quando $x=y$?
E' commutativa?
Vale la disuguaglianza triangolare?
"Bad90":
Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.
per verificare che quello è uno spazio metrico devi sottoporre quella definizione della distanza che hai scritto alle condizioni che hai postato l'altra volta.
E' sempre non negativa?
E' nulla quando $x=y$?
E' commutativa?
Vale la disuguaglianza triangolare?
"axpgn":
Premesso che non ho capito questa frase[quote="Bad90"]Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.
per verificare che quello è uno spazio metrico devi sottoporre quella definizione della distanza che hai scritto alle condizioni che hai postato l'altra volta.
E' sempre non negativa?
E' nulla quando $x=y$?
E' commutativa?
Vale la disuguaglianza triangolare?[/quote]
Allora si tratta di dimostrare quelle proprietà....???
Quelle sono le proprietà che vanno verificate per dimostrare che è uno spazio metrico; se poi devi fare altro ... non saprei ...
Tu come risponderesti?????
Sì 
... non è difficile da dimostrare ... prova, vedrai ...
Questa "metrica" viene detta "metrica discreta".
... non è difficile da dimostrare ... prova, vedrai ...
Questa "metrica" viene detta "metrica discreta".
"axpgn":
Sì
... non è difficile da dimostrare ... prova, vedrai ...
Questa "metrica" viene detta "metrica discreta".
Dammi conferma:
Definizione: Sia $X$ un insieme qualsiasi. Una distanza su$ X$ e' un’ap-
plicazione $d : X × X -> R$ tale che
i)$ d(x,y) ≥ 0 $per ogni $x, y$ in $X$, e$ d(x,y) = 0$ se e solo se $x = y$
(positivita`);
ii) $d(x, y) = d(y, x)$ per ogni $x, y$ in $X$ (simmetria);
iii) $d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) $per ogni $x, y$ e$ z$ in $X$ (disuguaglianza trian- golare).
Uno spazio metrico `e una coppia $(X,d)$ con $X $ insieme qualsiasi, e d distanza su $X$.
Sia $X$ un insieme qualsiasi e $d(x, y) = 1$ se $x!= y$,$ d(x, y) = 0$ se$ x = y$. Si verifica facilmente che i) e ii) valgono; per la iii), se $x = y$ non c’`e nulla da dimostrare; se $x!= y$, si deve provare che $d(x, z)+d(z, y) ≥ 1 $per ogni $x$,$y$ e $z$ in$ X $con $x!= y$, fatto questo che risulta essere vero, essendo almeno uno tra i valori $d(x, z)$ e $d(y, z) $uguale a$ 1 $(non possono essere entrambi nulli, dato che se lo fossero, si avrebbe $x = z $e $z = y$ per la i), da cui $x = y$, il che non e'. La distanza d prende il nome di distanza discreta.
P.S. Potresti arricchire tu questi concetti, in base alla tua esperienza in materia, come esporresti questo concetto?????
Mi sembra tutto giusto ...
Purtroppo, non posso arricchire niente perché di "esperienza in materia" non ne ho ...
Sono concetti che ho letto qualche tempo fa ma che non ho mai approfondito ... chissà in futuro ...
Cordialmente, Alex
Purtroppo, non posso arricchire niente perché di "esperienza in materia" non ne ho ...
Sono concetti che ho letto qualche tempo fa ma che non ho mai approfondito ... chissà in futuro ...
Cordialmente, Alex
"Bad90":
Sia $X$ un insieme qualsiasi e $d(x, y) = 1$ se $x!= y$,$ d(x, y) = 0$ se$ x = y$. Si verifica facilmente che i) e ii) valgono; [...]
E fammelo vedere che è facile.
"Bad90":
[...] per la iii), se $x = y$ non c’`e nulla da dimostrare; se $x!= y$, si deve provare che $d(x, z)+d(z, y) ≥ 1 $per ogni $x$,$y$ e $z$ in$ X $con $x!= y$, fatto questo che risulta essere vero, essendo almeno uno tra i valori $d(x, z)$ e $d(y, z) $uguale a$ 1 $(non possono essere entrambi nulli, dato che se lo fossero, si avrebbe $x = z $e $z = y$ per la i), da cui $x = y$, il che non e'.
Ok.
"gugo82":
[quote="Bad90"]Sia $X$ un insieme qualsiasi e $d(x, y) = 1$ se $x!= y$,$ d(x, y) = 0$ se$ x = y$. Si verifica facilmente che i) e ii) valgono; [...]
