Principio d'induzione vale solo per insieme N?
Salve a tutti è la prima volta che scrivo su questo forum perciò vi prego di correggermi, oltre che nel testo che sto per scrivere, anche nella modalità in cui l'ho scritto: caratteri, chiarezza, forum sbagliato (ma non credo), finestra sbagliata ( Secondaria II grado), e tutto quello che vi viene in mente.
La mia domanda è: il principio di induzione, quello permesso dal quinto postulato di Peano, è valido solo per N? Perché non dovrebbe esserlo anche per altri insiemi?
Usando il Dodero-Baroncini-Manfredi ho visto che la definizione, ad esempio, dell'insieme Z dei numeri interi relativi è basata su una relazione tra coppie di numeri naturali tale che la classe di equivalenza formata da quelle infinite coppie in questa relazione (a,b)#(c,d)=a+d=b+c, sia un numero relativo. Perciò abbiamo che la classe d'equivalenza [(5,3)] è = alla classe di equivalenza [(4,2)] e che entrambe esprimano il numero intero relativo 2. La classe di equivalenza [(3,5)] esprime invece il numero intero relativo -2. La classe di equivalenza [(5,5)] esprime il numero relativo 0.
Ora andando avanti nella lettura si è visto come la cardinalità di N sia uguale alla cardinalità di Z, ovvero che gli elementi di entrambi gli insieme possono essere messi in corrispondenza biunivoca ( non vale ad esempio per R).
Il mio ragionamento perciò diventa: ma se gli elementi di Z possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali, allora ogni numero relativo può essere considerato come un numero naturale e far valere il quinto postulato di Peano? Partendo da una classe di equivalenza che rappresenta il numero zero e dimostrando qualcosa per questa e per quella che rappresenta il numero 1, non dimostro che tale proprietà è posseduta da tutte le classi di equivalenza, ovvero da tutti gli elementi di Z? Analogo discorso per l'insieme Q, ma non per l'insieme R.
Grazie a tutti della risposta e delle correzioni in generale di cui sopra ho parlato.
La mia domanda è: il principio di induzione, quello permesso dal quinto postulato di Peano, è valido solo per N? Perché non dovrebbe esserlo anche per altri insiemi?
Usando il Dodero-Baroncini-Manfredi ho visto che la definizione, ad esempio, dell'insieme Z dei numeri interi relativi è basata su una relazione tra coppie di numeri naturali tale che la classe di equivalenza formata da quelle infinite coppie in questa relazione (a,b)#(c,d)=a+d=b+c, sia un numero relativo. Perciò abbiamo che la classe d'equivalenza [(5,3)] è = alla classe di equivalenza [(4,2)] e che entrambe esprimano il numero intero relativo 2. La classe di equivalenza [(3,5)] esprime invece il numero intero relativo -2. La classe di equivalenza [(5,5)] esprime il numero relativo 0.
Ora andando avanti nella lettura si è visto come la cardinalità di N sia uguale alla cardinalità di Z, ovvero che gli elementi di entrambi gli insieme possono essere messi in corrispondenza biunivoca ( non vale ad esempio per R).
Il mio ragionamento perciò diventa: ma se gli elementi di Z possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali, allora ogni numero relativo può essere considerato come un numero naturale e far valere il quinto postulato di Peano? Partendo da una classe di equivalenza che rappresenta il numero zero e dimostrando qualcosa per questa e per quella che rappresenta il numero 1, non dimostro che tale proprietà è posseduta da tutte le classi di equivalenza, ovvero da tutti gli elementi di Z? Analogo discorso per l'insieme Q, ma non per l'insieme R.
Grazie a tutti della risposta e delle correzioni in generale di cui sopra ho parlato.
Risposte
Ricordo che con l'induzione si definiva solo $\NN$. Anzi, la definizione di $\NN$ era quella di essere l'unico[nota]Però se non erro si poteva estendere la definizione a insiemi di interi che soddisfano il principio del minimo. 
[/nota] insieme
- che contiene lo $0$
- in cui è definita la funzione successore, cioè $"succ"(n)=n+1$ o, abbrieviato, $s(n)=n+1$
- e se $n\in \NN$ allora $n+1 \in \NN$ (il principio di induzione).
Comunque con la logica matematica e l'aritmetica di Peano ho perso la mano quindi non garantisco la veridicità della risposta; al massimo credo che non sia giusta la sezione delle secondarie ma ci penseranno persone più esperte e verdi/gialle/rosse a decidere la sezione giusta.
Vedendo che è il tuo primo messaggio, concludo dandoti il benvenuto al forum e buona permanenza.
[/nota] insieme- che contiene lo $0$
- in cui è definita la funzione successore, cioè $"succ"(n)=n+1$ o, abbrieviato, $s(n)=n+1$
- e se $n\in \NN$ allora $n+1 \in \NN$ (il principio di induzione).
Comunque con la logica matematica e l'aritmetica di Peano ho perso la mano quindi non garantisco la veridicità della risposta; al massimo credo che non sia giusta la sezione delle secondarie ma ci penseranno persone più esperte e verdi/gialle/rosse a decidere la sezione giusta.
Vedendo che è il tuo primo messaggio, concludo dandoti il benvenuto al forum e buona permanenza.
grazie mille Zero87!
Purtroppo però devo correggerti perché la "funzione successore" non esiste. I concetti primitivi sono:
-0
-numero naturale
-successivo di un numero naturale
Non può perciò essere definita, né tanto meno utilizzando nella definizione l'addizione (poiché viene definita in seguito ai concetti primitivi e ai postulati), con un numero naturale particolare.
Ciò che chiedevo era se fosse possibile giustificare l'estensione del principio d'induzione ad altri insiemi con stessa cardinalità di N, ovvero insiemi i cui elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme N.
Facciamo finta che tutti i numeri naturali altro non siano che il corrispondente dei numeri relativi, allora manipolare i numeri naturali vorrebbe dire manipolare i numeri relativi, è come un esercizio di sostituzione; indicizzazione naturale delle classi di equivalenza che rappresentano i numeri relativi, numerandole con numeri naturali. Si manipolerebbero proprio i numeri naturali. dunque sarebbe valido ciò che è valido per i numeri naturali, ovvero il principio di induzione.
Purtroppo però devo correggerti perché la "funzione successore" non esiste. I concetti primitivi sono:
-0
-numero naturale
-successivo di un numero naturale
Non può perciò essere definita, né tanto meno utilizzando nella definizione l'addizione (poiché viene definita in seguito ai concetti primitivi e ai postulati), con un numero naturale particolare.
Ciò che chiedevo era se fosse possibile giustificare l'estensione del principio d'induzione ad altri insiemi con stessa cardinalità di N, ovvero insiemi i cui elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme N.
Facciamo finta che tutti i numeri naturali altro non siano che il corrispondente dei numeri relativi, allora manipolare i numeri naturali vorrebbe dire manipolare i numeri relativi, è come un esercizio di sostituzione; indicizzazione naturale delle classi di equivalenza che rappresentano i numeri relativi, numerandole con numeri naturali. Si manipolerebbero proprio i numeri naturali. dunque sarebbe valido ciò che è valido per i numeri naturali, ovvero il principio di induzione.
"LLello":
Purtroppo però devo correggerti perché la "funzione successore" non esiste.
Fai bene a correggermi, oramai mi si mischiano i concetti a un anno dalla laurea nonostante la disoccupazione.
Però ricordavo che, anche se era il successore e non la funzione successore, il prof. aveva parlato di un $s(n)$ anche se ora ho il dubbio se fosse con Peano o con le funzioni primitive nella calcolabilità (funzione zero, funzione successore e proiezione, queste me le ricordo... spero).
"LLello":
Ciò che chiedevo era se fosse possibile giustificare l'estensione del principio d'induzione ad altri insiemi con stessa cardinalità di N, ovvero insiemi i cui elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme N.
