Relazione e coppia ordinata
Sia $A={1,2,3}$ e $B={-1,0,1,2,3}$ e sia $p(x,y)$ la proposizione aperta "$x$ è minore di $y$", con $x$ che appartiene ad $A$ ed $y$ che appartiene a $B$. Se scelgo $x=1$ e $y=2$, la proposizione è verificata e dunque per definizione posso dire che $1$ è in relazione con $2$. Quello che non ho capito è perchè si scrive anche che la coppia ordinata $(1,2)$ soddisfa la relazione. Cosa c'entra la coppia ordinata? Grazie mille.
Risposte
"Martino":Sì. Penso che tu abbia già guardato qui.[/quote]
[quote="lisdap"]Una coppia ordinata è un insieme vero?
Quindi una coppia ordinata è un insieme costituito da due elementi con la caratteristica che ha senso pensare prima ad un elemento e poi ad un altro?
EDIT: Il mio libro segue questa logica: parte dagli insiemi, poi definisce le relazioni e le funzioni e poi definisce il numero naturale. Leggendo in giro mi è sembrato di capire che la definizione di coppia ordinata di cui abbiamo parlato è puramente intuitiva, in quanto fa riferimento a concetti che, a questo stadio della trattazione, dovrebbero essere ancora ignoti (per esempio il concetto di ordine). Ciò mi fa pensare che debba esistere un'altra definizione di coppia ordinata, vero?
Ri-guarda qui, con attenzione. La nozione di coppia ordinata non richiede assolutamente la nozione di relazione d'ordine, è vero il contrario. Infatti se ci fai caso la definizione di relazione usa la nozione di prodotto cartesiano, e un prodotto cartesiano tra due insiemi è un insieme di coppie ordinate.
Come vedi la definizione di Kuratowski (che come vedi è quella accettata universalmente) è la seguente:
(*) [tex](a,b) := \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex].
Osserva che quindi [tex](a,b)[/tex] è diverso da [tex]\{a,b\}[/tex].
Con la definizione (*) si riesce a parlare di "primo elemento" e "secondo elemento". Se [tex]a=b[/tex] allora il primo e il secondo elemento sono definiti essere [tex]a=b[/tex]. Supponiamo [tex]a \neq b[/tex].
Definizione (primo elemento di [tex](a,b)[/tex]). Il primo elemento di [tex](a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex] è l'elemento di [tex]\{a,b\}[/tex] che appartiene ad entrambi gli elementi di [tex](a,b)[/tex].
Definizione (secondo elemento di [tex](a,b)[/tex]). Il secondo elemento di [tex](a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex] è l'elemento di [tex]\{a,b\}[/tex] che non appartiene ad entrambi gli elementi di [tex](a,b)[/tex].
Osserva che non sono legittimato per esempio a dire "il primo elemento di [tex](a,b)[/tex] è [tex]a[/tex]" finché non ho un modo per "distinguere" [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]. E per "distinguere" intendo a livello algoritmico, non notazionale. Se mi danno una coppia io per sapere qual è il primo elemento procedo come nella definizione di primo elemento che ti ho dato qui sopra.
Ti ricordo che queste sono definizioni rigorose e formali per esprimere un fatto totalmente intuitivo. Si cerca di dare un senso al processo (che intuitivamente è talmente immediato che appunto crea confusione) di determinazione univoca del primo elemento e del secondo elemento. Se mi danno l'insieme [tex]\{a,b\}[/tex] non ho nessun modo canonico di chiamare uno dei due elementi "primo" e l'altro "secondo".
Ti consiglierei di non struggerti troppo sulla definizione di coppia ordinata, la digerirai in futuro. A me ci è voluto parecchio.
PS. Guarda anche qui.
Come vedi la definizione di Kuratowski (che come vedi è quella accettata universalmente) è la seguente:
(*) [tex](a,b) := \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex].
Osserva che quindi [tex](a,b)[/tex] è diverso da [tex]\{a,b\}[/tex].
Con la definizione (*) si riesce a parlare di "primo elemento" e "secondo elemento". Se [tex]a=b[/tex] allora il primo e il secondo elemento sono definiti essere [tex]a=b[/tex]. Supponiamo [tex]a \neq b[/tex].
