Continuità e derivabilità
Buonasera,
vorrei porvi una domanda di tipo teorico:
data una funzione $f:X1->X2$ derivabile su tutto il dominio (intervallo aperto), $f'$ è sicuramente continua su $X1$?
In teoria penso di sì perche $f$ derivabile implica che:
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0) AA x in X1$ (intervallo aperto).
E dunque il limite destro è uguale al sinistro che è uguale al valore assunto dalla funzione nel punto.
Agli estremi dell'intervallo esiste solo il limite destro/sinistro quindi lì la funzione non è neanche derivabile.
Grazie mille per l'aiuto!
vorrei porvi una domanda di tipo teorico:
data una funzione $f:X1->X2$ derivabile su tutto il dominio (intervallo aperto), $f'$ è sicuramente continua su $X1$?
In teoria penso di sì perche $f$ derivabile implica che:
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0) AA x in X1$ (intervallo aperto).
E dunque il limite destro è uguale al sinistro che è uguale al valore assunto dalla funzione nel punto.
Agli estremi dell'intervallo esiste solo il limite destro/sinistro quindi lì la funzione non è neanche derivabile.
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
"axpgn":
Perché $g$ non sarebbe definita per casi?
Perchè non ho distinto dei casi per la sua definizione, l'ho definita tutta "in blocco". Facendo riferimento al commento di gabriella, non ho usato delle parentesi graffe.
@Martino
Ma è a tratti quella lì
@otta96
Ma è a tratti quella lì
Ragazzi, non giriamoci intorno, avete capito benissimo cosa intendo dire
Ma è a tratti quella lì
@otta96
Ma è a tratti quella lì
Ragazzi, non giriamoci intorno, avete capito benissimo cosa intendo dire
"axpgn":
@Martino
Ma è a tratti quella lì
@otta96
Ma è a tratti quella lì
Ragazzi, non giriamoci intorno, avete capito benissimo cosa intendo dire
in realtà, la domanda è molto spinosa, anche a livello storico.
La funzione $f(x) = \sqrt(x^2)$ per te è definita a tratti o no?
Per Eulero non lo era, così come non lo era per Lagrange.
Ma adesso noi consideriamo quella funzione equivalente a $f(x)=|x|$, no? Quindi è a tratti
E la funzione $f(x)=arctan(x)+arctan(1/x)$ è a tratti?
"axpgn":
Ma adesso noi consideriamo quella funzione equivalente a $f(x)=|x|$, no? Quindi è a tratti
il simbolo $|.|$ è stato introdotto appositamente per evitare ogni volta di scrivere la funzione come una roba a tratti... capisci la difficoltà proprio concettuale di dire "funzione definita da una sola formula" (letteralmente tutto il '700 e la prima metà dell'800 i matematici li hanno passati a cercare di snocciolare la questione, quindi insomma mi sembra molto riduttivo "pretendere" di riuscirci in 4 messaggi in croce su questo forum)
"axpgn":
Ragazzi, non giriamoci intorno, avete capito benissimo cosa intendo dire
Io no sinceramente, $x|->{(x if x\leq0), (\sqrt(x^2) if x>0):}$ è definita a tratti secondo te?
"axpgn":
Ragazzi, non giriamoci intorno, avete capito benissimo cosa intendo dire ...
Per quanto mi riguarda ho capito che cosa intendi dire. E al netto del fatto che un simbolo possa implicitamente definire una funzione a tratti. A mio parere, utilizzando le funzioni elementari e le loro inverse, le funzioni che implicitamente definiscono una funzione a tratti come la funzione valore assoluto e la funzione segno, somma, differenza, prodotto, quoziente e composizione di tutte le funzioni di cui sopra, non è possibile definire, "in un sol colpo", una funzione definita in un punto e ivi derivabile con derivata non continua. Vero è che, se così fosse, non mi sembra facile formalizzarlo.
Io vorrei capire la cosa seguente.
Se definiamo $f(x) := lim_(t to x^+) 2/pi (arctan(t)+arctan(1/t))$
allora ne deduciamo che
(*) $f(x)=1$ per ogni $x ge 0$ e $f(x)=-1$ per ogni $x < 0$.
Osservo che (*) non è la definizione di $f$, è solo stato dedotto dalla definizione di $f$.
La funzione $f$ è definita a tratti oppure no?
Se definiamo $f(x) := lim_(t to x^+) 2/pi (arctan(t)+arctan(1/t))$
allora ne deduciamo che
(*) $f(x)=1$ per ogni $x ge 0$ e $f(x)=-1$ per ogni $x < 0$.
Osservo che (*) non è la definizione di $f$, è solo stato dedotto dalla definizione di $f$.
