Principio d'induzione vale solo per insieme N?
Salve a tutti è la prima volta che scrivo su questo forum perciò vi prego di correggermi, oltre che nel testo che sto per scrivere, anche nella modalità in cui l'ho scritto: caratteri, chiarezza, forum sbagliato (ma non credo), finestra sbagliata ( Secondaria II grado), e tutto quello che vi viene in mente.
La mia domanda è: il principio di induzione, quello permesso dal quinto postulato di Peano, è valido solo per N? Perché non dovrebbe esserlo anche per altri insiemi?
Usando il Dodero-Baroncini-Manfredi ho visto che la definizione, ad esempio, dell'insieme Z dei numeri interi relativi è basata su una relazione tra coppie di numeri naturali tale che la classe di equivalenza formata da quelle infinite coppie in questa relazione (a,b)#(c,d)=a+d=b+c, sia un numero relativo. Perciò abbiamo che la classe d'equivalenza [(5,3)] è = alla classe di equivalenza [(4,2)] e che entrambe esprimano il numero intero relativo 2. La classe di equivalenza [(3,5)] esprime invece il numero intero relativo -2. La classe di equivalenza [(5,5)] esprime il numero relativo 0.
Ora andando avanti nella lettura si è visto come la cardinalità di N sia uguale alla cardinalità di Z, ovvero che gli elementi di entrambi gli insieme possono essere messi in corrispondenza biunivoca ( non vale ad esempio per R).
Il mio ragionamento perciò diventa: ma se gli elementi di Z possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali, allora ogni numero relativo può essere considerato come un numero naturale e far valere il quinto postulato di Peano? Partendo da una classe di equivalenza che rappresenta il numero zero e dimostrando qualcosa per questa e per quella che rappresenta il numero 1, non dimostro che tale proprietà è posseduta da tutte le classi di equivalenza, ovvero da tutti gli elementi di Z? Analogo discorso per l'insieme Q, ma non per l'insieme R.
Grazie a tutti della risposta e delle correzioni in generale di cui sopra ho parlato.
La mia domanda è: il principio di induzione, quello permesso dal quinto postulato di Peano, è valido solo per N? Perché non dovrebbe esserlo anche per altri insiemi?
Usando il Dodero-Baroncini-Manfredi ho visto che la definizione, ad esempio, dell'insieme Z dei numeri interi relativi è basata su una relazione tra coppie di numeri naturali tale che la classe di equivalenza formata da quelle infinite coppie in questa relazione (a,b)#(c,d)=a+d=b+c, sia un numero relativo. Perciò abbiamo che la classe d'equivalenza [(5,3)] è = alla classe di equivalenza [(4,2)] e che entrambe esprimano il numero intero relativo 2. La classe di equivalenza [(3,5)] esprime invece il numero intero relativo -2. La classe di equivalenza [(5,5)] esprime il numero relativo 0.
Ora andando avanti nella lettura si è visto come la cardinalità di N sia uguale alla cardinalità di Z, ovvero che gli elementi di entrambi gli insieme possono essere messi in corrispondenza biunivoca ( non vale ad esempio per R).
Il mio ragionamento perciò diventa: ma se gli elementi di Z possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali, allora ogni numero relativo può essere considerato come un numero naturale e far valere il quinto postulato di Peano? Partendo da una classe di equivalenza che rappresenta il numero zero e dimostrando qualcosa per questa e per quella che rappresenta il numero 1, non dimostro che tale proprietà è posseduta da tutte le classi di equivalenza, ovvero da tutti gli elementi di Z? Analogo discorso per l'insieme Q, ma non per l'insieme R.
Grazie a tutti della risposta e delle correzioni in generale di cui sopra ho parlato.
Risposte
"LLello":
[...] inoltre non stai ancora rispondendo alla prima tua contraddizione: se Zermelo ha mostrato che ogni insieme è ben ordinabile come fa $QQ$ a non esserlo? O un insieme è ordinabile oppure non lo è: non può essere contemporaneamente entrambe le cose. [...]
Gli insiemi possono essere muniti di relazioni d'ordine differenti. Il teorema di Zermelo (o del buon ordinamento) asserisce che dato un qualunque insieme \(X\), esiste una relazione d'ordine (nella famiglia delle relazioni d'ordine), sia essa \(\le\), che rende \(X\) un insieme bene ordinato; ovvero: \(X\) è bene ordinabile. Se poi muniamo \(X\) di una seconda relazione d'ordine, sia essa \(\le'\), potrebbe benissimo darsi che \((X,\le')\) non sia bene ordinato nonostante rimanga bene ordinabile, senza nessuna contraddizione. E' chiaro che Epimenide si riferisse a \(\mathbb{Q}\) con l'ordinamento standard.
"LLello":
[...] Tale equipotenza viene definita però dal fatto che esista una relazione d'ordine che lo renda ben ordinato. [...]
No. Un insieme \(X\) si dice numerabile se esiste una corrispondenza biunivoca tra lui (\(X\)) ed \(\mathbb{N}\).
E nel definire l'equipotenza non si fanno assunzioni sugli insiemi in gioco; si dice solo: siano \(A\) e \(B\) due insiemi.
Aggiungo che ho trovato gli interventi di Epimenide93 puntuali e precisi.
Ma scusate, se il principio di induzione si applica a tutti quegli insiemi che rispettano i cinque assiomi di Peano,( e questo non si può controbattere perché il quinto assioma non avrebbe senza senza un elemento minimo e i successivi di ogni elemento [concetti primitivi!]) è ovvio che se si può applicare il principio di induzione a tutti gli insiemi, essi devono corrispondere ( la parola giusta è isomorfismo?) all'insieme $NN$, e questo vuol dire che almeno risponde alla numerabilità, poiché vi sarà un successivo di un elemento minimo. Potete farmi capire dove sto sbagliando con questo ragionamento?
