Dimostrazione teorema funzioni monotone
Sia $f:(a,b)->RR$ monotona crescente e sia $x0 in (a,b)$: allora esitono finiti:
$1)$ $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$
$2)$ $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x), x in (x0,b)$
La dimostrazione $1)$ a lezione è stata così fatta: dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$ finito.
$AA x in (a,x0)$ si ha che $f(x)0$ per definizione di Sup esiste $xk in (a,x0)$ tale che $Supf(x)-kx0^-)f(x)=Supf(x)$ finito.
La dimostrazione $2)$ è stata lasciata per esercizio ma sto trovando alcune difficoltà: scrivo il mio tentativo e i miei dubbi:
dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inf(x), x in (x0,b)$ finito.
$AA x in (x0,b)$ si ha che $f(x)>f(x0)$ e dunque $Inf(x)>=f(x0)$ (ma ora posso dire lo stesso che l'$Inff(x)$ è finito?) Dunque $Inf(x)$ esiste finito(?). Inoltre dato $k>0$ per definizione di Inf esiste $xk in (x0,b)$ tale che $Inf(x)x0^+)f(x)=Inff(x)$ finito.
Ho dunque questo dubbio sulla parte iniziale e non so come risolverlo.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
$1)$ $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$
$2)$ $lim_(x->x0^+)f(x)=Inff(x), x in (x0,b)$
La dimostrazione $1)$ a lezione è stata così fatta: dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^-)f(x)=Supf(x), x in (a,x0)$ finito.
$AA x in (a,x0)$ si ha che $f(x)
La dimostrazione $2)$ è stata lasciata per esercizio ma sto trovando alcune difficoltà: scrivo il mio tentativo e i miei dubbi:
dimostriamo che esiste $lim_(x->x0^+)f(x)=Inf(x), x in (x0,b)$ finito.
$AA x in (x0,b)$ si ha che $f(x)>f(x0)$ e dunque $Inf(x)>=f(x0)$ (ma ora posso dire lo stesso che l'$Inff(x)$ è finito?) Dunque $Inf(x)$ esiste finito(?). Inoltre dato $k>0$ per definizione di Inf esiste $xk in (x0,b)$ tale che $Inf(x)
Ho dunque questo dubbio sulla parte iniziale e non so come risolverlo.
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Grazie
Risposte
Può essere sia un numero reale sia $-infty$ per quel poco che sto capendo.
Si la definizione è simile anche sul Giusti terza edizione ma io non riesco a comprendere dove sta la risposta alla tua domanda in quella pagina (sia del mio libro che della foto)
Si la definizione è simile anche sul Giusti terza edizione ma io non riesco a comprendere dove sta la risposta alla tua domanda in quella pagina (sia del mio libro che della foto)
"Aletzunny":
Può essere sia un numero reale sia $-infty$ per quel poco che sto capendo.
Stai capendo poco perché hai studiato male... Da cosa si capisce?
Da qui:
"Aletzunny":
Si la definizione è simile anche sul Giusti terza edizione ma io non riesco a comprendere dove sta la risposta alla tua domanda in quella pagina (sia del mio libro che della foto)
insomma, non riesci nemmeno a reperire le definizioni (che sono fondamentali) dal tuo libro di testo.
Detto ciò: sì, l'estremo inferiore di un sottoinsieme $X sube RR$ può assumere sia valori numerici (finiti), sia $-oo$... Ma anche $+oo$ in una particolare situazione (quale? Attenzione: devi pensarci tu, dato che sui libri di solito non c'è).
Ora, quando è che $"inf" X$ è un valore numerico? Cioè, quali condizioni deve soddisfare $X$ affinché risulti $"inf" X = lambda$ con $lambda in RR$?
E quando si ha $"inf" X = -oo$?
E quando $"inf" X = +oo$?
"gugo82":
[quote="Aletzunny"]Può essere sia un numero reale sia $-infty$ per quel poco che sto capendo.
Stai capendo poco perché hai studiato male... Da cosa si capisce?
Da qui:
"Aletzunny":
Si la definizione è simile anche sul Giusti terza edizione ma io non riesco a comprendere dove sta la risposta alla tua domanda in quella pagina (sia del mio libro che della foto)
insomma, non riesci nemmeno a reperire le definizioni (che sono fondamentali) dal tuo libro di testo.
