Relazione e coppia ordinata
Sia $A={1,2,3}$ e $B={-1,0,1,2,3}$ e sia $p(x,y)$ la proposizione aperta "$x$ è minore di $y$", con $x$ che appartiene ad $A$ ed $y$ che appartiene a $B$. Se scelgo $x=1$ e $y=2$, la proposizione è verificata e dunque per definizione posso dire che $1$ è in relazione con $2$. Quello che non ho capito è perchè si scrive anche che la coppia ordinata $(1,2)$ soddisfa la relazione. Cosa c'entra la coppia ordinata? Grazie mille.
Risposte
Salve, non comprendo appieno l'utilità della relazione d'ordine.
Faccio un esempio.
"Nell'insieme A={uno,due,tre,quattro,cinque} consideriamo la relazione <<$x$ viene prima di $y$ in ordine alfabetico>>".
Allora, faccio $AxA$ e scrivo l'insieme di tutte queste coppie ordinate. A questo punto vedo quali coppie soddisfano la proposizione e scrivo l'insieme $R$ di tali coppie, insieme $R$ che è incluso in $A^2$. Scopro che la relazione esplicitata dall'insieme $R$ gode della proprietà antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva, dunque per definizione dico che è una relazione d'ordine. E quindi? Cosa ho ottenuto? Grazie mille.
Faccio un esempio.
"Nell'insieme A={uno,due,tre,quattro,cinque} consideriamo la relazione <<$x$ viene prima di $y$ in ordine alfabetico>>".
Allora, faccio $AxA$ e scrivo l'insieme di tutte queste coppie ordinate. A questo punto vedo quali coppie soddisfano la proposizione e scrivo l'insieme $R$ di tali coppie, insieme $R$ che è incluso in $A^2$. Scopro che la relazione esplicitata dall'insieme $R$ gode della proprietà antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva, dunque per definizione dico che è una relazione d'ordine. E quindi? Cosa ho ottenuto? Grazie mille.
In generale le relazioni soddisfano delle proprietà e la relazione d'ordine soddisfa appunto le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva, quindi se verifichi che una relazione le soddisfa allora puoi dire che è d'ordine; lo stesso vale per la relazione di equivalenza che soddisfa le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Nel tuo esempio hai provato a verificare che sia effettivamente una relazione d'ordine?
Nel tuo esempio hai provato a verificare che sia effettivamente una relazione d'ordine?
"GundamRX91":
In generale le relazioni soddisfano delle proprietà e la relazione d'ordine soddisfa appunto le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva, quindi se verifichi che una relazione le soddisfa allora puoi dire che è d'ordine; lo stesso vale per la relazione di equivalenza che soddisfa le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.
Nel tuo esempio hai provato a verificare che sia effettivamente una relazione d'ordine?
Si, l'ho verificato e lo dice anche il mio libro del liceo. Però vorrei capire cosa ho ottenuto con questa cosa.
Ma con il fatto che la relazione d'ordine soddisfa le suddette proprietà o cosa?
"GundamRX91":
Ma con il fatto che la relazione d'ordine soddisfa le suddette proprietà o cosa?
Allora, la relazione proposta è una relazione d'ordine. Quello che non capisco è quale utilità abbia introdurre questo nuovo concetto di relazione d'ordine. Praticamente, cosa accade nel mio insieme?
Brutalmente una relazione d'ordine ti permette di dire quale, tra due elementi di un insieme, viene prima dell'altro o quale dei due è minore dell'altro o viceversa, però forse non ho capito la domanda...
"GundamRX91":
Brutalmente una relazione d'ordine ti permette di dire quale, tra due elementi di un insieme, viene prima dell'altro o quale dei due è minore dell'altro o viceversa, però forse non ho capito la domanda...
Ummm. Allora, prendi l'esercizio di prima. Il mio libro dopo aver determinato le coppie ordinate della relazione, rappresenta quest'ultima con un grafo. A questo punto dice:
"poichè dal numero "cinque" escono tutti gli archi e non ne arriva nessuno, esso è il primo dell'ordinamento; poichè dall'elemento "due" escono tre archi e ne arriva uno solo, esso è dunque il secondo elemento e cosi via. In definitiva, l'ordine indotto nell'insieme $A$ da questa relazione è il seguente":
cinque, due, quattro, tre, uno
Diciamo che come rappresentazione, se l'associo alla definizione di relazione d'ordine (quindi che rispetta le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva) mi crea qualche dubbio, perchè se è una relazione d'ordine allora avrei le seguenti coppie (indico giusto quelle di cinque usando solo la prima lettera):
$(c,c),(c,d),(c,q),(c,t),(c,u)$
quindi potrei rappresentare le coppie come archi di cui uno, la coppia $(c,c)$ si annoda su se stesso
poi avrei le coppie $(d,d),(d,q),(d,t),(d,u)$ per un totale di $3+1$ archi;
le coppie $(q,q),(q,t),(q,u)$ per un totale di $2+1$ archi;
le coppie $(t,t),(t,u)$ per un totale di $1+1$ archi;
e infine la coppia $(u,u)$ per un totale di $0$ archi.