"Epimenide93":
Gli assiomi di Peano descrivono una struttura molto nel dettaglio (sono in un certo senso molto restrittivi); per come funziona il sistema assiomatico, è vero che descrivono anche qualsiasi struttura ad essa isomorfa (ciò tuttavia non rende le definizioni più o meno astratte, il "grado di astrazione" è quello proprio della teoria degli insiemi), ma è pur vero che una struttura che rispetta assiomi tanto restrittivi è improbabile che sia diversa dai naturali (insomma sarebbe un isomorfismo simile al primo esempio che riporto), in altre parole è difficile trovare una struttura che rispetti tutti e cinque gli assiomi eppure è più ricca dei naturali; in ogni caso se salta fuori, sai di poterci fare almeno tutto quello che ci puoi fare coi naturali.
in ogni caso se salta fuori, sai di poterci fare almeno tutto quello che ci puoi fare coi naturali.
Allora spiegatemi come si applica il principio di induzione senza il quinto postulato, ma soprattutto come si può trovare un insieme che abbia il quinto postulato e non abbia gli altri quattro e i concetti primitivi cui si rifanno tali postulati.
Ricordando che Epimenide ha detto che si può applicare su ogni insieme il principio di induzione.
Ricordando con tanto di note, nelle quali dice che principio di induzione e principio del minimo sono "equivalenti"!
cioè che, come è ovvio che sia, se c'è un minimo allora c'è il principio d'induzione, quindi il quinto postulato,il quale non avrebbe senso senza gli altri postulati, ma mi pare difficile che un insieme che rispetti tutti i postulati degli insiemi naturali non possa essere numerabile: o sbaglio?
Perché sai di poterci fare almeno quello che ci puoi fare con i naturali.
Mi si conceda un "che palle...".
Ci sono dei concetti che ignori, il che non è un reato e se lo avessi capito prima li avrei scritti esplicitamente risparmiando ad entrambi un po' di fatica. Prendiamo (e spero che almeno questo ti stia bene) i concetti di insieme, di elemento e di appartenenza ad un insieme come primitivi. Qui do una definizione di relazione insiemistica. Una relazione si dice d'ordine quando è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, l'ordine si dice totale quando presi due elementi qualsiasi dell'insieme essi sono confrontabili (cioè una delle due coppie ordinate formate dai due elementi appartiene alla relazione). Formalmente, un insieme (totalmente) ordinato è una coppia \(\displaystyle (A, \mathcal{R}) \) con \(\displaystyle A \) insieme ed \(\displaystyle \mathcal{R} \) relazione d'ordine (totale). Prima di andare avanti ti invito a leggere e comprendere questi concetti ed a familiarizzare con essi, dato che sono alla base di quanto stiamo discutendo. Cerca di capire il concetto astratto di relazione d'ordine, e che una relazione d'ordine non è necessariamente una cosa "naturale" o "intuitiva", qualunque cosa questi due aggettivi vogliano dire, una relazione è d'ordine se rispetta le definizioni, altrimenti non lo è.
Se io parlo di "$A$ insieme ordinato", sto concentrando la mia attenzione non solo sull'insieme $A$, ma formalmente su due insiemi, l'insieme $A$ e la relazione d'ordine che ho fissato sopra. Quale relazione d'ordine fissare su di un insieme è del tutto arbitrario e andrebbe sempre specificato. In pratica, questo non lo si fa nei contesti in cui l'unico ordine interessante ai fini di quel contesto è uno solo. È importante che tu capisca che l'ordine non è una proprietà di \(\displaystyle \mathbb{R} \) (tanto per fare un esempio) come insieme i cui elementi sono i numeri reali. Da quel punto di vista \(\displaystyle \mathbb{R} \) è un insieme come un altro. L'ordine "naturale" di \(\displaystyle \mathbb{R} \) diventa di primaria importanza rispetto a tutti gli altri quando pensi ad \(\displaystyle \mathbb{R} \) non tanto come insieme, ma come insieme dotato di una struttura algebrica (formalmente infatti bisognerebbe distinguere tra \(\displaystyle \mathbb{R} \) insieme a sostegno del campo dei reali e \(\displaystyle (\mathbb{R}, 0 , 1, +, \cdot, \leq) \), scrittura che indica formalmente il campo ordinato dei numeri reali, ma non lo si fa per non appesantire le notazioni). Se non ci inseriamo in un contesto algebrico e restiamo a parlare di insiemi, allora l'ordine naturale di \(\displaystyle \mathbb{R} \) è un ordine come un altro, né più né meno.
Fermati. Rileggi tutto, ed assicurati di averlo compreso ed assimilato.
Andiamo avanti.
Quando parlo di insieme ordinato intendo dire che ho fissato un ordine su un insieme. Un insieme, di per sé (sì, mi sto ripetendo, ma è cruciale) non è mai ordinato, finché non fisso una relazione d'ordine su quell'insieme. Dire che un insieme è bene ordinato (nota la desinenza) significa dire che:
- sull'insieme è fissata una relazione d'ordine;
- tale relazione d'ordine lo rende un insieme bene ordinato.
Dire che un insieme non è bene ordinato significa dire che:
- sull'insieme è fissata una relazione d'ordine[nota]cosa fondamentale, altrimenti non ha senso parlare di buon ordine[/nota]
- tale relazione d'ordine non lo rende un insieme bene ordinato.
Dire che un insieme è bene ordinabile (nota la desinenza) significa dire che:
- esiste una relazione d'ordine che rende l'insieme bene ordinato.
Per il teorema di Zermelo, ogni insieme è bene ordinabile. (Tale teorema è equivalente all'assioma della scelta, ma almeno per il sottoscritto ciò non costituisce un problema.)
