Esercizi Spazi Metrici
Ho il seguente esercizio 2.1
Sia $X$ un insieme e sia, per $x,y in X$:
$ d(x,y)={ ( 0 if x=y ),( 1 if x!=y ):} $
Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.
Potreste darmi per favore qualche dritta in merito a quello che bisogna dire per rispondere alla traccia???
Sia $X$ un insieme e sia, per $x,y in X$:
$ d(x,y)={ ( 0 if x=y ),( 1 if x!=y ):} $
Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.
Potreste darmi per favore qualche dritta in merito a quello che bisogna dire per rispondere alla traccia???
Risposte
Questa è la formula:
$ sum_(i=1)^(N) |s_it_i|<=1/2sum_(i=1)^(N)(s_i^2 + t_i^2) $
$ sum_(i=1)^(N)|s_it_i|<=(sum_(i=1)^(N)s_i^2)^(1/2)(sum_(i=1)^(N)t_i^2)^(1/2) $
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Se $x$ ed $y$ sono due vettori di uno spazio vettoriale euclideo, allora il valore assoluto del prodotto scalare di $x$ per $y$ è minore o uguale del prodotto dei loro moduli, uguale se e soltanto se $x$ ed $y$ sono linearmente dipendenti.
$|x⋅y|≤∥x∥∥y∥$
Esposta nel modo che ho scritto, risulta facile comprenderla, e penso che questa disuguaglianza sia proprio la prima formula $ sum_(i=1)^(N) |s_it_i|<=1/2sum_(i=1)^(N)(s_i^2 + t_i^2) $ , vero?
Adesso mi chiedo.....
Ma questa prima formula $ sum_(i=1)^(N) |s_it_i|<=1/2sum_(i=1)^(N)(s_i^2 + t_i^2) $ , qualcuno la conosce? Potreste per favore aiutarmi a comprendere il suo significato???
Come ci si arriva a scriverla in quel modo???
$ sum_(i=1)^(N) |s_it_i|<=1/2sum_(i=1)^(N)(s_i^2 + t_i^2) $
$ sum_(i=1)^(N)|s_it_i|<=(sum_(i=1)^(N)s_i^2)^(1/2)(sum_(i=1)^(N)t_i^2)^(1/2) $
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Se $x$ ed $y$ sono due vettori di uno spazio vettoriale euclideo, allora il valore assoluto del prodotto scalare di $x$ per $y$ è minore o uguale del prodotto dei loro moduli, uguale se e soltanto se $x$ ed $y$ sono linearmente dipendenti.
$|x⋅y|≤∥x∥∥y∥$
Esposta nel modo che ho scritto, risulta facile comprenderla, e penso che questa disuguaglianza sia proprio la prima formula $ sum_(i=1)^(N) |s_it_i|<=1/2sum_(i=1)^(N)(s_i^2 + t_i^2) $ , vero?
Adesso mi chiedo.....
Ma questa prima formula $ sum_(i=1)^(N) |s_it_i|<=1/2sum_(i=1)^(N)(s_i^2 + t_i^2) $ , qualcuno la conosce? Potreste per favore aiutarmi a comprendere il suo significato???
Come ci si arriva a scriverla in quel modo???
Ma che c'entra questa roba con l'esercizio del primo post?
Comunque, purtroppo hai sbagliato, la disuguaglianza $|x\cdot y| \le || x||\cdot ||y||$ , quando $x=(s_1\ldots s_n)$ e $y=(t_1\ldots t_n)$, diventa
\[
\left\lvert\sum_{j=1}^n s_j t_j\right\rvert \le \left( \sum_{j=1}^n s_j^2\right)^{\frac{1}{2}}\left( \sum_{j=1}^n t_j^2\right)^{\frac{1}{2}}.\]
Per capire l'altra disuguaglianza, prova prima a scriverla per \(n=1\). La formula
\[
(s-t)^2\ge 0 \]
ti dice niente?
In ogni modo qui sei OT. Se hai altri dubbi su queste cose devi aprire un altro topic. Ma se posso permettermi un consiglio, prima di postare sui forum dovresti riflettere un po' di più da solo. (Ultimamente sto arrivando alla conclusione che questi forum siano molto meno utili di quanto non sembri.)
Comunque, purtroppo hai sbagliato, la disuguaglianza $|x\cdot y| \le || x||\cdot ||y||$ , quando $x=(s_1\ldots s_n)$ e $y=(t_1\ldots t_n)$, diventa
\[
\left\lvert\sum_{j=1}^n s_j t_j\right\rvert \le \left( \sum_{j=1}^n s_j^2\right)^{\frac{1}{2}}\left( \sum_{j=1}^n t_j^2\right)^{\frac{1}{2}}.\]
Per capire l'altra disuguaglianza, prova prima a scriverla per \(n=1\). La formula
\[
(s-t)^2\ge 0 \]
ti dice niente?