La funzione $f$ è definita a tratti oppure no?
Ti dico come la vedo io. Secondo me è una questione di come descriviamo una funzione, in fondo una questione di definizioni su cui mettersi d'accordo, non è un a proprietà intrinseca delle funzioni, come già aveva notato otta96.
Qualunque funzione può essere scritta come funzione definita a tratti, anche $x^2$, se uno è così scemo da scrivere
$f(x)={(x^2+1-1 if x=0), (x^2+2-2 if x!=0):}$.
Che cos'è una funzione definita a tratti? È una funzione definita con espressioni diverse su sottoinsiemi diversi del dominio. Secondo me è un fatto del tutto formale, estrinseco, in molti casi possiamo scegliere noi come definirla, a tratti o no.
Per cui la tua funzione,
$f(x) := lim_(t to x^+) 2/pi (arctan(t)+arctan(1/t))$
così come è scritta, con un'unica espressione in tutto il dominio, non è definita a tratti, per come la vedo io.
Un esempio divertente è anche la funzione di Dirichlet, definita a tratti
$f(x)={(1 if x\in \mathbb{Q}), (0 if x\in \mathbb{R}\\mathbb{Q}):}$
ma anche può anche essere scritta in una sola botta come:
$f(x)= 1- $ \( \lim_{x\rightarrow +\infty} (\lim_{t\rightarrow 0} \frac {\sin^2(n!\pi x)}{\sin^2(n!\pi x)+t^2}) \)
Entrambe le espressioni per la funzione di Dirichlet, così come anche nel caso da te descritto sopra, sono la stessa funzione, se ci rifacciamo alla definizione insiemistica di funzione, per cui una funzione tra due insiemi $A$ e $B$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A\times B$, tale che ogni elemento di $A$ appare come prima coordinata etc. etc.
Con questa definizione, una funzione è definita quando è stato definito, come si voglia, il sottoinsieme del prodotto cartesiano: nei nostri casi, abbiamo due regole di assegnazione, all'apparenza diverse, ma sono la stessa, in quanto definiscono lo stesso sottoinsieme del prodotto cartesiano.
Usando le due espressioni analitiche, a tratti o no, stiamo di fronte alla stessa funzione, perché è lo stesso sottoinsimeme del prodotto cartesiano, solo che la stiamo descrivendo, dipingendo, in modo diverso, gli stiamo mettendo un vestito diverso.
Poi ci sono funzioni che, mi pare, non possono essere scritte 'in un solo pezzo', ma solo a tratti, come quelle definite per prolungamento per continuità, come l'esempio di otta96. [Edit: balle, la funzione del controesempio di otta96 può essere scritta di un sol pezzo, come mostra Martino sotto
)
Qualunque funzione può essere scritta come funzione definita a tratti, anche $x^2$, se uno è così scemo da scrivere
$f(x)={(x^2+1-1 if x=0), (x^2+2-2 if x!=0):}$.
Che cos'è una funzione definita a tratti? È una funzione definita con espressioni diverse su sottoinsiemi diversi del dominio. Secondo me è un fatto del tutto formale, estrinseco, in molti casi possiamo scegliere noi come definirla, a tratti o no.
Per cui la tua funzione,
$f(x) := lim_(t to x^+) 2/pi (arctan(t)+arctan(1/t))$
così come è scritta, con un'unica espressione in tutto il dominio, non è definita a tratti, per come la vedo io.
Un esempio divertente è anche la funzione di Dirichlet, definita a tratti
$f(x)={(1 if x\in \mathbb{Q}), (0 if x\in \mathbb{R}\\mathbb{Q}):}$
ma anche può anche essere scritta in una sola botta come:
$f(x)= 1- $ \( \lim_{x\rightarrow +\infty} (\lim_{t\rightarrow 0} \frac {\sin^2(n!\pi x)}{\sin^2(n!\pi x)+t^2}) \)
"Martino":
allora ne deduciamo che
(*) $f(x)=1$ per ogni $x ge 0$ e $f(x)=-1$ per ogni $x < 0$.
Osservo che (*) non è la definizione di $f$, è solo stato dedotto dalla definizione di $f$.
Entrambe le espressioni per la funzione di Dirichlet, così come anche nel caso da te descritto sopra, sono la stessa funzione, se ci rifacciamo alla definizione insiemistica di funzione, per cui una funzione tra due insiemi $A$ e $B$ è un sottoinsieme del prodotto cartesiano $A\times B$, tale che ogni elemento di $A$ appare come prima coordinata etc. etc.
Con questa definizione, una funzione è definita quando è stato definito, come si voglia, il sottoinsieme del prodotto cartesiano: nei nostri casi, abbiamo due regole di assegnazione, all'apparenza diverse, ma sono la stessa, in quanto definiscono lo stesso sottoinsieme del prodotto cartesiano.
