Continuità topologica

[antonio9992]

In analisi la continuità è associata al concetto di limite.


La continuità di una funzione mi è stata insegnata in termini di espsilon e delta, e poi dimostrata essere collegata al limite di una funzione ( grazie al teorema ponte o di legame o collegamento tra limiti di funzioni e limiti di successioni)

A me piace di più la definizione di limite di funzione attraverso la definizione di successione

In topografia si utilizza il concetto di intorno similmente a come di fa con espsilone e delta (che definiscono un intorno), ma non mi è ben chiaro se tale definizione sia connessa con quella di successione, quando non si trattano più gli spazi metrici (dove si utilizza il concetto di palla) la definizione di continuo perde di valore e non può essere più utilizzata? ( Si utilizzano l'insiemistica e i concetti si aperto e chiuso?)

Inoltre ho visto un ulteriore definizione topologica di continuità che non era scritta bene ed utilizzava il concetto di aperto e forse voleva dire che la funzione inversa di una funzione continua con dominio aperto doveva restituire valori in un insieme aperto, qualcuno può fare luce?



In sintesi:

1) Il concetto di epsilon-delta credo che non sia intuitivo e che sia più facile partire dal legame tra limiti di successioni e limiti di funzioni (anche perché è elementare essendo le successioni più semplici e legate al concetto più primitivo di insieme ordinato rispetto a quello di intervallo ordinato infinitamente denso di una funzione)

2) in topologia si utilizza il concetto di intorno e non so se si possano utilizzare la formulazione con le successioni

3) sempre in topologia ho visto una differente definizione di continuità che non so come e se sia collegata a quella di limite e di successione

Che casino

[Raptorista1]

Sono d'accordo con axpgn, non credo abbia molto senso continuare una discussione del genere in cui bisogna continuamente andare a ritroso perché ti mancano le basi [non per tua colpa, mi è dato capire]. Ha invece più senso che tu prenda un libro di topologia e legga qualcosa; se poi qualcosa non ti è chiaro, allora conviene chiedere qui, non al contrario.
Se hai bisogno di bibliografia, io so molto poco. Ho visto usare questo libro https://www.springer.com/in/book/9788847007574 da matematici dell'unimi ma non so se sia buono o meno. A prima vista pare divertente almeno.

[antonio9992]

Nonono


No guarda che la domanda è stata una: come funziona il concetto di continuità topologica, volevo un esempio, qualcosa ma dopo tutte queste risposte non mi è stato dato, per tal motivo ora mi studio tutta la topologia, l'80% delle risposte sono incomprensioni proprio sulle
cose cose che ho sottolineato

Ripeto che io una risposta volevo

[Raptorista1]

Bene. Sono terribilmente spiacente che in sei pagine di discussione, tra tutti non siamo riusciti a darti nemmeno "un esempio, qualcosa". Studiare tutta la topologia mi sembra una buona idea, sicuramente troverai maggiore soddisfazione che qui. Buono studio!

[xdom="Raptorista"]Già che ci sono, chiudo la discussione, che mi sembra finita.[/xdom]

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Avevo preparato questa risposta un po' di giorni fa, prima che la discussione degenerasse e venisse chiusa.

Scusandomi con i colleghi moderatori (dei quali non ho la minima intenzione di contestare l'operato), la posto comunque ora per non farla andar persa.[/xdom]

"antonio9992":Però non mi avete ancora risposto, l'ho chiesto più volte:
la concezione di continuità nel modo tanto speciale che piace a voi, cioè quella con gli intorni, non cade quando si trattano questi spazi "esotici"?

Alcuni fatti di topologia (questi te li puoi andare a studiare su un qualsiasi libro):

Lo spazio $(\RR^N , "nat")$ (cioè $\RR^N$ dotato della naturale topologia euclidea) ha come base la classe formata dalle palle:
\[
B(x_0;r):=\{x\in \mathbb{R}^N:\ |x-x_0| \]
con $x_0\in \RR^N$ ed $r>0$; ciò significa che ogni insieme aperto di $(\RR^N, "nat")$ si può ottenere come unione di una famiglia (vuota, finita o infinita) di palle, ossia che, per ogni $A\subseteq \RR^N$, $A$ è aperto se e solo se esistono delle palle $B(x_i;r_i)$ ($i\in \mathcal{I}$) tali che:
\[
A=\bigcup_{i\in \mathcal{I}} B(x_i;r_i)\; .
\]
In più, i centri $x_i$ possono essere scelti tra i punti di $A$.

Si chiama intorno aperto del punto $x_0\in \RR^N$ un qualsiasi insieme $I\subseteq \RR^N$ non vuoto, aperto e tale che $x_0\in I$.
Ogni palla di centro $x_0$ è un intorno aperto di $x_0$.
Ogni intorno aperto $I$ di $x_0$ contiene (almeno) una palla di centro $x_0$.

Ora puoi provare il seguente fatto:

Teorema:
Siano $f:\RR^N \to \RR^M$ ed $x_0\in \RR^N$.
Le seguenti proposizioni sono equivalenti:

[*:3p1ssjb4] per ogni intorno $J$ di $f(x_0)\in \RR^M$ esiste un intorno $I$ di $x_0\in \RR^N$ tale che $x\in I\ \Rightarrow\ f(x) \in J$.

[/*:m:3p1ssjb4]
[*:3p1ssjb4] per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che $x\in B(x_0;\delta)\ \Rightarrow\ f(x) \in B(f(x_0);\epsilon)$ (in cui la palla sinistra è di $(\RR^N,"nat")$ e la palla destra è di $(\RR^M ,"nat")$... )[/*:m:3p1ssjb4][/list:u:3p1ssjb4]

Dim.: 1 implica 2. In corrispondenza di $J=B(f(x_0);\epsilon)$ esiste un intorno aperto $I$ di $x_0$ tale che:
\[
x\in I\ \Rightarrow\ f(x)\in B(f(x_0);\epsilon)\; ;
\]
scelto $\delta >0$ tale che $B(x_0;\delta) \subseteq I$, abbiamo:
\[
x\in B(x_0;\epsilon)\ \ Rightarrow\ f(x)\in B(f(x_0);\delta)\; ,
\]
come volevamo.

2 implica 1. Sia $J$ un intorno aperto di $f(x_0)$; per quanto detto più sopra, è possibile determinare punti $\epsilon>0$ tale che $B(f(x_0);\epsilon) \subseteq J$.
In corrispondenza di ogni $\epsilon$ è possibile determinare $\delta>0$ in modo che:
\[
x\in B(x_0;\delta)\ \Rightarrow\ f(x)\in B(f(x_0);\epsilon)\; ;
\]
pertanto, posto $I=B(x_0;\delta)$ e tenendo presente che le palle sono intorni aperti del proprio centro, abbiamo:
\[
x\in I\ \Rightarrow\ f(x) \in B(f(x_0);\epsilon)\ \Rightarrow\ f(x)\in J\; ,
\]
come volevamo.

La dimostrazione appena data, così come le definizioni richiamate nel caso particolare di $\RR^N$, valgono in realtà in ogni spazio metrico dotato della topologia indotta dalla propria metrica: in particolare hai il seguente risultato:

Siano $X,Y$ spazi metrici con le topologie indotte dalle rispettive metriche, $f:X\to Y$ una funzione ed $x_0\in X$.
Le seguenti sono equivalenti:

[*:3p1ssjb4] per ogni intorno aperto $J$ di $f(x_0)\in Y$ esiste un intorno aperto $I$ di $x_0\in X$ tale che $x\in I\ \Rightarrow\ f(x) \in J$.

[/*:m:3p1ssjb4]
[*:3p1ssjb4] per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta >0$ tale che $x\in B(x_0;\delta)\ \Rightarrow\ f(x) \in B(f(x_0);\epsilon)$ (in cui la palla sinistra è di $X$ e la palla destra è di $Y$... )[/*:m:3p1ssjb4][/list:u:3p1ssjb4]

Ora, è evidente che la proposizione 1 (definizione topologica di continuità) è più generale della 2 (definizione metrica della continuità): infatti, la 1 non presuppone su dominio e codominio alcuna altra struttura se non quella topologica, mentre la 2 presuppone che su entrambi dominio e codominio ci sia una struttura metrica.

La differenza è sostanziale. Infatti, se uno spazio è metrico hai un modo per misurare esattamente la distanza tra due suoi punti (basta calcolare la funzione distanza sulla coppia di punti scelti); mentre in uno spazio topologico generale ciò non può essere fatto. Una topologia (non necessariamente metrica) ti consente di farti solo l'idea di se due punti sono tra loro vicini (basta vedere se uno dei due punti appartiene ad un intorno dell'altro) ma non ti consente di stimare quanto essi siano vicini.

Tanto per capirci meglio, la situazione in uno spazio topologico generale è la stessa che avresti tu se fossi in un paese in cui vengono usate unità di misura che non conosci per misurare le distanze. Puoi dire se una persona è vicina a te guardando, ma non hai alcun mezzo per stimare esattamente la distanza tra te e lei in termini comprensibili alle persone del luogo.