Dimostrazione teorema funzioni monotone
Sia $f:(a,b)->RR$ monotona crescente e sia $x0 in (a,b)$: allora esitono finiti:
$1)$ $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$
$2)$ $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x), x in (x0,b)$
La dimostrazione $1)$ a lezione è stata così fatta: dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$ finito.
$AA x in (a,x0)$ si ha che $f(x)0$ per definizione di Sup esiste $xk in (a,x0)$ tale che $Supf(x)-kx0^-)f(x)=Supf(x)$ finito.
La dimostrazione $2)$ è stata lasciata per esercizio ma sto trovando alcune difficoltà: scrivo il mio tentativo e i miei dubbi:
dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inf(x), x in (x0,b)$ finito.
$AA x in (x0,b)$ si ha che $f(x)>f(x0)$ e dunque $Inf(x)>=f(x0)$ (ma ora posso dire lo stesso che l'$Inff(x)$ è finito?) Dunque $Inf(x)$ esiste finito(?). Inoltre dato $k>0$ per definizione di Inf esiste $xk in (x0,b)$ tale che $Inf(x)x0^+)f(x)=Inff(x)$ finito.
Ho dunque questo dubbio sulla parte iniziale e non so come risolverlo.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
$1)$ $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$
$2)$ $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x), x in (x0,b)$
La dimostrazione $1)$ a lezione è stata così fatta: dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$ finito.
$AA x in (a,x0)$ si ha che $f(x)
La dimostrazione $2)$ è stata lasciata per esercizio ma sto trovando alcune difficoltà: scrivo il mio tentativo e i miei dubbi:
dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inf(x), x in (x0,b)$ finito.
$AA x in (x0,b)$ si ha che $f(x)>f(x0)$ e dunque $Inf(x)>=f(x0)$ (ma ora posso dire lo stesso che l'$Inff(x)$ è finito?) Dunque $Inf(x)$ esiste finito(?). Inoltre dato $k>0$ per definizione di Inf esiste $xk in (x0,b)$ tale che $Inf(x)
Ho dunque questo dubbio sulla parte iniziale e non so come risolverlo.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
Risposte
Ma io studio anche...ma pure sul Giusti ci sono 3 pagine piene di definizioni e stop! È dai ieri che le leggo e le cerco di capire ma quella maledetta risposta che sto cercando non la trovo, o meglio io non riesco a trovarla.
"gugo82":[/quote]
Sono sincero anch'io:
[list=1][*:1i1bmt3d] ti ho fatto una domanda e ti ho chiesto di rispondere, non c'è nulla da capire, ti devi solo fidare;
[/*:m:1i1bmt3d]
[*:1i1bmt3d] mi stai dicendo seriamente che un testo di Analisi Matematica I usa i simboli $"inf"_X f$ e $"sup"_X f$ senza definirli... Le alternative sono due: o Giusti si è improvvisamente rincoglionito (così come tutti i revisori della Boringhieri) o tu non leggi attentamente il testo.
A scanso di equivoci, la definizione presente sul mio testo è questa qui:
[/*:m:1i1bmt3d][/list:o:1i1bmt3d]
Tornando a noi:
[quote="gugo82"]Quali valori può assumere $"inf" X$ con $X sube RR$?
Può essere $"inf" X $ un numero reale? Può essere $+oo$? E $-oo$?
Dunque qui in questo 2 pagine avendo capito la teoria dovrei trovare uno spunto per capire perché l$"inf"$ è finito?
Già... E non lo spunto, proprio il motivo scritto in chiaro.
E non c'è nemmeno da tener chiara la teoria, basta leggere e capire.
E non c'è nemmeno da tener chiara la teoria, basta leggere e capire.
"gugo82":
Già... E non lo spunto, proprio il motivo scritto in chiaro.
E non c'è nemmeno da tener chiara la teoria, basta leggere e capire.
Forse ci sono: seguendo la Definizione 1.1
Poiché $(a,b)$ è un insieme limitato inferiormente anche $f(a,b)$ è limitata inferiormente e dunque l'$"inf"$ è finito. A maggior ragione lo sarà l'$"inf" f(x)$ valutato tra $(x_0,b)$
"Aletzunny":
[quote="gugo82"]Già... E non lo spunto, proprio il motivo scritto in chiaro.