$(c,c),(c,d),(c,q),(c,t),(c,u)$
quindi potrei rappresentare le coppie come archi di cui uno, la coppia $(c,c)$ si annoda su se stesso
poi avrei le coppie $(d,d),(d,q),(d,t),(d,u)$ per un totale di $3+1$ archi;
le coppie $(q,q),(q,t),(q,u)$ per un totale di $2+1$ archi;
le coppie $(t,t),(t,u)$ per un totale di $1+1$ archi;
e infine la coppia $(u,u)$ per un totale di $0$ archi.
"GundamRX91":
Diciamo che come rappresentazione, se l'associo alla definizione di relazione d'ordine (quindi che rispetta le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva) mi crea qualche dubbio, perchè se è una relazione d'ordine allora avrei le seguenti coppie (indico giusto quelle di cinque usando solo la prima lettera):
$(c,c),(c,d),(c,q),(c,t),(c,u)$
quindi potrei rappresentare le coppie come archi di cui uno, la coppia $(c,c)$ si annoda su se stesso
poi avrei le coppie $(d,d),(d,q),(d,t),(d,u)$ per un totale di $3+1$ archi;
le coppie $(q,q),(q,t),(q,u)$ per un totale di $2+1$ archi;
le coppie $(t,t),(t,u)$ per un totale di $1+1$ archi;
e infine la coppia $(u,u)$ per un totale di $0$ archi.
La domanda è: se ho un insieme costituito da un certo numero di elementi. Se introduco in tale insieme una relazione d'ordine, che cosa ottengo di interessante? Non capisco a che mi serve introdurre una relazione d'ordine. Forse con un esempio sarebbe molto più chiaro.
A parte mettere ordine.... non so. Sicuramente la relazione d'ordine ha delle implicazioni "superiori" al solo ordinamento di informazioni (numeriche e non), però devo ammettere che mi sfuggono al momento oppure non ci sono ancora arrivato nel mio piano di studi. Banalmente se ho l'insieme $A={4,3,5,1,2}$ con la relazione d'ordine $<=$ lo posso ordinare e quindi ottenere l'insieme $A'={1,2,3,4,5}$.
E questo non c'entra nulla con il concetto di n-upla ordinata?
Allora, supponiamo di avere un certo insieme $A$ formato da alcuni numeri, o più in generale da qualsiasi altra entità, per esempio $A={2,5,3,8,4,10,234}$. Osservo che tale insieme lo posso scrivere per tabulazione in moltissimi modi diversi, scambiando arbitrariamente la posizione dei vari elementi.
La relazione d'ordine "minore uguale" è utile perchè mi permette di selezionare una modalità, fra le tante possibili, di scrivere per tabulazione gli elementi del mio insieme? Cioè, questa relazione di ordine è importante perchè mi dice:"Puoi scrivere gli elementi del tuo insieme così: $A={2,3,4,5,8,10,234}$?" Grazie mille.
La relazione d'ordine "minore uguale" è utile perchè mi permette di selezionare una modalità, fra le tante possibili, di scrivere per tabulazione gli elementi del mio insieme? Cioè, questa relazione di ordine è importante perchè mi dice:"Puoi scrivere gli elementi del tuo insieme così: $A={2,3,4,5,8,10,234}$?" Grazie mille.
Si, ma è esattamente quello che ti ho scritto poco sopra.... 
"GundamRX91":
Si, ma è esattamente quello che ti ho scritto poco sopra....
Ok grazie, ora le cose sono più chiare
Buona giornata.
Salve, volevo ritornare un attimo sul concetto di coppia ordinata, per essere sicuro di aver compreso bene la questione.
Abbiamo detto che un insieme dipende dagli elementi che lo costituiscono, ma non dall'ordine con cui tali elementi sono elecati per tabulazione. Per esempio, supponiamo di voler definire l'insieme che ha per elementi $a$ e $b$. Tale insieme si indicherà come: $A={a,b}={b,a}$ essendo appunto indifferente l'ordine con il quale sono scritti i suoi elementi.
Ora mi posso chiedere: come faccio a definire un insieme che dipende sia dagli elementi che lo costituiscono (supponiamo che siano due in questo caso), sia dall'ordine con il quale tali elementi sono scritti per tabulazione?
Allora, per risolvere questo problema, innanzitutto indicherò il mio insieme "particolare" con due parentesi tonde e non graffe, proprio per distinguerlo da un insieme "normale".
