Continuità e derivabilità
Buonasera,
vorrei porvi una domanda di tipo teorico:
data una funzione $f:X1->X2$ derivabile su tutto il dominio (intervallo aperto), $f'$ è sicuramente continua su $X1$?
In teoria penso di sì perche $f$ derivabile implica che:
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0) AA x in X1$ (intervallo aperto).
E dunque il limite destro è uguale al sinistro che è uguale al valore assunto dalla funzione nel punto.
Agli estremi dell'intervallo esiste solo il limite destro/sinistro quindi lì la funzione non è neanche derivabile.
Grazie mille per l'aiuto!
vorrei porvi una domanda di tipo teorico:
data una funzione $f:X1->X2$ derivabile su tutto il dominio (intervallo aperto), $f'$ è sicuramente continua su $X1$?
In teoria penso di sì perche $f$ derivabile implica che:
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0) AA x in X1$ (intervallo aperto).
E dunque il limite destro è uguale al sinistro che è uguale al valore assunto dalla funzione nel punto.
Agli estremi dell'intervallo esiste solo il limite destro/sinistro quindi lì la funzione non è neanche derivabile.
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
Ciao xyz34567,
Una funzione derivabile è anche continua, mentre non è vero il viceversa (continua non implica derivabile). Esempio: $f(x) = |x|$, continua ma non derivabile in $x = 0 $.
Una funzione derivabile è anche continua, mentre non è vero il viceversa (continua non implica derivabile). Esempio: $f(x) = |x|$, continua ma non derivabile in $x = 0 $.
Ciao pilloeffe, grazie per l'aiuto!
Probabilmente mi sono espresso male, ma non era quella la mia domanda. Io volevo capire se c'è qualche relazione tra la derivabilità di una funzione in un intervallo e la continuità della sua derivata.
In pratica la mia domanda è:
$f(x)$ derivabile $<=>$ $(df(x))/(dx)$ continua?
Grazie ancora!
Probabilmente mi sono espresso male, ma non era quella la mia domanda. Io volevo capire se c'è qualche relazione tra la derivabilità di una funzione in un intervallo e la continuità della sua derivata.
In pratica la mia domanda è:
$f(x)$ derivabile $<=>$ $(df(x))/(dx)$ continua?
Grazie ancora!
Qual è la derivata della funzione $f(x) = |x|$? E' continua?
In generale, fra le ipotesi di un teorema si distingue fra $f \in C^0(a, b) $, che significa che la funzione è continua su $(a, b)$, e $f \in C^1(a,b)$ che significa che la funzione è continua su $(a,b) $ con derivata prima continua su $(a,b) $.
In generale, fra le ipotesi di un teorema si distingue fra $f \in C^0(a, b) $, che significa che la funzione è continua su $(a, b)$, e $f \in C^1(a,b)$ che significa che la funzione è continua su $(a,b) $ con derivata prima continua su $(a,b) $.
Pilloeffe, credo che OP stia chiedendo se è vero che ogni funzione derivabile ha derivata prima continua. La funzione $|x|$ non è un controesempio perché non è derivabile in $0$.
Sottoscrivo quello che ha detto Martino.
È per questo che temo ci sia stato un fraintendimento riguardo la mia domanda al primo post...
È per questo che temo ci sia stato un fraintendimento riguardo la mia domanda al primo post...
Ci sono controesempi famosi di questa cosa, su tutti $f(x)={(0 if x=0), (x^2\sin(1/x) if x!=0):}$.
Domanda: quella è una funzione definita a tratti cioè su più intervalli; se invece fosse definita su un unico intervallo sarebbe vero ciò che chiede l'OP?
Sarebbe da precisare la questione, scritta così è un po' mal posta.
Una funzione il cui dominio è un (unico) intervallo.
Grazie otta96
"axpgn":
Una funzione il cui dominio è un (unico) intervallo.
Il dominio della funzione di otta e' un intervallo. \( \mathbb{R} \).
Ok, il dominio è $RR$ ma è definita (diversamente) su due intervalli anzi tre.
"axpgn":
Una funzione il cui dominio è un (unico) intervallo.
beh, la funzione data da otta96 ha come dominio tutto $RR$: infatti la funzione $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ è tale che $\lim_(x \to 0) f(x) = 0$, dunque è estendibile con continuità anche in $x = 0$, ponendo $f(0) = 0 $ (come ha appunto fatto otta96).
Se può esserti più chiaro, $x = 0$ è una discontinuità di terza specie (aka eliminabile) e quindi puoi estendere il dominio della tua funzione a tutto $RR$.
In ogni caso, la funzione $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ è continua in $x=0$, derivabile in $x=0$ (facendo il calcolo del limite del rapporto incrementale), tuttavia se calcoli con le regole solite $f'(x)$ e poi fai $\lim_(x \to 0) f'(x)$, questo limite non viene zero, dunque la derivata non è continua nell'origine.
Credo che axpgn volesse dire un'altra cosa.
Intendeva dire una funzione definita 'in un solo pezzo' con un'unica formula, non una funzione definita a tratti, in due o più pezzi del dominio con le parentesi graffe come l'esempio di otta.
Intendeva dire una funzione definita 'in un solo pezzo' con un'unica formula, non una funzione definita a tratti, in due o più pezzi del dominio con le parentesi graffe come l'esempio di otta.
Esatto. 
Si ma che tipo di formula? Io avevo capito cosa intendeva, proprio per questo ho detto che bisognerebbe precisare cosa si intende. Ad esempio, se $f$ è sempre quella, definisco $g=f+1$, anche questa è derivabile ma la derivata non è sempre continua, eppure non l'ho definita per casi, l'ho definita direttamente su tutto $RR$.
"gabriella127":
Credo che axpgn volesse dire un'altra cosa.
Intendeva dire una funzione definita 'in un solo pezzo' con un'unica formula, non una funzione definita a tratti, in due o più pezzi del dominio con le parentesi graffe come l'esempio di otta.
beh, se togliamo però dall'analisi tutte le funzioni definite "a tratti", praticamente non si hanno quasi più controesempi
Soprattutto non è una proprietà della funzione.
"otta96":
Si ma che tipo di formula? Io avevo capito cosa intendeva, proprio per questo ho detto che bisognerebbe precisare cosa si intende. Ad esempio, se $f$ è sempre quella, definisco $g=f+1$, anche questa è derivabile ma la derivata non è sempre continua, eppure non l'ho definita per casi, l'ho definita direttamente su tutto $RR$.
Perché $g$ non sarebbe definita per casi?
Comunque io ho fatto solo una domanda: supponiamo di avere una funzione continua e derivabile, il dominio è un unico intervallo e la legge è unica; allora la derivata prima è sempre continua?
Alex, dovresti definire cosa significa che "la legge è unica". Per esempio la funzione $f(x)=lim_(t to x^(+)) |t|/t$ è definita da un'unica legge?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo