Relazione e coppia ordinata
Sia $A={1,2,3}$ e $B={-1,0,1,2,3}$ e sia $p(x,y)$ la proposizione aperta "$x$ è minore di $y$", con $x$ che appartiene ad $A$ ed $y$ che appartiene a $B$. Se scelgo $x=1$ e $y=2$, la proposizione è verificata e dunque per definizione posso dire che $1$ è in relazione con $2$. Quello che non ho capito è perchè si scrive anche che la coppia ordinata $(1,2)$ soddisfa la relazione. Cosa c'entra la coppia ordinata? Grazie mille.
Risposte
"Martino":
davvero, lisdap, ti vedrei benissimo a fare logica.
Martino, ti ringrazio per l'invito ma io e la logica siamo solo amici
"Martino":
Ti segnalo una discussione di ben quattro anni fa: questa (a proposito, non inserirci interventi perché il "necroposting" non è ben visto). Leggi solo il messaggio mio che comincia con "Ho una questione spinosa riguardo [...]".
Quante nottate sulla definizione di limite e quante volte mi ci sono rotto la testa; per fortuna, ora, la testa è più dura di prima
Piccola nota storica. Da quello che ho potuto constatare, prima di Cantor la teoria degli insiemi non era stata ancora formalizzata, cosi come il concetto di numero cardinale ecc...Ciò mi fa pensare che duecento anni fa la matematica era un vero "casino" o sbaglio? I matematici di allora camminavano sulle uova?
Salve, ho ancora dei dubbi sulla relazione d'ordine.
Propongo questo esempio.
Sia A={due, tre, cinque} e sia "p(x,y)=x viene prima di y" in ordine alfabetico.
Faccio il solito prodotto cartesiano e verifico quali coppie rendono vera la proposizione.
Tali coppie dovrebbero essere gli elementi dell'insieme R={(due,tre),(cinque,due),(cinque,tre)}.
Questa relazione è una relazione d'ordine in quanto è immediato verificare che è transitiva ed antisimmetrica.
Quello che non capisco è cosa ho ottenuto di concreto dall'introduzione del concetto di relazione d'ordine. Grazie mille.
Propongo questo esempio.
Sia A={due, tre, cinque} e sia "p(x,y)=x viene prima di y" in ordine alfabetico.
Faccio il solito prodotto cartesiano e verifico quali coppie rendono vera la proposizione.
Tali coppie dovrebbero essere gli elementi dell'insieme R={(due,tre),(cinque,due),(cinque,tre)}.
Questa relazione è una relazione d'ordine in quanto è immediato verificare che è transitiva ed antisimmetrica.
Quello che non capisco è cosa ho ottenuto di concreto dall'introduzione del concetto di relazione d'ordine. Grazie mille.
[xdom="Martino"]Lisdap, hai cancellato il post precedente e lo hai reinserito uguale. Questo non è permesso: non farlo più o l'argomento verrà chiuso. Grazie.
Inoltre i tuoi ultimi interventi sono fuori tema. Sei pregato di aprire un nuovo argomento se vuoi parlare di qualcosa che non c'entra con questo filone.[/xdom]
Inoltre i tuoi ultimi interventi sono fuori tema. Sei pregato di aprire un nuovo argomento se vuoi parlare di qualcosa che non c'entra con questo filone.[/xdom]
"Martino":
Lisdap, hai cancellato il post precedente e lo hai reinserito uguale. Questo non è permesso: non farlo più o l'argomento verrà chiuso. Grazie.
Si, scusami, hai ragione, aprirà una nuova discussione. Per quanto riguarda la cancellazione del post, l'ho fatto perchè avevo risolto. Non mi pare comunque che lo abbia reinserito uguale. L'ho cancellato e basta, senza reinserirlo.
"Martino":
:-D
Ecco. Non volevo arrivare a questo, ma mi ci costringi. Se vuoi, è lo stesso problema del paradosso del mentitore (l'affermazione "io sto mentendo" non può essere né vera né falsa). Insomma, è un problema di logica. Bisogna distinguere tra linguaggio e metalinguaggio (i paradossi nascono appunto quando si mescolano linguaggio e metalinguaggio: vedi qui). Pensa alla matematica come a una lingua straniera. Non puoi usare il linguaggio della matematica per descrivere la matematica stessa (allo stesso modo un italiano studia l'inglese in italiano - almeno all'inizio!). Quando dico "primo elemento" e "secondo elemento" sono nel metalinguaggio. Insomma, non faccio riferimento ai numeri 1 e 2 della matematica, ma a quelli del "senso comune".
Ora, la domanda è: abbandonerai ingegneria e ti darai alla logica?
Ciao Martino, da quanto tempo
Poco fa ero "immerso" nei miei pensieri e mi è venuto in mente questo tuo intervento che ho quotato e che, forse, solo ora comprendo pienamente.
Quest'ultimo fa riferimento a ciò che avevo detto poco prima:
"lisdap":
Un attimo. Se il concetto di numero naturale è definito tramite il concetto di equipotenza tra insiemi, quello di equipotenza tramite quello di funzione, quello di funzione tramite quello di relazione a sua volta definito tramite il concetto di prodotto cartesiano e quindi di coppia ordinata, come faccio a parlare di primo o secondo elemento se non conosco che cos'è un numero, nè tantomeno cosa vuol dire "primo, secondo ecc"?
Ho l'impressione che si dia qualcosa per scontato. Ti ringrazio, mi stai aiutando molto
Cercando di comprendere il concetto di coppia ordinata, io mi ero chiesto come fosse possibile definire tale concetto ad uno stadio della trattazione matematica che non andava oltre il concetto di insieme; in particolare mi ero meravigliato del fatto che nella definizione di coppia ordinata si utilizzavano parole come "primo elemento", "secondo elemento" quando ancora non si era definito cosa fosse un numero, e quindi cosa volesse dire primo o secondo.
La tua risposta è stata che non mi dovevo preoccupare di dare un senso matematico alle parole "primo" e "secondo", in quanto dovevo far riferimento al significato che tali termini avevano nel linguaggio comune. Questa tuo intervento, dunque, mi ha fatto capire che la matematica non è un altro linguaggio: infatti, nella definizione del concetto matematico ho utilizzato il linguaggio comune e, se la matematica fosse stata un'altra lingua, ciò non sarebbe stato ammissibile. La matematica, invece, consiste in una rielaborazione del linguaggio comune ai fini di ottenere il minor grado di ambiguità possibile.
Ritornando alla nostra coppia ordinata e facendo riferimento a quello che ho scritto poco sopra, dato l'insieme ${a,b}$ non è che io non posso dire che $a$ occupa il primo posto e $b$ il secondo perché non ho definito il significato dei termini "primo posto" e "secondo posto" (il significato che attribuisco a tali termini è invece quello che mi viene dal linguaggio comune, intuitivo): supponendo di conoscere il linguaggio comune, tutti comprendiamo cosa è e qual è il primo ed il secondo posto nella coppia $( , )$; al contrario, io non posso dire che $a$ occupa il primo posto e $b$ il secondo posto perché non ho definito nessuna regola a livello algoritmico (come hai detto tu) che mi permetta di stabilire se $a$ sta nel posto uno o due. Nella vita quotidiana l'affermazione $a$ occupa il posto uno e $b$ il due è benissimo giustificata dall'osservazione visiva dei fatti; ciò, tuttavia, non mi basta nella vita matematica. Nel linguaggio matematico io non posso giustificare l'affermazione "a occupa il posto uno" dicendo che ciò è vero perchè i miei occhi mi fanno vedere che $a$ sta nella casella uno. Ci vuole un'altro metodo, e questo è fornito dalla definizione data da Kuratowski.
Ciao
Al solito, mi riesce difficile entrare nei tuoi pensieri. Mi sento di dirti solo questo: ricorda che "la teoria degli insiemi è altamente non intuitiva" (come disse il mio prof, Valentino Cristante, al primo giorno di lezione del primo anno di università), gli insiemi non sono definiti e la scrittura (notazione) [tex]\{a,b\}[/tex] è altamente imperfetta, contiene molte più informazioni "visive" di quelle che dovrebbe contenere. Una notazione perfetta non dovrebbe contenere informazioni visive. Se ti aiuta, immagina un insieme come una palla con punti (i suoi elementi) sparsi qua e là (diagramma di Venn).
Al solito, mi riesce difficile entrare nei tuoi pensieri. Mi sento di dirti solo questo: ricorda che "la teoria degli insiemi è altamente non intuitiva" (come disse il mio prof, Valentino Cristante, al primo giorno di lezione del primo anno di università), gli insiemi non sono definiti e la scrittura (notazione) [tex]\{a,b\}[/tex] è altamente imperfetta, contiene molte più informazioni "visive" di quelle che dovrebbe contenere. Una notazione perfetta non dovrebbe contenere informazioni visive. Se ti aiuta, immagina un insieme come una palla con punti (i suoi elementi) sparsi qua e là (diagramma di Venn).
[OT, storico]
Nota storica: La Teoria degli Insiemi è stata sistemata/assiomatizzata, più o meno definitivamente, nel decennio 1921-'30 (da Fraenkel e altri) anche se posteriormente sono state introdotte anche assiomatizzazioni diverse.
Un vero "casino"? Beh, sì, per come la vediamo noi oggi... Ma all'epoca non lo era poi tanto.
Pensa, ad esempio, che la definizione di funzione come corrispondenza arbitraria tra oggetti di due insiemi è stata accettata solo dopo gli articoli di Dirichlet sul significato degli integrali che servivano a calcolare i coefficienti di Fourier di una funzione (i.e., 1830 o giù di lì).*
Tuttavia, i teoremi provati prima di allora sono rimasti validi (alcuni sono stati corretti via via che ipotesi "implicite" venivano fuori... Ma bastava esplicitarle per ottenere un risultato corretto).
Insomma, come già detto molte volte, la Matematica si fà lo stesso, anche se non si sà bene cos'è una funzione.
__________
* N.B.: Questa è Analisi... Anche Cantor lavorava su problemi di natura prettamente analitica quando cercava di formalizzare una buona idea di "grandezza" (i.e., la cardinalità). Ma ciò, per motivi che ignoro, sembra essere ignoto alla gran parte degli Algebristi.
[/OT]
"lisdap":
Piccola nota storica. Da quello che ho potuto constatare, prima di Cantor la teoria degli insiemi non era stata ancora formalizzata, cosi come il concetto di numero cardinale ecc...Ciò mi fa pensare che duecento anni fa la matematica era un vero "casino" o sbaglio? I matematici di allora camminavano sulle uova?
Nota storica: La Teoria degli Insiemi è stata sistemata/assiomatizzata, più o meno definitivamente, nel decennio 1921-'30 (da Fraenkel e altri) anche se posteriormente sono state introdotte anche assiomatizzazioni diverse.
Un vero "casino"? Beh, sì, per come la vediamo noi oggi... Ma all'epoca non lo era poi tanto.
Pensa, ad esempio, che la definizione di funzione come corrispondenza arbitraria tra oggetti di due insiemi è stata accettata solo dopo gli articoli di Dirichlet sul significato degli integrali che servivano a calcolare i coefficienti di Fourier di una funzione (i.e., 1830 o giù di lì).*
Tuttavia, i teoremi provati prima di allora sono rimasti validi (alcuni sono stati corretti via via che ipotesi "implicite" venivano fuori... Ma bastava esplicitarle per ottenere un risultato corretto).