A parte il fatto che ricordavo che al massimo funzionava con insiemi di interi che soddisfavano il principio del minimo, a questo non so proprio rispondere... anche perché non me lo sono mai chiesto, ad essere sincero.
Gli assiomi di Peano sono questi (o meglio, una versione degli assiomi ...)
1.Esiste un numero naturale, 1
2.Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
3.Numeri diversi hanno successori diversi
4.1 non è il successore di alcun numero naturale
5.Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga 1 e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)
Ora, il principio di induzione è fondamentale per la definizione dei numeri naturali ed è altrettanto fondamentale che esista un numero che "funge" da minimo (1 in questo caso).
Quindi non riesco ad immaginare come si possa applicare ai relativi, per esempio ...
1.Esiste un numero naturale, 1
2.Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
3.Numeri diversi hanno successori diversi
4.1 non è il successore di alcun numero naturale
5.Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga 1 e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)
Ora, il principio di induzione è fondamentale per la definizione dei numeri naturali ed è altrettanto fondamentale che esista un numero che "funge" da minimo (1 in questo caso).
Quindi non riesco ad immaginare come si possa applicare ai relativi, per esempio ...
"axpgn":
Gli assiomi di Peano sono questi (o meglio, una versione degli assiomi ...)
1.Esiste un numero naturale, 1
2.Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
3.Numeri diversi hanno successori diversi
4.1 non è il successore di alcun numero naturale
5.Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga 1 e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)
Ora, il principio di induzione è fondamentale per la definizione dei numeri naturali ed è altrettanto fondamentale che esista un numero che "funge" da minimo (1 in questo caso).
Quindi non riesco ad immaginare come si possa applicare ai relativi, per esempio ...
Purtroppo devo correggerti poiché il principio di induzione non è affatto indispensabile per la definizione dei numeri naturali, infatti non esiste una definizione di "numero naturale" bensì di insieme dei numeri naturali. I postulati di Peano si basano infatti su tre concetti primitivi:
-0
-numero naturale
-successivo di un numero naturale
inoltre 1 è il successivo, non successore, di 0. Quel postulato vale per 0 non per 1.
Inoltre ti invito a rileggere come è possibile, a mio avviso, applicare il principio di induzione ai numeri relativi, perciò ti chiedo cortesemente di criticare dopo un'attenta lettura invece di domandare a vanvera.
Devo dire che questo forum non mi sta dando una buona impressione.. Mi aspettavo qualcos'altro..
Per quello che so io la versione in 5 punti che ho messo rispecchia nella sostanza quella di Peano; sempre per quanto ne so il primo assioma afferma "Uno è un numero naturale" e non lo zero; peraltro la questione è irrilevante perché la sostanza è che esista un numero che sia il "minimo" dell'insieme (cmq lo chiami) cioè che non sia il successore di nessun altro.
Non ho parlato di definizione del "numero naturale" ma dei "numeri naturali" sottintendendo insieme; mi scuso se mi sono fatto fraintendere ma pensavo fosse evidente.
Infine se questo forum ti ha fatto una cattiva impressione per il mio post, mi spiace e me ne scuso; dicendo che "non riesco a immaginare" mi riferivo a me stesso, ovviamente, perché, appunto, non ci riesco e perché sono stato incapace di "vederlo" nel tuo post.
Non ho parlato di definizione del "numero naturale" ma dei "numeri naturali" sottintendendo insieme; mi scuso se mi sono fatto fraintendere ma pensavo fosse evidente.
Infine se questo forum ti ha fatto una cattiva impressione per il mio post, mi spiace e me ne scuso; dicendo che "non riesco a immaginare" mi riferivo a me stesso, ovviamente, perché, appunto, non ci riesco e perché sono stato incapace di "vederlo" nel tuo post.
"LLello":
Devo dire che questo forum non mi sta dando una buona impressione.. Mi aspettavo qualcos'altro..
Mi spiace, ho risposto io che sono piuttosto ignorante in materia... magari qualche moderatore sposterà questa discussione nella sezione di algebra e lì ci sono utenti ai quali è wolfram che fa domande e non viceversa.
zero87 stai tranquillo: hai una professionalità e una gentilezza che escono fuori dallo schermo!
adesso sposto la domanda in qualche altra sezione e spero di ricevere una bastonata con i fiocchi! C'è qualcosa di meglio che sbagliare per imparare? Lo metto in algebra sotto tuo suggerimento del quale ti ringrazio ancora!
Tranquillo i fraintendimenti sono all'ordine del giorno. Però un matematico deve cercare di evitarli e non di crearli per superficialità: non esistono domande stupide!
Inoltre ho scritto di sfruttare l'equipotenza dei due insiemi cosa che anche zero87 ha sottolineato e che tu, invece di leggere attentamente, hai saltato non so secondo quale ragionamento: non credi che rispondere a una domanda voglia dire implicitamente averla letta? guarda zero87
A parte il fatto che ricordavo che al massimo funzionava con insiemi di interi che soddisfavano il principio del minimo, a questo non so proprio rispondere(sottolinea e grassetto miei)... anche perché non me lo sono mai chiesto, ad essere sincero.[/quote]
adesso sposto la domanda in qualche altra sezione e spero di ricevere una bastonata con i fiocchi! C'è qualcosa di meglio che sbagliare per imparare? Lo metto in algebra sotto tuo suggerimento del quale ti ringrazio ancora!
"axpgn":
Per quello che so io la versione in 5 punti che ho messo rispecchia nella sostanza quella di Peano; sempre per quanto ne so il primo assioma afferma "Uno è un numero naturale" e non lo zero; peraltro la questione è irrilevante perché la sostanza è che esista un numero che sia il "minimo" dell'insieme (cmq lo chiami) cioè che non sia il successore di nessun altro.
Non ho parlato di definizione del "numero naturale" ma dei "numeri naturali" sottintendendo insieme; mi scuso se mi sono fatto fraintendere ma pensavo fosse evidente.
Infine se questo forum ti ha fatto una cattiva impressione per il mio post, mi spiace e me ne scuso; dicendo che "non riesco a immaginare" mi riferivo a me stesso, ovviamente, perché, appunto, non ci riesco e perché sono stato incapace di "vederlo" nel tuo post.
Tranquillo i fraintendimenti sono all'ordine del giorno. Però un matematico deve cercare di evitarli e non di crearli per superficialità: non esistono domande stupide!
Inoltre ho scritto di sfruttare l'equipotenza dei due insiemi cosa che anche zero87 ha sottolineato e che tu, invece di leggere attentamente, hai saltato non so secondo quale ragionamento: non credi che rispondere a una domanda voglia dire implicitamente averla letta? guarda zero87
"Zero87":
[quote="LLello"]Ciò che chiedevo era se fosse possibile giustificare l'estensione del principio d'induzione ad altri insiemi con stessa cardinalità di N, ovvero insiemi i cui elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme N.
A parte il fatto che ricordavo che al massimo funzionava con insiemi di interi che soddisfavano il principio del minimo, a questo non so proprio rispondere(sottolinea e grassetto miei)... anche perché non me lo sono mai chiesto, ad essere sincero.
[/quote]
Sarò breve perché al momento non ho molto tempo a disposizione, mi riservo di rispondere in maniera più elaborata appena ne avrò il tempo (realisticamente, finita la sessione ), a meno che qualcuno più preparato di me al riguardo non abbia già risposto per allora (cosa invero molto probabile). In ogni caso è possibile estendere il principio d'induzione ad insiemi diversi da $NN$. Il ruolo che gioca come postulato per la costruzione dei naturali è comunque diverso dal ruolo che ricopre in quanto tecnica dimostrativa, anche se le due cose hanno intersezione non vuota, per così dire.
Saluti.