Esempi: \(\displaystyle \mathbb{Z} \) è bene ordinabile. \(\displaystyle \mathbb{Z} \) con l'ordine naturale non è bene ordinato. \(\displaystyle \mathbb{Z} \) con l'ordine che hai descritto quando lo hai posto in biezione con \(\displaystyle \mathbb{N} \) è bene ordinato. \(\displaystyle \mathbb{Q} \) è bene ordinabile. \(\displaystyle \mathbb{Q} \) con l'ordine naturale non è bene ordinato. \(\displaystyle \mathbb{Q} \) con l'ordine indotto dalla sua biezione con \(\displaystyle \mathbb{N} \) è bene ordinato. Qualsiasi insieme numerabile è bene ordinabile, perché la biezione con \(\displaystyle \mathbb{N} \) induce una relazione d'ordine (tramite il passaggio alle immagini) che è un buon ordine per l'insieme. Sebbene questa sia una condizione sufficiente, non è necessaria, esistono infatti insiemi non numerabili e bene ordinabili. \(\displaystyle \mathbb{R} \) con l'ordine naturale non è bene ordinato, ma in virtù del teorema di Zermelo è bene ordinabile. Non è ancora stato trovato un buon ordine esplicito per \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Questi esempi li avevo già fatti, ma non vi hai prestato attenzione, se l'avessi fatto non avresti scritto questa trafila di idiozie.
Fermati. Rileggi tutto, ed assicurati di averlo compreso ed assimilato.
Torna indietro e rileggi i miei interventi.
Andiamo avanti.
Il principio di induzione, come esposto nel quinto assioma di Peano si applica solo ad \(\displaystyle \mathbb{N} \), cambiando opportunamente la sua formulazione lo si può estendere a qualsiasi insieme bene ordinato, per mettere in evidenza il fatto che siano due cose diverse, con qualcosa in comune, si dà a tale formulazione il nome di induzione transfinita. Il mio unico errore notevole è stato dire che il principio di induzione si può potenzialmente applicare ad ogni insieme. Il principio di induzione propriamente detto, infatti, non può. La sua generalizzazione, ovvero l'induzione transfinita, si può applicare potenzialmente ad ogni insieme.
Ho appena finito di rispondere.
Sì, ok, su questo ci siamo chiariti.
Direi di aver chiarito definitivamente che quello confuso eri tu, e mi auguro di averti schiarito le idee. Per assimilare a dovere questi concetti comunque, ci vuole tempo, ti invito a studiarle da un buon testo e di fare qualche esercizio, talvolta possono essere illuminanti.
Corretto. Ricordo che equipotenza $\iff$ biezione tra i due insiemi.
Ma quando mai??? Dimmi dove hai visto scritta una roba del genere. Deve esistere una funzione (i.e. relazione univoca) tra i due insiemi che sia iniettiva e suriettiva (i.e. relazione biunivoca, caso particolare di funzione, altrimenti detta funzione biettiva). Le relazioni d'ordine in tutto questo non c'entrano. A posteriori, puoi aggiungere che una biezione con \( \mathbb{N} \) ti garantisce anche l'esistenza di un buon ordinamento (l'ordine indotto dall'ordinamento naturale di \( \mathbb{N} \) alle controimmagini), ma tutto questo con la definizione di equipotenza (che è un concetto puramente insiemistico) non ha nulla a che vedere a priori, tu hai una biezione tra due insiemi, e questa continua ad esistere e ad essere ben definita se tu i due insiemi li consideri privi di qualsiasi struttura d'ordine.
Sono due. Ripeto, ma quando mai?
È anche per questo che ti do del sofista. Ma su questo punto ci torno dopo.
Bene ordinabile!!! Basta un controesempio per smontare un teorema e di controesempi ad una proposta di teorema che dice che ogni insieme è bene ordinato ne è piena la matematica, pensi davvero che io mi metta a dir fandonie così alla leggera? È questa la supponenza che mi dà ai nervi!
Ora esigo una prova del fatto che il testo che riporti definisca la numerabilità parlando di relazioni d'ordine e che dica che c'è un legame tra le relazioni d'ordine e la possibilità di definire una biezione tra due insiemi. Perché questa è fantamatematica.
Anche a quanto scritto in queste righe mi pare di aver risposto debitamente in questo messaggio, ribadendo cose dette nei precedenti. Prova a rileggerli. Noterai che il mio apporto in questo messaggio è praticamente nullo, ho solo scritto diversamente le stesse cose che tu non avevi compreso scritte in maniera leggermente diversa. E ribadisco che il problema non è che tu non avessi i prerequisiti per capire le risposte. Il problema è che nonostante non avessi i prerequisiti ti sei messo a sproloquiare, sentenziare e pontificare su una marea di idiozie, con la spocchia da primo della classe. Tu, lo stesso che ha fatto una menata pazzesca al povero axpgn (che aveva in buona fede provato a dare il suo contributo per aiutarti a risolvere un tuo dubbio), dicendo, tra le altre cose:
Viva la coerenza!
Un'altra questione che possiamo considerare risolta. Sì, è possibile, tutti felici e contenti.
Cerca almeno di capire che se ho aggiunto dell'altro, ho avuto un buon motivo per farlo. Su questo forum capita spesso che qualcuno apra una discussione per ricevere assistenza su un esercizio che non è in grado di risolvere. Io non ho alcuna informazione sul tuo background e tu apri un topic in "Secondaria II grado" chiedendo se si può usare l'induzione su insiemi diversi da \(\displaystyle \mathbb{N} \). Sarò legittimato a pensare che sei uno studente delle superiori che sta sbattendo su un esercizio e vuole provare a risolverlo per induzione anche se non è su \(\displaystyle \mathbb{N} \)? Devo in ogni caso dire che è possibile, perché è così e perché la cosa certamente interessa chi ha aperto il topic, ma devo anche metterlo in guardia sulla difficoltà che un approccio simile, applicato ad un problema semplice, può portare a galla, e devo farlo prima che si imbarchi nell'impresa. Se non c'è nessuna impresa tanto meglio, la mia postilla è utile o nel peggiore dei casi inutile, se non l'avessi scritta nel tuo caso mi sarei risparmiato una considerazione superflua, in uno peggiore avrei fatto passare una brutta mezzora ad un povero studente delle superiori ignaro, non lasciandogli neanche una buona impressione di cosa sia la matematica (e la matematica non è, come ho già detto, usare cannoni per uccidere zanzare). Quindi il mio superfluo è nello spirito del forum ed è totalmente in buona fede ed atto a garantire assistenza a chi la richiede, e continuerò a scrivere postille del genere in casi simili, anche col rischio di beccare dei sofisti rognosi come te, che a chi dice la sua e dà un suggerimento che vuol essere d'aiuto invece di ringraziare iniziano a puntare il dito e a dire che probabilmente chi aiuta preferisce fare cose facili ed errate piuttosto che corrette e difficili.