Detto ciò: sì, l'estremo inferiore di un sottoinsieme $X sube RR$ può assumere sia valori numerici (finiti), sia $-oo$... Ma anche $+oo$ in una particolare situazione (quale? Attenzione: devi pensarci tu, dato che sui libri di solito non c'è).
Ora, quando è che $"inf" X$ è un valore numerico? Cioè, quali condizioni deve soddisfare $X$ affinché risulti $"inf" X = lambda$ con $lambda in RR$?
E quando si ha $"inf" X = -oo$?
E quando $"inf" X = +oo$?[/quote]
Forse ci sono ma non sono sicuro: poiché sappiamo che $(a,b)$ è un intervallo contenente numeri finiti, cioè $a$ e $b$ sono finiti( perdonami ma non so come dirlo) allora l$"inf"f$ sarà di certo finito e dunque anche l' $"inf" f(x)$ $AA x in (x_0,b)$
P.S.: può darsi che io studi male... è anche pur vero che per ora ho sempre studiato dagli appunti del professore, ben diversi da questo testo.
"Aletzunny":
[quote="gugo82"][quote="Aletzunny"]Può essere sia un numero reale sia $-infty$ per quel poco che sto capendo.
Stai capendo poco perché hai studiato male... Da cosa si capisce?
Da qui:
"Aletzunny":
Si la definizione è simile anche sul Giusti terza edizione ma io non riesco a comprendere dove sta la risposta alla tua domanda in quella pagina (sia del mio libro che della foto)
insomma, non riesci nemmeno a reperire le definizioni (che sono fondamentali) dal tuo libro di testo.
Detto ciò: sì, l'estremo inferiore di un sottoinsieme $X sube RR$ può assumere sia valori numerici (finiti), sia $-oo$... Ma anche $+oo$ in una particolare situazione (quale? Attenzione: devi pensarci tu, dato che sui libri di solito non c'è).
Ora, quando è che $"inf" X$ è un valore numerico? Cioè, quali condizioni deve soddisfare $X$ affinché risulti $"inf" X = lambda$ con $lambda in RR$?
E quando si ha $"inf" X = -oo$?
E quando $"inf" X = +oo$?[/quote]
Forse ci sono ma non sono sicuro: poiché sappiamo che $(a,b)$ è un intervallo contenente numeri finiti, cioè $a$ e $b$ sono finiti( perdonami ma non so come dirlo) allora l$"inf"f$ sarà di certo finito e dunque anche l' $"inf" f(x)$ $AA x in (x_0,b)$[/quote]
Vedi funzioni nella domanda che ho scritto?
Perché ti ostini a rispondere a quesiti che non ti sono stati posti?
"Aletzunny":
P.S.: può darsi che io studi male... è anche pur vero che per ora ho sempre studiato dagli appunti del professore, ben diversi da questo testo.
Ah, quindi alla domanda "quale testo hai?" avresti dovuto rispondere "ho Il Giusti, ma non lo uso perché studio dagli appunti del prof." e non "il Giusti" e basta... Avremmo risparmiato tempo.
Non mi voglio ostinare. È da ieri che sto cercando di capirci qualcosa ma non riesco e
fatto sta che non ho ancora capito la questione di perché $"inf"f(x)$ sia finito.
Non ho capito il problema di studiare dagli appunti.
fatto sta che non ho ancora capito la questione di perché $"inf"f(x)$ sia finito.
Non ho capito il problema di studiare dagli appunti.
Sisì, vabbé... Ma adesso rispondi a questa:
"gugo82":
Detto ciò: sì, l'estremo inferiore di un sottoinsieme $X sube RR$ può assumere sia valori numerici (finiti), sia $-oo$... Ma anche $+oo$ in una particolare situazione (quale? Attenzione: devi pensarci tu, dato che sui libri di solito non c'è).
Ora, quando è che $"inf" X$ è un valore numerico? Cioè, quali condizioni deve soddisfare $X$ affinché risulti $"inf" X = lambda$ con $lambda in RR$?
E quando si ha $"inf" X = -oo$?
E quando $"inf" X = +oo$?
