Appassionati di integrali
ho risolto questo integrale con due sostituzioni e un po' di fortuna, voi come lo fareste?
$inte^xsqrt(1-e^(2x))dx$
$inte^xsqrt(1-e^(2x))dx$
Risposte
$y=e^x$
questo pure mooolto carino:
$intsqrt(tan^2x+1)dx$
$intsqrt(tan^2x+1)dx$
come procedereste per questo (ci sono sopra da un'oretta)?
$int(x/(x^2+1))^2dx$
$int(x/(x^2+1))^2dx$
per la formula di Hermite $(x^2)/(x^2+1)^2 = 1/2(1/(x^2+1)-d/dxx/(x^2+1))$ dunque $int(x/(x^2+1))^2dx = int1/2(1/(x^2+1)-d/dxx/(x^2+1))dx = 1/2arctgx-x/(2(x^2+1))$
ah ecco ho trovato:
$intx*x/(x^2+1)^2dx=x intx/(x^2+1)^2-intintx/(x^2+1)^2dx...
$intx*x/(x^2+1)^2dx=x intx/(x^2+1)^2-intintx/(x^2+1)^2dx...
Proverei a svolgere come $int(f(x) / g(X))dx$
cioe'
$int((x^2)/((x^2 + 1)^2))dx$
che ne dite ?
EugenioA
cioe'
$int((x^2)/((x^2 + 1)^2))dx$
che ne dite ?
EugenioA
grazie kroldar. in quale argomento troverò la formula di Hermite?
"micheletv":
grazie kroldar. in quale argomento troverò la formula di Hermite?
applicazione dei residui alla decomposizione in fratti semplici... cmq segnati queste due formule che possono risultare molto importanti:
1) $(x^2)/(x^2+omega^2)^2 = 1/2(1/(x^2+omega^2)-d/dxx/(x^2+omega^2))$
2) $1/(x^2+omega^2)^2 = 1/(2omega^2)(1/(x^2+omega^2)+d/dxx/(x^2+omega^2))$
ovviamente $omega in RR$
"micheletv":
questo pure mooolto carino:
$intsqrt(tan^2x+1)dx$
prova con $y=tanx$
"GuillaumedeL'Hopital":
[quote="micheletv"]questo pure mooolto carino:
$intsqrt(tan^2x+1)dx$
prova con $y=tanx$[/quote]
ci sei vicino guillame... poni $y=tg(x/2)$ e passa alle cosiddette "formule parametriche", lo risolvi in 2 minuti
"Kroldar":
[quote="GuillaumedeL'Hopital"][quote="micheletv"]questo pure mooolto carino:
$intsqrt(tan^2x+1)dx$
prova con $y=tanx$[/quote]
ci sei vicino guillame... poni $y=tg(x/2)$ e passa alle cosiddette "formule parametriche", lo risolvi in 2 minuti[/quote]
a me viene $int(dy)/(sqrt(1+y^2))$ che dovrebbe fare arcsinhx o sbaglio?
aspetta aspetta... le formule parametriche non scrivono seno e coseno in funzione di $tan(x/2)$?
"micheletv":
aspetta aspetta... le formule parametriche non scrivono seno e coseno in funzione di $tan(x/2)$?
secondo le formule parametriche $t=tg(x/2)$, $dx=(2dt)/(1+t^2)$, $tgx=(2t)/(1-t^2)$
sostituisci e conta quanti secondi impieghi a risolvere l'integrale
"micheletv":
aspetta aspetta... le formule parametriche non scrivono seno e coseno in funzione di $tan(x/2)$?
dunque micheletv, puoi ricavarti le formule in questione sostituendo alla tangente $(sin(x/2))/(cos(x/2))$ e poi facendo i conti algebrici, però credo che ricorrendo alle funzioni iperboliche ottieni subito la soluzione come ho detto prima
non conosco le funzioni iperboliche comunque
$intsqrt(tan^2x+1)dx$
ponendo $tanx=t rArr x=arctant rArr dx=1/(1+t^2)dt hArr x in (-pi/2,pi/2)$ trovo
$intsqrt(t^2+1)*1/(1+t^2)dt=int1/sqrt(1+t^2)dt$
$sqrt(1+t^2)+t=k rArr 1=k^2-2kt rArr t=(k^2-1)/(2k) rArr dt=(k^2+1)/(2k^2)dk$
$sqrt(1+t^2)=k-t=k-(k^2-1)/(2k)=(k^2+1)/(2k)$ allora:
$int1/sqrt(1+t^2)dt=int(2k)/(k^2+1)*(k^2+1)/(2k^2)dk=int1/kdk=ln|k|+c$ tornando alla variabile originale:
$k=sqrt(1+t^2)+t=sqrt(1+tan^2x)+tanx$ troviamo:
$intsqrt(tan^2x+1)dx=ln|sqrt(1+tan^2x)+tanx|+c$
$intsqrt(tan^2x+1)dx$
ponendo $tanx=t rArr x=arctant rArr dx=1/(1+t^2)dt hArr x in (-pi/2,pi/2)$ trovo
$intsqrt(t^2+1)*1/(1+t^2)dt=int1/sqrt(1+t^2)dt$
$sqrt(1+t^2)+t=k rArr 1=k^2-2kt rArr t=(k^2-1)/(2k) rArr dt=(k^2+1)/(2k^2)dk$
$sqrt(1+t^2)=k-t=k-(k^2-1)/(2k)=(k^2+1)/(2k)$ allora:
$int1/sqrt(1+t^2)dt=int(2k)/(k^2+1)*(k^2+1)/(2k^2)dk=int1/kdk=ln|k|+c$ tornando alla variabile originale:
$k=sqrt(1+t^2)+t=sqrt(1+tan^2x)+tanx$ troviamo:
$intsqrt(tan^2x+1)dx=ln|sqrt(1+tan^2x)+tanx|+c$
le funzioni iperboliche hanno più o meno le stesse proprietà di quelle trigonometriche
$sinh(x)=(e^x-e^(-x))/2$
$cosh(x)=(e^x+e^(-x))/2$
per esempio $(sinh(x))'=cosh(x)$ e $(cosh(x))'=sinh(x)$
guarda caso $(arcsin(x))'=1/(sqrt(1-x^2))$ e $(arcsinh(x))'=1/sqrt(1+x^2)$ che risolve immediatamente il tuo integrale, infatti spesso semplificano il calcolo di alcuni integrali e puoi utilizzarle così come usi quelle trigonometriche indifferentemente, non lo sapevi?
