Disequazione Logaritmica

[Marshal87]

Ciao a tutti,
Come risolvo una disequazione di questo tipo? $ln^2(lnx)>0$
Il risultato doivrebbe essere $x>e$ ma proprio non riesco a capire come

[adaBTTLS1]

no, ti ho già detto che va bene portare al secondo membro tutta la frazione... il problema è che un prodotto di due fattori >1 non è se entrambi sono maggiori di 1 o altre cose simili.... vale la scomposizione solo se hai zero al secondo membro (però non è un procedimento da seguire ora)
$ln(1+1/x)>1/(x+1)$
scritto così è corretto, però non è una disequazione elementare...
applicare la definizione di logaritmo ti permette di scriverla in forma esponenziale, ma non so se è più semplice.
prova a partire dall'ultima espressione. è una disequazione già posta così nel testo oppure fa parte dei vari passaggi per lo studio di una funzione? se è così, è importante sapere i dettagli, anche perché magari non ti è dato risolverla in maniera precisa. ciao.

[Marshal87]

Ok chiarito tutto (mi sn andato a studiare la legge di annullamento del prodotto su un libro vecchissimo che avevo in casa )
Allora...
Sto studiando la funzione $xln(1+1/x)$
E questa è la deritava prima della funzione che posta >0 mi serve per ricavarne la crescenza.
Il libro in questo caso fa un discorso tutto particolare dicendo che : "dal segno della derivata seconda si può risalire al segno della derivata prima. Infatti ad esempio per x>0 risulta f''(x)<0 e quindi f'(x) è una funzione strettamente decrescente"
Ma purtroppo non capisco questo cosa centri

[adaBTTLS1]

allora è buona norma trovare anche la derivata seconda. hai già informazioni sul dominio e sul segno della funzione, sai che il segno della derivata prima non si trova in maniera elementare, e allora? come facevi a trovare soluzioni approssimate? con il teorema di esistenza degli zeri e con la monotonia che era data dal segno della derivata. ora non devi trovare soluzioni della f (intersezioni con l'asse x) ma soluzioni della f' (eventuali massimi e minimi), dunque ti serve lo studio del segno della derivata seconda per la monotonia della derivata prima ed il teorema di esistenza degli zeri applicato ad f': in pratica devi studiare f' come se fosse una nuova funzione g. è chiaro? spero di sì, ma anche se non lo fosse calcola la derivata seconda f'' (=g'), e posta il risultato. ciao.

[Marshal87]

Allora...Ho capito che quando vedo che escono soluzioni non elementari, conviene considerare la f'(x) =g(x) e quindi studiare la g(x) giusto?
Ma quando vale tutto ciò?
La derivata seconda f''(x) già l'ho calcolata per la convessità di f e viene $- 1/(x·(x + 1)^2)$
Ma ponendo f''(x) = g'(x) >0 non trovo la convessità di f(x)..? umh...forse trovo la convessità di f(x) e la positività di g(x) giusto?
E di conseguenza la positività di g(x) è la positività anche di f(x) ??? (di questo nn ne sono sicuro)

[adaBTTLS1]

trovi la convessità di f, e trovi la crescenza di f'. dal tuo risultato sembrerebbe che per x<-1 (non dimenticare il dominio) è positiva la derivata seconda, per cui la derivata prima è crescente, al contrario per x>0.
sei certo del risultato? perché io scribacchiando ne avevo trovato un altro... però non mi fido.
tra poco devo uscire, quindi eventualmente ci aggiorniamo in serata: ripassa il calcolo della derivata seconda e, se è giusto, puoi dedurre che tra -oo e -1 la derivata prima è crescente, per cui può azzararsi al massimo per un valore x1 ed essere positiva in (x1, -1); mentre tra 0 e+oo la derivata prima è decrescente e può annullarsi al massimo per un valore x2 ed essere positiva in (0, x2).
rifletti. tutto questo vale se i calcoli sono esatti. i valori x1 e x2, se esistono, li deduci dal teorema di esistenza degli zeri dopo aver trovato i limiti di f' per x che tende a -oo, -1, 0 e +oo.
studia la teoria e ripassa i conti. a più tardi. ciao.