"gugo82":[/quote]
Sisì, vabbé... Ma adesso rispondi a questa:
[quote="gugo82"]Detto ciò: sì, l'estremo inferiore di un sottoinsieme $X sube RR$ può assumere sia valori numerici (finiti), sia $-oo$... Ma anche $+oo$ in una particolare situazione (quale? Attenzione: devi pensarci tu, dato che sui libri di solito non c'è).
Ora, quando è che $"inf" X$ è un valore numerico? Cioè, quali condizioni deve soddisfare $X$ affinché risulti $"inf" X = lambda$ con $lambda in RR$?
E quando si ha $"inf" X = -oo$?
E quando $"inf" X = +oo$?
Se $X=[a,b)$ oppure $X=[a,b]$ per il primo caso e
$X=(a,b)$ oppure $X=(a,b]$ per il secondo caso.
Il caso $+infty$ non ho idea
"Aletzunny":
$ X=(a,b) $ oppure $ X=(a,b] $ per il secondo caso.
Quindi l'estremo inferiore di $X=(1, 2)$ è $-infty$ ?
"axpgn":
[quote="Aletzunny"]$ X=(a,b) $ oppure $ X=(a,b] $ per il secondo caso.
Quindi l'estremo inferiore di $X=(1, 2)$ è $-infty$ ?[/quote]
Onestamente non sto più comprendendo niente! Sembra un quiz dove io non capisco e più non capisco più compaiono domande.
Non ho mai trovato esercizi del genere e ho sempre usato il sup e l'inf per definizioni e dimostrazioni di teoremi non comprendendoli a pieno( lo ammetto!)
Mi pare che in $(1,2)$ trovo sempre un numero più piccolo di $1$ e che dunque è un minorante.
Ma di certo sto sbagliando
Premesso che dopo quasi mille messaggi potresti usare il tasto "Rispondi" invece che il tasto "Cita" …
Questa frase è sbagliata ma lo è prima di tutto perché scritta male, in modo impreciso, non rappresenta quello che vorresti dire: questo è il primo punto in cui devi migliorare ovvero esprimerti in modo preciso.
Prima di scrivere, leggi, rileggi e rileggi ancora (criticamente); ciò non assicura la perfezione però aiuta
Cosa significa che "in $(1, 2)$ trovo sempre un numero più piccolo di $1$" ? Non ha senso, ti pare?
E poi "dunque è un minorante" … chi o cosa lo è? Sicuro che l'infinito possa essere un minorante?
Invece di giustificarti continuamente, che tanto non serve, rispondi alle domande come ti ha ripetuto spesso gugo82; però prima riflettici bene e magari rileggi il libro (e le dispense)
"Aletzunny":
Mi pare che in $ (1,2) $ trovo sempre un numero più piccolo di $ 1 $ e che dunque è un minorante.
Questa frase è sbagliata ma lo è prima di tutto perché scritta male, in modo impreciso, non rappresenta quello che vorresti dire: questo è il primo punto in cui devi migliorare ovvero esprimerti in modo preciso.
Prima di scrivere, leggi, rileggi e rileggi ancora (criticamente); ciò non assicura la perfezione però aiuta
Cosa significa che "in $(1, 2)$ trovo sempre un numero più piccolo di $1$" ? Non ha senso, ti pare?
E poi "dunque è un minorante" … chi o cosa lo è? Sicuro che l'infinito possa essere un minorante?
Invece di giustificarti continuamente, che tanto non serve, rispondi alle domande come ti ha ripetuto spesso gugo82; però prima riflettici bene e magari rileggi il libro (e le dispense)
Allora prima rispondo alla tua domanda:
$(1,2)={x in RR| x>1 nn x<2}$ e dunque secondo me l'estremo inferiore di questo intervallo è $1$
$(1,2)={x in RR| x>1 nn x<2}$ e dunque secondo me l'estremo inferiore di questo intervallo è $1$
Alla domanda di gugo82 su quando dato $XsubeRR$ allora $"inf" X$ è finito non so rispondere.
La mia risposta sarebbe che dipende dall'insieme $X$ per poi almeno applicare un ragionamento come quello che ho provato a fare nel post sopra per $(1,2)$
La mia risposta sarebbe che dipende dall'insieme $X$ per poi almeno applicare un ragionamento come quello che ho provato a fare nel post sopra per $(1,2)$
Nel post precedente ho chiesto anche: "sicuro che l'infinito possa essere un minorante?"
