Esercizi Spazi Metrici
Ho il seguente esercizio 2.1
Sia $X$ un insieme e sia, per $x,y in X$:
$ d(x,y)={ ( 0 if x=y ),( 1 if x!=y ):} $
Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.
Potreste darmi per favore qualche dritta in merito a quello che bisogna dire per rispondere alla traccia???
Sia $X$ un insieme e sia, per $x,y in X$:
$ d(x,y)={ ( 0 if x=y ),( 1 if x!=y ):} $
Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.
Potreste darmi per favore qualche dritta in merito a quello che bisogna dire per rispondere alla traccia???
Risposte
Allora...
La $d'' (x,y) = max{|x_1 - y_1|, |x_2-y_2|}$ e questa è sempre positiva in quanto cioè $>=0$ in quanto compaiono i valori assoluti.
Poi $d'' (x,y)=0$ solo se $x_1 = y_1$ ed $x_2=y_2$ sostituendo nella definizione della $d''$ abbiamo che :
$d'' (x,y) = max{|x_1 - x_1|, |x_2-x_2|} $
$d'' (x,y) = max{|0|, |0|} = $
Poi verifichiamo la simmetria....
$d'' (x,y) = d''(y,x)$
$max{|x_1 - y_1|, |x_2-y_2|} = max{|x_2-y_2|,|x_1 - y_1|}$
e quindi il membro di sinistra è uguale a quello di destra.
E poi non so se ho detto bene fino ad adesso, ma non riesco a dire più nulla,
La $d'' (x,y) = max{|x_1 - y_1|, |x_2-y_2|}$ e questa è sempre positiva in quanto cioè $>=0$ in quanto compaiono i valori assoluti.
Poi $d'' (x,y)=0$ solo se $x_1 = y_1$ ed $x_2=y_2$ sostituendo nella definizione della $d''$ abbiamo che :
$d'' (x,y) = max{|x_1 - x_1|, |x_2-x_2|} $
$d'' (x,y) = max{|0|, |0|} = $
Poi verifichiamo la simmetria....
$d'' (x,y) = d''(y,x)$
$max{|x_1 - y_1|, |x_2-y_2|} = max{|x_2-y_2|,|x_1 - y_1|}$
e quindi il membro di sinistra è uguale a quello di destra.
E poi non so se ho detto bene fino ad adesso, ma non riesco a dire più nulla,
Ok, molto bene, solo qualche precisazione ...
Per la prima condizione non è "sempre positiva" ma è "sempre non negativa" che è quasi lo stesso ma non è lo stesso ...
Per la nullità va bene quello che hai detto ma siccome non è "se" ma "se e solo se" va dimostrato anche che se $x!=y$ allora $d''(x,y)!=0$ ... anche qui è quasi la stessa cosa ma non è la stessa cosa ...
Per quanto riguarda la simmetria hai invertito i valori assoluti, invece dovevi invertire la differenza all'interno dei valori assoluti cioè dovevi dimostrare che è $max{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|}=max{|y_1-x_1|,|y_2-x_2|}$ che è vera per definizione del valore assoluto (esattamente come l'altra).
OK
, ti rimane solo l'ultima condizione ... vai ..
Per la prima condizione non è "sempre positiva" ma è "sempre non negativa" che è quasi lo stesso ma non è lo stesso ...
Per la nullità va bene quello che hai detto ma siccome non è "se" ma "se e solo se" va dimostrato anche che se $x!=y$ allora $d''(x,y)!=0$ ... anche qui è quasi la stessa cosa ma non è la stessa cosa ...
Per quanto riguarda la simmetria hai invertito i valori assoluti, invece dovevi invertire la differenza all'interno dei valori assoluti cioè dovevi dimostrare che è $max{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|}=max{|y_1-x_1|,|y_2-x_2|}$ che è vera per definizione del valore assoluto (esattamente come l'altra).
OK
, ti rimane solo l'ultima condizione ... vai ..
"axpgn":
OK
Ti posso chiedere per favore se mi fai vedere tu come scrivere l' ultima condizione????????
Sforzati di proporre un tuo ragionamento, prima ... poi vediamo
Se ci fai vedere le tue elaborazioni è possibile capire meglio dove sono le tue difficoltà invece di un generico "non ci riesco"; ok?