[Marshal87]

Si per il discorso deil minimo e del massimo, ti seguo anche se davvero conviene che ripasso anche la teoria.
Non capisco però quando dici "trovi la convessità di f, e trovi la crescenza di f'."
La funzione è convessa per x<0, ma è sempre crescente e non solo per x<0....(sto punto qua nn mi è proprio chiaro)
Se di calcoli esatti parli della derivata prima e seconda, si sicuro sono fatte bene perchè successivamente le ho controllate anche col derive

[adaBTTLS1]

il segno di f'' ti dice, contemporaneamente, visto che f'' è anche derivata prima di f', sia la concavità della f sia la monotonia della f'.
negli intervalli in cui f''>0, f' è crescente ed f è convessa. idem per l'altro caso:
negli intervalli in cui f''<0, f' è decrescente ed f è concava.
pensa ora solo alla funzione $g(x)=f'(x)=ln((x+1)/x)-1/(x+1)$.
in base al segno di g'=f'', se ci ragioni un po', dovresti arrivare ai risultati che ti ho suggerito nel messaggio precedente. mi rifarò qualche conto anch'io, perché mi pare che qualche limite venga in forma indeterminata... e poi c'è bisogno di una visione unitaria delle tabelle di f, f', f''.
spero di averti chiarito almeno il punto più oscuro. per x1 ed x2 (se esistono) vedremo dopo che avrai capito il procedimento. ciao.

[Marshal87]

Ciao Ada,
Scusa se ho risp solo ora allora...
A me non è proprio chiaro il discorso di base.
Sappiamo che se f''(x) >0, f'(x) è crescente.
Ma che ci interessa? A noi nn serve conoscere quando f(x) è crescente? la f(x) ha sempre lo stesso segno della f'(x) ?

[adaBTTLS1]

per la monotonia della f non mi pare che ci siano problemi...
il problema non era il segno della f'?
allora, visto che dalla risoluzione diretta della disequazione "non ci si cava un ragno dal buco", si cerca un metodo alternativo: quale metodo migliore della ricerca di soluzioni approssimate? sì, però non parliamo di radici della f, ma della f'... solo che anche la f' è una funzione...
quindi staccati dal testo iniziale (e anche dal piano cartesiano iniziale), e studia la funzione g=f', per trovarne le intersezioni con l'asse x...
le stesse soluzioni saranno eventuali massimi e minimi per la f, ma questo ci fa solo capire che è utile il procedimento, non influisce però minimamente sul procedimento stesso...
anche se ti sembra assurdo, "il gioco vale la candela", quindi fidati e svolgi i calcoli (non sono poi tantissimi), poi lo vedrai da solo a cosa sarà servito...
ciao.

[Marshal87]

Ok mi fido figurati in realtà non riesco a comprendere il discorso.
A noi serve che f'(x) sia >0 e non crescente (o sbaglio ?)
Riguardo il discorso delle intersezioni, quello è chiarissimo

[adaBTTLS1]

se non sai quando f' è >0, il fatto che sia strettamente monotòna ti serve per affermare che ha nell'intervallo al massimo una radice.

[Marshal87]

e quindi??

[adaBTTLS1]

una volta trovata la radice, se c'è, puoi affermare la positività "a destra di quella radice".... ma solo dopo aver applicato il resto della teoria... vedi altra pagina.

[Marshal87]

Allora da come ho capito...da dove si annulla la f'(x) in poi, se la funzione è crescente, la f'(x) è crescente perchè se si annulla in A(0,0) e sapendo che il punto prossimo della retta (punto B) è sicuramente A<=B ... questo implica che da dove si annulla in poi (a destra in questo caso perchè f'(x) è crescente) è sempre positiva.
Emh....Giusto??

