Continuità e derivabilità

[xyz34567]

Buonasera,
vorrei porvi una domanda di tipo teorico:
data una funzione $f:X1->X2$ derivabile su tutto il dominio (intervallo aperto), $f'$ è sicuramente continua su $X1$?
In teoria penso di sì perche $f$ derivabile implica che:
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0) AA x in X1$ (intervallo aperto).
E dunque il limite destro è uguale al sinistro che è uguale al valore assunto dalla funzione nel punto.
Agli estremi dell'intervallo esiste solo il limite destro/sinistro quindi lì la funzione non è neanche derivabile.
Grazie mille per l'aiuto!

[axpgn]

"Martino":La funzione $h(x)$ vale $x$ se $x ne 0$ e $h(0)=1$.

No, vale sempre $1$.

Cioè $h(x)$ è una funzione costante di valore $1$

[Martino]

Non è vero, se $x ne 0$ allora $f(x)=g(x)$ e quindi $h(x)=x$.

[axpgn]

Ho approfondito ulteriormente e ho scoperto che hai ragione

[gabriella127]

Oltre alla fantastica soluzione di Martino al problema posto da axpgn, spero che ci si può intendere su cosa è una funzione definita a tratti, perché la discussione mi sembrava confusa. Ho fatto l'intervento-pippone su cosa sarebbe una funzione definita a tratti sopra per chiarire. Non capivo di cosa si stava parlando, se con axpgn o per dire cosa sono le funzioni definite a tratti, credevo anche che Martino stesse dicendo che

$f(x) := lim_(t to x^+) 2/pi (arctan(t)+arctan(1/t))$

fosse definita a tratti poiché equivalente a

( $f(x)=1$ per ogni $x ge 0$ e $f(x)=-1$ per ogni $x < 0$.

Mi riferivo poi in particolare agli interventi di Lebesgue che sottolineava come il problema fosse spinoso anche storicamente, ma quella credo sia un'altra questione.

"Lebesgue":
La funzione $f(x) = \sqrt(x^2)$ per te è definita a tratti o no?
Per Eulero non lo era, così come non lo era per Lagrange.

"Lebesgue":[quote="axpgn"]Ma adesso noi consideriamo quella funzione equivalente a $ f(x)=|x| $, no? Quindi è a tratti

il simbolo $ |.| $ è stato introdotto appositamente per evitare ogni volta di scrivere la funzione come una roba a tratti... capisci la difficoltà proprio concettuale di dire "funzione definita da una sola formula" (letteralmente tutto il '700 e la prima metà dell'800 i matematici li hanno passati a cercare di snocciolare la questione, quindi insomma mi sembra molto riduttivo "pretendere" di riuscirci in 4 messaggi in croce su questo forum)[/quote]
La questione di Eulero e compagni era probabilmente: quali funzioni si possono scrivere in un solo pezzo'? Perché, credo, mia congettura, fosse legata alla idea che avevano di funzione continua, che per Eulero era appunto una funzione scritta con una sola formula, quindi la questione equivaleva a cercare la classe delle funzioni continue.

Però noi abbiamo un'altra definizione di continuità e possiamo accordarci su cosa sia una funzione definita a tratti, qualcosa di molto più light, senza strapparci i capelli a capire se una funzione può essere scritta con una sola formula o no.

[Lebesgue]

"gabriella127":
Mi riferivo poi in particolare agli interventi di Lebesgue che sottolineava come il problema fosse spinoso anche storicamente, ma quella credo sia un'altra questione.


La questione di Eulero e compagni era probabilmente: quali funzioni si possono scrivere in un solo pezzo'? Perché, credo, mia congettura, fosse legata alla idea che avevano di funzione continua, che per Eulero era appunto una funzione scritta con una sola formula, quindi la questione equivaleva a cercare la classe delle funzioni continue.

Però noi abbiamo un'altra definizione di continuità e possiamo accordarci su cosa sia una funzione definita a tratti, qualcosa di molto più light, senza strapparci i capelli a capire se una funzione può essere scritta con una sola formula o no.

In realtà la cosa è estremamente più complicata: all'epoca non si aveva una chiara idea di continuità e, anzi, si distingueva da discontiniutà e discontiGuità (praticamente la discontinuità era "quando stacco la penna dal foglio", mentre la discontiGuità era l'attuale continuità di funzioni definite a più pezzi, che però si incollano bene)
Tra l'altro questa questione della continuità era proprio un problema a livello europeo.

