Continuità topologica
In analisi la continuità è associata al concetto di limite.
La continuità di una funzione mi è stata insegnata in termini di espsilon e delta, e poi dimostrata essere collegata al limite di una funzione ( grazie al teorema ponte o di legame o collegamento tra limiti di funzioni e limiti di successioni)
A me piace di più la definizione di limite di funzione attraverso la definizione di successione
In topografia si utilizza il concetto di intorno similmente a come di fa con espsilone e delta (che definiscono un intorno), ma non mi è ben chiaro se tale definizione sia connessa con quella di successione, quando non si trattano più gli spazi metrici (dove si utilizza il concetto di palla) la definizione di continuo perde di valore e non può essere più utilizzata? ( Si utilizzano l'insiemistica e i concetti si aperto e chiuso?)
Inoltre ho visto un ulteriore definizione topologica di continuità che non era scritta bene ed utilizzava il concetto di aperto e forse voleva dire che la funzione inversa di una funzione continua con dominio aperto doveva restituire valori in un insieme aperto, qualcuno può fare luce?
In sintesi:
1) Il concetto di epsilon-delta credo che non sia intuitivo e che sia più facile partire dal legame tra limiti di successioni e limiti di funzioni (anche perché è elementare essendo le successioni più semplici e legate al concetto più primitivo di insieme ordinato rispetto a quello di intervallo ordinato infinitamente denso di una funzione)
2) in topologia si utilizza il concetto di intorno e non so se si possano utilizzare la formulazione con le successioni
3) sempre in topologia ho visto una differente definizione di continuità che non so come e se sia collegata a quella di limite e di successione
Che casino
La continuità di una funzione mi è stata insegnata in termini di espsilon e delta, e poi dimostrata essere collegata al limite di una funzione ( grazie al teorema ponte o di legame o collegamento tra limiti di funzioni e limiti di successioni)
A me piace di più la definizione di limite di funzione attraverso la definizione di successione
In topografia si utilizza il concetto di intorno similmente a come di fa con espsilone e delta (che definiscono un intorno), ma non mi è ben chiaro se tale definizione sia connessa con quella di successione, quando non si trattano più gli spazi metrici (dove si utilizza il concetto di palla) la definizione di continuo perde di valore e non può essere più utilizzata? ( Si utilizzano l'insiemistica e i concetti si aperto e chiuso?)
Inoltre ho visto un ulteriore definizione topologica di continuità che non era scritta bene ed utilizzava il concetto di aperto e forse voleva dire che la funzione inversa di una funzione continua con dominio aperto doveva restituire valori in un insieme aperto, qualcuno può fare luce?
In sintesi:
1) Il concetto di epsilon-delta credo che non sia intuitivo e che sia più facile partire dal legame tra limiti di successioni e limiti di funzioni (anche perché è elementare essendo le successioni più semplici e legate al concetto più primitivo di insieme ordinato rispetto a quello di intervallo ordinato infinitamente denso di una funzione)
2) in topologia si utilizza il concetto di intorno e non so se si possano utilizzare la formulazione con le successioni
3) sempre in topologia ho visto una differente definizione di continuità che non so come e se sia collegata a quella di limite e di successione
Che casino
Risposte
No, la topologia è definita da uno specifico insieme di aperti. Generalmente si definisce a partire da una base. D'altra parte è importante notare che quella standard non è l'unica topologia su \(\mathbb{R}\) e che una funzione è continua rispetto alle topologie definite nel suo dominio e nella sua immagine. Ovvero essere continua non è una proprietà intrinseca nella funzione.
"antonio9992":
Da:
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Insieme_aperto
Perché la collezione T sia una topologia deve valere:
1) l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di T è ancora un insieme di T
2) l'intersezione di un numero finito di insiemi di T è ancora un insieme di T
3) l'insieme X e l'insieme vuoto appartengono a T
Ed ogni insieme di T è detto aperto per definizione.
Cioè ogni insieme di una topologia è detto aperto
Una topologia è semplicemente un insieme chiuso rispetto all'unione e all'intersezione di collezioni di suoi elementi (il vuoto e l'insieme stesso sono collezioni di suoi elementi, tutti e nessuno)
Ma ora l'insieme chiuso [1,2] di reali non è anche un aperto per definizione topologica?
It is open in the topologic space $([1,2],\tau)$, where $\tau=\{A\cap[1,2]:A\text{ is an open set in }\mathbb{R}\}$, but it cannot be an open subset of $\mathbb{R}$ with the topology of the metric space $(\mathbb{R},|\cdot|)$.
Also, I think you didn't understood. A topology is not the same as a topologic space. A topology $T$ in a set $X$ is, as Wikipedia said, a family of subsets of $X$ with some properties. A topologic space is a pair $(X,T)$ where $X$ is a set and $T$ is a topology defined on that set. We say that a subset $A\subset X$ is an open subset of $X$ if $A$ is in the family $T$ and we say that $A$ is closed if there exists a set $C\in T$ such that $A=C^c$ (so, the closed sets are the sets which can be written as the complement of an open set).
For example, the sets $(-\infty,1)$ and $(2,\infty)$ are open sets in the usual metric topology on $\mathbb{R}$ (you can prove this as a very easy exercise) and so is the set $(-\infty,1)\cup(2,\infty)$. And that's why the interval $[1,2]$ is a closed set in this topology, because $[1,2]=[(-\infty,1)\cup(2,\infty)]^c$.
On the other hand, if we take the space $([1,2],\tau)$ I defined above, then $[1,2]$ is an open set by the definition of topology (the "total space" $X$ is in the topology so, in this case, $[1,2]\in \tau$).