In ogni modo qui sei OT. Se hai altri dubbi su queste cose devi aprire un altro topic. Ma se posso permettermi un consiglio, prima di postare sui forum dovresti riflettere un po' di più da solo. (Ultimamente sto arrivando alla conclusione che questi forum siano molto meno utili di quanto non sembri.)
"dissonance":
In ogni modo qui sei OT. Se hai altri dubbi su queste cose devi aprire un altro topic. Ma se posso permettermi un consiglio, prima di postare sui forum dovresti riflettere un po' di più da solo. (Ultimamente sto arrivando alla conclusione che questi forum siano molto meno utili di quanto non sembri.)
A mio parere non è come dici!
Io è da anni che frequento questo forum, ci sono persone veramente specializzate e che io rispetto veramente un sacco!
E' un forum nella quale persone ci fanno domande e persone scrivono delle risposte, ci sono persone che sanno e persone che ne sanno meno, lo scambio di opinioni, le domande e le risposte fanno crescere .......
Io sono uno studente lavoratore, lavoro in un contesto aziendale a livelli mondiali, ho a che fare con molte persone e molte volte ci sono persone che fanno domande che potrebbero sembrare stupide, ma permettimi di dirti che io non mi sognerei mai di dire che il mio contesto lavorativo sarebbe "molto meno utile di quanto non sembri".
P.S. Dico questo amichevolmente e spero non ti sia inteso come una risposta arrogante
Mi dispiace, per come mi sono espresso ho lasciato intendere un messaggio assolutamente odioso e sono contento tu non te la sia presa. Non penso affatto che i forum non siano utili perché non mi piacciono le domande che poni né per nessun altro motivo collegato a te. Infatti è una riflessione che faccio su me stesso e sul bilancio
$
"tempo e concentrazione persi"/"effettivi guadagni ottenuti frequentando forum"$
$
"tempo e concentrazione persi"/"effettivi guadagni ottenuti frequentando forum"$
"dissonance":
Ma che c'entra questa roba con l'esercizio del primo post?
Comunque, purtroppo hai sbagliato, la disuguaglianza $|x\cdot y| \le || x||\cdot ||y||$ , quando $x=(s_1\ldots s_n)$ e $y=(t_1\ldots t_n)$, diventa
\[
\left\lvert\sum_{j=1}^n s_j t_j\right\rvert \le \left( \sum_{j=1}^n s_j^2\right)^{\frac{1}{2}}\left( \sum_{j=1}^n t_j^2\right)^{\frac{1}{2}}.\]
Per capire l'altra disuguaglianza, prova prima a scriverla per \(n=1\). La formula
\[
(s-t)^2\ge 0 \]
ti dice niente?
Allora, vediamo se ho compreso la domanda....
$ sum_(i=1)^(n) |a_ib_i|<=(sum_(i=1)^(n) a_i^2 )^(1/2) (sum_(i=1)^(n)b_i^2)^(1/2) $
E si tratta di $a_i$ ed $b_i$ che sono due vettori di uno spazio vettoriale euclideo, allora il valore assoluto del prodotto scalare di $a_i$ per $b_i$ è minore o uguale del prodotto dei loro moduli, uguale se e soltanto se $a_i$ ed $b_i$ sono linearmente dipendenti.
Adesso ho trovato una dimostrazione sul mio testo che dice:
Si ha, $AA t in R$ : $sum_(i=1)^(n)(a_i + tb_i)^(1/2) >=0$
Solo che mi soffermo quì perchè non sto capendo cosa è questo $t$ ???
Ho il seguente esercizio 2.4.
Per $x=(x_1, x_2); y=(x_1,y_2) in R^2$, poniamo:
$d'(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2-y_2|$
$d''(x,y) = max {|x_1 - y_1| + |x_2-y_2|}$
Verificare che $d'$ e $d''$ sono metriche in $R^2$. Rappresentare graficamente in un riferimento cartesiano il cerchio $0=(0,0) $ e raggio$1$, relativo ai tre spazi metrici $(R^2,d_2) $, $(R^2,d') $, $(R^2,d'') $, ( ove$ d_2$ e' la metrica euclidea).
Ma come si risolve?????