Chiaramente poi viene tutto risolto poi dalla seconda metà dell'800, quando Hilbert, Weiestrass e Dedekind introducono l'attuale formalismo matematico

[gabriella127]

Quindi quando definisco una funzione a tratti ma con i pezzi che si incollano, ma non stacco la penna dal foglio, parlavano di 'discontiGuità?
Ma non è che è dopo Eulero? Perché io ricordo con chiarezza che per Eulero una funzione continua era una funzione definita da una sola formula, ma posso ricordare male, cercherò di controllare.

[Martino]

Comunque secondo me dovremmo definire bene cosa significa che una funzione è definita da "una sola formula", perché secondo la definizione che ho in mente (cf. i miei interventi precedenti), con abbastanza sforzo qualsiasi funzione pensabile umanamente si può esprimere con una sola formula.

[gabriella127]

Non so bene quale sia la definizione che hai in mente, ma secondo me dobbiamo anche intenderci su cosa chiamiamo 'formula', cosa ci deve stare in una 'formula'. Cioè, se ad esempio intendiamo composizioni di funzioni elementari e loro limiti, o integrali, o che cosa altro.

Mi veniva in mente quelle che dovrebbero essere le funzioni definite a tratti per eccellenza, le funzioni a scalino.
Be', se si usa la funzione caratteristica di un insieme la possiamo esprimere con una sola formula, una combinazione lineare di funzioni caratteristiche.
E prima che si usassero le funzioni caratteristiche forse non si sapeva esprimere, con gli strumenti a disposizione, una funzione a scalino 'con una sola formula'.

Quindi secondo me alla fine non ha molto senso chiedersi se una funzione può essere espressa in una sola formula. Perché può darsi che con le cose conosciute e usate attualmente non ci riusciamo, ma è possibile che si possa fare inventandosi altri concetti e notazioni.
Quindi alla fine ritorniamo al fatto che 'essere esprimibile con una sola formula' non è niente di intrinseco a una funzione, ma riguarda come ci arrabbattiamo a scriverla e come ci conviene scriverla.

[axpgn]

"Martino":Comunque secondo me dovremmo definire bene cosa significa che una funzione è definita da "una sola formula", perché secondo la definizione che ho in mente (cf. i miei interventi precedenti), con abbastanza sforzo qualsiasi funzione pensabile umanamente si può esprimere con una sola formula.

Più che "una sola formula" io parlavo/intendevo "una sola legge di corrispondenza" (che può essere qualsiasi cosa come un semplice elenco) e intendendo con "unica e sola" che non varia in dipendenza del valore preso in esame (esempio classico il valore assoluto dove "la formula" varia a seconda che l'argomento sia positivo o negativo)

[Martino]

"axpgn":Più che "una sola formula" io parlavo/intendevo "una sola legge di corrispondenza" (che può essere qualsiasi cosa come un semplice elenco) e intendendo con "unica e sola" che non varia in dipendenza del valore preso in esame (esempio classico il valore assoluto dove "la formula" varia a seconda che l'argomento sia positivo o negativo)

Ok, ma finché non fai esempi non si capisce. Per esempio, nella "sola legge di corrispondenza" cosa può comparire oltre alle quattro operazioni? Possono comparire limiti? Derivate? Integrali? Cioè $f(x)=lim_(t to x) x^2 sin(1/x)$ è definito da una sola legge di corrispondenza? E $g(x)=int_0^x sqrt(cos(t)) dt$ è definito da una sola legge di corrispondenza?

[axpgn]

Beh, un esempio l'ho fatto (il valore assoluto) comunque quello che intendo è che se prendi due elementi del dominio, la "procedura" cha applichi è sempre la stessa, non devi decidere se usare la busta A, B o C per ottenerne l'immagine.
Poi se vuoi si può allargare o restringere questa condizione (come dici tu solo le quattro operazioni od anche i limiti, gli integrali, ecc.) e vedere le differenze (se ve ne sono)

[Martino]

"axpgn":Beh, un esempio l'ho fatto (il valore assoluto) comunque quello che intendo è che se prendi due elementi del dominio, la "procedura" cha applichi è sempre la stessa, non devi decidere se usare la busta A, B o C per ottenerne l'immagine.

Continuo a non capire, prendiamo per esempio $f(x)=|x|$. Tu dicevi che questa non è definita da un'unica legge perché applichi procedure diverse a seconda del segno di $x$, tuttavia si può anche scrivere $f(x)=sqrt(x^2)$ e scritta così la funzione $f$ è definita da un'unica legge, perché la procedura è la stessa per tutti gli $x$ (prima elevare al quadrato, poi estrarre la radice quadrata).

