Continuità e derivabilità
Buonasera,
vorrei porvi una domanda di tipo teorico:
data una funzione $f:X1->X2$ derivabile su tutto il dominio (intervallo aperto), $f'$ è sicuramente continua su $X1$?
In teoria penso di sì perche $f$ derivabile implica che:
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0) AA x in X1$ (intervallo aperto).
E dunque il limite destro è uguale al sinistro che è uguale al valore assunto dalla funzione nel punto.
Agli estremi dell'intervallo esiste solo il limite destro/sinistro quindi lì la funzione non è neanche derivabile.
Grazie mille per l'aiuto!
vorrei porvi una domanda di tipo teorico:
data una funzione $f:X1->X2$ derivabile su tutto il dominio (intervallo aperto), $f'$ è sicuramente continua su $X1$?
In teoria penso di sì perche $f$ derivabile implica che:
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0) AA x in X1$ (intervallo aperto).
E dunque il limite destro è uguale al sinistro che è uguale al valore assunto dalla funzione nel punto.
Agli estremi dell'intervallo esiste solo il limite destro/sinistro quindi lì la funzione non è neanche derivabile.
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
Perché dici che non si può calcolare? $f(1)=sen(1)$ ed è il modo veloce di sapere che $1$ è in corrispondenza con $sen(1)$. Se ne avessi la possibilità scriverei a mano ogni corrispondenza che identifica questa “formula” e otterrei la medesima funzione.
C'è differenza nel modo di procedere tra $sin(x)$ e $|x|$: nel primo caso prendi un elemento del dominio e gli applichi la procedura necessaria (che sia cercarlo sulle tavole o usare la calcolatrice o misurarlo sulla circonferenza unitario non cambia) mentre nel secondo caso dopo aver preso un elemento del dominio prima di applicargli la giusta procedura devi fare una scelta in base ad esso.
In pratica, nel secondo caso, hai due funzioni "appiccicate"
In pratica, nel secondo caso, hai due funzioni "appiccicate"
Pur rimanendo dell’idea che non c’è differenza, provo a darti una mezza risposta. Dimmi che ne pensi.
Come dicevo, probabilmente per “unica formula” intendi dire una funzione analitica reale, ossia una funzione liscia che localmente è la sua serie di Taylor. Ora se incolli due funzioni analitiche potrebbe non uscirne una funzione analitica, infatti nel punto di raccordo nascono problemi. Se la $f$ è liscia, nel punto di raccordo la serie di Taylor potrebbe non convergere ad $f$, ma addirittura la $f$ potrebbe non essere derivabile come accade per $|x|$ che per appunto non è analitica.
Quindi se la domanda è: esistono funzioni analitiche che hanno derivata discontinua? La risposta è no.
Come dicevo, probabilmente per “unica formula” intendi dire una funzione analitica reale, ossia una funzione liscia che localmente è la sua serie di Taylor. Ora se incolli due funzioni analitiche potrebbe non uscirne una funzione analitica, infatti nel punto di raccordo nascono problemi. Se la $f$ è liscia, nel punto di raccordo la serie di Taylor potrebbe non convergere ad $f$, ma addirittura la $f$ potrebbe non essere derivabile come accade per $|x|$ che per appunto non è analitica.
Quindi se la domanda è: esistono funzioni analitiche che hanno derivata discontinua? La risposta è no.
"kry_98":Non ho detto che non si può calcolare. Quello che intendo dire è che una cosa si può definire senza saperla calcolare. Cioè non serve saperla calcolare per saperla definire.
Perché dici che non si può calcolare?
Allora, mi sembra di averlo scritto già diverse volte ma lo rifaccio ancora ...
Una funzione è fatta di tre elementi: due insiemi (dominio e codominio) e una legge di corrispondenza che mette in relazione ogni elemento del dominio con un elemento del codominio; questa legge può essere qualsiasi cosa, anche un semplice elenco, basta che rispetti quanto detto sopra.