Cordialmente, Alex
Se ci fai vedere le tue elaborazioni è possibile capire meglio dove sono le tue difficoltà invece di un generico "non ci riesco"; ok?
Cordialmente, Alex
Non riesco a capire cosa ci sia di sbagliato in quanto dico pe la dimostrazione della terza proprieta' per $d''$ ????????
Provo a dimostrare la disuguaglianza triangolare, penso che ciò che mi hai consigliato di esporre sia questa, vero??
Allora.....
Su $R^2$ consideriamo la funzione $d_1 : R^2 xx R^2 ->R$ data da:
$d_1 (x,y) = max{|x_1 - y_1|,|x_2-y_2|}$
dove $x=(x_1,y_1)$ e $y=(y_1,y_2)$.
Dati $x=(x_1,x_2); y=(y_1,y_2); z=(z_1,z_2)$ tre punti, la disuguaglianza triangolare del valore assoluto ci dice che :
$|x_1 - y_1|<=|x_1 - z_1| + |z_1 - y_1|$
Quindi a maggior ragione:
$|x_1 - y_1|<= max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} =d(x,z)+ d(z,y)$
Analogamente si dimostra che :
$|x_2 - y_2|<=d_1(x,z)+d(z,y)$
Ne segue quindi la disuguaglianza triangolare:
$d_1 (x,y) = max{|x_1 - y_1|,|x_2-y_2|}<= d_1(x,z) + d_1(z,y)$
P.S. Adesso non riesco a dire più nulla, puoi dirmi ciò che ho sbagliato e ciò che manca per quello che bisogna dire ancora???
Provo a dimostrare la disuguaglianza triangolare, penso che ciò che mi hai consigliato di esporre sia questa, vero??
Allora.....
Su $R^2$ consideriamo la funzione $d_1 : R^2 xx R^2 ->R$ data da:
$d_1 (x,y) = max{|x_1 - y_1|,|x_2-y_2|}$
dove $x=(x_1,y_1)$ e $y=(y_1,y_2)$.
Dati $x=(x_1,x_2); y=(y_1,y_2); z=(z_1,z_2)$ tre punti, la disuguaglianza triangolare del valore assoluto ci dice che :
$|x_1 - y_1|<=|x_1 - z_1| + |z_1 - y_1|$
Quindi a maggior ragione:
$|x_1 - y_1|<= max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} =d(x,z)+ d(z,y)$
Analogamente si dimostra che :
$|x_2 - y_2|<=d_1(x,z)+d(z,y)$
Ne segue quindi la disuguaglianza triangolare:
$d_1 (x,y) = max{|x_1 - y_1|,|x_2-y_2|}<= d_1(x,z) + d_1(z,y)$
P.S. Adesso non riesco a dire più nulla, puoi dirmi ciò che ho sbagliato e ciò che manca per quello che bisogna dire ancora???
Per prima correggiamo questa
perché sarebbe così $ d_1 : R xx R ->R $ (cioè $ d_1 : R^2->R $)
Poi ... ti avevo consigliato come prima cosa da fare quella di sostituire la "tua" metrica al posto di quella generica nella condizione da provare; facendo questi ti accorgi che quello che devi provare è questo
$ max {|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|}<= max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} $
e non quello che hai scritto
$ |x_1 - y_1|<=max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} $
Proviamo ...
Poniamo che sia $ |x_1 - y_1|=max {|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|}$, perciò avremo $|x_1-y_1|<=|x_1-z_1|+|z_1-y_1|$
e dato che è $|x_1-z_1|<=max{|x_1-z_1|,|x_2-z_2|}$ e $|z_1-y_1|<=max{|z_1-y_1|,|z_2-y_2|}$
allora possiamo dire che $max {|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|}=|x_1 - y_1|<=|x_1-z_1|+|z_1-y_1|<=max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} $
Analogamente si prova se il max è l'altro ...
C.V.D.
Cordialmente, Alex
"Bad90":
Su $ R^2 $ consideriamo la funzione $ d_1 : R^2 xx R^2 ->R $ data da:
perché sarebbe così $ d_1 : R xx R ->R $ (cioè $ d_1 : R^2->R $)
Poi ... ti avevo consigliato come prima cosa da fare quella di sostituire la "tua" metrica al posto di quella generica nella condizione da provare; facendo questi ti accorgi che quello che devi provare è questo
$ max {|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|}<= max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} $
e non quello che hai scritto
$ |x_1 - y_1|<=max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} $
Proviamo ...