Definizione (primo elemento di [tex](a,b)[/tex]). Il primo elemento di [tex](a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex] è l'elemento di [tex]\{a,b\}[/tex] che appartiene ad entrambi gli elementi di [tex](a,b)[/tex].
Definizione (secondo elemento di [tex](a,b)[/tex]). Il secondo elemento di [tex](a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex] è l'elemento di [tex]\{a,b\}[/tex] che non appartiene ad entrambi gli elementi di [tex](a,b)[/tex].
Osserva che non sono legittimato per esempio a dire "il primo elemento di [tex](a,b)[/tex] è [tex]a[/tex]" finché non ho un modo per "distinguere" [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]. E per "distinguere" intendo a livello algoritmico, non notazionale. Se mi danno una coppia io per sapere qual è il primo elemento procedo come nella definizione di primo elemento che ti ho dato qui sopra.
Ti ricordo che queste sono definizioni rigorose e formali per esprimere un fatto totalmente intuitivo. Si cerca di dare un senso al processo (che intuitivamente è talmente immediato che appunto crea confusione) di determinazione univoca del primo elemento e del secondo elemento. Se mi danno l'insieme [tex]\{a,b\}[/tex] non ho nessun modo canonico di chiamare uno dei due elementi "primo" e l'altro "secondo".
Ti consiglierei di non struggerti troppo sulla definizione di coppia ordinata, la digerirai in futuro. A me ci è voluto parecchio.
PS. Guarda anche qui.
"Martino":
Ri-guarda qui, con attenzione. La nozione di coppia ordinata non richiede assolutamente la nozione di relazione d'ordine, è vero il contrario. Infatti se ci fai caso la definizione di relazione usa la nozione di prodotto cartesiano, e un prodotto cartesiano tra due insiemi è un insieme di coppie ordinate.
Come vedi la definizione di Kuratowski (che come vedi è quella accettata universalmente) è la seguente:
(*) [tex](a,b) := \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex].
Osserva che quindi [tex](a,b)[/tex] è diverso da [tex]\{a,b\}[/tex].
Con la definizione (*) si riesce a parlare di "primo elemento" e "secondo elemento". Come segue:
Definizione (primo elemento di [tex](a,b)[/tex]). Il primo elemento di [tex](a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex] è l'elemento di [tex]\{a,b\}[/tex] che appartiene ad entrambi gli elementi di [tex](a,b)[/tex].
Definizione (secondo elemento di [tex](a,b)[/tex]). Il secondo elemento di [tex](a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex] è l'elemento di [tex]\{a,b\}[/tex] che non appartiene ad entrambi gli elementi di [tex](a,b)[/tex].
Osserva che non sono legittimato per esempio a dire "il primo elemento di [tex](a,b)[/tex] è [tex]a[/tex]" finché non ho un modo per "distinguere" [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]. E per "distinguere" intendo a livello algoritmico, non notazionale. Se mi danno una coppia io per sapere qual è il primo elemento procedo come nella definizione di primo elemento che ti ho dato qui sopra.
Ti ricordo che queste sono definizioni rigorose e formali per esprimere un fatto totalmente intuitivo. Si cerca di dare un senso al processo (che intuitivamente è talmente immediato che appunto crea confusione) di determinazione univoca del primo elemento e del secondo elemento. Se mi danno l'insieme [tex]\{a,b\}[/tex] non ho nessun modo canonico di chiamare uno dei due elementi "primo" e l'altro "secondo".
Ti consiglierei di non struggerti troppo sulla definizione di coppia ordinata, la digerirai in futuro. A me ci è voluto parecchio.
PS. Guarda anche qui.
RIleggerò quanto hai scritto e mi hai suggerito con attenzione e ci rifletterò su. In effetti, penso che tutti i miei dubbi di cui abbiamo parlato qui sul forum siano da ricondurre alla non adeguata comprensione del concetto di coppia ordinata. Ti farò sapere. Grazie per la disponibilità e grazie anche agli altri utenti che stanno contribuendo a questa discussione
EDIT: Volevo solo dire che è pazzesco come sia riuscito a superare l'esame di Analisi 1 (a febbraio di quest'anno) senza conoscere tutte queste cose, concetti che peraltro sfociano poi nel concetto di funzione che è appunto l'oggetto di studio dell'Analisi. Questo mi fa con dispiacere pensare alla scarsa qualità con la quale si insegna la matematica, soprattutto agli studenti di ingegneria.