Esattamente quello che fai quando usi i sillogismi su premesse errate.
Dipende dalla forma con la quale la si usa, ovviamente non mi riferisco allo schema usato in logica, ma alla fallacia retorica del portare alle estreme conseguenze un ragionamento.
Vero solo fino ad un certo punto. Su internet, ad esempio, una volta individuato un cosiddetto troll non ci si mette a confutare le sue contraddizioni, perché questo non fa altro che alimentare il gioco che un soggetto del genere vuole portare avanti; lo si ignora semplicemente. Ad esempio, un po' di tempo fa un tizio si è iscritto al forum ed ha aperto in ogni sezione lo stesso topic di insulti nei confronti dei forumisti, farcito di turpiloquio e bestemmie, chiedendo "come si fa ad amare la matematica?". Secondo te sarebbe stato produttivo rispondere? Tutti i membri del forum hanno agito nel miglior modo possibile, un utente lo ha segnalato, i topic sono stati eliminati ed il tizio bannato. Questo è quello che io faccio mentalmente ogni volta che vedo un politico aprir bocca, ad esempio.
Come credi.
Direi di chiuderla qui, abbiamo sprecato abbastanza tempo, e quello che avevo da dire l'ho detto. Per quanto mi riguarda, se non capisci, dal momento che il sale in zucca per fare il sofista ce l'hai, vuol dire che non hai prestato abbastanza attenzione a quello che ho scritto o che parti da delle conoscenze troppo lacunose per affrontare questo argomento, nel qual caso ti consiglio di rileggere il topic dopo aver studiato da un buon testo di Algebra.
Non scriverò più una risposta così lunga, neanche in caso di provocazioni, primo perché ho risposto in maniera esaustiva, secondo perché ho degli esami da dare e preferisco spendere il mio tempo a colmare la mia ignoranza piuttosto che a colmare la tua.
Ciao.
Ci sono dei concetti che ignori, il che non è un reato e se lo avessi capito prima li avrei scritti esplicitamente risparmiando ad entrambi un po' di fatica. Prendiamo (e spero che almeno questo ti stia bene) i concetti di insieme, di elemento e di appartenenza ad un insieme come primitivi. Qui do una definizione di relazione insiemistica. Una relazione si dice d'ordine quando è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, l'ordine si dice totale quando presi due elementi qualsiasi dell'insieme essi sono confrontabili (cioè una delle due coppie ordinate formate dai due elementi appartiene alla relazione). Formalmente, un insieme (totalmente) ordinato è una coppia \(\displaystyle (A, \mathcal{R}) \) con \(\displaystyle A \) insieme ed \(\displaystyle \mathcal{R} \) relazione d'ordine (totale). Prima di andare avanti ti invito a leggere e comprendere questi concetti ed a familiarizzare con essi, dato che sono alla base di quanto stiamo discutendo. Cerca di capire il concetto astratto di relazione d'ordine, e che una relazione d'ordine non è necessariamente una cosa "naturale" o "intuitiva", qualunque cosa questi due aggettivi vogliano dire, una relazione è d'ordine se rispetta le definizioni, altrimenti non lo è.
Se io parlo di "$A$ insieme ordinato", sto concentrando la mia attenzione non solo sull'insieme $A$, ma formalmente su due insiemi, l'insieme $A$ e la relazione d'ordine che ho fissato sopra. Quale relazione d'ordine fissare su di un insieme è del tutto arbitrario e andrebbe sempre specificato. In pratica, questo non lo si fa nei contesti in cui l'unico ordine interessante ai fini di quel contesto è uno solo. È importante che tu capisca che l'ordine non è una proprietà di \(\displaystyle \mathbb{R} \) (tanto per fare un esempio) come insieme i cui elementi sono i numeri reali. Da quel punto di vista \(\displaystyle \mathbb{R} \) è un insieme come un altro. L'ordine "naturale" di \(\displaystyle \mathbb{R} \) diventa di primaria importanza rispetto a tutti gli altri quando pensi ad \(\displaystyle \mathbb{R} \) non tanto come insieme, ma come insieme dotato di una struttura algebrica (formalmente infatti bisognerebbe distinguere tra \(\displaystyle \mathbb{R} \) insieme a sostegno del campo dei reali e \(\displaystyle (\mathbb{R}, 0 , 1, +, \cdot, \leq) \), scrittura che indica formalmente il campo ordinato dei numeri reali, ma non lo si fa per non appesantire le notazioni). Se non ci inseriamo in un contesto algebrico e restiamo a parlare di insiemi, allora l'ordine naturale di \(\displaystyle \mathbb{R} \) è un ordine come un altro, né più né meno.
Fermati. Rileggi tutto, ed assicurati di averlo compreso ed assimilato.
Andiamo avanti.
Quando parlo di insieme ordinato intendo dire che ho fissato un ordine su un insieme. Un insieme, di per sé (sì, mi sto ripetendo, ma è cruciale) non è mai ordinato, finché non fisso una relazione d'ordine su quell'insieme. Dire che un insieme è bene ordinato (nota la desinenza) significa dire che:
- sull'insieme è fissata una relazione d'ordine;
- tale relazione d'ordine lo rende un insieme bene ordinato.
Dire che un insieme non è bene ordinato significa dire che:
- sull'insieme è fissata una relazione d'ordine[nota]cosa fondamentale, altrimenti non ha senso parlare di buon ordine[/nota]
- tale relazione d'ordine non lo rende un insieme bene ordinato.
Dire che un insieme è bene ordinabile (nota la desinenza) significa dire che:
- esiste una relazione d'ordine che rende l'insieme bene ordinato.
Per il teorema di Zermelo, ogni insieme è bene ordinabile. (Tale teorema è equivalente all'assioma della scelta, ma almeno per il sottoscritto ciò non costituisce un problema.)