Poniamo che sia $ |x_1 - y_1|=max {|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|}$, perciò avremo $|x_1-y_1|<=|x_1-z_1|+|z_1-y_1|$
e dato che è $|x_1-z_1|<=max{|x_1-z_1|,|x_2-z_2|}$ e $|z_1-y_1|<=max{|z_1-y_1|,|z_2-y_2|}$
allora possiamo dire che $max {|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|}=|x_1 - y_1|<=|x_1-z_1|+|z_1-y_1|<=max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} $
Analogamente si prova se il max è l'altro ...
C.V.D.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Per prima correggiamo questa [quote="Bad90"]Su $ R^2 $ consideriamo la funzione $ d_1 : R^2 xx R^2 ->R $ data da:
perché sarebbe così $ d_1 : R xx R ->R $ (cioè $ d_1 : R^2->R $)[/quote]No, secondo me qui ha ragione Bad. La funzione $d_1$ è definita su $RR^2\times RR^2$, non su $RR^2$.
Poi ... ti avevo consigliato come prima cosa da fare quella di sostituire la "tua" metrica al posto di quella generica nella condizione da provare; facendo questi ti accorgi che quello che devi provare è questoAnche qui, questo remark mi pare francamente un po' fuori luogo. Una volta dimostrata la seconda disuguaglianza, cosa che Bad ha fatto, è chiaro che basterà rifare il procedimento con $x_2$ e $y_2$ in luogo di $x_1$ e $y_1$ e ottenere così la prima disuguaglianza. Bad questo lo dice chiaramente, non vedo perché richiamarlo.
$ max {|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|}<= max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} $
e non quello che hai scritto
$ |x_1 - y_1|<=max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} $
Infine, ho notato che hai richiamato Bad sull'uso dei termini "positiva" e "non-negativa". Pur essendo vero che il secondo aggettivo è più preciso del primo, sta di fatto che la gran parte degli autori lo trova brutto e preferisce usare il primo pur correndo il rischio di ambiguità.
Con questo non voglio ora disprezzare il tuo lavoro di tutoraggio per Bad, tutt'altro. Invece voglio dire a Bad che dovrebbe finirla con questa insicurezza e fare un po' più di testa sua. A chiedere conferme ad ogni pié sospinto, specie su un forum, si corre il rischio di confondersi le idee ancora di più e in ultima analisi si aumenta l'insicurezza che cerchiamo di combattere.
"dissonance":No, secondo me qui ha ragione Bad. La funzione $ d_1 $ è definita su $ RR^2\times RR^2 $, non su $ RR^2 $.[/quote]
[quote="axpgn"]perché sarebbe così $ d_1 : R xx R ->R $ (cioè $ d_1 : R^2->R $)
E' vero, hai perfettamente ragione
"dissonance":Anche qui, questo remark mi pare francamente un po' fuori luogo.[/quote]
[quote="axpgn"]$ max {|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|}<= max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} $
e non quello che hai scritto
$ |x_1 - y_1|<=max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} $
Su questo invece non sono d'accordo. Nel prosieguo avevo sottolineato il fatto che fosse sulla strada giusta ma secondo me è importante (anzi fondamentale) avere le idee chiare su "cosa" si deve dimostrare e non potendo sapere se quello che ha scritto fosse già una semplificazione, ho ritenuto giusto evidenziarlo.
"dissonance":
Infine, ho notato che hai richiamato Bad sull'uso dei termini "positiva" e "non-negativa". Pur essendo vero che il secondo aggettivo è più preciso del primo, sta di fatto che la gran parte degli autori lo trova brutto e preferisce usare il primo pur correndo il rischio di ambiguità.
Riguardo a questo, non sai quante volte penso in tal modo (e mi comporto pure di conseguenza, molto spesso) ma volendo dare un aiuto mi è parso cosa migliore essere più preciso, anche se più formale.
Sinceramente mi sforzo di essere formale perché mi pare di esserlo troppo poco ...
