Continuità topologica
In analisi la continuità è associata al concetto di limite.
La continuità di una funzione mi è stata insegnata in termini di espsilon e delta, e poi dimostrata essere collegata al limite di una funzione ( grazie al teorema ponte o di legame o collegamento tra limiti di funzioni e limiti di successioni)
A me piace di più la definizione di limite di funzione attraverso la definizione di successione
In topografia si utilizza il concetto di intorno similmente a come di fa con espsilone e delta (che definiscono un intorno), ma non mi è ben chiaro se tale definizione sia connessa con quella di successione, quando non si trattano più gli spazi metrici (dove si utilizza il concetto di palla) la definizione di continuo perde di valore e non può essere più utilizzata? ( Si utilizzano l'insiemistica e i concetti si aperto e chiuso?)
Inoltre ho visto un ulteriore definizione topologica di continuità che non era scritta bene ed utilizzava il concetto di aperto e forse voleva dire che la funzione inversa di una funzione continua con dominio aperto doveva restituire valori in un insieme aperto, qualcuno può fare luce?
In sintesi:
1) Il concetto di epsilon-delta credo che non sia intuitivo e che sia più facile partire dal legame tra limiti di successioni e limiti di funzioni (anche perché è elementare essendo le successioni più semplici e legate al concetto più primitivo di insieme ordinato rispetto a quello di intervallo ordinato infinitamente denso di una funzione)
2) in topologia si utilizza il concetto di intorno e non so se si possano utilizzare la formulazione con le successioni
3) sempre in topologia ho visto una differente definizione di continuità che non so come e se sia collegata a quella di limite e di successione
Che casino
La continuità di una funzione mi è stata insegnata in termini di espsilon e delta, e poi dimostrata essere collegata al limite di una funzione ( grazie al teorema ponte o di legame o collegamento tra limiti di funzioni e limiti di successioni)
A me piace di più la definizione di limite di funzione attraverso la definizione di successione
In topografia si utilizza il concetto di intorno similmente a come di fa con espsilone e delta (che definiscono un intorno), ma non mi è ben chiaro se tale definizione sia connessa con quella di successione, quando non si trattano più gli spazi metrici (dove si utilizza il concetto di palla) la definizione di continuo perde di valore e non può essere più utilizzata? ( Si utilizzano l'insiemistica e i concetti si aperto e chiuso?)
Inoltre ho visto un ulteriore definizione topologica di continuità che non era scritta bene ed utilizzava il concetto di aperto e forse voleva dire che la funzione inversa di una funzione continua con dominio aperto doveva restituire valori in un insieme aperto, qualcuno può fare luce?
In sintesi:
1) Il concetto di epsilon-delta credo che non sia intuitivo e che sia più facile partire dal legame tra limiti di successioni e limiti di funzioni (anche perché è elementare essendo le successioni più semplici e legate al concetto più primitivo di insieme ordinato rispetto a quello di intervallo ordinato infinitamente denso di una funzione)
2) in topologia si utilizza il concetto di intorno e non so se si possano utilizzare la formulazione con le successioni
3) sempre in topologia ho visto una differente definizione di continuità che non so come e se sia collegata a quella di limite e di successione
Che casino
Risposte
"Raptorista":
[quote="antonio9992"]
Scusa -1 non è compreso nel dominio ed è quindi un estremo inferiore del dominio, perché non è corretto?
Stiamo parlando di immagini di aperti e immagini di chiusi. L'insieme \((-1,2]\) non è aperto perché \(2\) non è un punto interno e non è chiuso perché non contiene \(-1\) che è di accumulazione.[/quote]
Questa mi è nuova, non credevo che insiemi così non fossero ne aperti e ne chiusi
In realtà non dice per epsilon sempre minori, dice per ogni epsilon, è più una congruenza
Invece con le successioni ci si avvicina al valore
Invece con le successioni ci si avvicina al valore
"antonio9992":
In realtà non dice per epsilon sempre minori, dice per ogni epsilon, è più una congruenza
Invece con le successioni ci si avvicina al valore
I don't see your point. Could you be more clear?