Cosa vuol dire "usare un'unica formula, un'unica legge"? Significa non dovermi preoccupare di dove vado a prendere il mio elemento del dominio per applicargli la formula, come in $sin(x)$ mentre se la formula NON è unica, come per il valore assoluto, devo saperlo dove vado a prenderlo ovvero suddivido/partiziono il mio dominio in due (o più) sottoinsiemi ognuno con una sua specifica legge, di fatto ho due (o più) funzioni.
Una funzione è fatta di tre elementi: due insiemi (dominio e codominio) e una legge di corrispondenza che mette in relazione ogni elemento del dominio con un elemento del codominio; questa legge può essere qualsiasi cosa, anche un semplice elenco, basta che rispetti quanto detto sopra.
Cosa vuol dire "usare un'unica formula, un'unica legge"? Significa non dovermi preoccupare di dove vado a prendere il mio elemento del dominio per applicargli la formula, come in $sin(x)$ mentre se la formula NON è unica, come per il valore assoluto, devo saperlo dove vado a prenderlo ovvero suddivido/partiziono il mio dominio in due (o più) sottoinsiemi ognuno con una sua specifica legge, di fatto ho due (o più) funzioni.
"axpgn":Questa non è la mia definizione di funzione. La mia definizione di funzione è quella che trovi qui nella sezione "formal definition".
Una funzione è fatta di tre elementi: due insiemi (dominio e codominio) e una legge di corrispondenza che mette in relazione ogni elemento del dominio con un elemento del codominio; questa legge può essere qualsiasi cosa, anche un semplice elenco, basta che rispetti quanto detto sopra.
Il motivo per cui non uso la tua definizione è che non mi è per niente chiaro cosa si intenda con "legge". E non è un problema solo mio: non si può parlare di legge se non si definisce cosa sia una legge.
Ma dai ... un sottoinsieme del prodotto cartesiano è una funzione se soddisfa certi requisiti ma quel sottoinsieme se non lo espliciti elencando tutti i suoi elementi lo determini mediante una qualche regola, legge, formula o chiamala come altro vuoi ma la devi dare ... 
Ovviamente hai ragione, ma non è chiaro cosa si intenda per "legge unica" e "legge non unica". Forse a te è chiaro, ma a me non lo è.
Provo a formalizzare quanto detto sopra ... ma non so se ci riesco 
In sostanza nei post precedenti sostengo che la legge di corrispondenza che definisce una funzione NON è unica se mi obbliga a partizionare il dominio in due (o più) sottoinsiemi per essere applicata (es. valore assoluto)
In sostanza nei post precedenti sostengo che la legge di corrispondenza che definisce una funzione NON è unica se mi obbliga a partizionare il dominio in due (o più) sottoinsiemi per essere applicata (es. valore assoluto)
Capisco, ma è una definizione che non ha senso. Mi spiego. Per dire quando una funzione ha una certa proprietà P e quando non ce l'ha bisogna descrivere P in modo intrinseco, inequivocabile.
Un esempio di proprietà P come sopra è la continuità di una funzione, un'altra è la derivabilità.
"Essere definita a tratti" NON è una proprietà intrinseca di una funzione. Cioè se io ti dò una funzione $f$ tu non riesci a dirmi se è definita a tratti oppure no, proprio perché "essere definita a tratti" è un concetto fumoso, che non significa qualcosa di preciso.
Oppure posso darti una funzione $f$ definita a tratti e poi tu scopri una "legge unica" che definisce $f$. Quindi possiamo dire che una funzione è definita a tratti "finché non smette di esserlo". Quindi l'essere definita a tratti non è una caratteristica intrinseca di una funzione, sembra più una proprietà condizionata ai nostri processi mentali (che non dovrebbero essere coinvolti nelle proprietà che una funzione ha o non ha).