"dissonance":
Invece voglio dire a Bad che dovrebbe finirla con questa insicurezza e fare un po' più di testa sua. A chiedere conferme ad ogni pié sospinto, specie su un forum, si corre il rischio di confondersi le idee ancora di più e in ultima analisi si aumenta l'insicurezza che cerchiamo di combattere.
Concordo pienamente.
Cordialmente, Alex
Non sto riuscendo a capire il seguente esercizio con soluzione:
Traccia.
Sia $(S,d)$ uno spazio metrico e siano $B_1=B(x_1,r_1)$ e $B_2=B(x_2,r_2)$ due cerchi aperti. Verificare che, se $y in B_1 nn B_2$, allora esiste $r>0$ tale che $B(y,r) sube B_1 nn B_2$.
Risoluzione.
Posto $r=min{r_1 - d(x_1,y), r_2 - d(x_2,r_2)}$ sia $x in B(y,r)$. Allora si ha $d(x,x_i)<=d(x,y) + d(y,x_i)
Help, io non lo sto capendo!
Potreste per favore aiutarmi a capire la soluzione per bene??
Ma cosa dice la soluzione ????
Io penso che centri qualcosa del genere:
Per ogni $(S,d) in Msp$ ogni bolla aperta $ball(a, r)$ e un insieme aperto.
Dim.: Consideriamo un generico punto $b in ball(a, r)$; per esso si ha $d(a, b) < r$ per definizione e la bolla avente centro in $b,ball(b, r - d(a, b))$ è interamente contenuta nella $ball(a, r)$, in quanto per ogni suo punto $x$ si ha $d(a, x) <= d(a, b) + d(b, x) < r$
Posto questa immagine perche' penso che sia questa l'idea:
Cosa ne dite???
Il mio problema e' capire il linguaggio della traccia e della soluzione del mio esercizio, voi riuscite a dare parole a quello che e' l'esercizio che mi sta torturando???
Traccia.
Sia $(S,d)$ uno spazio metrico e siano $B_1=B(x_1,r_1)$ e $B_2=B(x_2,r_2)$ due cerchi aperti. Verificare che, se $y in B_1 nn B_2$, allora esiste $r>0$ tale che $B(y,r) sube B_1 nn B_2$.
Risoluzione.
Posto $r=min{r_1 - d(x_1,y), r_2 - d(x_2,r_2)}$ sia $x in B(y,r)$. Allora si ha $d(x,x_i)<=d(x,y) + d(y,x_i)
Help, io non lo sto capendo!
Potreste per favore aiutarmi a capire la soluzione per bene??
Ma cosa dice la soluzione ????
Io penso che centri qualcosa del genere:
Per ogni $(S,d) in Msp$ ogni bolla aperta $ball(a, r)$ e un insieme aperto.
Dim.: Consideriamo un generico punto $b in ball(a, r)$; per esso si ha $d(a, b) < r$ per definizione e la bolla avente centro in $b,ball(b, r - d(a, b))$ è interamente contenuta nella $ball(a, r)$, in quanto per ogni suo punto $x$ si ha $d(a, x) <= d(a, b) + d(b, x) < r$
Posto questa immagine perche' penso che sia questa l'idea:
Cosa ne dite???
Il mio problema e' capire il linguaggio della traccia e della soluzione del mio esercizio, voi riuscite a dare parole a quello che e' l'esercizio che mi sta torturando???
Lascia stare la topologia generale. Tu sei in uno spazio metrico. Non devi fare altro che dimostrare quello che ti è stato chiesto, e il suggerimento che hai avuto è già bello grosso.
Fai un disegno con due cerchietti di centro due punti generici $x_1$ e $x_2$ e raggi $r_1, r_2$. Metti un punto $y$ nell'intersezione e disegna, grosso modo, il cerchietto di centro $y$ e con quel raggio $r$ che ti è stato dato. Ora rifletti su cosa significhi dimostrare che
\[
B(y, r)\subset B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2).
\]
Ricorda che, per definizione di intersezione, si ha che \(A\subset B\cap C\) se e solo se comunque tu prenda \(x\in A\) risulta che \(x\in B\) e anche \(x\in C\).
Ora devi concludere l'esercizio. Non tornare a postare prima di averlo risolto.