Insomma, come già detto molte volte, la Matematica si fà lo stesso, anche se non si sà bene cos'è una funzione.
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* N.B.: Questa è Analisi... Anche Cantor lavorava su problemi di natura prettamente analitica quando cercava di formalizzare una buona idea di "grandezza" (i.e., la cardinalità). Ma ciò, per motivi che ignoro, sembra essere ignoto alla gran parte degli Algebristi.
[/OT]
"gugo82":
Pensa, ad esempio, che la definizione di funzione come corrispondenza arbitraria tra oggetti di due insiemi è stata accettata solo dopo gli articoli di Dirichlet sul significato degli integrali che servivano a calcolare i coefficienti di Fourier di una funzione (i.e., 1830 o giù di lì).*
Tuttavia, i teoremi provati prima di allora sono rimasti validi (alcuni sono stati corretti via via che ipotesi "implicite" venivano fuori... Ma bastava esplicitarle per ottenere un risultato corretto).
Insomma, come già detto molte volte, la Matematica si fà lo stesso, anche se non si sà bene cos'è una funzione.
Interessante, davvero interessante. Il bramanti pagani salsa nel capitolo dedicato alle serie di Fourier accennava a tale discorso, senza ovviamente approfondirlo.
Il fatto che si parlava di integrali quando ancora non si sapeva cosa fosse una funzione credo che mette bene in evidenza che l'integrale deve essere inteso come una somma infinita di termini infinitesimi, ottica che necessariamente va adottata negli integrali che si incontrano nelle applicazioni, ad esempio ingegneristiche e fisiche.
Quello che voglio dire è che, se si parlava di integrali e teoremi vari quando ancora non si sapeva cosa fosse una funzione, allora il concetto di integrale stesso è indipendente da quello di funzione.
Mi rivolgo a te, gugo. Credo che il cerchio nella mia mente relativo al concetto di funzione si sia chiuso, mi spiego meglio.
La prima volta che ho letto la definizione di funzione (quasi due anni fa, quando mi sono iscritto per puro caso a questo forum) non ho avuto alcun problema a digerirla, e ne ero subito convinto, poi ho avuto una sorta di "crisi", durata parecchi mesi e di cui tu ne sei ben a conoscenza
che mi ha portato al rifiuto della definizione di funzione quale corrispondenza, essendo alla ricerca del rigore; ora, infine, sento di essere ritornato sui passi precedenti, con il bagaglio culturale che però tale "crisi" mi ha permesso di "acciuffare".
Dato un insieme A, è un'operazione del tutto naturale ed innata quella di associare ad uno o più elementi di A uno stesso elemento di A. Ad esempio, dato l'insieme dei colori, è naturale associare al giallo ed al rosso l'arancione, al bianco ed al nero il grigio, e cosi via.
Dati due insiemi A e B è naturale associare ad un elemento di A un elemento di B, e cosi via.
Non mi devo preoccupare di definire in termini rigorosi cosa voglia dire la frase "associare ad un elemento di A un elemento di B", in quanto si tratta di una frase comprensibile da qualunque mente umana, di un procedimento mentale innato nell'uomo, primitivo (come quello di insieme).
Potrei associare gli elementi di A a quelli di B senza seguire alcun criterio; cioè, disegnare con i diagrammi di Eulero-Venn gli insiemi A e B, e tracciare a caso le "freccette". Oppure, potrei associare gli elementi di A con gli elementi di B seguendo un criterio, una regola ben precisa che ho definito preliminarmente: tale regola prende il nome di "Relazione" tra A e B.
Una relazione è dunque la regola, il criterio, la legge che permette di associare gli elementi di A con quelli di B. Tale regola può esistere sotto forma di diverse forme.
1) tabella;
2) insieme di coppie ordinate (sottoinsieme di un prodotto cartesiano);
3) grafico;
4) equazione.
