Continuità topologica
In analisi la continuità è associata al concetto di limite.
La continuità di una funzione mi è stata insegnata in termini di espsilon e delta, e poi dimostrata essere collegata al limite di una funzione ( grazie al teorema ponte o di legame o collegamento tra limiti di funzioni e limiti di successioni)
A me piace di più la definizione di limite di funzione attraverso la definizione di successione
In topografia si utilizza il concetto di intorno similmente a come di fa con espsilone e delta (che definiscono un intorno), ma non mi è ben chiaro se tale definizione sia connessa con quella di successione, quando non si trattano più gli spazi metrici (dove si utilizza il concetto di palla) la definizione di continuo perde di valore e non può essere più utilizzata? ( Si utilizzano l'insiemistica e i concetti si aperto e chiuso?)
Inoltre ho visto un ulteriore definizione topologica di continuità che non era scritta bene ed utilizzava il concetto di aperto e forse voleva dire che la funzione inversa di una funzione continua con dominio aperto doveva restituire valori in un insieme aperto, qualcuno può fare luce?
In sintesi:
1) Il concetto di epsilon-delta credo che non sia intuitivo e che sia più facile partire dal legame tra limiti di successioni e limiti di funzioni (anche perché è elementare essendo le successioni più semplici e legate al concetto più primitivo di insieme ordinato rispetto a quello di intervallo ordinato infinitamente denso di una funzione)
2) in topologia si utilizza il concetto di intorno e non so se si possano utilizzare la formulazione con le successioni
3) sempre in topologia ho visto una differente definizione di continuità che non so come e se sia collegata a quella di limite e di successione
Che casino
La continuità di una funzione mi è stata insegnata in termini di espsilon e delta, e poi dimostrata essere collegata al limite di una funzione ( grazie al teorema ponte o di legame o collegamento tra limiti di funzioni e limiti di successioni)
A me piace di più la definizione di limite di funzione attraverso la definizione di successione
In topografia si utilizza il concetto di intorno similmente a come di fa con espsilone e delta (che definiscono un intorno), ma non mi è ben chiaro se tale definizione sia connessa con quella di successione, quando non si trattano più gli spazi metrici (dove si utilizza il concetto di palla) la definizione di continuo perde di valore e non può essere più utilizzata? ( Si utilizzano l'insiemistica e i concetti si aperto e chiuso?)
Inoltre ho visto un ulteriore definizione topologica di continuità che non era scritta bene ed utilizzava il concetto di aperto e forse voleva dire che la funzione inversa di una funzione continua con dominio aperto doveva restituire valori in un insieme aperto, qualcuno può fare luce?
In sintesi:
1) Il concetto di epsilon-delta credo che non sia intuitivo e che sia più facile partire dal legame tra limiti di successioni e limiti di funzioni (anche perché è elementare essendo le successioni più semplici e legate al concetto più primitivo di insieme ordinato rispetto a quello di intervallo ordinato infinitamente denso di una funzione)
2) in topologia si utilizza il concetto di intorno e non so se si possano utilizzare la formulazione con le successioni
3) sempre in topologia ho visto una differente definizione di continuità che non so come e se sia collegata a quella di limite e di successione
Che casino
Risposte
Qualcuno sa cosa sia una funzione di Cauchy? Dovrebbe essere qualcosa relativa alle funzioni continue, cercando su google trovo solo il continuo di Cauchy, forse è un teorema che di solito è chiamato differentemente
La topologia usa un concetto di continuità globale, mentre in analisi matematica si usano generalmente definizioni locali. In \(\displaystyle \mathbb{R} \) ed altri spazi molto regolari, le varie definizioni sono sostanzialmente equivalenti, ma le definizioni topologiche (esistono molti definizioni equivalenti di spazi topologici e quindi altrettanti definizioni di continuità[nota]La più usata definisce lo spazio topologico come uno spazio unito ad una famiglia di aperti che soddisfano certe proprietà. Ma esistono assiomi anche per i chiusi e gli intorni e da ogn'uno di questi insiemi di oggetti si possono definire tutti gli altri. Per le altre definizioni guarda qui.[/nota]) possono essere usate per spazi molto differenti da quelli che hai incontrato finora e risultano quindi strumenti molto più potenti.