[adaBTTLS1]

sui punti A e B non ti seguo, però il discorso è esatto se limitato agli intervalli di continuità (per il teorema di esistenza degli zeri che applichi per avere la "certezza dell'esistenza delle soluzioni sotto determinate ipotesi"):
quindi devi fare due casi separati in (-oo,-1) e in (0,+oo): erano questi gli intervalli, vero?

[Marshal87]

Si erano questi, ed adesso è chiarissimo....ma la domanda è.....questa soluzione non complica di molto la vita??

[adaBTTLS1]

perché? altrimenti te la saresti semplificata? come? fammelo sapere, così magari me la semplificherò anch'io!
piuttosto, il teorema degli zeri (meglio in questo caso Bezout o dei valori intermedi) ci invita a trovare alcuni valori particolari (se ci sono, di segno opposto) e magari i limiti agli estremi degli intervalli...
li hai calcolati?
io adesso però ti lascio... ancora non mangio!
a più tardi o a domani! ciao.

[Marshal87]

Si ma la vedevo tragica, ma deduco dalla tua risposta, che in queste situazioni la soluzione più accettabile è proprio questa.

Non credo di dover aprire un nuovo topic per un altra disequazione del genere vero? (la metto qui perchè qui vorrei studiare la convessità della funzione $log_2lnx$
La derivata seconda mi viene (controllato con derive ed è giusta) $((lnx+1)(-ln2))/(xlnxln2)^2$ ed ovviamente l'ho posta tutta maggiore di zero

Ho quindi fatto
$-ln2>0$ sempre
$lnx+1>0 ->x->e^-1$
poi
$(xlnxln2)^2$ ho posto tutti i membri della base diversi da zero trovandomi
$x !=0 and x != 1$
Quindi la soluzione mi verrebbe per ogni $x>e^-1$ eccetto x=1 e x=0

Mentre il derive dice di trovarsi $1/ln(x)^2 < 0 and x > e^(-1)$

Dove sbaglio?

(cmq grazie davvero per la pazienza e la disponibilità eh! )

[adaBTTLS1]

"Marshal87":$((lnx+1)(-ln2))/(xlnxln2)^2$ ed ovviamente l'ho posta tutta maggiore di zero
Ho quindi fatto
$-ln2>0$ sempre!!!!! [mai]
$lnx+1>0 ->x>e^-1$
poi
$(xlnxln2)^2$ ho posto tutti i membri della base diversi da zero trovandomi
$x !=0 and x != 1$
Quindi la soluzione mi verrebbe per ogni $x>e^-1$ eccetto x=1 e x=0

Mentre il derive dice di trovarsi $1/ln(x)^2 < 0 and x > e^(-1)$Dove sbaglio? [0e^-1]
correggendo verrebbe $x in (0,e^(-1))$ ... non capisco quello che hai copiato da derive

nell'altro esercizio se non mi sbaglio la derivata prima in (-oo, -1) varia da 0 a ? (forma indeterminata...), mentre in (0, +oo) varia da +oo a 0.
se nel primo intervallo è strettamente crescente assume una sola volta tutti i vaori (positivi: controllare il limite in forma indeterminata), ma non si annulla mai. se nel secondo intervallo è strettamente decrescente assume una sola volta tutti i valori positivi, ma non si annulla mai. ...sembrerebbe dunque che si possa concludere che la derivata prima è sempre positiva..... vedi un po' tu, rivedendoti anche i suggerimenti del libro. ciao.

[Marshal87]

Scusa ada ma nn ti seguo proprio
la derivata prima è $1/(xln2lnx)$ che vedendo dal grafico ( e ponendola maggiore di 0), è positiva per x>1.
Inoltre nel primo intervallo, sembra non esista proprio...(sempre da grafico)

EDIT: il libro dice semplicemente che: "si vede facilmente che f''(x) <0 per x>1"