E fammelo vedere che è facile.[/quote]
Ciao Gugo82, inizio con il dire che quella è una def., e preferisco esporre il concetto in quel modo, (penso che anche tu faresti lo stesso), vero
, pero penso che sia facile capire che un insieme $X$ è sempre $>=0$ e che se $x=y$ allora $d(x,y)=0$, in quanto se si pensa ad un segmento orientato avente una certa lunghezza, mi sembra chiaro che la sua lunghezza debba essere per forza $>=0$, si tratta del modulo della lunghezza!Se ho detto qualche cosa di sbagliato, dimmi pure, ma sappi che le spiegazioni che ho cercato di dare, non sono in un linguaggio matematichese, perchè io sono abituato ad esporre i concetti così come in grandi matematici li hanno definiti
"Bad90":
... pero penso che sia facile capire che un insieme $X$ è sempre $>=0$ ...
Un insieme non è mai maggiore o uguale a zero, casomai è vuoto o non vuoto oppure puoi fare riferimento alla sua cardinalità ...
Quello che ti chiedeva gugo è questo: per quanto riguarda la non negatività della funzione distanza basta osservare che l'insieme delle immagini (${0, 1}$) è non negativo mentre per quanto riguarda la nullità è la definizione stessa della funzione che impone la nullità solo nel caso in cui i due membri della coppia siano uguali; e così via ...
E' vero, come dici, che il concetto "naturale" di distanza induce a pensare che essa non sia mai negativa, ma qui si tratta di verificare una sua definizione ben precisa, diversa da quella "naturale", e se questa definizione si accorda con le proprietà che deve avere perché la coppia (insieme, funzione "distanza") sia uno spazio metrico.
Cordialmente, Alex
"Bad90":Sei sicuro di non aver copiato questo stralcio da qualche libro o sito internet?
Sia $X$ un insieme qualsiasi e $d(x, y) = 1$ se $x!= y$,$ d(x, y) = 0$ se$ x = y$. Si verifica facilmente che i) e ii) valgono; per la iii), se $x = y$ non c’`e nulla da dimostrare; se $x!= y$, si deve provare che $d(x, z)+d(z, y) ≥ 1 $per ogni $x$,$y$ e $z$ in$ X $con $x!= y$, fatto questo che risulta essere vero, essendo almeno uno tra i valori $d(x, z)$ e $d(y, z) $uguale a$ 1 $(non possono essere entrambi nulli, dato che se lo fossero, si avrebbe $x = z $e $z = y$ per la i), da cui $x = y$, il che non e'. La distanza d prende il nome di distanza discreta.
"dissonance":Sei sicuro di non aver copiato questo stralcio da qualche libro o sito internet?[/quote]
[quote="Bad90"]
Sia $X$ un insieme qualsiasi e $d(x, y) = 1$ se $x!= y$,$ d(x, y) = 0$ se$ x = y$. Si verifica facilmente che i) e ii) valgono; per la iii), se $x = y$ non c’`e nulla da dimostrare; se $x!= y$, si deve provare che $d(x, z)+d(z, y) ≥ 1 $per ogni $x$,$y$ e $z$ in$ X $con $x!= y$, fatto questo che risulta essere vero, essendo almeno uno tra i valori $d(x, z)$ e $d(y, z) $uguale a$ 1 $(non possono essere entrambi nulli, dato che se lo fossero, si avrebbe $x = z $e $z = y$ per la i), da cui $x = y$, il che non e'. La distanza d prende il nome di distanza discreta.
Ciao dissonance, se avessi letto tutti i messaggi del thread, non avresti fatto questa affermazione...
Ma se ho già detto che è una definizione del mio testo, perchè mai dovrei dire che è di mia invenzione???
Spero che quanto ho scritto ti abbia fatto capire che quella è una def. del mio testo, tutto qui'
P.S. Mio testo significa che ho acquistato il un testo e che adesso lo sto studiando
"axpgn":
............... e se questa definizione si accorda con le proprietà che deve avere perché la coppia (insieme, funzione "distanza") sia uno spazio metrico.
Cordialmente, Alex
Ti ringrazio Alex per avermi corretto e ringrazio anche a Gugo82 per aver fatto il suo intervento in quanto si è arrivati ad un ping pong di messaggi abbastanza utili per me e penso per tutti coloro interessati al thread!
"Bad90":la definizione mi sembra corretta (esistono altri modi equivalenti... ).
Definizione: Sia $X$ un insieme qualsiasi. Una distanza su$ X$ e' un’ap-
plicazione $d : X × X -> R$ tale che
i)$ d(x,y) ≥ 0 $per ogni $x, y$ in $X$, e$ d(x,y) = 0$ se e solo se $x = y$
(positivita`);
ii) $d(x, y) = d(y, x)$ per ogni $x, y$ in $X$ (simmetria);
iii) $d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) $per ogni $x, y$ e$ z$ in $X$ (disuguaglianza trian- golare).