Per la definizione topologica penso possa essere utile passare attraverso la definizione topologica che usa gli intorni e capire bene il legame tra aperto ed intorno (e magari leggere o fare la dimostrazione dell'equivalenza delle due definizioni).
I concetti di successione e di convergenza esistono anche negli spazi topologici (ed esistono almeno due generalizzazioni del concetto di convergenza di successioni, ma non è il caso di parlarne ora). Nota però che la continuità sequenziale non è equivalente alla continuità topologica. Tra alcuni tipi di spazi topologici, esistono funzioni sequenzialmente continue in ogni punto che non sono continue.
Per la definizione topologica penso possa essere utile passare attraverso la definizione topologica che usa gli intorni e capire bene il legame tra aperto ed intorno (e magari leggere o fare la dimostrazione dell'equivalenza delle due definizioni).
I concetti di successione e di convergenza esistono anche negli spazi topologici (ed esistono almeno due generalizzazioni del concetto di convergenza di successioni, ma non è il caso di parlarne ora). Nota però che la continuità sequenziale non è equivalente alla continuità topologica. Tra alcuni tipi di spazi topologici, esistono funzioni sequenzialmente continue in ogni punto che non sono continue.
Vabbe' comunque ho capito come sia ovvio che:
f continua <=> manda aperti in aperti e chiusi in chiusi
Per => basta applicare il teorema di Weiestrass
Per <= basta usare la definizione di limite
f continua <=> manda aperti in aperti e chiusi in chiusi
Per => basta applicare il teorema di Weiestrass
Per <= basta usare la definizione di limite
Però per quanto riguarda la definizione di limite qualcuno è d'accordo o in disaccordo col mio appunto di vista? (Punto 1)
(Domani leggerò quello che hai scritto)
(Domani leggerò quello che hai scritto)
"antonio9992":
Vabbe' comunque ho capito come sia ovvio che:
f continua <=> manda aperti in aperti e chiusi in chiusi
Per => basta applicare il teorema di Weiestrass
Questo mi sembra falso. A dire il vero mi sembra molto falso!
"Raptorista":
[quote="antonio9992"]Vabbe' comunque ho capito come sia ovvio che:
f continua <=> manda aperti in aperti e chiusi in chiusi
Per => basta applicare il teorema di Weiestrass
Questo mi sembra falso. A dire il vero mi sembra molto falso![/quote]
Se il dominio è chiuso per Weistrass la cosè vera, se è aperto allora la funzione nell'estremo del dominio assumerà valori che tendono al valore che la funzione assume nell'estremo
"Raptorista":
[quote="antonio9992"]Vabbe' comunque ho capito come sia ovvio che:
f continua <=> manda aperti in aperti e chiusi in chiusi
Per => basta applicare il teorema di Weiestrass
Questo mi sembra falso. A dire il vero mi sembra molto falso![/quote]
Troppo falso! For example, in every topologic space you have that constant functions are continuous. Now, in $\mathbb{R}$, given $c\in\mathbb{R}$, the constant function $f(x)=c$ maps $(0,1)$ (an open set) onto the set ${c}$, which can not be open because $\mathbb{R}$ is a connected space.
"antonio9992":
Se il dominio è chiuso per Weistrass la cosè vera
Questo è vero solo in dimensione finita e solo se ha senso parlare di massimo e minimo, cioè se il codominio è ordinato.
"antonio9992":
se è aperto allora la funzione nell'estremo del dominio assumerà valori che tendono al valore che la funzione assume nell'estremo
Questo è falso anche per funzioni reali di una variabile reale.
Also, if you define a constant function from $\mathbb{R}$ to a topologic space with more than one point, $(X,\tau)$, equipped with the topology $\tau=\{\emptyset, X}$, then you have a continuous function which maps a closed set onto a non closed set.