$sinh(x)=(e^x-e^(-x))/2$
$cosh(x)=(e^x+e^(-x))/2$
per esempio $(sinh(x))'=cosh(x)$ e $(cosh(x))'=sinh(x)$
guarda caso $(arcsin(x))'=1/(sqrt(1-x^2))$ e $(arcsinh(x))'=1/sqrt(1+x^2)$ che risolve immediatamente il tuo integrale, infatti spesso semplificano il calcolo di alcuni integrali e puoi utilizzarle così come usi quelle trigonometriche indifferentemente, non lo sapevi?
in realtà è inutile applicare le formule parametriche alla tangente perchè ritroviamo la formula di duplicazione della tangente:
$tan(x)=(2tan(x/2))/(1-tan^2(x/2))->_(tan(x/2)=t)->(2t)/(1-t^2)=(2t)/(1+t^2)*(1+t^2)/(1-t^2)=((2t)/(1+t^2))/((1-t^2)/(1+t^2))=sinx/cosx=tanx
$tan(x)=(2tan(x/2))/(1-tan^2(x/2))->_(tan(x/2)=t)->(2t)/(1-t^2)=(2t)/(1+t^2)*(1+t^2)/(1-t^2)=((2t)/(1+t^2))/((1-t^2)/(1+t^2))=sinx/cosx=tanx
no in effetti stavo dando un'occhata l'altro giorno su wilkipedia per vedere le loro proprietà... mi servirebbe qualche esercizietto applicativo. mi piacerebbe sapere però da dove le tirano fuori... cioè che cosa li ha spinti ad inventare queste formule... mi piacerebbe trovare come dire una definizione operativa.
diciamo che quasi tutte le proprietà sono simili a quelle delle funzioni goniometriche classiche solo che ad esempio $sinh^2x-cosh^2x=1$ o qualcosa del genere
diciamo che quasi tutte le proprietà sono simili a quelle delle funzioni goniometriche classiche solo che ad esempio $sinh^2x-cosh^2x=1$ o qualcosa del genere
l'integrale di prima l'ho risolto così per parti:
$int(x/(x^2+1))^2dx=intx*x/(x^2+1)^2dx=x intx/(x^2+1)^2dx-intintx/(x^2+1)^2dxdx=$
$=-x int-x/(x^2+1)^2dx+intint-x/(x^2+1)^2dxdx=-1/2x int-(2x)/(x^2+1)^2dx+1/2intint-(2x)/(x^2+1)^2dxdx=$
$=-1/2x*1/(x^2+1)+1/2int1/(x^2+1)dx=-x/(2(x^2+1))+1/2arctanx+c$
$int(x/(x^2+1))^2dx=intx*x/(x^2+1)^2dx=x intx/(x^2+1)^2dx-intintx/(x^2+1)^2dxdx=$
$=-x int-x/(x^2+1)^2dx+intint-x/(x^2+1)^2dxdx=-1/2x int-(2x)/(x^2+1)^2dx+1/2intint-(2x)/(x^2+1)^2dxdx=$
$=-1/2x*1/(x^2+1)+1/2int1/(x^2+1)dx=-x/(2(x^2+1))+1/2arctanx+c$
"micheletv":
no in effetti stavo dando un'occhata l'altro giorno su wilkipedia per vedere le loro proprietà... mi servirebbe qualche esercizietto applicativo. mi piacerebbe sapere però da dove le tirano fuori... cioè che cosa li ha spinti ad inventare queste formule... mi piacerebbe trovare come dire una definizione operativa.
diciamo che quasi tutte le proprietà sono simili a quelle delle funzioni goniometriche classiche solo che ad esempio $sinh^2x-cosh^2x=1$ o qualcosa del genere
anche a me piacerebbe saperlo più nel dettaglio, cmq sono utili per risolvere in forma chiusa integrali e eq. differenziali che hanno applicazioni fisiche, per esempio mi sembra che una catena ad anelli assume la forma della funzione cosh, altro adesso non mi viene in mente
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