Ummm, dovrei aver compreso la definizione di Kuratowski. In pratica, sempre se ho capito bene, la logica di tale definizione, definizione che appunto dà senso alla frase "distinguere un primo elemento da un secondo elemento", si basa sulla stessa logica che porta alla definizione di numero naturale tramite il concetto di insieme equipotente (facendo sempre riferimento al filo seguito dal mio testo di algebra del liceo)?
Esempio: sia dato l'insieme ${a,b,c,d}$. Voglio dire che $a$ è il primo elemento dell'insieme, $b$ il secondo e così via. Allora, definisco $(a,b,c,d):={{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d}}$?
Esempio: sia dato l'insieme ${a,b,c,d}$. Voglio dire che $a$ è il primo elemento dell'insieme, $b$ il secondo e così via. Allora, definisco $(a,b,c,d):={{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d}}$?
"lisdap":Se vuoi sì, ma la cosa diventa un po' artificiale. La fatica uno la fa per definire la coppia, poi per definire una [tex]n[/tex]-pla procede induttivamente definendo
sia dato l'insieme ${a,b,c,d}$. Voglio dire che $a$ è il primo elemento dell'insieme, $b$ il secondo e così via. Allora, definisco $(a,b,c,d):={{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d}}$?
[tex](a_1,...,a_n) := ((a_1,...,a_{n-1}),a_n)[/tex].
"Martino":Se vuoi sì, ma la cosa diventa un po' artificiale. La fatica uno la fa per definire la coppia, poi per definire una [tex]n[/tex]-pla procede induttivamente definendo
[quote="lisdap"]sia dato l'insieme ${a,b,c,d}$. Voglio dire che $a$ è il primo elemento dell'insieme, $b$ il secondo e così via. Allora, definisco $(a,b,c,d):={{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d}}$?
[tex](a_1,...,a_n) := ((a_1,...,a_{n-1}),a_n)[/tex].[/quote]
Ok, ti ringrazio, e sulla prima parte del mio ultimo post che mi dici?
"lisdap":Non capisco proprio cosa intendi, se devo leggere alla lettera allora la risposta è no, il concetto di equipotenza richiede la nozione di funzione, quindi di relazione, quindi di prodotto cartesiano e via dicendo. Cerca di non dare interpretazioni filosofiche alle definizioni. I collegamenti tra i concetti rimangono utili più che altro per te, per capire (avere convinzioni - soprattutto se sbagliate - è importante nell'apprendimento). Io trovo un po' inutile parlare della "logica" di una definizione, la apprezzerai/capirai pienamente tra un po' di tempo, credimi.
Ummm, dovrei aver compreso la definizione di Kuratowski. In pratica, sempre se ho capito bene, la logica di tale definizione, definizione che appunto dà senso alla frase "distinguere un primo elemento da un secondo elemento", si basa sulla stessa logica che porta alla definizione di numero naturale tramite il concetto di insieme equipotente (facendo sempre riferimento al filo seguito dal mio testo di algebra del liceo)?
Ciao.
PS. E' più che naturale che a ingegneria non "perdano" tempo con queste "sottigliezze" (per i matematici non si tratta affatto di sottigliezze, ma è appunto perché sono matematici), se volevi entrare nel merito "seriamente" potevi scegliere matematica
certo, non sto dicendo che le cose sono insegnate ovunque come si dovrebbe, ma ci sono se non altro priorità e priorità.
"Martino":
Con la definizione (*) si riesce a parlare di "primo elemento" e "secondo elemento". Come segue:
Un attimo. Se il concetto di numero naturale è definito tramite il concetto di equipotenza tra insiemi, quello di equipotenza tramite quello di funzione, quello di funzione tramite quello di relazione a sua volta definito tramite il concetto di prodotto cartesiano e quindi di coppia ordinata, come faccio a parlare di primo o secondo elemento se non conosco che cos'è un numero, nè tantomeno cosa vuol dire "primo, secondo ecc"?