Quindi questa funzione $f$ è definita da un'unica legge o no?

Più in generale, se una funzione $g$ può essere definita in due modi diversi, e in uno di questi due modi si divide per casi (procedure diverse a seconda del valore di $x$) e nel secondo modo si usa un'unica legge per $g$, allora quale di questi due modi "vince"? Cioè in questa situazione tu diresti che $g$ è definita da un'unica legge oppure no?

[axpgn]

Noi diciamo che sono equivalenti perché producono lo stesso risultato ma in realtà operano in modo differente: una volta stabilito che prima si eleva e poi si prende la radice positiva hai stabilito una procedura di calcolo che non dipende dall'elemento del dominio che stai considerando mentre per il valore assoluto devi scegliere come operare a seconda dell'elemento del dominio che consideri.
Secondo te tutte le funzioni di questo tipo possono essere "trasformate" in quelle del primo tipo?
Sono effettivamente equivalenti in tutto e per tutto (derivazione, integrazione, chissà cos'altro, ...) ?

[gabriella127]

Metto in spoiler per non intasare il thread con un discorso collaterale, la nozione di funzione continua in Eulero.

A proposito della nozione di funzione continua in Eulero come funzione 'descritta da una sola formula'.

"Lebesgue":[quote="gabriella127"]

La questione di Eulero e compagni era probabilmente: quali funzioni si possono scrivere in un solo pezzo'? Perché, credo, mia congettura, fosse legata alla idea che avevano di funzione continua, che per Eulero era appunto una funzione scritta con una sola formula, quindi la questione equivaleva a cercare la classe delle funzioni continue.

In realtà la cosa è estremamente più complicata: all'epoca non si aveva una chiara idea di continuità e, anzi, si distingueva da discontiniutà e discontiGuità (praticamente la discontinuità era "quando stacco la penna dal foglio", mentre la discontiGuità era l'attuale continuità di funzioni definite a più pezzi, che però si incollano bene)
Tra l'altro questa questione della continuità era proprio un problema a livello europeo.
Chiaramente poi viene tutto risolto poi dalla seconda metà dell'800, quando Hilbert, Weiestrass e Dedekind introducono l'attuale formalismo matematico[/quote]

"gabriella127":Quindi quando definisco una funzione a tratti ma con i pezzi che si incollano, ma non stacco la penna dal foglio, parlavano di 'discontiGuità?
ricordo con chiarezza che per Eulero una funzione continua era una funzione definita da una sola formula, ma posso ricordare male

Sicuramente è come dice Lebesgue, che le idee sulla continuità erano confuse, però è vero, come ricordavo, che per Eulero una funzione è continua se definita da una sola formula.
Umberto Bottazzini, in Il calcolo sublime, dice che per Eulero una funzione continua è quella descritta da una sola funzione, dove Eulero per funzione intende 'espressione analitica', formula:

“Una funzione di una quantità variabile è un’espressione analitica composta in
modo qualunque da quella quantità variabile e da numeri o quantità costanti”.
(definizione di funzione di Eulero, citazione nel lavoro di Bottazzini online che menziono sotto, p. 60).

In Il calcolo sublime Bottazzini cita Eulero a proposito della continuità. Parla Eulero:

Benché si possano descrivere meccanicamente diverse linee curve mediante il movimento continuo di un punto, che ci fa vedere la curva nel suo complesso, noi qui le consideriamo come il risultato di funzioni, essendo questa maniera di considerarle più analitica, più generale e più adatta al calcolo. [...] Di conseguenza, la natura di una linea curva sarà determinata da una funzione di $x$... Da questa concezione delle linee curve discende naturalmente la loro divisione in continue e in discontinue o miste. La linea curva continua è quella la cui natura è espressa da una sola funzione di $x$. Ma se la linea curva è composta da differenti parti BM, MD, DM, etc. determinate da più funzioni di $x$ [...] noi chiamiamo questa specie di linee curve discontinue o miste e irregolari, giacché esse non sono formate secondo una legge costante e sono composte di porzioni differenti di curve continue. (p. 28) [grassetto mio].

L'idea di 'non staccare la penna dal foglio' per definire la continuità sembra presente in Eulero, dalla citazione sopra, 'il movimento continuo di un punto. È un'idea legata alla nozione geometrica di curva, la quale è connessa all'idea di movimento, il che rende naturale pensare a un punto, o una penna, che si muove sul foglio, "tracciate con un libero movimento della mano"(Bottazzini, p. 29), come dice una tra le espressioni della vaga terminologia dell'epoca.
Però, come dice Bottazzini nel lavoro che cito sotto, con Eulero si ha una virata da un'idea geometrica a una idea analitica di curva, che viene considerata analoga a una funzione, mettendo da parte l'idea di movimento.