Per $x=(x_1, x_2); y=(x_1,y_2) in R^2$, poniamo:
$d'(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2-y_2|$
$d''(x,y) = max {|x_1 - y_1| + |x_2-y_2|}$
Verificare che $d'$ e $d''$ sono metriche in $R^2$. Rappresentare graficamente in un riferimento cartesiano il cerchio $0=(0,0) $ e raggio$1$, relativo ai tre spazi metrici $(R^2,d_2) $, $(R^2,d') $, $(R^2,d'') $, ( ove$ d_2$ e' la metrica euclidea).
Ma come si risolve?????
Per verificare se sono metriche non devi fare altro che applicare le condizioni già dette alle formule in questione.
Per "cerchio" penso intendi l'intorno circolare e quindi devi disegnare tali intorni con centro nell'origine e raggio $1$; ovviamente i tre disegni sono diversi
Sei sicuro che in $d''$ non ci sia una virgola al posto del segno più?
Cordialmente, Alex
Per "cerchio" penso intendi l'intorno circolare e quindi devi disegnare tali intorni con centro nell'origine e raggio $1$; ovviamente i tre disegni sono diversi
Sei sicuro che in $d''$ non ci sia una virgola al posto del segno più?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Sei sicuro che in $d''$ non ci sia una virgola al posto del segno più?
Hai ragione, sei stato veramente bravo a renderti conto dell'errore di battitura che ho commesso....
Ecco con la correzione:
Ho il seguente esercizio 2.4.
Per $x=(x_1, x_2); y=(x_1,y_2) in R^2$, poniamo:
$d'(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2-y_2|$
$d''(x,y) = max {|x_1 - y_1|, |x_2-y_2|}$
Verificare che $d'$ e $d''$ sono metriche in $R^2$. Rappresentare graficamente in un riferimento cartesiano il cerchio $0=(0,0) $ e raggio$1$, relativo ai tre spazi metrici $(R^2,d_2) $, $(R^2,d') $, $(R^2,d'') $, ( ove$ d_2$ e' la metrica euclidea).
Scusami, ma per quanto mi dici in questo:
"axpgn":
Per verificare se sono metriche non devi fare altro che applicare le condizioni già dette alle formule in questione.
Non sto riuscendo a capire quale condizioni intendi???
"axpgn":
Per "cerchio" penso intendi l'intorno circolare e quindi devi disegnare tali intorni con centro nell'origine e raggio $1$; ovviamente i tre disegni sono diversi
Che sono diversi è vero, ma credimi, non sto riuscendo a capire sulla base di cosa e come dovrei ragionare???
IO ho compreso il concetto di metrica, ma non riesco a capire cosa centrano queste figura da disegnare????????
Per "condizioni" intendo quelle a cui deve sottostare una funzione per essere chiamata "metrica" (o "distanza")
Per esempio bisogna verificare che $d'(x,y)>=0$ per ogni $x$ e $y$ appartenenti a $RR^2$.
Ora, dato che è $d'(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$ allora $d'(x,y)$ è sempre non negativa in quanto somma di valori assoluti.
Poi va verificato che $d'(x,y)=0$ solo se $x=y$; dato che $x=y$ se e solo se $x_1=y_1$ e $x_2=y_2$, sostituendo nella definizione della $d'$ abbiamo che quando $x=y$ si ha $d'(x,y)=|x_1-x_1|+|x_2-x_2|=|0|+|0|=0$ mentre quando è $x!=y$ significa che è almeno una delle due situazioni seguenti: $x_1!=y_1$ o $x_2!=y_2$ (o tutte e due); ciò significa che almeno uno dei due valori assoluti è diverso da zero e quindi $d'(x,y)>0$. C.V.D.
Adesso prova tu con le altre due condizioni ... e poi con l'altra metrica ... e poi per i disegni vedremo ...
Cordialmente, Alex
Per esempio bisogna verificare che $d'(x,y)>=0$ per ogni $x$ e $y$ appartenenti a $RR^2$.
Ora, dato che è $d'(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$ allora $d'(x,y)$ è sempre non negativa in quanto somma di valori assoluti.
Poi va verificato che $d'(x,y)=0$ solo se $x=y$; dato che $x=y$ se e solo se $x_1=y_1$ e $x_2=y_2$, sostituendo nella definizione della $d'$ abbiamo che quando $x=y$ si ha $d'(x,y)=|x_1-x_1|+|x_2-x_2|=|0|+|0|=0$ mentre quando è $x!=y$ significa che è almeno una delle due situazioni seguenti: $x_1!=y_1$ o $x_2!=y_2$ (o tutte e due); ciò significa che almeno uno dei due valori assoluti è diverso da zero e quindi $d'(x,y)>0$. C.V.D.
Adesso prova tu con le altre due condizioni ... e poi con l'altra metrica ... e poi per i disegni vedremo ...
Cordialmente, Alex
Sto cercando invano di verificare le altre due condizioni, cioè:
ii) $d(x,y)=d(y,x)$ per ogni $x,y$ in $X$ (simmetria).
iii) $d(x,y)<=d(x,z) + d(z,y)$ per ognii $x,y, z$ in $X$ (disuguaglianza triangolare).
Potresti per favore farmi vedere come dimostrarli???
Mi trovo con l'aver compreso il concetto, ma non sto riuscendo a replicare le dimostrazioni nel caso della traccia!?!?!
ii) $d(x,y)=d(y,x)$ per ogni $x,y$ in $X$ (simmetria).
iii) $d(x,y)<=d(x,z) + d(z,y)$ per ognii $x,y, z$ in $X$ (disuguaglianza triangolare).
Potresti per favore farmi vedere come dimostrarli???
Mi trovo con l'aver compreso il concetto, ma non sto riuscendo a replicare le dimostrazioni nel caso della traccia!?!?!
"Bad90":
ii) $d(x,y)=d(y,x)$ per ogni $x,y$ in $X$ (simmetria)
Questa è la condizione che devi dimostrare, inizia col riempirla con la "tua" distanza, quella che devi verificare.
Allora diventa $|x_1-y_1|+|x_2-y_2|=|y_1-x_1|+|y_2-x_2|$, e siccome per definizione di valore assoluto è $|a-b|=|b-a|$ (verificare per credere) allora il membro di sinistra è uguale a quello di destra. Verificata.
"Bad90":
iii) $ d(x,y)<=d(x,z) + d(z,y) $ per ognii $ x,y, z $ in $ X $ (disuguaglianza triangolare)
Anche in questo caso inizia col sostituire il "tuo" caso a quello generale e cioè $|x_1-y_1|+|x_2-y_2|<=|x_1-z_1|+|x_2-z_2|+|z_1-y_1|+|z_2-y_2|$
Adesso prosegui tu, prova ... (io comincerei da quelli col pedice "uno" ...
)Cordialmente, Alex
Provo a dimostrare la disuguaglianza triangolare, penso che ciò che mi hai consigliato di esporre sia questa, vero??
Allora.....
Su $R^2$ consideriamo la funzione $d_1 : R^2 xx R^2 ->R$ data da:
$$d_1 (x,y) = max{|x_1 - y_1|,|x_2-y_2|}$$
dove $x=(x_1,y_1)$ e $y=(y_1,y_2)$.
Dati $x=(x_1,x_2); y=(y_1,y_2); z=(z_1,z_2)$ tre punti, la disuguaglianza triangolare del valore assoluto ci dice che :
$$|x_1 - y_1|<=|x_1 - z_1| + |z_1 - y_1|$$
Quindi a maggior ragione:
$$|x_1 - y_1|<= max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} =d(x,z)+ d(z,y)$$
Analogamente si dimostra che :
$$|x_2 - y_2|<=d_1(x,z)+d(z,y)$$
Ne segue quindi la disuguaglianza triangolare:
$$d_1 (x,y) = max{|x_1 - y_1|,|x_2-y_2|}<= d_1(x,z) + d_1(z,y)$$
P.S. Adesso non riesco a dire più nulla, puoi dirmi ciò che ho sbagliato e ciò che manca per quello che bisogna dire ancora???
Allora.....
Su $R^2$ consideriamo la funzione $d_1 : R^2 xx R^2 ->R$ data da:
$$d_1 (x,y) = max{|x_1 - y_1|,|x_2-y_2|}$$
dove $x=(x_1,y_1)$ e $y=(y_1,y_2)$.
Dati $x=(x_1,x_2); y=(y_1,y_2); z=(z_1,z_2)$ tre punti, la disuguaglianza triangolare del valore assoluto ci dice che :
$$|x_1 - y_1|<=|x_1 - z_1| + |z_1 - y_1|$$
Quindi a maggior ragione:
$$|x_1 - y_1|<= max {|x_1 - z_1|, |x_2 - z_2|} + max {|z_1 - y_1|, |z_2 - y_2|} =d(x,z)+ d(z,y)$$
Analogamente si dimostra che :
$$|x_2 - y_2|<=d_1(x,z)+d(z,y)$$
Ne segue quindi la disuguaglianza triangolare:
$$d_1 (x,y) = max{|x_1 - y_1|,|x_2-y_2|}<= d_1(x,z) + d_1(z,y)$$
P.S. Adesso non riesco a dire più nulla, puoi dirmi ciò che ho sbagliato e ciò che manca per quello che bisogna dire ancora???
A dir la verità si stava ancora parlando dell'altra "distanza" ... non eravamo ancora arrivati al "max" ...