Ho l'impressione che si dia qualcosa per scontato. Ti ringrazio, mi stai aiutando molto
Ecco. Non volevo arrivare a questo, ma mi ci costringi. Se vuoi, è lo stesso problema del paradosso del mentitore (l'affermazione "io sto mentendo" non può essere né vera né falsa). Insomma, è un problema di logica. Bisogna distinguere tra linguaggio e metalinguaggio (i paradossi nascono appunto quando si mescolano linguaggio e metalinguaggio: vedi qui). Pensa alla matematica come a una lingua straniera. Non puoi usare il linguaggio della matematica per descrivere la matematica stessa (allo stesso modo un italiano studia l'inglese in italiano - almeno all'inizio!
). Quando dico "primo elemento" e "secondo elemento" sono nel metalinguaggio. Insomma, non faccio riferimento ai numeri 1 e 2 della matematica, ma a quelli del "senso comune".Ora, la domanda è: abbandonerai ingegneria e ti darai alla logica?
"Martino":
Ora, la domanda è: abbandonerai ingegneria e ti darai alla logica?
Certo che no. Mi farò bastare la definizione che mi hai dato
"Martino":
Come vedi la definizione di Kuratowski (che come vedi è quella accettata universalmente) è la seguente:
(*) [tex](a,b) := \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex].
Osserva che quindi [tex](a,b)[/tex] è diverso da [tex]\{a,b\}[/tex].
Con la definizione (*) si riesce a parlare di "primo elemento" e "secondo elemento". Come segue:
Definizione (primo elemento di [tex](a,b)[/tex]). Il primo elemento di [tex](a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex] è l'elemento di [tex]\{a,b\}[/tex] che appartiene ad entrambi gli elementi di [tex](a,b)[/tex].
Definizione (secondo elemento di [tex](a,b)[/tex]). Il secondo elemento di [tex](a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}[/tex] è l'elemento di [tex]\{a,b\}[/tex] che non appartiene ad entrambi gli elementi di [tex](a,b)[/tex].
Osserva che non sono legittimato per esempio a dire "il primo elemento di [tex](a,b)[/tex] è [tex]a[/tex]" finché non ho un modo per "distinguere" [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]. E per "distinguere" intendo a livello algoritmico, non notazionale. Se mi danno una coppia io per sapere qual è il primo elemento procedo come nella definizione di primo elemento che ti ho dato qui sopra.
Ti ricordo che queste sono definizioni rigorose e formali per esprimere un fatto totalmente intuitivo. Si cerca di dare un senso al processo (che intuitivamente è talmente immediato che appunto crea confusione) di determinazione univoca del primo elemento e del secondo elemento. Se mi danno l'insieme [tex]\{a,b\}[/tex] non ho nessun modo canonico di chiamare uno dei due elementi "primo" e l'altro "secondo".
Il commento sulla definizione di Kuratowski è perfetto, mi risulta chiarissimo.
Quindi, dato un insieme $A$ del tipo ${{x},{x,y}}$, siccome $x$ appartiene ad entrambi gli insiemi che compongono $A$, mentre $y$ appartiene solo ad uno, posso dire per definizione che $x$ è il primo elemento e che $y$ è il secondo elemento? Tuttavia, se non ho ancora definito cosa significhi primo e secondo, che significa primo elemento e secondo elemento?
"lisdap":Sì, ma tieni conto che ci sono altre possibili definizioni di coppia ordinata, questa è solo una. Potevo anche dire che l'elemento contenuto in entrambi era il secondo. L'importante qui non è dare una definizione canonica, l'importante è dare una definizione (qualsiasi).
Quindi, dato un insieme $A$ del tipo ${{x},{x,y}}$, siccome $x$ appartiene ad entrambi gli insiemi che compongono $A$, mentre $y$ appartiene solo ad uno, posso dire per definizione che $x$ è il primo elemento e che $y$ è il secondo elemento?