Esempi: \(\displaystyle \mathbb{Z} \) è bene ordinabile. \(\displaystyle \mathbb{Z} \) con l'ordine naturale non è bene ordinato. \(\displaystyle \mathbb{Z} \) con l'ordine che hai descritto quando lo hai posto in biezione con \(\displaystyle \mathbb{N} \) è bene ordinato. \(\displaystyle \mathbb{Q} \) è bene ordinabile. \(\displaystyle \mathbb{Q} \) con l'ordine naturale non è bene ordinato. \(\displaystyle \mathbb{Q} \) con l'ordine indotto dalla sua biezione con \(\displaystyle \mathbb{N} \) è bene ordinato. Qualsiasi insieme numerabile è bene ordinabile, perché la biezione con \(\displaystyle \mathbb{N} \) induce una relazione d'ordine (tramite il passaggio alle immagini) che è un buon ordine per l'insieme. Sebbene questa sia una condizione sufficiente, non è necessaria, esistono infatti insiemi non numerabili e bene ordinabili. \(\displaystyle \mathbb{R} \) con l'ordine naturale non è bene ordinato, ma in virtù del teorema di Zermelo è bene ordinabile. Non è ancora stato trovato un buon ordine esplicito per \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Questi esempi li avevo già fatti, ma non vi hai prestato attenzione, se l'avessi fatto non avresti scritto questa trafila di idiozie.
Fermati. Rileggi tutto, ed assicurati di averlo compreso ed assimilato.
Torna indietro e rileggi i miei interventi.
Andiamo avanti.
Il principio di induzione, come esposto nel quinto assioma di Peano si applica solo ad \(\displaystyle \mathbb{N} \), cambiando opportunamente la sua formulazione lo si può estendere a qualsiasi insieme bene ordinato, per mettere in evidenza il fatto che siano due cose diverse, con qualcosa in comune, si dà a tale formulazione il nome di induzione transfinita. Il mio unico errore notevole è stato dire che il principio di induzione si può potenzialmente applicare ad ogni insieme. Il principio di induzione propriamente detto, infatti, non può. La sua generalizzazione, ovvero l'induzione transfinita, si può applicare potenzialmente ad ogni insieme.
"LLello":
Purtroppo ho (...) ovvero "sì".
Ho appena finito di rispondere.
"LLello":
Per quanto riguarda le applicazioni (...) non mi sono mai espresso su tali applicazioni.
Sì, ok, su questo ci siamo chiariti.
"LLello":
Inoltre: (...) almeno una delle due è falsa.
Direi di aver chiarito definitivamente che quello confuso eri tu, e mi auguro di averti schiarito le idee. Per assimilare a dovere questi concetti comunque, ci vuole tempo, ti invito a studiarle da un buon testo e di fare qualche esercizio, talvolta possono essere illuminanti.
"LLello":
se non vado errato la cardinalità $aleph_0$ di un insieme, ovvero se un insieme sia numerabile o meno, deriva dalla sua equipotenza con l'insieme $NN$
Corretto. Ricordo che equipotenza $\iff$ biezione tra i due insiemi.
"LLello":
Tale equipotenza viene definita però dal fatto che esista una relazione d'ordine che lo renda ben ordinato.
Ma quando mai??? Dimmi dove hai visto scritta una roba del genere. Deve esistere una funzione (i.e. relazione univoca) tra i due insiemi che sia iniettiva e suriettiva (i.e. relazione biunivoca, caso particolare di funzione, altrimenti detta funzione biettiva). Le relazioni d'ordine in tutto questo non c'entrano. A posteriori, puoi aggiungere che una biezione con \( \mathbb{N} \) ti garantisce anche l'esistenza di un buon ordinamento (l'ordine indotto dall'ordinamento naturale di \( \mathbb{N} \) alle controimmagini), ma tutto questo con la definizione di equipotenza (che è un concetto puramente insiemistico) non ha nulla a che vedere a priori, tu hai una biezione tra due insiemi, e questa continua ad esistere e ad essere ben definita se tu i due insiemi li consideri privi di qualsiasi struttura d'ordine.
"LLello":
ma abbiamo una palese contraddizione, perché mi hai corretto prima dicendo che la cardinalità di un insieme non centra nulla con il buon ordinamento. Eppure ora si definisce ben ordinato l'insieme che ha almeno una relazione d'ordine totale che sia un buon ordinamento. Ma la numerabilità di un insieme si definisce a partire dal fatto che esista una relazione d'ordine che può mettere in corrispondenza biunivoca gli elementi di questo insieme con gli elementi dell'insieme $NN$.
Sono due. Ripeto, ma quando mai?
"LLello":
Perciò è vero che se un insieme è numerabile allora esso è ben ordinato.
È anche per questo che ti do del sofista. Ma su questo punto ci torno dopo.
"LLello":
Inoltre questo sconvolge ancora di più le cose: infatti, da ciò che hai scritto tu, esiste un teorema di Zermelo che dimostra come qualunque insieme sia ben ordinato
Bene ordinabile!!! Basta un controesempio per smontare un teorema e di controesempi ad una proposta di teorema che dice che ogni insieme è bene ordinato ne è piena la matematica, pensi davvero che io mi metta a dir fandonie così alla leggera? È questa la supponenza che mi dà ai nervi!
"LLello":
perciò
-ben ordinabile significa esiste una relazione d'ordine totale che sia un buon ordinamento.
-La numerabilità di un insieme si definisce a partire dal fatto che esiste una relazione d'ordine che permetta di mettere in corrispondenza biunivoca gli elementi di quest'insieme con gli elementi di $NN$(Dodero-Baroncini-Manfredi).
Conclusione: ogni insieme è numerabile
Ora esigo una prova del fatto che il testo che riporti definisca la numerabilità parlando di relazioni d'ordine e che dica che c'è un legame tra le relazioni d'ordine e la possibilità di definire una biezione tra due insiemi. Perché questa è fantamatematica.
"LLello":
Da quello che ricordo (...) infatti è falso ciò che hai scritto che esistano insiemi non ben ordinati.