Fai un disegno con due cerchietti di centro due punti generici $x_1$ e $x_2$ e raggi $r_1, r_2$. Metti un punto $y$ nell'intersezione e disegna, grosso modo, il cerchietto di centro $y$ e con quel raggio $r$ che ti è stato dato. Ora rifletti su cosa significhi dimostrare che
\[
B(y, r)\subset B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2).
\]
Ricorda che, per definizione di intersezione, si ha che \(A\subset B\cap C\) se e solo se comunque tu prenda \(x\in A\) risulta che \(x\in B\) e anche \(x\in C\).
Ora devi concludere l'esercizio. Non tornare a postare prima di averlo risolto.
Dammi conferma del fatto che il disegno sia corretto:
Ho interpretato correttamente???
Ho interpretato correttamente???
Non ti rispondo. Ti ripeto, questo chiedere conferma ad ogni passetto è un vizio da togliere assolutamente. Rifletti bene su quale sia la regione di piano individuata da un cerchio, che in questo contesto indica l'insieme
\[
B(x, r)=\{ y\in X\ |\ d(x, y)
\[
B(x, r)=\{ y\in X\ |\ d(x, y)
La regione di spazio che indichi e' una metrica interna alla corconferenza, si capisce dal fatto che c'e' $d(x,y)
Il tuo disegno è sbagliato. Perché? Non tornare qui con la risposta a questa singola domanda, ma piuttosto con un altro disegno e un tentativo completo di risoluzione dell'esercizio.
"dissonance":
Il tuo disegno è sbagliato. Perché? Non tornare qui con la risposta a questa singola domanda, ma piuttosto con un altro disegno e un tentativo completo di risoluzione dell'esercizio.
Scusami dissonance, ma se sono arrivato a chiedere per favore se posso avere un aiuto a capire, questo non vuol dire che devo inventare qualcosa da dire e sbagliando .............
Se tu conosci meglio di me la risposta e ti fa piacere rispondere e aiutare qualcuno, allora aiuta con piacere, altrimenti a mio parere e' meglio lasciar stare!
Non voglio che sia inteso male questo messaggio, ma se vedi in questo forum, ci sono persone che sanno i concetti e li espongono con semplicita' e naturalezza, mentre quando rispondo ai tuoi messaggi, mi sembra di allenarmi in dattilografia, insomma, mi alleno a scrivere velocemente con la tastiera, ma niente di piu'!
Ti ringrazio ugualmente, ma spero che qualche esperto riuscira' ad aiutare un poveraccio come me!
spero che qualche esperto riuscira' ad aiutare un poveraccio come me!
Non ti autocommiserare. Non sei affatto un poveraccio. Sei invece uno studente non diverso da tutti gli altri e che è perfettamente in grado di risolvere questo esercizio *da solo*. Questo lo dico perché ho letto i tuoi interventi precedenti, non per dare un generico conforto.
Io penso veramente che il tuo unico problema sia l'insicurezza, e che avere gente che ti imbocca ad ogni passo non ti faccia bene. Sei arrivato a studiare Analisi 2, non sei più un bambino (matematicamente parlando).
Proviamo a fare un reset. Fissa uno spazio metrico $X$ e tre punti \(x_1, x_2, y\). Fissa anche tre numeri strettamente positivi \(r_1, r_2, r\). Io ti scrivo una formula in notazione insiemistica:
\[
B(y, r)\subset B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2).\]
Traduci per favore questa formula in notazione discorsiva ("per ogni x appartenente a..., risulta che ..." ).
"dissonance":
Fissa uno spazio metrico $X$ e tre punti \(x_1, x_2, y\). Fissa anche tre numeri strettamente positivi \(r_1, r_2, r\). Io ti scrivo una formula in notazione insiemistica:
\[
B(y, r)\subset B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2).\]
Traduci per favore questa formula in notazione discorsiva ("per ogni x appartenente a..., risulta che ..." ).
Ok, per il reset
Ti ringrazio per le dritte e i consigli
Allora, ecco il disegno che mi hai detto:
Traduco quanto mi hai detto....
$B(y,r) $ è incluso in $B(x_1, r_1)$ intersecato $B(x_2, r_2)$
Scusami, ma in questo caso, $B(y,r) $ vuol dire questo $B(y,r) = |y-r| $ ; $B(x_1, r_1)= |x_1 - r_1|$ ; $B(x_2, r_2)= |x_2 - r_2| $
Anche se io penso che questa $B(y,r) = |y-r| $ sia una distanza all'infinito??!? !