), a meno che qualcuno più preparato di me al riguardo non abbia già risposto per allora (cosa invero molto probabile). In ogni caso è possibile estendere il principio d'induzione ad insiemi diversi da $NN$. Il ruolo che gioca come postulato per la costruzione dei naturali è comunque diverso dal ruolo che ricopre in quanto tecnica dimostrativa, anche se le due cose hanno intersezione non vuota, per così dire.Saluti.
"Epimenide93":
In ogni caso è possibile estendere il principio d'induzione ad insiemi diversi da $NN$
Sì, però da quello che ho capito sono insiemi che rispettano il principio del "buon ordinamento" cioè quello di avere "un elemento minimo" come i numeri naturali; in pratica, puoi sì utilizzare il principio di induzione in insiemi diversi dai numeri naturali ma se sono stati "riordinati" come i numeri naturali. Ecco perchè non basta la corrispondenza biunivoca tra numeri naturali e numeri relativi per usare il principio di induzione, ma occorre anche che siano ordinati allo stesso modo e che abbiano un elemento minimo.
Vorrei aggiungere anche questa piccola opinione: secondo me, i "numeri naturali" secondo gli assiomi di Peano, non sono "solamente" i numeri naturali che conosciamo con questo nome, ma tutti gli insiemi (di qualsiasi genere siano costituiti) che "obbediscono" ai suoi assiomi, e quindi non solo numeri. Detto in altre parole (sempre che riesca a dirlo ...) mi sono fatto l'idea che Peano con i suoi assiomi intendesse qualcosa di ancor "più astratto" dei numeri naturali. IMHO, ovviamente.
"LLello":
... Però un matematico deve cercare di evitarli e non di crearli per superficialità: ...
... magari perchè non sono un matematico?
"Epimenide93":
Sarò breve perché al momento non ho molto tempo a disposizione, mi riservo di rispondere in maniera più elaborata appena ne avrò il tempo (realisticamente, finita la sessione
Saluti.
Ti ringraziomolto e aspetto con ansia ulteriori spiegazioni!
"axpgn":
[quote="Epimenide93"]In ogni caso è possibile estendere il principio d'induzione ad insiemi diversi da $ NN $
Sì, però da quello che ho capito sono insiemi che rispettano il principio del "buon ordinamento" cioè quello di avere "un elemento minimo" come i numeri naturali; in pratica, puoi sì utilizzare il principio di induzione in insiemi diversi dai numeri naturali ma se sono stati "riordinati" come i numeri naturali. Ecco perchè non basta la corrispondenza biunivoca tra numeri naturali e numeri relativi per usare il principio di induzione, ma occorre anche che siano ordinati allo stesso modo e che abbiano un elemento minimo.
Vorrei aggiungere anche questa piccola opinione: secondo me, i "numeri naturali" secondo gli assiomi di Peano, non sono "solamente" i numeri naturali che conosciamo con questo nome, ma tutti gli insiemi (di qualsiasi genere siano costituiti) che "obbediscono" ai suoi assiomi, e quindi non solo numeri. Detto in altre parole (sempre che riesca a dirlo ...) mi sono fatto l'idea che Peano con i suoi assiomi intendesse qualcosa di ancor "più astratto" dei numeri naturali. IMHO, ovviamente.
"LLello":
... Però un matematico deve cercare di evitarli e non di crearli per superficialità: ...
... magari perchè non sono un matematico?
[/quote]Per quanto riguarda la tua IMHO il dibattito è filosofico e non matematico. In un certo senso si pone su quella sponda del realismo di Frege il quale intende i numeri in senso di quantità di ogni cosa possibile, ovvero di qualcosa che differisce dall'oggetto, poiché considera solo quantità; Sul cosa sia numero ancora oggi si dibatte se abbia statuto ontologico reale o meno. Dopo Frege il formalismo prese avvio con Hilbert e credo che Peano, riformatore del simbolismo adottato in logica matematica( introdusse il simbolo di appartenenza e il quantificatore esistenziale) e inventore del latino semplificato, sia stato su quella via, ma esperti potranno benissimo confutare questa affermazione campata in aria da semplici congetture storiciste.
Per quel che riguarda il tuo elemento minimo purtroppo devo correggerti in quanto è possibile ordinare insiemi con stessa cardinalità di N secondo un "buon ordinamento". L'insieme Z, ad esempio, può essere ordinato in questo modo:
-sia $a_n$ una successione ordinata di numeri relativi in $n$ numeri naturali
-poniamo gli elementi $a_n$ in corrispondenza biunivoca con i rispettivi $n$, secondo la regola::
-se $n$ è pari allora $a_n$= $n/2$
-se $n$ è dispari allora $a_n$=$-(n+1/2)$
Le definizioni sono date vediamo se funziona
$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$
$downarrow$ $downarrow$ $downarrow$ $downarrow$ $downarrow$ $downarrow$ $downarrow$ $downarrow$
$0 -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4$
Dodero-Baroncini-Manfredi pg22 "Nuovi elementi di matematica" volume A
"axpgn":
Ecco perchè non basta la corrispondenza biunivoca tra numeri naturali e numeri relativi per usare il principio di induzione, ma occorre anche che siano ordinati allo stesso modo e che abbiano un elemento minimo.
Questa proposizione è falsa poiché È la corrispondenza biunivoca fra due insiemi di cui uno sia $NN$ che permette il "buon ordinamento" dell'altro insieme. Infatti non a caso si dice che gli insiemi con cardinalità $\aleph_0$ siano numerabili. L'insieme $RR$ non è numerabile, poiché non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca con $NN$
"axpgn":
[quote="LLello"]... Però un matematico deve cercare di evitarli e non di crearli per superficialità: ...
... magari perchè non sono un matematico?
[/quote]Ciò che è importante, per chiunque, è cercare di capire quando si può parlare e quando no. Questa domanda è stata fatta affinché una persona possa rispondere, e una persona che può rispondere deve essere un matematico, poiché viene definito matematico colui che sa di matematica. Inoltre chi non sa non può rispondere, perché colui che risponde è colui che conosce la risposta. Chi non è un matematico deve accodarsi dietro la fila di chi fa domande e non di chi risponde.
Ma cosa più importante di tutte e che se anche non si conoscono le cose e si sbaglia a voler parlare e rispondere e ci si sbaglia nella risposta, si ammetta di aver sbagliato e non si cerca di arrampicarsi sugli specchi dicendo di non aver sbagliato perché si è ignoranti. Un mio consiglio è: prima di rispondere impara a fare il matematico: questo vuol dire impara a essere preciso e non ambiguo. Se non sei un matematico non puoi, per definizione, saper rispondere a questioni matematiche. Se invece lo sei, puoi arrogarti questo diritto, ma prendendoti le responsabilità dei tuoi sbagli.
Riassumendo:
Chi è matematico fa domande e risponde in modo preciso.
Chi non è matematico dovrebbe solo fare domande e non rispondere poiché essere matematici vuol dire essere precisi e competenti.
Se tu fossi un matematico avresti sbagliato a non essere preciso
Se tu non fossi un matematico non avresti dovuto rispondere poiché te ne manca la competenza, quindi avresti sbagliato.
Che tu sia o meno un matematico in quell'occasione hai sbagliato, non giustificarti.