"Raptorista":
[quote="antonio9992"]
se è aperto allora la funzione nell'estremo del dominio assumerà valori che tendono al valore che la funzione assume nell'estremo
Questo è falso anche per funzioni reali di una variabile reale.[/quote]
Per essere più preciso: è vero in senso letterale quello che hai scritto - è la definizione di funzione continua! - però non è vero che questo renda l'immagine un insieme aperto, nemmeno nel caso più semplice.
"antonio9992":
Però per quanto riguarda la definizione di limite qualcuno è d'accordo o in disaccordo col mio appunto di vista? (Punto 1)
(Domani leggerò quello che hai scritto)
Regarding to this, I think that the eps-delta point of view is more intuitive, but not more operative. In any case, they all are equivalent in $\mathbb{R}^n$.
"Raptorista":
[quote="antonio9992"]
Se il dominio è chiuso per Weistrass la cosè vera
Questo è vero solo in dimensione finita e solo se ha senso parlare di massimo e minimo, cioè se il codominio è ordinato.
"antonio9992":
se è aperto allora la funzione nell'estremo del dominio assumerà valori che tendono al valore che la funzione assume nell'estremo
Questo è falso anche per funzioni reali di una variabile reale.[/quote]
Si ovviamente parlo di funzioni reali dato che come ho detto di topologia poco ne so.
Hai ragione, infatti la funzione continua può avere massimi e minimi e non un estremo superiore anche se il dominio è un aperto
Quindi le funzioni continue posso mandare aperti in chiusi.
Però ciò non va contro la definizione topologica di continuità?
Per esempio la funzione y=x^2 per un dominio (-1,2] ha codominio [0,4]
Giusto?
Giusto?
Le funzioni continue possono mandare aperti in chiusi, anche in casi non banali: \(\sin ((0,2\pi)) = [-1,1]\). Anche il tuo esempio è corretto.
La definizione topologica dice che la controimmagine di un insieme aperto deve essere aperta. Intuitivamente questo significa che se ho una cosa chiusa non la posso spalmare in maniera continua fino ad ottenere qualcosa di aperto.
Con i segmenti questo significa che se la funzione è monotona allora un'estremità aperta deve necessariamente essere mappata in un'estremità aperta. Se così non fosse, allora la controimmagine del punto di bordo dovrebbe essere un punto interno del dominio [per definizione di aperto] e quindi contenere tutto un intorno, e allora i punti su uno dei due lati supererebbero il punto di bordo, il che è assurdo. Se la funzione non è monotona questo significa che non puoi "salire e scendere" in maniera continua senza realizzare un punto di massimo. È il teorema di Weierstrass.
Edit: Quello che ho scritto non è corretto, c'è da escludere il caso particolare di una funzione definita su tutto \(\mathbb R\), che ha la proprietà di essere sia un insieme chiuso sia un insieme aperto. Inoltre quello che ho scritto vale solo per funzioni da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\).
La definizione topologica dice che la controimmagine di un insieme aperto deve essere aperta. Intuitivamente questo significa che se ho una cosa chiusa non la posso spalmare in maniera continua fino ad ottenere qualcosa di aperto.
Con i segmenti questo significa che se la funzione è monotona allora un'estremità aperta deve necessariamente essere mappata in un'estremità aperta. Se così non fosse, allora la controimmagine del punto di bordo dovrebbe essere un punto interno del dominio [per definizione di aperto] e quindi contenere tutto un intorno, e allora i punti su uno dei due lati supererebbero il punto di bordo, il che è assurdo. Se la funzione non è monotona questo significa che non puoi "salire e scendere" in maniera continua senza realizzare un punto di massimo. È il teorema di Weierstrass.
Edit: Quello che ho scritto non è corretto, c'è da escludere il caso particolare di una funzione definita su tutto \(\mathbb R\), che ha la proprietà di essere sia un insieme chiuso sia un insieme aperto. Inoltre quello che ho scritto vale solo per funzioni da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\).