Usando le due espressioni analitiche, a tratti o no, stiamo di fronte alla stessa funzione, perché è lo stesso sottoinsimeme del prodotto cartesiano, solo che la stiamo descrivendo, dipingendo, in modo diverso, gli stiamo mettendo un vestito diverso.
Poi ci sono funzioni che, mi pare, non possono essere scritte 'in un solo pezzo', ma solo a tratti, come quelle definite per prolungamento per continuità, come l'esempio di otta96. [Edit: balle, la funzione del controesempio di otta96 può essere scritta di un sol pezzo, come mostra Martino sotto
)
Noodles mi pare che abbia capito che non ne sto facendo una questione di estetica ma di sostanza; mi fa piacere che usare un simbolo come per esempio $|*|$ semplifichi la notazione ma non cambia il fatto che per trovare l'immagine di un elemento del dominio devo usare due procedure diverse a seconda che l'argomento sia positivo o negativo.
La mia domanda è sempre la stessa ovvero se ho una funzione che applica un'unica e sola legge su tutto il dominio costituito da un unico intervallo, continua e derivabile allora la derivata prima è sempre continua?
Dipende dal dominio, se è $RR$ \ ${0}$ allora hai un'unica legge ma due intervalli, se è $(-10, -1)$ allora è una funzione "che applica un'unica e sola legge su tutto il dominio costituito da un unico intervallo".
Per quel che capisco è una funzione definita con un'unica legge su un unico intervallo ma non è continua, o sbaglio?
La mia domanda è sempre la stessa ovvero se ho una funzione che applica un'unica e sola legge su tutto il dominio costituito da un unico intervallo, continua e derivabile allora la derivata prima è sempre continua?
"Martino":
E la funzione $ f(x)=arctan(x)+arctan(1/x) $ è a tratti?
Dipende dal dominio, se è $RR$ \ ${0}$ allora hai un'unica legge ma due intervalli, se è $(-10, -1)$ allora è una funzione "che applica un'unica e sola legge su tutto il dominio costituito da un unico intervallo".
"Martino":
Io vorrei capire la cosa seguente.
Se definiamo $ f(x) := lim_(t to x^+) 2/pi (arctan(t)+arctan(1/t)) $
allora ne deduciamo che
(*) $ f(x)=1 $ per ogni $ x ge 0 $ e $ f(x)=-1 $ per ogni $ x < 0 $.
Osservo che (*) non è la definizione di $ f $, è solo stato dedotto dalla definizione di $ f $.
La funzione $ f $ è definita a tratti oppure no?
Per quel che capisco è una funzione definita con un'unica legge su un unico intervallo ma non è continua, o sbaglio?
"axpgn":Non direi, la funzione $f(x)=sqrt(x^2)$ non richiede due procedure diverse a seconda del segno di $x$.
usare un simbolo come per esempio $|*|$ semplifichi la notazione ma non cambia il fatto che per trovare l'immagine di un elemento del dominio devo usare due procedure diverse a seconda che l'argomento sia positivo o negativo.
"Martino":Non sbagli. Quindi la consideri una funzione definita da un'unica legge, giusto?
Per quel che capisco è una funzione definita con un'unica legge su un unico intervallo ma non è continua, o sbaglio?
Usandola, è facile costruire una funzione derivabile con derivata non continua e definita da un'unica legge.
Facilmente? Come faresti facilmente?
"Martino":
Non direi, la funzione $f(x)=sqrt(x^2)$ non richiede due procedure diverse a seconda del segno di $x$.
Se mi dici che è equivalente a $|x|$ allora richiede due procedure diverse, se invece non lo è perché poniamo la convenzione che prima elevo e poi faccio la radice allora la legge è unica.
"Martino":
Non sbagli. Quindi la consideri una funzione definita da un'unica legge, giusto?
Usandola, è facile costruire una funzione derivabile con derivata non continua e definita da un'unica legge.
Con l'aiuto di Wolfram mi sono accorto che anche questa non è definita in zero.
Come no? Certo che è definita in zero.
"otta96":
Facilmente? Come faresti facilmente?
Io non ho le vostre competenze, ma l'unica cosa che sono riuscita a cavare (esempi niente) è che, perché ci sia una funzione ovunque derivabile ma con derivata discontinua in qualche punto, bisogna avere una funzione derivata $f'(x)$ che non abbia limite, o limite destro, o limite sinistro, in qualche punto.
Questo perché la derivata non può avere discontinuità di salto per il Teorema di Darboux, ma solo discontinuità perché un limite non esiste.