Pausa caffé
Sì e no. Descrive una struttura algebrica con molte caratteristiche, ma ovviamente la descrive a meno di isomorfismi. Non è necessario sfociare nel filosofico, pensa a \(\displaystyle \mathbb{Z}_2 \) come gruppo additivo ed a \(\displaystyle \{ -1, 1 \} \) come gruppo moltiplicativo, guarda le rispettive tavole moltiplicative. Sono isomorfe, ovvero sono "la stessa cosa" dal punto di vista del comportamento, solo che se da una parte scrivi \(\displaystyle [1] \) dall'altra scrivi \(\displaystyle -1 \). Finché le strutture sono semplici, questo intuitivo "essere la stessa cosa" è in un certo senso assoluto. Con strutture più elaborate, il fatto che enti diversi siano isomorfi da un certo punto di vista, non permette di identificarli sotto ogni punto di vista. Un testo, non ricordo quale, faceva l'esempio di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) e di \(\displaystyle \mathbb{R}[x]_{\leq 2} \) (polinomi di grado al più 2), sono isomorfi come spazi vettoriali (quindi per quel che riguarda le loro proprietà di spazio vettoriale sono indistinguibili e si può operare indifferentemente nell'uno o nell'altro se si vuole operare con proprietà inerenti questa particolare struttura), ma ad esempio non ha senso parlare di distanza euclidea tra due polinomi o di derivata di un punto dello spazio. Gli assiomi di Peano descrivono una struttura molto nel dettaglio (sono in un certo senso molto restrittivi); per come funziona il sistema assiomatico, è vero che descrivono anche qualsiasi struttura ad essa isomorfa (ciò tuttavia non rende le definizioni più o meno astratte, il "grado di astrazione" è quello proprio della teoria degli insiemi), ma è pur vero che una struttura che rispetta assiomi tanto restrittivi è improbabile che sia diversa dai naturali (insomma sarebbe un isomorfismo simile al primo esempio che riporto), in altre parole è difficile trovare una struttura che rispetti tutti e cinque gli assiomi eppure è più ricca dei naturali; in ogni caso se salta fuori, sai di poterci fare almeno tutto quello che ci puoi fare coi naturali.
Un insieme si dice bene ordinato se ogni suo sottoinsieme non vuoto ammette minimo; questa definizione è totalmente indipendente dalla cardinalità dell'insieme, esistono insiemi ordinati e numerabili che non sono bene ordinati (es. \(\displaystyle \mathbb{Q} \) ) e per il teorema di Zermelo, ogni insieme è bene ordinabile (anche un insieme con la cardinalità dell'insieme delle parti dei reali, tanto per fare un esempio eccessivo), quindi l'induzione transfinita si applica ad insiemi che in comune con \(\displaystyle \mathbb{N} \) hanno solo il buon ordinamento, ma possono essere anche drasticamente diversi da questo (es. una catena massimale di un insieme delle parti ordinata per inclusione). Quello che dice LLello è falso, almeno in parte. Una biezione con \(\displaystyle \mathbb{N} \) induce un ordine (l'ordine delle immagini) ma, come dicevo, non è una condizione necessaria.
LLello, se riesci ad utilizzare l'induzione transfinita su \(\displaystyle \mathbb{Z} \) ordinato in quel modo od anche su \(\displaystyle \mathbb{N}^2 \) ordinato diagonalmente va bene, ma non è una cosa così semplice, l'induzione su \(\displaystyle \mathbb{N} \) torna spesso utile perché l'ordine di \(\displaystyle \mathbb{N} \) "si accorda bene"[nota]esprimere cosa questo voglia dire in maniera formale porterebbe ad un discorso abbastanza lungo. Per avere un esempio concreto che permetta di intuire cosa intendo dire si pensi a \(\displaystyle \mathbb{C} \), esso è notoriamente un campo non ordinato; questo non vuol dire che non sia ordinabile come insieme (lo è ad esempio con l'ordine lessicografico, ed in infiniti altri modi), ma che non è possibile introdurre un ordine che rispetti la sua struttura di campo.[/nota] con le operazioni definite su di esso, l'ordine che tu hai indotto su \(\displaystyle \mathbb{Z} \) non rispetta né le proprietà additive né quelle moltiplicative, mentre è probabile che se tu voglia dimostrare qualcosa su \(\displaystyle \mathbb{Z} \), questo qualcosa riguarderà almeno in parte la sua struttura di anello, quindi non è detto che sia semplice usare l'induzione transfinita per dimostrare qualcosa su un insieme numerico, né che sia utile nella maniera in cui immagini possa esserlo (cioè, usato su insiemi numerici). (Con questo spero di aver risposto anche al quesito iniziale del topic.)
Sulla menata finale nel tuo ultimo post non voglio spendere troppe parole; dico solo che non è il caso di andare off topic, né di sprofondare in discussioni difficilmente costruttive e dalle quali non si viene fuori, preferirei mantenere la conversazione sui binari e che anche voi faceste altrettanto.
Saluti.
"axpgn":
secondo me, i "numeri naturali" secondo gli assiomi di Peano, non sono "solamente" i numeri naturali che conosciamo con questo nome, ma tutti gli insiemi (di qualsiasi genere siano costituiti) che "obbediscono" ai suoi assiomi, e quindi non solo numeri. Detto in altre parole (sempre che riesca a dirlo ...) mi sono fatto l'idea che Peano con i suoi assiomi intendesse qualcosa di ancor "più astratto" dei numeri naturali. IMHO, ovviamente.
Sì e no. Descrive una struttura algebrica con molte caratteristiche, ma ovviamente la descrive a meno di isomorfismi. Non è necessario sfociare nel filosofico, pensa a \(\displaystyle \mathbb{Z}_2 \) come gruppo additivo ed a \(\displaystyle \{ -1, 1 \} \) come gruppo moltiplicativo, guarda le rispettive tavole moltiplicative. Sono isomorfe, ovvero sono "la stessa cosa" dal punto di vista del comportamento, solo che se da una parte scrivi \(\displaystyle [1] \) dall'altra scrivi \(\displaystyle -1 \). Finché le strutture sono semplici, questo intuitivo "essere la stessa cosa" è in un certo senso assoluto. Con strutture più elaborate, il fatto che enti diversi siano isomorfi da un certo punto di vista, non permette di identificarli sotto ogni punto di vista. Un testo, non ricordo quale, faceva l'esempio di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) e di \(\displaystyle \mathbb{R}[x]_{\leq 2} \) (polinomi di grado al più 2), sono isomorfi come spazi vettoriali (quindi per quel che riguarda le loro proprietà di spazio vettoriale sono indistinguibili e si può operare indifferentemente nell'uno o nell'altro se si vuole operare con proprietà inerenti questa particolare struttura), ma ad esempio non ha senso parlare di distanza euclidea tra due polinomi o di derivata di un punto dello spazio. Gli assiomi di Peano descrivono una struttura molto nel dettaglio (sono in un certo senso molto restrittivi); per come funziona il sistema assiomatico, è vero che descrivono anche qualsiasi struttura ad essa isomorfa (ciò tuttavia non rende le definizioni più o meno astratte, il "grado di astrazione" è quello proprio della teoria degli insiemi), ma è pur vero che una struttura che rispetta assiomi tanto restrittivi è improbabile che sia diversa dai naturali (insomma sarebbe un isomorfismo simile al primo esempio che riporto), in altre parole è difficile trovare una struttura che rispetti tutti e cinque gli assiomi eppure è più ricca dei naturali; in ogni caso se salta fuori, sai di poterci fare almeno tutto quello che ci puoi fare coi naturali.
"axpgn":
Sì, però da quello che ho capito sono insiemi che rispettano il principio del "buon ordinamento" cioè quello di avere "un elemento minimo" come i numeri naturali; in pratica, puoi sì utilizzare il principio di induzione in insiemi diversi dai numeri naturali ma se sono stati "riordinati" come i numeri naturali. Ecco perchè non basta la corrispondenza biunivoca tra numeri naturali e numeri relativi per usare il principio di induzione, ma occorre anche che siano ordinati allo stesso modo e che abbiano un elemento minimo.