Si ho sbagliato
Devo vederle meglio alcune cose
Devo vederle meglio alcune cose
Yes, you should
Hey, queste cose non le ho mai studiate, le ho prese da wikipedia, cerco eldi capire, un po' di rispetto
I didn't want to offend you. I only wanted to say that you should study more carefully the concept of topology, as you said.
"javicemarpe":
I didn't want to offend you. I only wanted to say that you should study more carefully the concept of topology, as you said.
Si si scherzo, "purtroppo" passo troppo tempo a studiare per esami che non sono miei
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Spazio_topologico
Ultima, credo, domanda(e poi studio): perché qui nei titoli dei capitoli :
Definizione tramite "aperti"
Definizione tramite "intorni"
ci sono le virgolette?
E' una scelta stilistica dell'autore.
Però non mi avete ancora risposto, l'ho chiesto più volte:
la concezione di continuità nel modo tanto speciale che piace a voi, cioè quella con gli intorni, non cade quando si trattano questi spazi "esotici"?
la concezione di continuità nel modo tanto speciale che piace a voi, cioè quella con gli intorni, non cade quando si trattano questi spazi "esotici"?
"antonio9992":
Però non mi avete ancora risposto, l'ho chiesto più volte:
la concezione di continuità nel modo tanto speciale che piace a voi, cioè quella con gli intorni, non cade quando si trattano questi spazi "esotici"?
It's not a special concept of continuity, but the general (and only) one. The special concept of continuity is that one che piace a voi, because the topology of $\mathbb{R}$ is quite special.
Si ma perché dite che è generale? La concezione di continuità facendo uso di intorni non cade per spazi "esotici"?
È la quarta volta che lo chiedo
È la quarta volta che lo chiedo
"antonio9992":
Si ma perché dite che è generale? La concezione di continuità facendo uso di intorni non cade per spazi "esotici"?
È la quarta volta che lo chiedo
The concept of continuity with neighbourhoods is the only one that exists. There's not anything called exotic space. vict85 only said it in order to talk about a strange space, for example, a non-metrizable topologic space. I think nobody said that it's not possible to apply the definition of continuity using neighbourhoods in "exotic spaces".
Although you can't talk about the eps-delta argument in these spaces, you can talk about neighbourhoods, because the concept of neighbourhood is a topologic concept (it is not needed a metric to define it).
Le virgolette non le messe perché sono belle
Ancora nessuna risposta pertinente alla domanda
Ancora nessuna risposta pertinente alla domanda
I replied to your question, it's not my fault if you don't want to understand my answer.
As vict85 said, the quotation marks in Wikipedia are not relevant, the author probably put them because it is not a standard name.
As vict85 said, the quotation marks in Wikipedia are not relevant, the author probably put them because it is not a standard name.
"antonio9992":
Le virgolette non le messe perché sono belle
Ancora nessuna risposta pertinente alla domanda
La tua attitudine, di certo, non aiuta.
"dissonance":
[quote="antonio9992"]Le virgolette non le messe perché sono belle
Ancora nessuna risposta pertinente alla domanda
La tua attitudine, di certo, non aiuta.[/quote]
Grazie
Ho saltato *ho
Va bene lasciamo stare
Comunque posso dire che un insieme di 10 elementi (che numero) sia uno spazi topologico con topologia:
{(1,2);(3,4);(7,8,9) ; le loro unioni e anche (1,2,3,4,7,8,9)}
???
E poi che me ne faccio di questa topologia?
L'Italia ha vissuto epoche di guerra ed ha avuto grandi rivoluzioni culturali, nel frattempo in Svizzera hanno inventato l'orologio a cucù
(È una semi citazione)
Va bene lasciamo stare
Comunque posso dire che un insieme di 10 elementi (che numero) sia uno spazi topologico con topologia:
{(1,2);(3,4);(7,8,9) ; le loro unioni e anche (1,2,3,4,7,8,9)}
???
E poi che me ne faccio di questa topologia?
L'Italia ha vissuto epoche di guerra ed ha avuto grandi rivoluzioni culturali, nel frattempo in Svizzera hanno inventato l'orologio a cucù
(È una semi citazione)
Probably that topology is unuseful, but there are a lot of examples of topologic spaces which are not interesting for you but are very important not only for the theory but also for applications. Anyways, I wont try to give you any example because, as we all can see, you will not understand.
I think we fed the troll enough.
I think we fed the troll enough.
Io non sto prendendo in giro nessuno
Intendevo dire, una volta che ho fissato una topologia essa a che serve?
Lo scrivere la topologia come (X,T) dove X è l'insieme e T che senso ha? A che serve?
Io sono abituato alle strutture algebriche dove il secondo termine è un operazione definita in un insieme, qui non so
Non so inoltre come siano collegati topologia e spazio topologico o forse come essa la definisca
So che siamo finiti lontani dalla definizione di continuità per lo spazio euclideo, mi muove solo la curiosità, non prendo in giro nessuno, vi sono grato
È un secondo post: "Cos'è uno spazio topologico?" Ma lo stiamo scrivendo qui
Intendevo dire, una volta che ho fissato una topologia essa a che serve?
Lo scrivere la topologia come (X,T) dove X è l'insieme e T che senso ha? A che serve?
Io sono abituato alle strutture algebriche dove il secondo termine è un operazione definita in un insieme, qui non so
Non so inoltre come siano collegati topologia e spazio topologico o forse come essa la definisca
So che siamo finiti lontani dalla definizione di continuità per lo spazio euclideo, mi muove solo la curiosità, non prendo in giro nessuno, vi sono grato
È un secondo post: "Cos'è uno spazio topologico?" Ma lo stiamo scrivendo qui
Non è questione di troll o prese in giro, è che tu vorresti che ti spiegassero la relatività generale in un post ... estremizzo ma la sostanza è questa ... IMHO ... 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
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