Tuttavia, se non ho ancora definito cosa significhi primo e secondo, che significa primo elemento e secondo elemento?Come ti dicevo, "primo" e "secondo" sono termini inseriti nel metalinguaggio, quindi non serve definirli.
Salve lisdap,
ricordati che la def. di Kuratowski è quella canonica o largamente accettata dai matematici, ma ne esistono altre http://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_pa ... set_theory
Cordiali saluti
ricordati che la def. di Kuratowski è quella canonica o largamente accettata dai matematici, ma ne esistono altre http://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_pa ... set_theory
Cordiali saluti
Allora, nulla da dire sulla definizione di Kuratowski. Quelli che vorrei fossero chiariti sono i motivi che hanno spinto i matematici a definire tale concetto, in quanto tale riflessione penso sia alla base della comprensione totale dell'argomento.
Il mio obiettivo è comprendere perchè i matematici hanno sentito l'esigenza di definire il concetto di coppia ordinata. Spero che quanto scrivo rifletta l'andamento delle cose.
Se considero un insieme formato dagli elementi $1$, $2$, $5$, e $7$, lo posso indicare così:
$A={1,2,5,7}$. Ora, se avessi indicato l'insieme nel seguente modo ${7,5,1,2}$, nulla sarebbe cambiato, in quanto ciò che distingue un insieme da un altro sono solo gli elementi che vi appartengono, e non il modo in cui li elenco.
Dunque, l'insieme dipende soltanto dagli elementi che vi appartengono e non dal modo con cui rappresento per tabulazione i suoi elementi.
Appare naturale, dunque, la necessità di particolarizzare tale concetto di insieme, definendo un insieme che dipende e dagli elementi che lo compongono, e dalla modalità con la quale li elenco in forma tabulare.
Cioè, per un insieme "normale" formato dagli elementi $1$ e $2$, l'importante è sapere solo quali sono gli elementi che vi appartengono, e quindi le scritture ${1,2}$ e ${2,1}$ definiscono lo stesso insieme; io invece voglio definire un tipo speciale di insieme, per cui non valga che ${1,2}={2,1}$.
In sostanza, l'insieme che devo definire deve dipendere sia dagli elementi che contiene, sia dalla posizione che gli elementi occupano nella rappresentazione tabulare. Fissati gli elementi che compongono questo nuovo insieme, mentre in un insieme "normale" accadeva che esso non cambiava se mutavo l'ordine con il quale tabulavo i suoi elementi, questo insieme "speciale" deve cambiare se tabulo gli elementi disponendoli diversamente.
Voglio quindi costruire un insieme $B$ formato dagli elementi $1$ e $2$, che però cambia se scrivo i suoi elementi in modo diverso. Penso che il punto della questione stia qui.
Non potrei scrivere il mio insieme così: ${1,2}$, perchè tale scrittura è già usata per indicare un insieme indipendente dal modo in cui elenco i suoi elementi. Lo indico allora così: $B:=(1,2)$. Tuttavia, devo far anche necessariamente vedere che la scritta $(2,1)$ definisce un altro insieme, altrimenti nulla ho concluso. Allora, dò un nome al posto occupato dagli elementi $1$ e $2$, dicendo per convenzione che il posto occupato da $1$ è il primo posto, e quello occupato da $2$ è il secondo posto, e stabilendo inoltre che se gli elementi si scambiano i posti, cambia l'insieme da essi generato. Quindi, attraverso queste convenzioni, ho dimostrato che $(1,2)$ è diverso da $(2,1)$.
Quindi l'unico problema che ora rimane è quello di definire un criterio che mi permette di dire che un elemento occupa il posto chiamato "primo posto" e che un'altro occupa il posto chiamato "secondo posto". Allora definisco $(a,b)={{a},{a,b}}$ e dico che $a$ occupa il posto chiamato "primo posto" se e soltanto se appartiene ad entrambi gli elementi di ${{a},{a,b}}$. In questo modo, posso non solo dire che l'insieme definito da $(a,b)$ è diverso da quello definito da $(b,a)$, ma ho anche stabilito un modo che mi permette di dire quale posto occupa l'elemento del mio insieme.
Quindi ho risolto il problema dal quale sono partito.
Ti ringrazio tantissimo anticipatamente.