"LLello":
Questa proposizione è falsa poiché È la corrispondenza biunivoca fra due insiemi di cui uno sia $NN$ che permette il "buon ordinamento" dell'altro insieme. Infatti non a caso si dice che gli insiemi con cardinalità $\aleph_0$ siano numerabili. L'insieme $RR$ non è numerabile, poiché non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca con $NN$
Un insieme si dice bene ordinato se ogni suo sottoinsieme non vuoto ammette minimo; questa definizione è totalmente indipendente dalla cardinalità dell'insieme, esistono insiemi ordinati e numerabili che non sono bene ordinati (es. \(\displaystyle \mathbb{Q} \) ) e per il teorema di Zermelo, ogni insieme è bene ordinabile (anche un insieme con la cardinalità dell'insieme delle parti dei reali, tanto per fare un esempio eccessivo), quindi l'induzione transfinita si applica ad insiemi che in comune con \(\displaystyle \mathbb{N} \) hanno solo il buon ordinamento, ma possono essere anche drasticamente diversi da questo (es. una catena massimale di un insieme delle parti ordinata per inclusione). Quello che dice LLello è falso, almeno in parte. Una biezione con \(\displaystyle \mathbb{N} \) induce un ordine (l'ordine delle immagini) ma, come dicevo, non è una condizione necessaria.
LLello, se riesci ad utilizzare l'induzione transfinita su \(\displaystyle \mathbb{Z} \) ordinato in quel modo od anche su \(\displaystyle \mathbb{N}^2 \) ordinato diagonalmente va bene, ma non è una cosa così semplice, l'induzione su \(\displaystyle \mathbb{N} \) torna spesso utile perché l'ordine di \(\displaystyle \mathbb{N} \) "si accorda bene"[nota]esprimere cosa questo voglia dire in maniera formale porterebbe ad un discorso abbastanza lungo. Per avere un esempio concreto che permetta di intuire cosa intendo dire si pensi a \(\displaystyle \mathbb{C} \), esso è notoriamente un campo non ordinato; questo non vuol dire che non sia ordinabile come insieme (lo è ad esempio con l'ordine lessicografico, ed in infiniti altri modi), ma che non è possibile introdurre un ordine che rispetti la sua struttura di campo.[/nota] con le operazioni definite su di esso, l'ordine che tu hai indotto su \(\displaystyle \mathbb{Z} \) non rispetta né le proprietà additive né quelle moltiplicative, mentre è probabile che se tu voglia dimostrare qualcosa su \(\displaystyle \mathbb{Z} \), questo qualcosa riguarderà almeno in parte la sua struttura di anello, quindi non è detto che sia semplice usare l'induzione transfinita per dimostrare qualcosa su un insieme numerico, né che sia utile nella maniera in cui immagini possa esserlo (cioè, usato su insiemi numerici). (Con questo spero di aver risposto anche al quesito iniziale del topic.)
Sulla menata finale nel tuo ultimo post non voglio spendere troppe parole; dico solo che non è il caso di andare off topic, né di sprofondare in discussioni difficilmente costruttive e dalle quali non si viene fuori, preferirei mantenere la conversazione sui binari e che anche voi faceste altrettanto.
Saluti.
"Epimenide93":
Sì e no. ... ... in altre parole è difficile trovare una struttura che rispetti tutti e cinque gli assiomi eppure è più ricca dei naturali; in ogni caso se salta fuori, sai di poterci fare almeno tutto quello che ci puoi fare coi naturali.
Quoto tutto il tuo discorso (anche se ne riporto solo due righe ...), perchè hai colto il senso di quello che volevo dire; io non sono in grado di esprimermi in modo così chiaro ne ho competenze simili (avrei voluto usare il tema dell'isomorfismo ma non mi sentivo sicuro); voglio solo aggiungere che ho volutamente "estremizzato" il concetto per mettere maggiormente in evidenza il grado di astrazione che Peano voleva raggiungere.
"Epimenide93":
... preferirei mantenere la conversazione sui binari e che anche voi faceste altrettanto.
Perfettamente d'accordo. Mi pare di averlo fatto, e se così non è sembrato, me ne scuso.
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Quoto tutto il tuo discorso (anche se ne riporto solo due righe ...), perchè hai colto il senso di quello che volevo dire; io non sono in grado di esprimermi in modo così chiaro ne ho competenze simili (avrei voluto usare il tema dell'isomorfismo ma non mi sentivo sicuro); voglio solo aggiungere che ho volutamente "estremizzato" il concetto per mettere maggiormente in evidenza il grado di astrazione che Peano voleva raggiungere.
Ti ringrazio, sono lieto di essere riuscito ad essere chiaro, anche se non ho grandi competenze, tutt'altro. In ogni caso concordo con la tua visione, Peano realisticamente aveva in mente i naturali nel senso meno empirico possibile, quando ne ha definito gli assiomi.
"axpgn":
[quote="Epimenide93"]... preferirei mantenere la conversazione sui binari e che anche voi faceste altrettanto.
Perfettamente d'accordo. Mi pare di averlo fatto, e se così non è sembrato, me ne scuso.
Cordialmente, Alex[/quote]
Non credo tu abbia alcun motivo di scusarti.
Grazie Epimenide93 per aver risposto alla mia domanda iniziale "Principio d'induzione vale solo per insieme $NN$?": sì.
Quindi la questione sembra chiusa, ma si sono aperte altre questioni.
Per quanto riguarda la menata non mi sento in dovere di scusarmi poiché, a mio avviso, era costruttiva la conclusione cui si arrivava, ovvero il dilemma.
Per quanto riguarda la tua risposta ho qualche dubbio, a causa della mia ignoranza:
Ora io sono molto ignorante però ho rilevato una palese contraddizione in ciò che hai scritto e credo che un sillogismo sia in grado di identificarla meglio:
1-Il teorema di Zermelo dice che ogni insieme è bene ordinabile
2-Esistono insiemi ordinati e numerabili che non sono bene ordinati
3-O il teorema di Zermelo è falso, oppure è falso che $QQ$ non sia ben ordinabile
Ovviamente dimmi se sto sbagliando a riportare da quel che hai scritto, ciò che ho scritto in questo sillogismo.
Oppure potresti dirmi, ma credo che sia difficile che tu intenda questo, che per un insieme essere ben ordinabile non vuol dire essere buon ordinato, ma (a livello di elementare) qualcosa che non è ben ordinato e che viene ben ordinato diviene qualcosa di ben ordinato. Ma può darsi che sia una distinzione importante in matematica e che io non ne sia a conoscenza.
inoltre:
Per il teorema di Zermelo, allora posso applicare il principio di induzione a qualunque insieme, poiché tutti gli insiemi rispettano il buon ordinamento.
Credo a questo punto che sia falso ciò che hai scritto, ovvero che il teorema di Zermelo dimostri che ogni insieme sia benn ordinabile, oppure è falso ciò che hai scritto ovvero che esistano insiemi non ben ordinati.
La semplicità di un'operazione non invalida la sua correttezza, e un matematico non dovrebbe preoccuparsi di fare cose semplici ma cose corrette. Ma può darsi che mi stia sbagliando e che i matematici preferiscano fare cose semplice e forse sbagliate piuttosto che cose difficili ma corrette.
Non mi pare, ma può darsi che stia sbagliando, di aver dato giudizi circa l'utilità di questa operazione.
Aspetto risposte sulla contraddizione!
Quindi la questione sembra chiusa, ma si sono aperte altre questioni.
Per quanto riguarda la menata non mi sento in dovere di scusarmi poiché, a mio avviso, era costruttiva la conclusione cui si arrivava, ovvero il dilemma.
Per quanto riguarda la tua risposta ho qualche dubbio, a causa della mia ignoranza:
"Epimenide93":
Un insieme si dice bene ordinato se ogni suo sottoinsieme non vuoto ammette minimo; questa definizione è totalmente indipendente dalla cardinalità dell'insieme, esistono insiemi ordinati e numerabili che non sono bene ordinati (es. \( \displaystyle \mathbb{Q} \) ) e per il teorema di Zermelo, ogni insieme è bene ordinabile (anche un insieme con la cardinalità dell'insieme delle parti dei reali, tanto per fare un esempio eccessivo), quindi l'induzione transfinita si applica ad insiemi che in comune con \( \displaystyle \mathbb{N} \) hanno solo il buon ordinamento, ma possono essere anche drasticamente diversi da questo (es. una catena massimale di un insieme delle parti ordinata per inclusione). Quello che dice LLello è falso, almeno in parte. Una biezione con \( \displaystyle \mathbb{N} \) induce un ordine (l'ordine delle immagini) ma, come dicevo, non è una condizione necessaria.
"Epimenide93":
esistono insiemi ordinati e numerabili che non sono bene ordinati (es. \( \displaystyle \mathbb{Q} \) ) e per il teorema di Zermelo, ogni insieme è bene ordinabile
Ora io sono molto ignorante però ho rilevato una palese contraddizione in ciò che hai scritto e credo che un sillogismo sia in grado di identificarla meglio:
1-Il teorema di Zermelo dice che ogni insieme è bene ordinabile
2-Esistono insiemi ordinati e numerabili che non sono bene ordinati
3-O il teorema di Zermelo è falso, oppure è falso che $QQ$ non sia ben ordinabile
Ovviamente dimmi se sto sbagliando a riportare da quel che hai scritto, ciò che ho scritto in questo sillogismo.
Oppure potresti dirmi, ma credo che sia difficile che tu intenda questo, che per un insieme essere ben ordinabile non vuol dire essere buon ordinato, ma (a livello di elementare) qualcosa che non è ben ordinato e che viene ben ordinato diviene qualcosa di ben ordinato. Ma può darsi che sia una distinzione importante in matematica e che io non ne sia a conoscenza.
inoltre:
"Epimenide93":
quindi l'induzione transfinita si applica a insiemi che in comune con \( \displaystyle \mathbb{N} \) hanno solo il buon ordinamento, ma possono essere anche drasticamente diversi da questo
Per il teorema di Zermelo, allora posso applicare il principio di induzione a qualunque insieme, poiché tutti gli insiemi rispettano il buon ordinamento.
Credo a questo punto che sia falso ciò che hai scritto, ovvero che il teorema di Zermelo dimostri che ogni insieme sia benn ordinabile, oppure è falso ciò che hai scritto ovvero che esistano insiemi non ben ordinati.
"Epimenide93":
LLello, se riesci ad utilizzare l'induzione transfinita su Z ordinato in quel modo od anche su N2 ordinato diagonalmente va bene, ma non è una cosa così semplice
La semplicità di un'operazione non invalida la sua correttezza, e un matematico non dovrebbe preoccuparsi di fare cose semplici ma cose corrette. Ma può darsi che mi stia sbagliando e che i matematici preferiscano fare cose semplice e forse sbagliate piuttosto che cose difficili ma corrette.
"Epimenide93":
né che sia utile nella maniera in cui immagini possa esserlo
Non mi pare, ma può darsi che stia sbagliando, di aver dato giudizi circa l'utilità di questa operazione.
Aspetto risposte sulla contraddizione!
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Algebra.[/xdom]
"LLello":
Grazie Epimenide93 per aver risposto alla mia domanda iniziale "Principio d'induzione vale solo per insieme $NN$?": sì.
La risposta è sì, ma mutatis mutandis esistono delle generalizzazioni (induzione transfinita).
Ora io sono molto ignorante però ho rilevato una palese contraddizione in ciò che hai scritto e credo che un sillogismo sia in grado di identificarla meglio:
1-Il teorema di Zermelo dice che ogni insieme è bene ordinabile
2-Esistono insiemi ordinati e numerabili che non sono bene ordinati
3-O il teorema di Zermelo è falso, oppure è falso che $QQ$ non sia ben ordinabile
Ovviamente dimmi se sto sbagliando a riportare da quel che hai scritto, ciò che ho scritto in questo sillogismo.
Oppure potresti dirmi, ma credo che sia difficile che tu intenda questo, che per un insieme essere ben ordinabile non vuol dire essere buon ordinato, ma (a livello di elementare) qualcosa che non è ben ordinato e che viene ben ordinato diviene qualcosa di ben ordinato. Ma può darsi che sia una distinzione importante in matematica e che io non ne sia a conoscenza.
È possibile ordinare un insieme in moltissimi modi, in particolare se l'insieme è infinito è possibile ordinarlo in infiniti modi. Non mi pare ti debba essere nuovo come concetto, tu conosci \(\displaystyle \mathbb{Z} \) con l'ordinamento naturale (che non è bene ordinato) ed hai descritto qualche post fa una relazione d'ordine su \(\displaystyle \mathbb{Z} \) che lo rende un insieme bene ordinato. Per \(\displaystyle \mathbb{Q} \) vale la stessa cosa, con l'ordinamento naturale non è bene ordinato, ma esistono relazioni d'ordine totali su \(\displaystyle \mathbb{Q} \) che lo rendono bene ordinato (ad esempio quella indotta dalla biezione con \(\displaystyle \mathbb{N} \)). Bene ordinabile significa che esiste (almeno) una relazione d'ordine totale che sia un buon ordinamento per quell'insieme, ciò non impedisce in alcun modo l'esistenza sullo stesso insieme di relazioni d'ordine che non lo rendono bene ordinato.
Per il teorema di Zermelo, allora posso applicare il principio di induzione a qualunque insieme
Per quanto mi riguarda sì[nota]Sul perché si parli di principio ci sarebbe da discutere. Si tratta principalmente di ragioni storiche. Ad oggi quel che si sa è che esso è equivalente (ad esempio) al principio del buon ordinamento (o principio del minimo, da non confondersi col teorema del buon ordinamento; purtroppo la terminologia storica è spiacevole), quindi puoi assumere uno dei due come assioma e dimostrare l'altro come teorema. Questo per quanto riguarda il principio d'induzione, che vale solo su \(\displaystyle \mathbb{N} \). Puoi applicare l'induzione transfinita su qualsiasi insieme. La validità dell'induzione transfinita che io sappia c'è in virtù di un teorema, ma la dimostrazione di tale teorema entra nei meriti della logica predicativa, abbastanza a fondo da essere al di là delle mie competenze.[/nota], allo stesso modo in cui ogni funzione reale continua ammette una primitiva.
poiché tutti gli insiemi rispettano il buon ordinamento.
Tutti gli insiemi sono bene ordinabili, ma la dimostrazione del teorema di Zermelo non è costruttiva. Ad esempio dal teorema di Zermelo discende la buona ordinabilità di \(\displaystyle \mathbb{R} \), ma ancora non è mai stato trovato esplicitamente un ordinamento che renda \(\displaystyle \mathbb{R} \) un insieme bene ordinato. Così come non esiste un'espressione analitica della primitiva della campana di Gauss.
Credo a questo punto che sia falso ciò che hai scritto, ovvero che il teorema di Zermelo dimostri che ogni insieme sia benn ordinabile, oppure è falso ciò che hai scritto ovvero che esistano insiemi non ben ordinati.
Qui ribadisco: esistono insiemi \(\displaystyle (A, \mathcal{R}) \) con \(\displaystyle \mathcal{R} \) relazione d'ordine su \(\displaystyle A \) non bene ordinati, ma in virtù del teorema di Zermelo \(\displaystyle \exists \mathcal{O} \) relazione d'ordine su \(displaystyle A \) tale che \(\displaystyle \left(A, \mathcal{O} \right) \) sia bene ordinato.
"Epimenide93":
LLello, se riesci ad utilizzare l'induzione transfinita su Z ordinato in quel modo od anche su N2 ordinato diagonalmente va bene, ma non è una cosa così semplice
La semplicità di un'operazione non invalida la sua correttezza, e un matematico non dovrebbe preoccuparsi di fare cose semplici ma cose corrette. Ma può darsi che mi stia sbagliando e che i matematici preferiscano fare cose semplice e forse sbagliate piuttosto che cose difficili ma corrette.