"javicemarpe":
[quote="antonio9992"]Però per quanto riguarda la definizione di limite qualcuno è d'accordo o in disaccordo col mio appunto di vista? (Punto 1)
(Domani leggerò quello che hai scritto)
Regarding to this, I think that the eps-delta point of view is more intuitive, but not more operative. In any case, they all are equivalent in $\mathbb{R}^n$.[/quote]
Io penso che se mi avvicino a quel punto del dominio la funzione assume valori che tendono al valore della funzione nel punto
Con epsilon-delta mi sembra più una congruenza tra intervalli di domini e codominio che la funzione deve rispettare affinché possa valere la continuità
Tu come la vedi?
"antonio9992":
Per esempio la funzione y=x^2 per un dominio (-1,2] ha codominio [0,4]
Ho scritto che quest'esempio è corretto ma non l'avevo letto bene, perché non è corretto.
L'insieme di partenza non è un aperto e non è un chiuso, quindi non c'entra con quello di cui stiamo parlando.
"Raptorista":
Le funzioni continue possono mandare aperti in chiusi, anche in casi non banali: \(\sin ((0,2\pi)) = [-1,1]\). Anche il tuo esempio è corretto.
La definizione topologica dice che la controimmagine di un insieme aperto deve essere aperta. Intuitivamente questo significa che se ho una cosa chiusa non la posso spalmare in maniera continua fino ad ottenere qualcosa di aperto.
Con i segmenti questo significa che se la funzione è monotona allora un'estremità aperta deve necessariamente essere mappata in un'estremità aperta. Se così non fosse, allora la controimmagine del punto di bordo dovrebbe essere un punto interno del dominio [per definizione di aperto] e quindi contenere tutto un intorno, e allora i punti su uno dei due lati supererebbero il punto di bordo, il che è assurdo. Se la funzione non è monotona questo significa che non puoi "salire e scendere" in maniera continua senza realizzare un punto di massimo. È il teorema di Weierstrass.
Infatti ieri a questo pensavo, volevo partire dalla definizione topologica poi mi sono perso e mi è uscito di mente, il resto è sbagli
Grazie
"Raptorista":
[quote="antonio9992"]Per esempio la funzione y=x^2 per un dominio (-1,2] ha codominio [0,4]
Ho scritto che quest'esempio è corretto ma non l'avevo letto bene, perché non è corretto.
L'insieme di partenza non è un aperto e non è un chiuso, quindi non c'entra con quello di cui stiamo parlando.[/quote]
Scusa -1 non è compreso nel dominio ed è quindi un estremo inferiore del dominio, perché non è corretto?
"antonio9992":
Scusa -1 non è compreso nel dominio ed è quindi un estremo inferiore del dominio, perché non è corretto?
Stiamo parlando di immagini di aperti e immagini di chiusi. L'insieme \((-1,2]\) non è aperto perché \(2\) non è un punto interno e non è chiuso perché non contiene \(-1\) che è di accumulazione.
"antonio9992":
[quote="javicemarpe"][quote="antonio9992"]Però per quanto riguarda la definizione di limite qualcuno è d'accordo o in disaccordo col mio appunto di vista? (Punto 1)
(Domani leggerò quello che hai scritto)
Regarding to this, I think that the eps-delta point of view is more intuitive, but not more operative. In any case, they all are equivalent in $\mathbb{R}^n$.[/quote]
Io penso che se mi avvicino a quel punto del dominio la funzione assume valori che tendono al valore della funzione nel punto
Con epsilon-delta mi sembra più una congruenza tra intervalli di domini e codominio che la funzione deve rispettare affinché possa valere la continuità
Tu come la vedi?[/quote]
Well, with eps-delta the same thing is happening. You only have to understand that $|x-y|<\varepsilon$ for all $\varepsilon>0$ means that $x$ and $y$ are closer and closer. Summarizing, the eps-delta version tells you that if the function is continuous in a point $x$, then for a small distance $\varepsilon>0$ you give me in order to have the value $f(y)$ close to $f(x)$, I can give you a distance $\delta>0$ such that, if you take a point $y$ with distance to $x$ less than $\delta$, then the distance between $f(x)$ and $f(y)$ will be less than $\varepsilon$. And this can be done for any $\varepsilon$ you give me.
As you can see, the two points of view are the same.
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