In pratica non hai dimostrato né l'una né l'altra ...
Quindi quello che ho scritto nel post precedente rimane ancora da dimostrare ... anche se sei sulla strada buona ... devi esser più preciso, hai mischiato un po' di cose assieme ...
EDIT: se modifichi i post non capisco più niente e i mie post diventano incomprensibili
In pratica non hai dimostrato né l'una né l'altra ...
Quindi quello che ho scritto nel post precedente rimane ancora da dimostrare ... anche se sei sulla strada buona ... devi esser più preciso, hai mischiato un po' di cose assieme ...
EDIT: se modifichi i post non capisco più niente e i mie post diventano incomprensibili
Scusami, ma io non sto riuscendo a dire più nulla, potresti per favore fa vedere come si continua da tuo ultimo messaggio in cui hai dimostrato la ii) e iii) 
Se mi prometti di non modificare più i post (in corso d'opera) ...
Si stava cercando di dimostrare che questa $d'(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$ è una distanza in $RR^2$ con $x,y in RR^2$ e $x=(x_1,x_2)\ \,\ y=(y_1,y_2)$
L'ultima condizione da dimostrare era questa: $|x_1-y_1|+|x_2-y_2|<=|x_1-z_1|+|x_2-z_2|+|z_1-y_1|+|z_2-y_2|$.
Ora, come hai detto tu, dati tre numeri reali $x_1,y_1,z_1$ per la disuguaglianza triangolare del valore assoluto abbiamo che $|x_1-y_1|<=|x_1-z_1|+|z_1-y_1|$ e analogamente anche $|x_2-y_2|<=|x_2-z_2|+|z_2-y_2|$.
Sommando membro a membro trovo che $|x_1-y_1|+|x_2-y_2|<=|x_1-z_1|+|x_2-z_2|+|z_1-y_1|+|z_2-y_2|$. C.V.D.
Adesso puoi passare a dimostrare la $d''$ (quella col "max") ...
Cordialmente, Alex
Si stava cercando di dimostrare che questa $d'(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$ è una distanza in $RR^2$ con $x,y in RR^2$ e $x=(x_1,x_2)\ \,\ y=(y_1,y_2)$
L'ultima condizione da dimostrare era questa: $|x_1-y_1|+|x_2-y_2|<=|x_1-z_1|+|x_2-z_2|+|z_1-y_1|+|z_2-y_2|$.
Ora, come hai detto tu, dati tre numeri reali $x_1,y_1,z_1$ per la disuguaglianza triangolare del valore assoluto abbiamo che $|x_1-y_1|<=|x_1-z_1|+|z_1-y_1|$ e analogamente anche $|x_2-y_2|<=|x_2-z_2|+|z_2-y_2|$.
Sommando membro a membro trovo che $|x_1-y_1|+|x_2-y_2|<=|x_1-z_1|+|x_2-z_2|+|z_1-y_1|+|z_2-y_2|$. C.V.D.
Adesso puoi passare a dimostrare la $d''$ (quella col "max") ...
Cordialmente, Alex
Scusami per avere editato in corso d'opera il messaggio!
Adesso provo a dire qualcosa in merito alla $d''$
Adesso provo a dire qualcosa in merito alla $d''$
Non sto riuscendoooooooooooooooooooooo
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ma vuoi stare tranquillo?
Segui la falsariga della dimostrazione precedente, una condizione alla volta, passo per passo ... e un po' di pazienza
Cordialmente, Alex
Segui la falsariga della dimostrazione precedente, una condizione alla volta, passo per passo ... e un po' di pazienza
Cordialmente, Alex
Niente, non riesco a dire nullaaa 
Naaaa ...
Prova a rispondere a queste domande:
Qual è la funzione distanza che devi dimostrare?
Quali sono le condizioni a cui deve sottostare questa funzione affinché la possiamo chiamare funzione "distanza" o "metrica"?
In queste condizioni riesci a sostituire la funzione che devi dimostrare a quella generica $d(x,y)$?
Poi cominci a ragionare sull'espressione che hai per capire come dimostrare che è sempre vera (oppure no ...)
Cordialmente, Alex
Prova a rispondere a queste domande:
Qual è la funzione distanza che devi dimostrare?
Quali sono le condizioni a cui deve sottostare questa funzione affinché la possiamo chiamare funzione "distanza" o "metrica"?
In queste condizioni riesci a sostituire la funzione che devi dimostrare a quella generica $d(x,y)$?
Poi cominci a ragionare sull'espressione che hai per capire come dimostrare che è sempre vera (oppure no ...)
Cordialmente, Alex
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