Infatti è il caso della derivata del controesempio citato sopra
$f(x)={(0 if x=0), (x^2\sin(1/x) if x!=0):}$,
la cui derivata non ha limite in $0$.
Quale può essere una funzione scritta 'in un solo pezzo' per cui avviene questo?
Premetto che probabilmente @Alex pensi che non sia definita in zero per un problema notazionale: il limite non è per $t$ che tende a $x$, è per $t$ che tende a $x$ da destra (cioè $t to x^+$). Il segno $+$ indica che il limite è fatto solo da destra. Analogamente, il limite da sinistra si denoterebbe $t to x^-$.
Detto questo, cerco di spiegarmi meglio. Nel seguito, userò le seguenti due funzioni (osservo che nella prima il limite è preso da destra, nella seconda da sinistra).
$f(x) = lim_(t to x^+) 2/pi (arctan(t)+arctan(1/t))$
$g(x) = lim_(t to x^-) 2/pi (arctan(t)+arctan(1/t))$
Abbiamo stabilito che le due funzioni di cui sopra sono definite da una legge unica. Sia $f$ che $g$ calcolate in $x ne 0$ danno il "segno" di $x$ (cioè $1$ se $x>0$ e $-1$ se $x<0$) e però il loro valore in zero è diverso, $f(0)=1$ e $g(0)=-1$.
Ne segue che
$h(x)=1+(x-1)(1-1/2 (f(x)-g(x)))$
può anch'essa essere definita tramite una legge unica, poiché ogni funzione che può essere scritta in termini di funzioni definite da legge uniche è ovviamente definita da una legge unica.
La funzione $h(x)$ vale $x$ se $x ne 0$ e $h(0)=1$.
Ora prendiamo
$gamma(x) = x^2 sin(1/(h(x)))$.
Siccome $h$ è definita da una legge unica, anche $gamma$ è definita da una legge unica. Inoltre coincide con la funzione data da otta96. Quindi è derivabile ma la sua derivata non è continua.
Dopo aver scritto tutto questo, mi sono reso conto che bastava definire
$delta(x) := lim_(t to x) t^2 sin(1/t)$
e si otteneva la funzione di otta96, definita però da una legge unica. Ma non ho il coraggio di cancellare tutto quello che ho scritto sopra (potrebbe avere un interesse a sé).
Detto questo, cerco di spiegarmi meglio. Nel seguito, userò le seguenti due funzioni (osservo che nella prima il limite è preso da destra, nella seconda da sinistra).
$f(x) = lim_(t to x^+) 2/pi (arctan(t)+arctan(1/t))$
$g(x) = lim_(t to x^-) 2/pi (arctan(t)+arctan(1/t))$
Abbiamo stabilito che le due funzioni di cui sopra sono definite da una legge unica. Sia $f$ che $g$ calcolate in $x ne 0$ danno il "segno" di $x$ (cioè $1$ se $x>0$ e $-1$ se $x<0$) e però il loro valore in zero è diverso, $f(0)=1$ e $g(0)=-1$.
Ne segue che
$h(x)=1+(x-1)(1-1/2 (f(x)-g(x)))$
può anch'essa essere definita tramite una legge unica, poiché ogni funzione che può essere scritta in termini di funzioni definite da legge uniche è ovviamente definita da una legge unica.
La funzione $h(x)$ vale $x$ se $x ne 0$ e $h(0)=1$.
Ora prendiamo
$gamma(x) = x^2 sin(1/(h(x)))$.
Siccome $h$ è definita da una legge unica, anche $gamma$ è definita da una legge unica. Inoltre coincide con la funzione data da otta96. Quindi è derivabile ma la sua derivata non è continua.
Dopo aver scritto tutto questo, mi sono reso conto che bastava definire
$delta(x) := lim_(t to x) t^2 sin(1/t)$
e si otteneva la funzione di otta96, definita però da una legge unica. Ma non ho il coraggio di cancellare tutto quello che ho scritto sopra (potrebbe avere un interesse a sé).
Molto bello, non mi veniva in mente.
"Martino":
bastava definire
$delta(x) := lim_(t to x) t^2 sin(1/t)$
e si otteneva la funzione di otta96, definita però da una legge unica.
Wow! Bello!
"Martino":
Premetto che probabilmente @Alex pensi che non sia definita in zero per un problema notazionale: il limite non è per $t$ che tende a $x$, è per $t$ che tende a $x$ da destra (cioè $t to x^+$). Il segno $+$ indica che il limite è fatto solo da destra. Analogamente, il limite da sinistra si denoterebbe $t to x^-$.
Vero. Mi ero dimenticato di dirlo a Wolfram
Per il resto ci devo pensare ...
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