Anche a quanto scritto in queste righe mi pare di aver risposto debitamente in questo messaggio, ribadendo cose dette nei precedenti. Prova a rileggerli. Noterai che il mio apporto in questo messaggio è praticamente nullo, ho solo scritto diversamente le stesse cose che tu non avevi compreso scritte in maniera leggermente diversa. E ribadisco che il problema non è che tu non avessi i prerequisiti per capire le risposte. Il problema è che nonostante non avessi i prerequisiti ti sei messo a sproloquiare, sentenziare e pontificare su una marea di idiozie, con la spocchia da primo della classe. Tu, lo stesso che ha fatto una menata pazzesca al povero axpgn (che aveva in buona fede provato a dare il suo contributo per aiutarti a risolvere un tuo dubbio), dicendo, tra le altre cose:
Ciò che è importante, per chiunque, è cercare di capire quando si può parlare e quando no.
[...] chi non sa non può rispondere, perché colui che risponde è colui che conosce la risposta.
[...] impara a essere preciso e non ambiguo.
Viva la coerenza!
"LLello":
(...) ordinato $ZZ$ in quel modo è possibile utilizzare l'induzione, punto: non vi è bisogno di insistere sulla difficoltà di un'impresa che non ho scritto aver intenzione di compiere.
Un'altra questione che possiamo considerare risolta. Sì, è possibile, tutti felici e contenti.
Cerca almeno di capire che se ho aggiunto dell'altro, ho avuto un buon motivo per farlo. Su questo forum capita spesso che qualcuno apra una discussione per ricevere assistenza su un esercizio che non è in grado di risolvere. Io non ho alcuna informazione sul tuo background e tu apri un topic in "Secondaria II grado" chiedendo se si può usare l'induzione su insiemi diversi da \(\displaystyle \mathbb{N} \). Sarò legittimato a pensare che sei uno studente delle superiori che sta sbattendo su un esercizio e vuole provare a risolverlo per induzione anche se non è su \(\displaystyle \mathbb{N} \)? Devo in ogni caso dire che è possibile, perché è così e perché la cosa certamente interessa chi ha aperto il topic, ma devo anche metterlo in guardia sulla difficoltà che un approccio simile, applicato ad un problema semplice, può portare a galla, e devo farlo prima che si imbarchi nell'impresa. Se non c'è nessuna impresa tanto meglio, la mia postilla è utile o nel peggiore dei casi inutile, se non l'avessi scritta nel tuo caso mi sarei risparmiato una considerazione superflua, in uno peggiore avrei fatto passare una brutta mezzora ad un povero studente delle superiori ignaro, non lasciandogli neanche una buona impressione di cosa sia la matematica (e la matematica non è, come ho già detto, usare cannoni per uccidere zanzare). Quindi il mio superfluo è nello spirito del forum ed è totalmente in buona fede ed atto a garantire assistenza a chi la richiede, e continuerò a scrivere postille del genere in casi simili, anche col rischio di beccare dei sofisti rognosi come te, che a chi dice la sua e dà un suggerimento che vuol essere d'aiuto invece di ringraziare iniziano a puntare il dito e a dire che probabilmente chi aiuta preferisce fare cose facili ed errate piuttosto che corrette e difficili.
"LLello":
Ultima cosa:
Non mi tange minimamente la tua supplica perché parte da premesse sbagliate: la retorica e i sofismi sono ragionamenti che sembrano giusti ma che, in realtà, sono sbagliati, imitano i ragionamenti giusti.
Esattamente quello che fai quando usi i sillogismi su premesse errate.
"LLello":
La reductio ad absurdum è quanto ci sia di più logico ( anche se alcuni la contestano, ma possiamo aprire un topic se vuoi).
Dipende dalla forma con la quale la si usa, ovviamente non mi riferisco allo schema usato in logica, ma alla fallacia retorica del portare alle estreme conseguenze un ragionamento.
"LLello":
Rilevare una contraddizione nel pensiero altrui è proprio ciò che dobbiamo fare se non vogliamo che i sofisti e persuasori ottengano la ragione illecitamente.
Vero solo fino ad un certo punto. Su internet, ad esempio, una volta individuato un cosiddetto troll non ci si mette a confutare le sue contraddizioni, perché questo non fa altro che alimentare il gioco che un soggetto del genere vuole portare avanti; lo si ignora semplicemente. Ad esempio, un po' di tempo fa un tizio si è iscritto al forum ed ha aperto in ogni sezione lo stesso topic di insulti nei confronti dei forumisti, farcito di turpiloquio e bestemmie, chiedendo "come si fa ad amare la matematica?". Secondo te sarebbe stato produttivo rispondere? Tutti i membri del forum hanno agito nel miglior modo possibile, un utente lo ha segnalato, i topic sono stati eliminati ed il tizio bannato. Questo è quello che io faccio mentalmente ogni volta che vedo un politico aprir bocca, ad esempio.
"LLello":
Diciamo che in questa discussione non sono io il sofista.
Però sei libero di scrivere contraddizioni e incolpare di sofismo chi te le rileva: classico del sofista argomentare ad hominem, etichettando i non sofisti come sofisti senza alcuna argomentazione.
Come credi.
Direi di chiuderla qui, abbiamo sprecato abbastanza tempo, e quello che avevo da dire l'ho detto. Per quanto mi riguarda, se non capisci, dal momento che il sale in zucca per fare il sofista ce l'hai, vuol dire che non hai prestato abbastanza attenzione a quello che ho scritto o che parti da delle conoscenze troppo lacunose per affrontare questo argomento, nel qual caso ti consiglio di rileggere il topic dopo aver studiato da un buon testo di Algebra.
Non scriverò più una risposta così lunga, neanche in caso di provocazioni, primo perché ho risposto in maniera esaustiva, secondo perché ho degli esami da dare e preferisco spendere il mio tempo a colmare la mia ignoranza piuttosto che a colmare la tua.
Ciao.
EDIT mentre scrivevo c'è stato lo scambio di battute con Delirium (che ringrazio molto per il complimento), che ha scritto quanto stavo scrivendo anch'io sulle relazioni d'ordine e sulle biezioni, non mi sono messo a correggere perché avevo scritto troppo e rischiavo di fare un casino.