Il discorso epsilon-delta non credo sia intuitiva conseguenza di un osservazione, ma una conseguenza di un altro discorso. Infatti non ci avviciniamo al valore, non prendiamo valori sempre minori di epsilon, ma tutti i valori di epsilon devono rispettare una certa congruenza che è la continuità
"antonio9992":
Il discorso epsilon-delta non credo sia intuitiva conseguenza di un osservazione, ma una conseguenza di un altro discorso. Infatti non ci avviciniamo al valore, non prendiamo valori sempre minori di epsilon, ma tutti i valori di epsilon devono rispettare una certa congruenza che è la continuità
I think you didn't understand me and, in fact, I think that you didn't understand the concept of convergence of sequences. How do you define the convergence of a sequence? If you are working in a metric space, you will see some $\varepsilon$ in your definition, and this $\varepsilon$ means an interval. The $\varepsilon$-$\delta$ argument is not other thing that the "sum" of the convergences of $\{x_n\}$ to $x$ and of $\{f(x_n)\}$ to $f(x)$.
"javicemarpe":
[quote="antonio9992"]Il discorso epsilon-delta non credo sia intuitiva conseguenza di un osservazione, ma una conseguenza di un altro discorso. Infatti non ci avviciniamo al valore, non prendiamo valori sempre minori di epsilon, ma tutti i valori di epsilon devono rispettare una certa congruenza che è la continuità
I think you didn't understand me and, in fact, I think that you didn't understand the concept of convergence of sequences. How do you define the convergence of a sequence? If you are working in a metric space, you will see some $\varepsilon$ in your definition, and this $\varepsilon$ means an interval. The $\varepsilon$-$\delta$ argument is not other thing that the "sum" of the convergences of $\{x_n\}$ to $x$ and of $\{f(x_n)\}$ to $f(x)$.[/quote]
Ed ora sono curioso: perché difendi questa posizione?
Because the definition of continuity using sequences cannot be generalized to a more general topologic space, which means that, if you don't understand the meaning of the $\varepsilon$-$\delta$ argument, then you don't understand completely what continuity is.
Si ma comunque non resta intuitiva, e poi stiamo passando dal particolare al generale e non viceversa, se per esempio parli di una caratteristica dei lupi non stai per forza parlando della caratteristica di tutti i carnivori, alcuni potrebbero non averla
La continuità in topologia generale assume aspetti differenti e la topologia infatti tratta le cose da un punto di vista generale prescindendo da alcune caratteristiche, lì la continuità assume tutte le forme conseguenza della generalizzazione, l'intuitività va a farsi benedire, ed è anch'essa una caratteristica (non topologica, preciso altrimenti correggi)
La continuità in topologia generale assume aspetti differenti e la topologia infatti tratta le cose da un punto di vista generale prescindendo da alcune caratteristiche, lì la continuità assume tutte le forme conseguenza della generalizzazione, l'intuitività va a farsi benedire, ed è anch'essa una caratteristica (non topologica, preciso altrimenti correggi)
"antonio9992":
Si ma comunque non resta intuitiva, e poi stiamo passando dal particolare al generale e non viceversa, se per esempio parli di una caratteristica dei lupi non stai per forza parlando della caratteristica di tutti i carnivori, alcuni potrebbero non averla
La continuità in topologia generale assume aspetti differenti e la topologia infatti tratta le cose da un punto di vista generale prescindendo da alcune caratteristiche, lì la continuità assume tutte le forme conseguenza della generalizzazione, l'intuitività va a farsi benedire, ed è anch'essa una caratteristica (non topologica, preciso altrimenti correggi)
I think that if you draw a picture you will see the intuitive idea. I promise they are the same thing. On the other hand, I admit that the "sequence approach" is very useful (maybe better) in order to prove that a function is not continuous at some point.
"javicemarpe":
Because the definition of continuity using sequences cannot be generalized to a more general topologic space, which means that, if you don't understand the meaning of the $\varepsilon$-$\delta$ argument, then you don't understand completely what continuity is.
It is not completely true: it is possible to define continuous functions using the convergence of nets or ultrafilters. But it is true that sequential continuity does not imply continuity (in exotic spaces).
Dai allora che ti ho convinto, è più bella quella con le successioni
Che sono mo sti ultrafiltri? :S Mi hai aperto un altro argomento da vedere, non sai che sono beati gli ignoranti? Già non ci stavo capendo niente
Hai un esempio di "spazio esotico"?