Ti chiedo gentilmente, anzi ti supplico, di non mettermi parole in bocca e di non inferire retoricamente sulle mie parole, io mi occupo di matematica, non di sofismi, e siccome la matematica l'ha sviluppata gente più intelligente di me, quando parlo matematicamente non puoi usare la reductio ad absurdum o altro ciarpame retorico (tipo quel "Ora io sono molto ignorante però ho rilevato una palese contraddizione" ciceroniano e stantio) perché è fatta in maniera tale da invalidarlo. Mi scaldo perché ritengo che nella matematica ci sia spazio per la filosofia in termini intellettualmente onesti, ma che non ce ne sia per la retorica.
Detto ciò, come ho già detto se riesci ad utilizzarla va bene (i.e. è corretto). Se vuoi considerazioni oggettive puoi far finire la frase lì. Mi sono permesso di aggiungere un'osservazione (di carattere inevitabilmente soggettivo, dal momento che richiama il concetto di difficoltà): se speri di utilizzarla esplicitamente per qualche dimostrazione costruttiva, realisticamente non avrai vita facile. Allo stesso modo in cui non faccio alcuna fatica a pensare che esista il buon ordinamento di \(\displaystyle \mathbb{R} \) ma non ti consiglierei mai di dimostrare che \(\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{R} \lim_{ x \rightarrow + \infty} \frac{x^{\alpha}}{e^x} = 0 \) utilizzando l'induzione transfinita, sebbene a priori nulla mi impedisce di pensare che sia possibile. Visto che ti piace argomentare, ma che lo fai in maniera scorretta (accezione etica prima che qualitativa), permettimi di smascherare una fallacia (invero piuttosto ingenua) da te usata: semplicità e correttezza non sono correlate. Nessuno in questo topic ha mai lasciato intendere che un risultato sbagliato possa essere accettabile, sei pregato di non lanciare simili provocazioni infondate e sterili. Un matematico deve arrivare a risultati corretti. Per molte ragioni di natura sia pratica (rasoio di Occam) che estetica (eleganza matematica), un matematico in genere preferisce non usare un cannone per uccidere una zanzara, ed a parità di risultato preferisce arrivarci nel modo più semplice. Si chiama efficienza, il risultato migliore col minore sforzo possibile. In tutto questo nulla toglie che se l'unica dimostrazione disponibile di un risultato è mostruosa, o poco elegante, il risultato è giusto e se vuoi verificarlo/essere in grado di dimostrarlo devi studiare/conoscere l'unica dimostrazione disponibile, a meno che tu non sia in grado di fare di meglio. Ribadisco: un risultato corretto è corretto, fine. Mi permettevo di metterti in guardia relativamente ad un fatto: se speri di ottenere un risultato corretto tramite l'induzione transfinita applicandola alla maniera del principio di induzione (ad esempio per dimostrare una proprietà valida su \(\displaystyle \mathbb{Z} \)), probabilmente non arriverai mai alla fine della dimostrazione di tale risultato corretto.
"Epimenide93":
né che sia utile nella maniera in cui immagini possa esserlo
Non mi pare, ma può darsi che stia sbagliando, di aver dato giudizi circa l'utilità di questa operazione.
Qui sono io che ho speculato su delle tue parole, ma almeno non l'ho fatto per mezzo di sofismi e l'ho fatto del tutto in buona fede. Hai citato solo insiemi numerici, suppongo tu voglia utilizzarlo per dimostrare risultati che valgono su insiemi numerici. Che possa sbagliarmi è ovvio.
Spero di non essere stato sufficientemente esaustivo e malizioso nell'esposizione, preferirei non gettarmi in un altro sproloquio la cui mole debba ingigantirsi solo a causa della malafede/supponenza dell'interlocutore.
"Epimenide93":
[...] [quote="LLello"]Per il teorema di Zermelo, allora posso applicare il principio di induzione a qualunque insieme
Per quanto mi riguarda sì, allo stesso modo in cui ogni funzione reale continua ammette una primitiva. [/quote]
E anche nella misura in cui si assuma AC, mi permetto di aggiungere.
@Delirium Quello rientra nel "per quanto mi riguarda", preferivo non tirarlo in ballo esplicitamente.
Purtroppo ho sbagliato a scrivere quel sì: infatti la tua risposta è no, e quello volevo scrivere.
Nonostante il mio sbaglio ho rilevato un'altra contraddizione palese:
Se, sbagliando, ho scritto che tu mi abbia risposto con un "sì" e tu abbia confermato questa risposta, hai scritto:
Per quanto mi riguarda sì[/quote]
Il che è in contraddizione con ciò che hai scritto prima.
Quindi la risposta al topic, a tuo giudizio, è "no", perciò non è come hai detto all'inizio, ovvero "sì".
Per quanto riguarda le applicazioni di questa conoscenza ed estensibilità, continuo a risponderti che sono e rimarranno tue congetture che, se vorrai, un giorno condividerai con gli altri: non mi sono mai espresso su tali applicazioni.
Inoltre:
ma prima hai scritto:
Ora, se ancora la mia competenza linguistico-pragmatica me lo permette, mi sembra che ci sia un po' di confusione. A meno che quindi le due definizioni non siano equivalenti o coerenti in senso di necessità, almeno una delle due è falsa.
Inoltre ti invito a rileggere ciò che hai scritto poiché mi hai contestato che il buon ordinamento di un insieme non centra nulla con la cardinalità dell'insieme. Ma se andiamo a leggere ciò che hai scritto ora:
se non vado errato la cardinalità $aleph_0$ di un insieme, ovvero se un insieme sia numerabile o meno, deriva dalla sua equipotenza con l'insieme $NN$. Tale equipotenza viene definita però dal fatto che esista una relazione d'ordine che lo renda ben ordinato. ma abbiamo una palese contraddizione, perché mi hai corretto prima dicendo che la cardinalità di un insieme non centra nulla con il buon ordinamento. Eppure ora si definisce ben ordinato l'insieme che ha almeno una relazione d'ordine totale che sia un buon ordinamento. Ma la numerabilità di un insieme si definisce a partire dal fatto che esista una relazione d'ordine che può mettere in corrispondenza biunivoca gli elementi di questo insieme con gli elementi dell'insieme $NN$. Perciò è vero che se un insieme è numerabile allora esso è ben ordinato.
Inoltre questo sconvolge ancora di più le cose: infatti, da ciò che hai scritto tu, esiste un teorema di Zermelo che dimostra come qualunque insieme sia ben ordinato perciò
-ben ordinabile significa esiste una relazione d'ordine totale che sia un buon ordinamento.
-La numerabilità di un insieme si definisce a partire dal fatto che esiste una relazione d'ordine che permetta di mettere in corrispondenza biunivoca gli elementi di quest'insieme con gli elementi di $NN$(Dodero-Baroncini-Manfredi).
Conclusione: ogni insieme è numerabile
Da quello che ricordo però non tutti gli insiemi sono numerabili: o sbaglio?
allora è falsa un tua proposizione e credo che sia proprio questa:
inoltre non stai ancora rispondendo alla prima tua contraddizione: se Zermelo ha mostrato che ogni insieme è ben ordinabile come fa $QQ$ a non esserlo? O un insieme è ordinabile oppure non lo è: non può essere contemporaneamente entrambe le cose.
Quindi è vero che tutti gli insiemi rispettano il buon ordinamento.
Ma ancora:
da:
e
Dunque A è ben ordinato, qualunque insieme esso sia.
E dunque ciò che ti ho scritto io è vero
Cambia la parola semplicità con difficoltà:è evidente dalla frase e da quella successiva che non volevo scrivere semplicità ma difficoltà, ma passi anche: mea culpa. Infatti contestavo te di voler insistere sulla difficoltà di un'operazione piuttosto che sulla sua correttezza: ordinato $ZZ$ in quel modo è possibile utilizzare l'induzione, punto: non vi è bisogno di insistere sulla difficoltà di un'impresa che non ho scritto aver intenzione di compiere.