Uno spazio metrico `e una coppia $(X,d)$ con $X $ insieme qualsiasi, e d distanza su $X$.
"Bad90":per la i) devi fare vedere che \( \forall x,y \in X(d((x,y))\geq 0)\), se prendi \(x,y \in X\) e valuti \(d((x,y))\) noti che per definizione se \(x =y\) allora \( d((x,y))=0\) ergo \( d((x,y))=0 \geq 0\), mentre se \(x \neq y \) allora per definizione \(d((x,y))=1\) ergo \( d((x,y))=1 \geq 0\); poi devi fare vedere che \( \forall x,y \in X(d((x,y))=0 \Leftrightarrow x=y)\), quindi devi verificare che \( \forall x,y \in X(d((x,y))=0 \Rightarrow x=y)\) e \( \forall x,y \in X(d((x,y))=0 \Leftarrow x=y)\), non so tu ma per me il se e solo se indica proprio questo.. A me sembra che hai dimostrato in questo caso solo \( \forall x,y \in X(d((x,y))=0 \Leftarrow x=y)\)
Sia $X$ un insieme qualsiasi e $d(x, y) = 1$ se $x!= y$,$ d(x, y) = 0$ se$ x = y$. Si verifica facilmente che i) e ii) valgono;
P.S.=Che testo usi?
"garnak.olegovitc":
A me sembra che hai dimostrato in questo caso solo \( \forall x,y \in X(d((x,y))=0 \Leftarrow x=y)\)
P.S.=Che testo usi?
Ti ringrazio garnak, è da tempo che leggo i tuoi messaggi e spesso hai risposto alle mie richieste
Conosci molto bene la materia e quindi ascolto i tuoi consigli!
Per quanto riguarda il testo che uso, preferisco non dire quale sia, è una questione di privacy
[ot]@Bad90, attento ( ):
3.13 Quando si 'Quota' un messaggio per dare una risposta occorre evitare di riportare integralmente il testo del messaggio al quale si risponde. Le citazioni, quindi, sono utili se dall'intero messaggio viene estratta una parte di esso o meglio soltanto una frase. (tratto dal regolamento)
Io non conosco bene la materia (sono sempre dell'idea di non conoscere niente per bene), ho studiato (sto studiando) qualcos(in)a in merito... potrei dire anche cose errate
[/ot]
): 3.13 Quando si 'Quota' un messaggio per dare una risposta occorre evitare di riportare integralmente il testo del messaggio al quale si risponde. Le citazioni, quindi, sono utili se dall'intero messaggio viene estratta una parte di esso o meglio soltanto una frase. (tratto dal regolamento)
Io non conosco bene la materia (sono sempre dell'idea di non conoscere niente per bene), ho studiato (sto studiando) qualcos(in)a in merito... potrei dire anche cose errate
[/ot]
"garnak.olegovitc":
Io non conosco bene la materia (sono sempre dell'idea di non conoscere niente per bene), ho studiato (sto studiando) qualcos(in)a in merito... potrei dire anche cose errate
Sto cercando di capire per bene la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, solo che vorrei capirla ragionandoci su!
Voi sapreste dire cosa tratta questa disuguaglianza???
Questa è la formula:
$ sum_(i=1)^(N) |s_it_i|<=1/2sum_(i=1)^(N)(s_i^2 + t_i^2) $
$ sum_(i=1)^(N)|s_it_i|<=(sum_(i=1)^(N)s_i^2)^(1/2)(sum_(i=1)^(N)t_i^2)^(1/2) $
Cosa tratta e cosa dice questa formula???
Voi sapreste dire cosa tratta questa disuguaglianza???
Questa è la formula:
$ sum_(i=1)^(N) |s_it_i|<=1/2sum_(i=1)^(N)(s_i^2 + t_i^2) $
$ sum_(i=1)^(N)|s_it_i|<=(sum_(i=1)^(N)s_i^2)^(1/2)(sum_(i=1)^(N)t_i^2)^(1/2) $
Cosa tratta e cosa dice questa formula???
La seconda che hai scritto, l'ho vista a riguardo del "prodotto interno" (o "prodotto scalare" o "dot product") definito per uno spazio vettoriale ed in sostanza dice che il valore assoluto del prodotto interno di due vettori è inferiore o uguale al prodotto della norma dei due vettori.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
La seconda che hai scritto, l'ho vista a riguardo del "prodotto interno" (o "prodotto scalare" o "dot product") definito per uno spazio vettoriale ed in sostanza dice che il valore assoluto del prodotto interno di due vettori è inferiore o uguale al prodotto della norma dei due vettori.
Cordialmente, Alex
Ok, perfetto per la seconda, mentre per la prima aspettiamo il parere di qualcuno!
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