Pensa a questo ...
Pensa a questo ...
"axpgn":
Nel post precedente ho chiesto anche: "sicuro che l'infinito possa essere un minorante?"
Pensa a questo ...
Direi di no perché un minorante $y$ è definito appartenente a $RR$
"Aletzunny":
Alla domanda di gugo82 su quando dato $XsubeRR$ allora $"inf" X$ è finito non so rispondere.
La mia risposta sarebbe che dipende dall'insieme $X$ [...]
E grazie al Caspio!
Ma la conosci la definizione di insieme limitato inferiormente?
No, perché al mio paese insegnano che $"inf" X = lambda$ con $lambda in RR$ se e solo se $X$ è 1) non vuoto e 2) limitato inferiormente (ed in tal caso $lambda$ è il massimo dei minoranti di $X$, il quale esiste per Assioma di Completezza).
Allora, capiamoci: questa è una definizione fondamentale in Analisi.
Puoi conoscere a memoria anche tutte le dimostrazioni dell'universo creato, ma se non sai dire quando un sottoinsieme di $RR$ ha estremo inferiore finito vuol dire che non hai capito un'acca di quello che hai memorizzato.
Ciò vuol dire che finora hai solo perso tempo, non hai davvero studiato, perché non conosci nemmeno le basi di quanto si insegna in un corso di Analisi... Non è che sei insicuro perché sei insicuro; è proprio che non hai padronanza della materia.
Detto ciò, ti consiglio vivamente di metterti a studiare, cioè a capire (più o meno) profondamente quello che leggi, non solo a memorizzarlo, e ad acquisire la padronanza della materia che è necessaria alla tua crescita.
"gugo82":
[quote="Aletzunny"]Alla domanda di gugo82 su quando dato $XsubeRR$ allora $"inf" X$ è finito non so rispondere.
La mia risposta sarebbe che dipende dall'insieme $X$ [...]
E grazie al Caspio!
Ma la conosci la definizione di insieme limitato inferiormente?
No, perché al mio paese insegnano che $"inf" X = lambda$ con $lambda in RR$ se e solo se $X$ è 1) non vuoto e 2) limitato inferiormente (ed in tal caso $lambda$ è il massimo dei minoranti di $X$, il quale esiste per Assioma di Completezza).
Allora, capiamoci: questa è una definizione fondamentale in Analisi.
Puoi conoscere a memoria anche tutte le dimostrazioni dell'universo creato, ma se non sai dire quando un sottoinsieme di $RR$ ha estremo inferiore finito vuol dire che non hai capito un'acca di quello che hai memorizzato.
Ciò vuol dire che finora hai solo perso tempo, non hai davvero studiato, perché non conosci nemmeno le basi di quanto si insegna in un corso di Analisi... Non è che sei insicuro perché sei insicuro; è proprio che non hai padronanza della materia.
Detto ciò, ti consiglio vivamente di metterti a studiare, cioè a capire (più o meno) profondamente quello che leggi, non solo a memorizzarlo, e ad acquisire la padronanza della materia che è necessaria alla tua crescita.[/quote]
Nella mia banalità quello che tu intendi è quello che io ho sempre studiato con se esiste il $"max"$ di un insieme allora esso è anche il $"sup"$ e se esiste il $"min"$ allora è anche l$"inf"$. Ma il viceversa non vale.
Ma allora perché $"inf" f(x)>=f(x_0)$ è per forza finito?
Questa è la mia domanda a cui per ora nessuno mi ha dato risposta!
"Aletzunny":
Sembra un quiz dove io non capisco e più non capisco più compaiono domande.
Scusate se mi intrometto, volevo solo dire la mia: Aletzunny, non c'è crescita migliore di quella in cui si sputa sangue su un qualcosa e alla fine ci si arriva (anche con un piccolo aiuto perché, giustamente, non sempre possiamo arrivare alle cose da soli).
È proprio qualcosa che ti rimane per sempre, quindi ti chiedo di non vedere gli interventi degli altri come un "quiz" sadico in cui non vogliono darti la risposta, ma tutt'altro: è proprio il miglior aiuto concreto che possano darti.