Ultima cosa:
Non mi tange minimamente la tua supplica perché parte da premesse sbagliate: la retorica e i sofismi sono ragionamenti che sembrano giusti ma che, in realtà, sono sbagliati, imitano i ragionamenti giusti.
La reductio ad absurdum è quanto ci sia di più logico ( anche se alcuni la contestano, ma possiamo aprire un topic se vuoi).
Rilevare una contraddizione nel pensiero altrui è proprio ciò che dobbiamo fare se non vogliamo che i sofisti e persuasori ottengano la ragione illecitamente. Diciamo che in questa discussione non sono io il sofista.
Però sei libero di scrivere contraddizioni e incolpare di sofismo chi te le rileva: classico del sofista argomentare ad hominem, etichettando i non sofisti come sofisti senza alcuna argomentazione.
Nonostante il mio sbaglio ho rilevato un'altra contraddizione palese:
Se, sbagliando, ho scritto che tu mi abbia risposto con un "sì" e tu abbia confermato questa risposta, hai scritto:
"Epimenide93":
[quote="LLello"]Per il teorema di Zermelo, allora posso applicare il principio di induzione a qualunque insieme
Per quanto mi riguarda sì[/quote]
Il che è in contraddizione con ciò che hai scritto prima.
Quindi la risposta al topic, a tuo giudizio, è "no", perciò non è come hai detto all'inizio, ovvero "sì".
Per quanto riguarda le applicazioni di questa conoscenza ed estensibilità, continuo a risponderti che sono e rimarranno tue congetture che, se vorrai, un giorno condividerai con gli altri: non mi sono mai espresso su tali applicazioni.
Inoltre:
"Epimenide93":
Bene ordinabile significa che esiste (almeno) una relazione d'ordine totale che sia un buon ordinamento per quell'insieme, ciò non impedisce in alcun modo l'esistenza sullo stesso insieme di relazioni d'ordine che non lo rendono bene ordinato.
ma prima hai scritto:
"Epimenide93":
Un insieme si dice bene ordinato se ogni suo sottoinsieme non vuoto ammette minimo; questa definizione è totalmente indipendente dalla cardinalità dell'insieme, esistono insiemi ordinati e numerabili che non sono bene ordinati
Ora, se ancora la mia competenza linguistico-pragmatica me lo permette, mi sembra che ci sia un po' di confusione. A meno che quindi le due definizioni non siano equivalenti o coerenti in senso di necessità, almeno una delle due è falsa.
Inoltre ti invito a rileggere ciò che hai scritto poiché mi hai contestato che il buon ordinamento di un insieme non centra nulla con la cardinalità dell'insieme. Ma se andiamo a leggere ciò che hai scritto ora:
"Epimenide93":
Bene ordinabile significa che esiste (almeno) una relazione d'ordine totale che sia un buon ordinamento per quell'insieme, ciò non impedisce in alcun modo l'esistenza sullo stesso insieme di relazioni d'ordine che non lo rendono bene ordinato
se non vado errato la cardinalità $aleph_0$ di un insieme, ovvero se un insieme sia numerabile o meno, deriva dalla sua equipotenza con l'insieme $NN$. Tale equipotenza viene definita però dal fatto che esista una relazione d'ordine che lo renda ben ordinato. ma abbiamo una palese contraddizione, perché mi hai corretto prima dicendo che la cardinalità di un insieme non centra nulla con il buon ordinamento. Eppure ora si definisce ben ordinato l'insieme che ha almeno una relazione d'ordine totale che sia un buon ordinamento. Ma la numerabilità di un insieme si definisce a partire dal fatto che esista una relazione d'ordine che può mettere in corrispondenza biunivoca gli elementi di questo insieme con gli elementi dell'insieme $NN$. Perciò è vero che se un insieme è numerabile allora esso è ben ordinato.
Inoltre questo sconvolge ancora di più le cose: infatti, da ciò che hai scritto tu, esiste un teorema di Zermelo che dimostra come qualunque insieme sia ben ordinato perciò
-ben ordinabile significa esiste una relazione d'ordine totale che sia un buon ordinamento.
-La numerabilità di un insieme si definisce a partire dal fatto che esiste una relazione d'ordine che permetta di mettere in corrispondenza biunivoca gli elementi di quest'insieme con gli elementi di $NN$(Dodero-Baroncini-Manfredi).
Conclusione: ogni insieme è numerabile
Da quello che ricordo però non tutti gli insiemi sono numerabili: o sbaglio?
allora è falsa un tua proposizione e credo che sia proprio questa:
"Epimenide93":
Bene ordinabile significa che esiste (almeno) una relazione d'ordine totale che sia un buon ordinamento per quell'insieme, ciò non impedisce in alcun modo l'esistenza sullo stesso insieme di relazioni d'ordine che non lo rendono bene ordinato.
inoltre non stai ancora rispondendo alla prima tua contraddizione: se Zermelo ha mostrato che ogni insieme è ben ordinabile come fa $QQ$ a non esserlo? O un insieme è ordinabile oppure non lo è: non può essere contemporaneamente entrambe le cose.
"Epimenide93":
Tutti gli insiemi sono bene ordinabili, ma la dimostrazione del teorema di Zermelo non è costruttiva. Ad esempio dal teorema di Zermelo discende la buona ordinabilità di R, ma ancora non è mai stato trovato esplicitamente un ordinamento che renda R un insieme bene ordinato. Così come non esiste un'espressione analitica della primitiva della campana di Gauss.
Quindi è vero che tutti gli insiemi rispettano il buon ordinamento.
Ma ancora:
da:
"Epimenide93":
Qui ribadisco: esistono insiemi (A,R) con R relazione d'ordine su A non bene ordinati, ma in virtù del teorema di Zermelo ∃O relazione d'ordine su displaystyleA tale che (A,O) sia bene ordinato.
e
"Epimenide93":
dal teorema di Zermelo discende la buona ordinabilità di R
Dunque A è ben ordinato, qualunque insieme esso sia.
E dunque ciò che ti ho scritto io è vero
"LLello":e infatti è falso ciò che hai scritto che esistano insiemi non ben ordinati.
Credo a questo punto che sia falso ciò che hai scritto, ovvero che il teorema di Zermelo dimostri che ogni insieme sia benn ordinabile, oppure è falso ciò che hai scritto ovvero che esistano insiemi non ben ordinati.
"Epimenide93":
Visto che ti piace argomentare, ma che lo fai in maniera scorretta (accezione etica prima che qualitativa), permettimi di smascherare una fallacia (invero piuttosto ingenua) da te usata: semplicità e correttezza non sono correlate.
Cambia la parola semplicità con difficoltà:è evidente dalla frase e da quella successiva che non volevo scrivere semplicità ma difficoltà, ma passi anche: mea culpa. Infatti contestavo te di voler insistere sulla difficoltà di un'operazione piuttosto che sulla sua correttezza: ordinato $ZZ$ in quel modo è possibile utilizzare l'induzione, punto: non vi è bisogno di insistere sulla difficoltà di un'impresa che non ho scritto aver intenzione di compiere.
Ultima cosa:
Non mi tange minimamente la tua supplica perché parte da premesse sbagliate: la retorica e i sofismi sono ragionamenti che sembrano giusti ma che, in realtà, sono sbagliati, imitano i ragionamenti giusti.
La reductio ad absurdum è quanto ci sia di più logico ( anche se alcuni la contestano, ma possiamo aprire un topic se vuoi).
Rilevare una contraddizione nel pensiero altrui è proprio ciò che dobbiamo fare se non vogliamo che i sofisti e persuasori ottengano la ragione illecitamente. Diciamo che in questa discussione non sono io il sofista.
Però sei libero di scrivere contraddizioni e incolpare di sofismo chi te le rileva: classico del sofista argomentare ad hominem, etichettando i non sofisti come sofisti senza alcuna argomentazione.
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