@LLello non risponderò alle nuove questioni che hai sollevato, hai tutti gli elementi per risponderti da solo.
@LLello non risponderò alle nuove questioni che hai sollevato, hai tutti gli elementi per risponderti da solo.
Ti sei permesso di offendermi quando da me non è uscita una sola parola offensiva nei tuoi confronti e di questo dovresti vergognarti, e stai tranquillo che non otterrai nemmeno un insulto nonostante le tue provocazioni. Socrate diceva: non può danneggiarmi una persona inferiore. Per me chi offende è una persona inferiore, e tu sei una persona che offende.
Per il resto continui a non rispondermi.
passo passo, piano piano, vedi che capisci quello che ti voglio dire, e non è in senso ironico, poiché ho postato la mia domanda in scuola secondaria nonostante io studi Filosofia alla Sapienza con un'ottima media solo perché non mi ritengo abbastanza competente da permettermi di postare una mia stupida domanda nella sezione universitaria, dove c'è gente che ha altro tempo da perdere che dietro a me, ma tu puoi continuare ad offendere tranquillamente; non ho la competenza per essere ironico in questo settore: filosoficamente posso prenderti per il culo dalla mattina alla sera, COSA CHE NON MI PIACE FARE, ma qui non mi azzardo.
Complimenti per il tuo atteggiamento da menefreghista nei confronti dei ragionamenti altrui: ignori perché non sai rispondere? o perché sei frustrato dal fatto che la matematica è mal vista dagli altri? È a causa della gente come te che le persone non si riescono ad avvicinare a questa materia. Questo fortunatamente non vale per me, che sono di tutt'altra pasta tranquillo, anzi più ti ci metti tignoso e più sbatti il grugno con me.
Quindi riprendendo senza andare off topic.
Abbiamo detto che tutti gli insiemi sono ben ordinabili ma non tutti sono ben ordinati "naturalmente". Per quanto mi riguarda possiamo legittimamente pensare di avere davanti tutti gli insiemi che vuoi tu e di averli ben ordinati. dunque abbiamo l'insieme $RR$ ben ordinato, supposizione legittima anche se ancora non scoperta. Ora $RR$ è ben ordinato perché abbiamo stabilito un minimo e... chi dice che una volta ben ordinato quegli elementi non possano essere messi in biezione con $NN$?Tu puoi assicurarmelo, non credo, poiché necessiti del buon ordinamento di $RR$,ma l'unica cosa che sai è che $RR$ è ben ordinabile.
Infatti ogni insieme ha implicitamente una relazione d'ordine quando lo consideriamo giusto? Noi consideriamo ora quella relazione d'ordine di $RR$ che ci permette di rendere $RR$ ben ordinato, tale relazione esiste, anche se non è stata ancora trovata.
abbiamo anche detto che gli elementi di un insieme di per sé non sono mai ordinati se io non stabilisco una relazione d'ordine. E poi abbiamo detto che tale relazione d'ordine ordina gli insiemi e, se voglio vedere se questo insieme è numerabile, prendo gli elementi di questo insieme e trovo una funzione che li metta in corrispondenza biunivoca con l'insieme $NN$:perciò è una cosa che faccio a posteriori una volta DEFINITA la relazione d'ordine che io sto considerando per quell'insieme. E dunque se tu non possiedi quella relazione d'ordine tale che mi renda $RR$ ben ordinato allora non mi puoi dire se per quella relazione d'ordine $RR$ non sia anche numerabile: ma ripeto dimmi se sto sbagliando: è importante.
E poi ti sei permesso di sparlare a sproposito mentre tutto ciò che io ho fatto è stato rilevare che tu hai detto che il principio di induzione è estendibile a tutti gli insiemi. Su questo dato allora è POSSIBILE che io prenda $RR$ con il nuovo buon ordinamento, dedurre il principio di buon ordinamento e far valere anche gli altri assiomi, poiché il principio d'induzione ( occhio, non il principio di induzione transfinita) non ha assolutamente senso senza gli altri assiomi. E tutto questo ha reso possibile vedere come $RR$ possa essere numerabile. Ma se il principio d'induzione è valido solo per $NN$ è tutto un altro paio di maniche Epimenide93.
Buona risposta
Per il resto continui a non rispondermi.
passo passo, piano piano, vedi che capisci quello che ti voglio dire, e non è in senso ironico, poiché ho postato la mia domanda in scuola secondaria nonostante io studi Filosofia alla Sapienza con un'ottima media solo perché non mi ritengo abbastanza competente da permettermi di postare una mia stupida domanda nella sezione universitaria, dove c'è gente che ha altro tempo da perdere che dietro a me, ma tu puoi continuare ad offendere tranquillamente; non ho la competenza per essere ironico in questo settore: filosoficamente posso prenderti per il culo dalla mattina alla sera, COSA CHE NON MI PIACE FARE, ma qui non mi azzardo.
Complimenti per il tuo atteggiamento da menefreghista nei confronti dei ragionamenti altrui: ignori perché non sai rispondere? o perché sei frustrato dal fatto che la matematica è mal vista dagli altri? È a causa della gente come te che le persone non si riescono ad avvicinare a questa materia. Questo fortunatamente non vale per me, che sono di tutt'altra pasta tranquillo, anzi più ti ci metti tignoso e più sbatti il grugno con me.
Quindi riprendendo senza andare off topic.
Abbiamo detto che tutti gli insiemi sono ben ordinabili ma non tutti sono ben ordinati "naturalmente". Per quanto mi riguarda possiamo legittimamente pensare di avere davanti tutti gli insiemi che vuoi tu e di averli ben ordinati. dunque abbiamo l'insieme $RR$ ben ordinato, supposizione legittima anche se ancora non scoperta. Ora $RR$ è ben ordinato perché abbiamo stabilito un minimo e... chi dice che una volta ben ordinato quegli elementi non possano essere messi in biezione con $NN$?Tu puoi assicurarmelo, non credo, poiché necessiti del buon ordinamento di $RR$,ma l'unica cosa che sai è che $RR$ è ben ordinabile.