Nel caso in cui associo a due elementi di A uno ed un solo elemento di A seguendo un criterio ben preciso, quel criterio si chiama operazione binaria interna.
Nel caso in cui associo a ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B, il criterio che seguo per fare l'associazione (potrei però anche non seguire alcun criterio, alcuna regola: allora non avrei alcuna funzione) prende il nome di "Funzione".
Questo criterio che seguo quando faccio le associazioni, come ho detto sopra può esistere sotto forma di insieme di coppie ordinate, di tabella, di grafico, o di equazione.
In Analisi, si preferisce rappresentare il criterio di associazione per mezzo di un'equazione matematica anziché un insieme di coppie ordinate, in quanto ciò è nettamente più comodo.
La funzione è dunque l'intermediario tra due elementi di un certo insieme e l'elemento $b in B$ che, per mezzo del criterio $f$ che ho definito, ho associato all'elemento $a in A$ lo posso indicare anche come $f(a)$.
Sono più vicino alla tua visione ora?
La prima volta che ho letto la definizione di funzione (quasi due anni fa, quando mi sono iscritto per puro caso a questo forum) non ho avuto alcun problema a digerirla, e ne ero subito convinto, poi ho avuto una sorta di "crisi", durata parecchi mesi e di cui tu ne sei ben a conoscenza
che mi ha portato al rifiuto della definizione di funzione quale corrispondenza, essendo alla ricerca del rigore; ora, infine, sento di essere ritornato sui passi precedenti, con il bagaglio culturale che però tale "crisi" mi ha permesso di "acciuffare".Dato un insieme A, è un'operazione del tutto naturale ed innata quella di associare ad uno o più elementi di A uno stesso elemento di A. Ad esempio, dato l'insieme dei colori, è naturale associare al giallo ed al rosso l'arancione, al bianco ed al nero il grigio, e cosi via.
Dati due insiemi A e B è naturale associare ad un elemento di A un elemento di B, e cosi via.
Non mi devo preoccupare di definire in termini rigorosi cosa voglia dire la frase "associare ad un elemento di A un elemento di B", in quanto si tratta di una frase comprensibile da qualunque mente umana, di un procedimento mentale innato nell'uomo, primitivo (come quello di insieme).
Potrei associare gli elementi di A a quelli di B senza seguire alcun criterio; cioè, disegnare con i diagrammi di Eulero-Venn gli insiemi A e B, e tracciare a caso le "freccette". Oppure, potrei associare gli elementi di A con gli elementi di B seguendo un criterio, una regola ben precisa che ho definito preliminarmente: tale regola prende il nome di "Relazione" tra A e B.
Una relazione è dunque la regola, il criterio, la legge che permette di associare gli elementi di A con quelli di B. Tale regola può esistere sotto forma di diverse forme.
1) tabella;
2) insieme di coppie ordinate (sottoinsieme di un prodotto cartesiano);
3) grafico;
4) equazione.
Nel caso in cui associo a due elementi di A uno ed un solo elemento di A seguendo un criterio ben preciso, quel criterio si chiama operazione binaria interna.
Nel caso in cui associo a ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B, il criterio che seguo per fare l'associazione (potrei però anche non seguire alcun criterio, alcuna regola: allora non avrei alcuna funzione) prende il nome di "Funzione".
Questo criterio che seguo quando faccio le associazioni, come ho detto sopra può esistere sotto forma di insieme di coppie ordinate, di tabella, di grafico, o di equazione.
In Analisi, si preferisce rappresentare il criterio di associazione per mezzo di un'equazione matematica anziché un insieme di coppie ordinate, in quanto ciò è nettamente più comodo.
La funzione è dunque l'intermediario tra due elementi di un certo insieme e l'elemento $b in B$ che, per mezzo del criterio $f$ che ho definito, ho associato all'elemento $a in A$ lo posso indicare anche come $f(a)$.
Sono più vicino alla tua visione ora?
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