Cosa ne dici??
Insomma, non penso che si tratti di una distanza Euclidea, nemmeno di una distanza all'infinito, ma penso che si tratti di una distanza (che io chiamo ) del corridore, vero???
Puoi dirmi per favore come devo disegnare i cerchi (o bolle ) interessate???
Ti ringrazio vivamente!
No no no no no e no. Non ci siamo. Che cosa sarebbe questo casino? Non mettere in mezzo cose che non c'entrano nulla. Ti ho fatto una domanda: rispondi e basta.
Mi pare che tu abbia le idee molto confuse sulla teoria. La domanda che ho fatto è ambientata in uno spazio metrico. Non lo spazio euclideo, non la distanza del corridore, niente di tutto questo: uno spazio metrico, in astratto. Sai che cos'è uno spazio metrico? Se non lo sai apri il libro e studia bene il paragrafo sulle definizioni fondamentali per gli spazi metrici.
Cose da fare:
[list=1]
1. Scrivere la definizione di spazio metrico.
2. Scrivere la definizione di palla $B(x, r)$.
3. Scrivere in linguaggio discorsivo la relazione $B(x, r)\subset B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2).$
[/list:o:39fm188g]
Tutto questo va fatto nel modo più sintetico possibile. Vietato introdurre cose che non servono.
Mi pare che tu abbia le idee molto confuse sulla teoria. La domanda che ho fatto è ambientata in uno spazio metrico. Non lo spazio euclideo, non la distanza del corridore, niente di tutto questo: uno spazio metrico, in astratto. Sai che cos'è uno spazio metrico? Se non lo sai apri il libro e studia bene il paragrafo sulle definizioni fondamentali per gli spazi metrici.
Cose da fare:
[list=1]
1. Scrivere la definizione di spazio metrico.
2. Scrivere la definizione di palla $B(x, r)$.
3. Scrivere in linguaggio discorsivo la relazione $B(x, r)\subset B(x_1, r_1)\cap B(x_2, r_2).$
[/list:o:39fm188g]
Tutto questo va fatto nel modo più sintetico possibile. Vietato introdurre cose che non servono.
Comincio con la def. di spazio metrico:
Sia $X$ un insieme.
Una metrica o distanza su $X$ e' una funzione:
$d:X xx X -> R$
tale che, per ogni $x,y,z in X$ abbiamo:
1) $d(x,y) >= 0$ e $d(x,y)=0$ se e solo se $x=y$
2) $d(x,y)=d(y,x)$
3) $d(x,z)<= d(x,y)+d(y,z)$
Esempio:
$X=R^2$ e
$ d((x,y); (x',y')) = sqrt((x-x')^2 + (y-y')^2)$
La solita e semplice distanza nel piano.
cosa ne dici di questa prima def??????
Sia $X$ un insieme.
Una metrica o distanza su $X$ e' una funzione:
$d:X xx X -> R$
tale che, per ogni $x,y,z in X$ abbiamo:
1) $d(x,y) >= 0$ e $d(x,y)=0$ se e solo se $x=y$
2) $d(x,y)=d(y,x)$
3) $d(x,z)<= d(x,y)+d(y,z)$
Esempio:
$X=R^2$ e
$ d((x,y); (x',y')) = sqrt((x-x')^2 + (y-y')^2)$
La solita e semplice distanza nel piano.
cosa ne dici di questa prima def??????
"Bad90":
Comincio con la def. di spazio metrico:
Sia $X$ un insieme.
Una metrica o distanza su $X$ e' una funzione:
$d:X xx X -> R$
tale che, per ogni $x,y,z in X$ abbiamo:
1) $d(x,y) >= 0$ e $d(x,y)=0$ se e solo se $x=y$
2) $d(x,y)=d(y,x)$
3) $d(x,z)<= d(x,y)+d(y,z)$
Mancano le domande 2 e 3. Rispondi a tutto e poi ti dico la mia opinione.
Esempio:
$X=R^2$ e
$ d((x,y); (x',y')) = sqrt((x-x')^2 + (y-y')^2)$
La solita e semplice distanza nel piano.
cosa ne dici di questa prima def??????
Dico:
Vietato introdurre cose che non servono.
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