Considero dunque l'insieme formato da due elementi, $(a,b)$. Stando a quello che è stato detto finora, se non invento un criterio che stabilisce che $(a,b)$ è diverso da $(b,a)$ non ho risolto nulla. Tuttavia, se pongo convenzionalmente che $(a,b)={a,{a,b}}$ e dico per definizione che l'elemento che appartiene ad entrambi gli elementi di ${a,{a,b}}$ occupa il posto chiamato primo e l'elemento che non appartiene ad entrambi gli elementi di ${a,{a,b}}$ occupa il posto chiamato secondo, non ho fatto altro che dire che $(a,b)$ è diverso da $(b,a)$, che è quello che cercavo. Va bene?
Per Martino: ho sintetizzato lo stesso discorso fatto domenica avendo appunto le idee più chiare. E' corretto?
Grazie di tutto.
Abbiamo detto che un insieme dipende dagli elementi che lo costituiscono, ma non dall'ordine con cui tali elementi sono elecati per tabulazione. Per esempio, supponiamo di voler definire l'insieme che ha per elementi $a$ e $b$. Tale insieme si indicherà come: $A={a,b}={b,a}$ essendo appunto indifferente l'ordine con il quale sono scritti i suoi elementi.
Ora mi posso chiedere: come faccio a definire un insieme che dipende sia dagli elementi che lo costituiscono (supponiamo che siano due in questo caso), sia dall'ordine con il quale tali elementi sono scritti per tabulazione?
Allora, per risolvere questo problema, innanzitutto indicherò il mio insieme "particolare" con due parentesi tonde e non graffe, proprio per distinguerlo da un insieme "normale".
Considero dunque l'insieme formato da due elementi, $(a,b)$. Stando a quello che è stato detto finora, se non invento un criterio che stabilisce che $(a,b)$ è diverso da $(b,a)$ non ho risolto nulla. Tuttavia, se pongo convenzionalmente che $(a,b)={a,{a,b}}$ e dico per definizione che l'elemento che appartiene ad entrambi gli elementi di ${a,{a,b}}$ occupa il posto chiamato primo e l'elemento che non appartiene ad entrambi gli elementi di ${a,{a,b}}$ occupa il posto chiamato secondo, non ho fatto altro che dire che $(a,b)$ è diverso da $(b,a)$, che è quello che cercavo. Va bene?
Per Martino: ho sintetizzato lo stesso discorso fatto domenica avendo appunto le idee più chiare. E' corretto?
Grazie di tutto.
Sì, come ripeto sono considerazioni sensate. 
Ciao.
Ciao.
"Martino":
Sì, come ripeto sono considerazioni sensate.
Ciao.
Ok, a distanza di qualche giorno risulta tutto più chiaro
Ti ringrazio.
Altra cosa:
Sul pagani-salsa leggo che "si dice che due insiemi non vuoti A e B sono equipotenti SE SONO in corrispondenza biunivoca".
Su wikipedia, invece, si legge che due insiemi A e B si dicono equicardinali o equipotenti se fra i loro elementi SI PUO' stabilire una corrispondenza biunivoca, vale a dire, se ad ogni elemento di A si può associare uno e un solo elemento di B, e viceversa."
Qual è la definizione corretta? In altre parole, dati gli insiemi $A$ e $B$, questa corrispondenza biunivoca DEVE ESISTERE o PUO' ESISTERE?
Sul pagani-salsa leggo che "si dice che due insiemi non vuoti A e B sono equipotenti SE SONO in corrispondenza biunivoca".
Su wikipedia, invece, si legge che due insiemi A e B si dicono equicardinali o equipotenti se fra i loro elementi SI PUO' stabilire una corrispondenza biunivoca, vale a dire, se ad ogni elemento di A si può associare uno e un solo elemento di B, e viceversa."
Qual è la definizione corretta? In altre parole, dati gli insiemi $A$ e $B$, questa corrispondenza biunivoca DEVE ESISTERE o PUO' ESISTERE?
Dal punto di vista concettuale le due definizioni sono equivalenti.
"lisdap":
Sul pagani-salsa leggo che "si dice che due insiemi non vuoti A e B sono equipotenti SE SONO in corrispondenza biunivoca".
Su wikipedia, invece, si legge che due insiemi A e B si dicono equicardinali o equipotenti se fra i loro elementi SI PUO' stabilire una corrispondenza biunivoca, vale a dire, se ad ogni elemento di A si può associare uno e un solo elemento di B, e viceversa."
Qual è la definizione corretta? In altre parole, dati gli insiemi $A$ e $B$, questa corrispondenza biunivoca DEVE ESISTERE o PUO' ESISTERE?
davvero, lisdap, ti vedrei benissimo a fare logica.Ti segnalo una discussione di ben quattro anni fa: questa (a proposito, non inserirci interventi perché il "necroposting" non è ben visto). Leggi solo il messaggio mio che comincia con "Ho una questione spinosa riguardo [...]".
PS. Non preoccuparti se ti si confondono le idee: è salutare.
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