Un esempio di proprietà P come sopra è la continuità di una funzione, un'altra è la derivabilità.
"Essere definita a tratti" NON è una proprietà intrinseca di una funzione. Cioè se io ti dò una funzione $f$ tu non riesci a dirmi se è definita a tratti oppure no, proprio perché "essere definita a tratti" è un concetto fumoso, che non significa qualcosa di preciso.
Oppure posso darti una funzione $f$ definita a tratti e poi tu scopri una "legge unica" che definisce $f$. Quindi possiamo dire che una funzione è definita a tratti "finché non smette di esserlo". Quindi l'essere definita a tratti non è una caratteristica intrinseca di una funzione, sembra più una proprietà condizionata ai nostri processi mentali (che non dovrebbero essere coinvolti nelle proprietà che una funzione ha o non ha).
"Martino":
Capisco, ma è una definizione che non ha senso.
Non sono del tutto d'accordo ... nel senso che se io dico che per applicare la funzione devo dividere il dominio in più parti (altrimenti non sono in grado di trovare l'immagine) allora questo è un qualcosa di oggettivo, non fumoso.
Sempre IMHO.
Tu mi dici "Puoi sempre trovare una funzione che fa la stessa cosa ma con una legge unica e quindi una vera differenza tra le due non esiste", io direi di no perché due funzioni che hanno lo stesso dominio e la stessa immagine non implica che siano la stessa funzione; saranno equivalenti magari ma non la stessa.
Intendi dire che le funzioni $f(x)=|x|$ e $g(x)=sqrt(x^2)$ sono diverse? Per come la vedo io $f=g$. Se tu dici che sono "equivalenti ma diverse" allora parliamo proprio due lingue diverse. Non so cosa intendi con "funzioni equivalenti". Comunque il punto è che stiamo parlando di concetti non definiti, "legge", "definita a tratti", "funzioni equivalenti" sono tutti concetti che non abbiamo mai definito, eppure li usiamo nel nostro dialogo come se significassero qualcosa.
Se secondo te significano qualcosa, basta che li definisci, così ci capiamo.
Se secondo te significano qualcosa, basta che li definisci, così ci capiamo.
"legge"=una regola, una procedura, un algoritmo, una scrittura che permetta di associare un elemento del dominio ad un elemento del codominio (un elenco di coppie ordinate anche ...)
"funzione definita a tratti"= una funzione per la quale l'applicazione della "legge" (ovvero al fine di costruire la coppia ordinata $(x,y)$ dove $x$ appartiene al dominio e $y$ appartiene al codominio) necessita la partizione del dominio in due o più sottoinsiemi.
"funzioni equivalenti"=due funzioni che hanno il sottoinsieme del prodotto cartesiano che le costituisce coincidente (per me due se due funzioni sono equivalenti non implica che siano uguali e tantomeno la stessa)
"funzione definita a tratti"= una funzione per la quale l'applicazione della "legge" (ovvero al fine di costruire la coppia ordinata $(x,y)$ dove $x$ appartiene al dominio e $y$ appartiene al codominio) necessita la partizione del dominio in due o più sottoinsiemi.
"funzioni equivalenti"=due funzioni che hanno il sottoinsieme del prodotto cartesiano che le costituisce coincidente (per me due se due funzioni sono equivalenti non implica che siano uguali e tantomeno la stessa)
"axpgn":
C'è differenza nel modo di procedere tra $sin(x)$ e $|x|$: nel primo caso prendi un elemento del dominio e gli applichi la procedura necessaria (che sia cercarlo sulle tavole o usare la calcolatrice o misurarlo sulla circonferenza unitario non cambia) mentre nel secondo caso dopo aver preso un elemento del dominio prima di applicargli la giusta procedura devi fare una scelta in base ad esso.
In pratica, nel secondo caso, hai due funzioni "appiccicate"
Però scusa eh, ma se devi calcolare $\sin(0)$, te veramente usi la calcolatrice o usi un altro metodo? In pratica è differenziato il calcolo come la funzione che dicevo io.