Il mio obiettivo è comprendere perchè i matematici hanno sentito l'esigenza di definire il concetto di coppia ordinata. Spero che quanto scrivo rifletta l'andamento delle cose.
Se considero un insieme formato dagli elementi $1$, $2$, $5$, e $7$, lo posso indicare così:
$A={1,2,5,7}$. Ora, se avessi indicato l'insieme nel seguente modo ${7,5,1,2}$, nulla sarebbe cambiato, in quanto ciò che distingue un insieme da un altro sono solo gli elementi che vi appartengono, e non il modo in cui li elenco.
Dunque, l'insieme dipende soltanto dagli elementi che vi appartengono e non dal modo con cui rappresento per tabulazione i suoi elementi.
Appare naturale, dunque, la necessità di particolarizzare tale concetto di insieme, definendo un insieme che dipende e dagli elementi che lo compongono, e dalla modalità con la quale li elenco in forma tabulare.
Cioè, per un insieme "normale" formato dagli elementi $1$ e $2$, l'importante è sapere solo quali sono gli elementi che vi appartengono, e quindi le scritture ${1,2}$ e ${2,1}$ definiscono lo stesso insieme; io invece voglio definire un tipo speciale di insieme, per cui non valga che ${1,2}={2,1}$.
In sostanza, l'insieme che devo definire deve dipendere sia dagli elementi che contiene, sia dalla posizione che gli elementi occupano nella rappresentazione tabulare. Fissati gli elementi che compongono questo nuovo insieme, mentre in un insieme "normale" accadeva che esso non cambiava se mutavo l'ordine con il quale tabulavo i suoi elementi, questo insieme "speciale" deve cambiare se tabulo gli elementi disponendoli diversamente.
Voglio quindi costruire un insieme $B$ formato dagli elementi $1$ e $2$, che però cambia se scrivo i suoi elementi in modo diverso. Penso che il punto della questione stia qui.
Non potrei scrivere il mio insieme così: ${1,2}$, perchè tale scrittura è già usata per indicare un insieme indipendente dal modo in cui elenco i suoi elementi. Lo indico allora così: $B:=(1,2)$. Tuttavia, devo far anche necessariamente vedere che la scritta $(2,1)$ definisce un altro insieme, altrimenti nulla ho concluso. Allora, dò un nome al posto occupato dagli elementi $1$ e $2$, dicendo per convenzione che il posto occupato da $1$ è il primo posto, e quello occupato da $2$ è il secondo posto, e stabilendo inoltre che se gli elementi si scambiano i posti, cambia l'insieme da essi generato. Quindi, attraverso queste convenzioni, ho dimostrato che $(1,2)$ è diverso da $(2,1)$.
Quindi l'unico problema che ora rimane è quello di definire un criterio che mi permette di dire che un elemento occupa il posto chiamato "primo posto" e che un'altro occupa il posto chiamato "secondo posto". Allora definisco $(a,b)={{a},{a,b}}$ e dico che $a$ occupa il posto chiamato "primo posto" se e soltanto se appartiene ad entrambi gli elementi di ${{a},{a,b}}$. In questo modo, posso non solo dire che l'insieme definito da $(a,b)$ è diverso da quello definito da $(b,a)$, ma ho anche stabilito un modo che mi permette di dire quale posto occupa l'elemento del mio insieme.
Quindi ho risolto il problema dal quale sono partito.
Ti ringrazio tantissimo anticipatamente.
Sì, mi sembrano considerazioni sensate
"Martino":
Sì, mi sembrano considerazioni sensate
Quindi posso ritenere di aver compreso sufficientemente l'argomento?
Secondo me sì.
"Martino":
Secondo me sì.
Bene, ti ringrazio, se avrò altri dubbi non esiterò a farmi sentire.
Buona serata
"lisdap":Io invece ti consiglierei di esitare, ammirare i propri dubbi è dolce per almeno una settimana.
Bene, ti ringrazio, se avrò altri dubbi non esiterò a farmi sentire.
Buona serata
Ciao.
Salve, sapresti consigliarmi degli esercizi semplici da svolgere (a livello liceale insomma) sulle relazioni, il prodotto cartesiano ecc.?
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