Per una cosa disponibile online, si può vedere il lavoro di Bottazzini Euler e gli infiniti. Bottazzini qui scrive della definizione di continuità per Eulero e fa esplicitamente l'esempio di $|x|$ che per Eulero non è continua (anche se si può tracciare non staccando la penna dal foglio):

Agli occhi di Euler e dei suoi contemporanei la continuità è una proprietà che
attiene alle curve, prima ancora che alle funzioni.[...]
Euler precisa che l’origine delle curve considerate nel seguito proviene
non dal movimento meccanico di un punto, ma dalle funzioni, poiché “è più
analitico, più accessibile e adatto ai calcoli”. Insomma, Euler ci sta dicendo che
è un analista, non un geometra. Ogni funzione dà luogo a una linea, retta o
curva, e viceversa, ad ogni linea è associata una funzione. Dunque, la natura di
ogni curva può essere espressa da qualche funzione. Fin qui non c’è gran che di
nuovo. Euler parla di funzioni invece che di equazioni, ma essenzialmente l’idea
risale a Descartes. Certo più nuova, e comunque decisiva per le concezioni che
si affermeranno nel corso del Settecento, è l’idea di associare la continuità di una
curva alle proprietà (globali) della funzione che la rappresenta. Su di esse Euler
basa la sua distinzione in curve continue e discontinue (o miste, come allora si
diceva).
Ecco la definizione che dà Euler: “Una curva continua è definita in modo tale, che
la sua natura è espressa da una una sola, ben definita, funzione di x”. Se invece
una curva è definita in modo tale che sue diverse parti sono espresse da funzioni
diverse della x, allora la curva si dice discontinua o mista e irregolare.
Dunque la continuità è una proprietà ‘in grande’ delle curve, contrariamente alla concezione
che si è venuta affermando nel corso dell’Ottocento, che privilegia il punto di vista
locale (se non puntuale) della continuità. Per chiarire la questione con un esempio
elementare, consideriamo la funzione y = |x|. Ai nostri occhi, una funzione
continua nell’origine; per Euler non si tratta nemmeno di una funzione, ma di due
funzioni, y = −x e y = x a seconda che si consideri x negativo o positivo. Dunque,
direbbe Euler, la curva corrispondente è discontinua. Potremmo dire che le curve
continue di Euler sono quelle che oggi si chiamano lisce, che ammettono tangente
in ogni punto. (pp. 68-69) [grassetto mio]

[kry_98]

Se posso dire la mia, la legge che definisce una funzione ci dice come ogni elemento del dominio sia in corrispondenza con un unico elemento del codominio. Quindi in linea di principio la “procedura” è definita (cambia) punto per punto, altroché solo su sottoinsiemi.

Questo per dire che le funzioni definite a tratti hanno la stessa natura di $f(x)=senx$. Fortunatamente la legge di molte funzioni è di facile espressione, ma la differenza non è sostanziale. Quindi secondo me la domanda non ha senso.

Quello che si avvicina di più alla questione è forse la definizione di funzione analitica.

[axpgn]

Non confondere il calcolo con la procedura ovvero $a*b$ è la procedura mentre $25 xx 6$ è un'istanza, un'applicazione della procedura.

[kry_98]

Ho usato “procedura” per codificare ciò che volevi dire ma nella definizione di funzione non interviene questo termine. Il fatto è che $f(x)=senx$ è una scrittura compatta per definire una legge di corrispondenza per ovviare al problema di dover scrivere elenchi infiniti. E scrivere una funzione a tratti è la stessa cosa.

[axpgn]

Mi pare che non hai compreso quello che ho scritto.

[kry_98]

Credo di aver compreso bene cosa intendi dire. Comunque ti leggo volentieri se hai altro da aggiungere.

[Martino]

In parte capisco cosa kry_98 sta dicendo, ed è un po' il punto principale della discussione: dire che una funzione è "definita da un'unica formula" non ha senso di per sé, bisogna definire rigorosamente cosa significa definire una funzione da un'unica formula.

D'altra parte, non sono d'accordo sul fatto che le funzioni definite a tratti hanno la stessa natura di una funzione come $f(x)=sin(x)$. Il punto é che la scrittura $f(x)=sin(x)$ dice quanto vale $f(x)$, non dice niente su come calcolarlo. E non c'è niente di male in questo. Resta il fatto che $sin(x)$ ha tutto il diritto di essere chiamata una "unica formula".