"axpgn":Ok ma questo non ha senso logicamente parlando, sono definizioni intuitive e basate sui processi mentali di un essere umano. Come faccio a decidere (in modo inequivocabile) che l'applicazione della legge necessita la partizione del dominio?
"legge"=una regola, una procedura, un algoritmo, una scrittura che permetta di associare un elemento del dominio ad un elemento del codominio (un elenco di coppie ordinate anche ...)
"funzione definita a tratti"= una funzione per la quale l'applicazione della "legge" (ovvero al fine di costruire la coppia ordinata $(x,y)$ dove $x$ appartiene al dominio e $y$ appartiene al codominio) necessita la partizione del dominio in due o più sottoinsiemi.
Inoltre non hai mai definito cosa significa che una funzione è definita da un'unica legge.
Comunque dal punto di vista logico, la graffa rappresenta una congiunzione di due leggi, che quindi è una sola legge così come la congiunzione di due proposizioni è una proposizione.
Aldilà di questa questione, per axpgn: sono abbastanza sicuro che non esista una funzione derivabile con derivata non continua che sia somma, prodotto/quoziente o composizione di funzioni algebriche, esponenziali, logaritmiche o goniometriche e loro inverse sui rispettivi domini “naturali”. E queste dovrebbero essere le funzioni che intendi tu.
Comunque insisto che probabilmente la definizione di funzione analitica reale potrebbe rispecchiare ciò che hai in mente e che capisco, ma che non è formalizzato.
Comunque insisto che probabilmente la definizione di funzione analitica reale potrebbe rispecchiare ciò che hai in mente e che capisco, ma che non è formalizzato.
"Martino":Ok, ma finché non fai esempi non si capisce. Per esempio, nella "sola legge di corrispondenza" cosa può comparire oltre alle quattro operazioni? Possono comparire limiti? Derivate? Integrali? ?[/quote]
[quote="axpgn"]Più che "una sola formula" io parlavo/intendevo "una sola legge di corrispondenza" (che può essere qualsiasi cosa come un semplice elenco) e intendendo con "unica e sola" che non varia in dipendenza del valore preso in esame
"axpgn":
Ma dai ... un sottoinsieme del prodotto cartesiano è una funzione se soddisfa certi requisiti ma quel sottoinsieme se non lo espliciti elencando tutti i suoi elementi lo determini mediante una qualche regola, legge, formula o chiamala come altro vuoi ma la devi dare ...
"Martino":
Ovviamente hai ragione, ma non è chiaro cosa si intenda per "legge unica" e "legge non unica". Forse a te è chiaro, ma a me non lo è.
Secondo me in questo modo non se ne esce, ci si incarta in ragionamenti circolari e basta.
Ad esempio questo sotto lo trovo confusivo, circolare nel senso che specifico più avanti:
"axpgn":
"legge"=una regola, una procedura, un algoritmo, una scrittura che permetta di associare un elemento del dominio ad un elemento del codominio (un elenco di coppie ordinate anche ...)
Mi riferisco in particolare al fatto di usare i termini 'procedura', 'legge', 'elenco', invece di 'formula', introdotti da @axpgn: 'legge di corrispondenza (che può essere qualsiasi cosa)', 'procedura', poi alla fine che significa?
Non voglio filosofare, ma in matematica le nozioni vanno definite, oppure date per primitive.
Legge di assegnazione (o corrispondenza, o regola, o procedura che dir si voglia) o si dà per nozione primitiva o si definisce (nella matematica attuale in termini insiemistici, coppie ordinate tali che etc.)
Cito, per capirci, la definizione classica di funzione, quella di Dirichlet, che si dà in genere ad analisi 1:
Una funzione tra due insiemi $C$ e $D$ è una legge di assegnazione (o regola, o procedura, etc.) tale che a ogni elemento di $C$ corriponde uno e un solo elemento di $D$.