Ci tengo a precisare che non penso che tu la stia vedendo così, era solo per darti una prospettiva sulla situazione (detto da uno studente come te che, come molti, prima era sopraffatto dalle difficoltà di uno studio efficace e poi, piano piano, ci si è avvicinato e si è reso conto di quanto sia enormemente più gratificante e produttivo).
"Mephlip":
[quote="Aletzunny"]Sembra un quiz dove io non capisco e più non capisco più compaiono domande.
Scusate se mi intrometto, volevo solo dire la mia: Aletzunny, non c'è crescita migliore di quella in cui si sputa sangue su un qualcosa e alla fine ci si arriva (anche con un piccolo aiuto perché, giustamente, non sempre possiamo arrivare alle cose da soli).
È proprio qualcosa che ti rimane per sempre, quindi ti chiedo di non vedere gli interventi degli altri come un "quiz" sadico in cui non vogliono darti la risposta, ma tutt'altro: è proprio il miglior aiuto concreto che possano darti.
Ci tengo a precisare che non penso che tu la stia vedendo così, era solo per darti una prospettiva sulla situazione (detto da uno studente come te che, come molti, prima era sopraffatto dalle difficoltà di uno studio efficace e poi, piano piano, ci si è avvicinato e si è reso conto di quanto sia enormemente più gratificante e produttivo).[/quote]
Seriamente lo segno tra gli appunti di questo forum che spero mi aiutino nel mio percorso universitario.
Quello che non riesco a capire è: data
$f:(a,b)->R$ monotona crescente allora $lim_(x->x_0^+) f(x)="inf" f(x)$ finito con $x in (x_0,b)$
Cioè mi sto davvero sforzando di capire ma non è mi chiaro quale aspetto mi permetta di affermare nella dimostrazione che $"inf" f(x)>=f(x_0)$ implica $"inf"f(x)$ finito con $x in (x_0,b)$
$f:(a,b)->R$ monotona crescente allora $lim_(x->x_0^+) f(x)="inf" f(x)$ finito con $x in (x_0,b)$
Cioè mi sto davvero sforzando di capire ma non è mi chiaro quale aspetto mi permetta di affermare nella dimostrazione che $"inf" f(x)>=f(x_0)$ implica $"inf"f(x)$ finito con $x in (x_0,b)$
"Aletzunny":
[quote="gugo82"][quote="Aletzunny"]Alla domanda di gugo82 su quando dato $XsubeRR$ allora $"inf" X$ è finito non so rispondere.
La mia risposta sarebbe che dipende dall'insieme $X$ [...]
E grazie al Caspio!
Ma la conosci la definizione di insieme limitato inferiormente?
No, perché al mio paese insegnano che $"inf" X = lambda$ con $lambda in RR$ se e solo se $X$ è 1) non vuoto e 2) limitato inferiormente (ed in tal caso $lambda$ è il massimo dei minoranti di $X$, il quale esiste per Assioma di Completezza).
Allora, capiamoci: questa è una definizione fondamentale in Analisi.
Puoi conoscere a memoria anche tutte le dimostrazioni dell'universo creato, ma se non sai dire quando un sottoinsieme di $RR$ ha estremo inferiore finito vuol dire che non hai capito un'acca di quello che hai memorizzato.
Ciò vuol dire che finora hai solo perso tempo, non hai davvero studiato, perché non conosci nemmeno le basi di quanto si insegna in un corso di Analisi... Non è che sei insicuro perché sei insicuro; è proprio che non hai padronanza della materia.
Detto ciò, ti consiglio vivamente di metterti a studiare, cioè a capire (più o meno) profondamente quello che leggi, non solo a memorizzarlo, e ad acquisire la padronanza della materia che è necessaria alla tua crescita.[/quote]
Nella mia banalità quello che tu intendi è quello che io ho sempre studiato con se esiste il $"max"$ di un insieme allora esso è anche il $"sup"$ e se esiste il $"min"$ allora è anche l$"inf"$. Ma il viceversa non vale.[/quote]
No.
Sto proprio dicendo un'altra cosa.
"Aletzunny":
Ma allora perché $"inf" f(x)>=f(x_0)$ è per forza finito?
Questa è la mia domanda a cui per ora nessuno mi ha dato risposta!
Ma se non sai nemmeno cosa sia l'estremo inferiore, come pretendi di capirlo?
Vai a studiare, invece di scrivere sul forum.
Ci vediamo tra una settimana.
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