Che sono mo sti ultrafiltri? :S Mi hai aperto un altro argomento da vedere, non sai che sono beati gli ignoranti? Già non ci stavo capendo niente
Hai un esempio di "spazio esotico"?
Mi sa che con il fatto che ho risposto in inglese a javicemarpe tu ci abbia confusi.
Comunque non mi hai convinto (e non hai convinto lui[nota]Anche perché il mio era un semplice commento, ma sostanzialmente diciamo la stessa cosa.[/nota]). Ultrafiltri e reti sono argomenti che non è necessario che tu sappia ora. Prima di addentrarti di più in questi argomenti più avanzati dovresti comprendere bene i concetti base della topologia e dell'analisi e le loro interconnessioni. Il termine esotico l'ho usato per intendere spazi piuttosto diversi da quelli che generalmente si incontrano in analisi. Per esempi di quello che dicevo prima li puoi trovare per esempio qui.
Comunque non mi hai convinto (e non hai convinto lui[nota]Anche perché il mio era un semplice commento, ma sostanzialmente diciamo la stessa cosa.[/nota]). Ultrafiltri e reti sono argomenti che non è necessario che tu sappia ora. Prima di addentrarti di più in questi argomenti più avanzati dovresti comprendere bene i concetti base della topologia e dell'analisi e le loro interconnessioni. Il termine esotico l'ho usato per intendere spazi piuttosto diversi da quelli che generalmente si incontrano in analisi. Per esempi di quello che dicevo prima li puoi trovare per esempio qui.
No, io mi riferivo a lui
"antonio9992":
Dai allora che ti ho convinto, è più bella quella con le successioni
Che sono mo sti ultrafiltri? :S Mi hai aperto un altro argomento da vedere, non sai che sono beati gli ignoranti? Già non ci stavo capendo niente
Hai un esempio di "spazio esotico"?
You didn't convince me. For me the eps-delta approach is more intuitive. In any case, that's a matter of personal preferences.
Scusate ma per gli spazi che dite voi si può usare la definizione epsilon-delta? Si può usare sempre? Non si Usa una definizione di intorno completamente diversa?
The eps-delta approach is a way to talk about neighbourhoods (which, in metric spaces, are balls; the $\varepsilon$ and $\delta$ denote the radii of these balls).
Si si, al di fuori degli spazi metrici il concetto di continuità non ha comoletamente un altro significato e definizione ma con punti in comune con quelli metrici? E in tali soazi il concetto di palla cade giusto?
Da:
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Insieme_aperto
Perché la collezione T sia una topologia deve valere:
1) l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di T è ancora un insieme di T
2) l'intersezione di un numero finito di insiemi di T è ancora un insieme di T
3) l'insieme X e l'insieme vuoto appartengono a T
Ed ogni insieme di T è detto aperto per definizione.
Cioè ogni insieme di una topologia è detto aperto
Una topologia è semplicemente un insieme chiuso rispetto all'unione e all'intersezione di collezioni di suoi elementi (il vuoto e l'insieme stesso sono collezioni di suoi elementi, tutti e nessuno)
Ma ora l'insieme chiuso [1,2] di reali non è anche un aperto per definizione topologica?
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Insieme_aperto
Perché la collezione T sia una topologia deve valere:
1) l'unione di una collezione arbitraria di insiemi di T è ancora un insieme di T
2) l'intersezione di un numero finito di insiemi di T è ancora un insieme di T
3) l'insieme X e l'insieme vuoto appartengono a T
Ed ogni insieme di T è detto aperto per definizione.
Cioè ogni insieme di una topologia è detto aperto
Una topologia è semplicemente un insieme chiuso rispetto all'unione e all'intersezione di collezioni di suoi elementi (il vuoto e l'insieme stesso sono collezioni di suoi elementi, tutti e nessuno)
Ma ora l'insieme chiuso [1,2] di reali non è anche un aperto per definizione topologica?
"antonio9992":
Ma ora l'insieme chiuso [1,2] di reali non è anche un aperto per definizione topologica?
È aperto se e solo se riesci ad ottenerlo come unione qualunque o intersezione finita di aperti di \(\mathbb R\)
Se prendo due qualsiasi sottoinsiemi di R la loro unione e la loro intersezione appartiene ancora ad R, quindi sono tutti aperti? Anche quelli che non includono i loro estremi che io chiamo chiusi?
Ora odio la topologia
Ora odio la topologia
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