Allora ci sono due possibilità (nella matematica attuale), quando parliamo di legge di assegnazione, procedura etc.:
Caso 1) Passiamo alla definizione insiemistica di funzione. Definiamo legge di assegnazione (o regola, procedura etc.) in termini insiemistici: dati due insiemi $C$ e $D$ una legge di assegnazione è un sottoinsieme $r$ del prodotto cartesiano, tale che ogni elemento di $C$ appare come prima coordinata di al più una coppia ordinata che appartiene a $r$.
Una funzione viene quindi definita come una legge di assegnazione (qui sto seguendo Munkres, Topology, tanto per non fare di testa mia), in congiunzione con un insieme $B$ detto insieme immagine (range) etc. etc., non sto a specificare tutto ora, non serve.
Siamo quindi alla definizione formale-insiemistica di funzione citata da Martino: stiamo definendo 'legge di assegnazione, 'procedura' etc. in termini di prodotto cartesiano.
Ma allora che vuol dire una 'procedura diversa' su ogni sottoinsieme, nel caso di funzione definita a tratti?
Che significa definire una funzione a tratti prendendo le coppie cartesiane con 'procedura diversa' su ogni sottoinsieme? Come fai gli elenchi-coppie cartesiane in modo che siano 'diversi' su ogni tratto? Chiami Qui Quo Qua, e su un tratto chiami Qui e su un altro chiami Qua a scegliere?
Ci stiamo incartando circolarmente tra coppie cartesiane e procedure: definiamo la 'procedura-legge di assegnazione' in termini di prodotto cartesiano, e poi vogliamo descrivere il prodotto cartesiano 'diverso?' su un tratto del dominio con la nozione di 'procedura'.
Tilt.
Caso 2) Assumiamo 'legge di assegnazione-corrispondenza-procedura-regola', come nozione primitiva come si fa nella definizione classica di funzione, quella di Dirichlet, che si fa ad analisi 1.
Ottimo, però poi ci accapigliamo vanamente per capire che vuole dire 'legge di corrispondenza-procedura' diversa su ogni tratto', visto che non sappiamo cos'è una legge di corripondenza.
Sono quindi d'accordo con Martino che quello che ci vuole è una specificazione di cosa deve entrare in una 'formula': funzioni elementari, limiti, integrali, parole in cinese, tiro con l'arco sul codominio per infilzare l'immmagine di un elemento (è un modo di assegnazione, eh?), etc.
Meglio allora attenersi alla parola 'formula', almeno sappiamo che è una cosa scritta in simboli, nero su bianco, e specificando che cosa ci deve comparire dentro, scendendo dall'empireo concettuale alla pratica terrena del matematico, in particolare dell'analista.
In questo caso si può dare una definizione di funzione definita a tratti molto estrinseca, pratica, terra terra : una funzione è definita a tratti quando uso più formule diverse (nel senso da specificare) su diversi sottoinsiemi, cioè proprio scritte diversamente: $x+1$ è scritto diversamente, è una formula diversa, da $x+2-1$.
Oppure lasciamo proprio perdere, dicendo che 'funzione definita a tratti' non è una nozione che ha molto senso matematico, come dice su Martino.
(p.s. quando uso il grassetto non lo faccio per strillare, @axpgn, non ti ho sgridato
, eh? (anzi ho apprezzato il tuo intervento che ci ha permesso questa discussione). Lo faccio per sintesi, in primis per me, e per consentire a chi si rompe le balle di leggere il post di guardare solo quello e avere una idea del contenuto.
Condivido a pieno ciò che dice gabriella. Per di più anche se usiamo la definizione primitiva di funzione la legge di assegnazione è unica e le “formule” sono solo un modo di descriverla.
Mi fa piacere, e sono d'accordo sulla tua osservazione.
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