E non c'è nemmeno da tener chiara la teoria, basta leggere e capire.
Forse ci sono: seguendo la Definizione 1.1[/quote]
Sì.
"Aletzunny":
Poiché $(a,b)$ è un insieme limitato inferiormente anche $f(a,b)$ è limitata inferiormente e dunque l'$"inf"$ è finito. A maggior ragione lo sarà l'$"inf" f(x)$ valutato tra $(x_0,b)$
No.
Perché?
(A parte il fatto che non stai seguendo affatto la definizione, c'è proprio un erroraccio di fondo: quale?)
P.S.: Ma, per capire una definizione (o un teorema o quello che è...), ti crei qualche esempio? O no?
"gugo82":
[quote="Aletzunny"][quote="gugo82"]Già... E non lo spunto, proprio il motivo scritto in chiaro.
E non c'è nemmeno da tener chiara la teoria, basta leggere e capire.
Forse ci sono: seguendo la Definizione 1.1[/quote]
Sì.
"Aletzunny":
Poiché $(a,b)$ è un insieme limitato inferiormente anche $f(a,b)$ è limitata inferiormente e dunque l'$"inf"$ è finito. A maggior ragione lo sarà l'$"inf" f(x)$ valutato tra $(x_0,b)$
No.
Perché?
(A parte il fatto che non stai seguendo affatto la definizione, c'è proprio un erroraccio di fondo: quale?)
P.S.: Ma, per capire una definizione (o un teorema o quello che è...), ti crei qualche esempio? O no?[/quote]
bene almeno una cosa giusta l'ho fatta: la definizione della mia edizione(simile alla 1.1) dice: diremo che $f:(a,b)->RR$ è limitata inferiormente in $(a,b)$ se è limitata inferiormente la sua immagine $f(a,b)$.
Una funzione $f$ è limitata inferiormente in $(a,b)$ se esiste un numero $m$ tale che $f(x)>=m$ $AA x in (a,b)$
dunque poichè $f$ nell'ipotesi è monotona crescente vuol dire che in $(x_0,b)$ $f(x_0)=m$ e dunque $f$ è limitata inferiormente in $(x_0,b)$, cioè l'$"inf"f(x)$ è finito.
@Aletzunny
[ot]È così difficile usare il tasto "RISPONDI" ?[/ot]
[ot]È così difficile usare il tasto "RISPONDI" ?[/ot]
Assafà… 
Ad ogni buon conto è fondamentale che tu rifletta bene sulla questione sull’estremo inferiore di sottoinsiemi che ti ho posto su.
Ad ogni buon conto è fondamentale che tu rifletta bene sulla questione sull’estremo inferiore di sottoinsiemi che ti ho posto su.
Sono contento di esserci arrivato! Il tuo spronarmi mi è servito.
Quale delle tante domande (tra mie e tue) di questo post ?
Quale delle tante domande (tra mie e tue) di questo post ?
"gugo82":
Detto ciò: sì, l'estremo inferiore di un sottoinsieme $X sube RR$ può assumere sia valori numerici (finiti), sia $-oo$... Ma anche $+oo$ in una particolare situazione (quale? Attenzione: devi pensarci tu, dato che sui libri di solito non c'è).
Ora, quando è che $"inf" X$ è un valore numerico? Cioè, quali condizioni deve soddisfare $X$ affinché risulti $"inf" X = lambda$ con $lambda in RR$?
E quando si ha $"inf" X = -oo$?
E quando $"inf" X = +oo$?
un sottoinsieme $X$ non vuoto e limitato inferiormente ha sempre estremo inferiore.
un sottoinsieme $X$ se non è limitato inferiormente allora ha L'$"inf"=-infty$
infine $"inf"=+infty$ se $X$ è l'insieme vuoto
un sottoinsieme $X$ se non è limitato inferiormente allora ha L'$"inf"=-infty$
infine $"inf"=+infty$ se $X$ è l'insieme vuoto
"Aletzunny":
un sottoinsieme $X$ non vuoto e limitato inferiormente ha sempre estremo inferiore.
un sottoinsieme $X$ se è non vuoto e non è limitato inferiormente allora ha L'$"inf"=-infty$
infine $"inf"=+infty$ se $X$ è l'insieme vuoto
Assafà...
dopo tanto sforzo sono riuscito finalmente!
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