Infatti ogni insieme ha implicitamente una relazione d'ordine quando lo consideriamo giusto? Noi consideriamo ora quella relazione d'ordine di $RR$ che ci permette di rendere $RR$ ben ordinato, tale relazione esiste, anche se non è stata ancora trovata.
abbiamo anche detto che gli elementi di un insieme di per sé non sono mai ordinati se io non stabilisco una relazione d'ordine. E poi abbiamo detto che tale relazione d'ordine ordina gli insiemi e, se voglio vedere se questo insieme è numerabile, prendo gli elementi di questo insieme e trovo una funzione che li metta in corrispondenza biunivoca con l'insieme $NN$:perciò è una cosa che faccio a posteriori una volta DEFINITA la relazione d'ordine che io sto considerando per quell'insieme. E dunque se tu non possiedi quella relazione d'ordine tale che mi renda $RR$ ben ordinato allora non mi puoi dire se per quella relazione d'ordine $RR$ non sia anche numerabile: ma ripeto dimmi se sto sbagliando: è importante.
E poi ti sei permesso di sparlare a sproposito mentre tutto ciò che io ho fatto è stato rilevare che tu hai detto che il principio di induzione è estendibile a tutti gli insiemi. Su questo dato allora è POSSIBILE che io prenda $RR$ con il nuovo buon ordinamento, dedurre il principio di buon ordinamento e far valere anche gli altri assiomi, poiché il principio d'induzione ( occhio, non il principio di induzione transfinita) non ha assolutamente senso senza gli altri assiomi. E tutto questo ha reso possibile vedere come $RR$ possa essere numerabile. Ma se il principio d'induzione è valido solo per $NN$ è tutto un altro paio di maniche Epimenide93.
Buona risposta
Sarò sintetico.
Argomento diagonale di Cantor. Di nuovo: le relazioni d'ordine non c'entrano, visto che non stiamo parlando di isomorfismi d'ordine.
Stai sbagliando. Leggi la definizione di equipotenza: vedi assunzioni fatte sugli insiemi?
Aggiungo una cosa sull'induzione transfinita: forse, e sottolineo forse, la confusione nasce dall'aver considerato l'induzione transfinita come "un'induzione semplice ma per tutti gli insiemi", cosa che invero è falsa. Il principio di induzione transfinita è un principio strettamente più forte del principio di induzione: ci sono infatti dei teoremi (cfr. Teorema di Goodstein) che possono essere dimostrati mediante induzione transfinita, ma non mediante induzione semplice.
"LLello":Non è una supposizione. Sia infatti \(\mathbb{R}\), e sia \(\le\) un buon ordinamento per \(\mathbb{R}\); \(\le\) esiste in virtù del Teorema di Zermelo. Ergo \((\mathbb{R},\le)\) è bene ordinato. L'unica cosa che non so è come \(\le\) sia fatta, ma spesso ai matematici questo non importa.
[...] dunque abbiamo l'insieme $RR$ ben ordinato, supposizione legittima anche se ancora non scoperta. [...]
"LLello":
[...] Ora $RR$ è ben ordinato perché abbiamo stabilito un minimo e... chi dice che una volta ben ordinato quegli elementi non possano essere messi in biezione con $NN$? [...]
Argomento diagonale di Cantor. Di nuovo: le relazioni d'ordine non c'entrano, visto che non stiamo parlando di isomorfismi d'ordine.
"LLello":No, sbagliato. Se fosse vero, ogni insieme sarebbe un poset (Partially Ordered Set).
[...] Infatti ogni insieme ha implicitamente una relazione d'ordine quando lo consideriamo giusto? [...]
"LLello":
[...] Noi consideriamo ora quella relazione d'ordine di $RR$ che ci permette di rendere $RR$ ben ordinato, tale relazione esiste, anche se non è stata ancora trovata.
abbiamo anche detto che gli elementi di un insieme di per sé non sono mai ordinati se io non stabilisco una relazione d'ordine. E poi abbiamo detto che tale relazione d'ordine ordina gli insiemi e, se voglio vedere se questo insieme è numerabile, prendo gli elementi di questo insieme e trovo una funzione che li metta in corrispondenza biunivoca con l'insieme $NN$:perciò è una cosa che faccio a posteriori una volta DEFINITA la relazione d'ordine che io sto considerando per quell'insieme. E dunque se tu non possiedi quella relazione d'ordine tale che mi renda $RR$ ben ordinato allora non mi puoi dire se per quella relazione d'ordine $RR$ non sia anche numerabile: ma ripeto dimmi se sto sbagliando: è importante. [...]
Stai sbagliando. Leggi la definizione di equipotenza: vedi assunzioni fatte sugli insiemi?
Aggiungo una cosa sull'induzione transfinita: forse, e sottolineo forse, la confusione nasce dall'aver considerato l'induzione transfinita come "un'induzione semplice ma per tutti gli insiemi", cosa che invero è falsa. Il principio di induzione transfinita è un principio strettamente più forte del principio di induzione: ci sono infatti dei teoremi (cfr. Teorema di Goodstein) che possono essere dimostrati mediante induzione transfinita, ma non mediante induzione semplice.
Ragazzi... ho mal di testa!
Vi ho seguito con molto interesse, appena riesco a riprendermi intervengo.
Riguardo il mezzo flame, non credo affatto che LLello sia un troll, anzi il suo punto di vista mi interessa molto.
Dici di studiare filosofia, a che punto sei?
Vi ho seguito con molto interesse, appena riesco a riprendermi intervengo.
Riguardo il mezzo flame, non credo affatto che LLello sia un troll, anzi il suo punto di vista mi interessa molto.
Dici di studiare filosofia, a che punto sei?
[ot]Possiamo lasciare da parte le questioni personali, per favore? Siamo in un forum di Matematica, parliamo di Matematica.[/ot]
"LLello":
Ti sei permesso di offendermi quando da me non è uscita una sola parola offensiva nei tuoi confronti
Dal momento che mi sono scaldato è anche possibile che sia sembrato offensivo; rileggendo non mi sembra di esserlo stato, almeno non ho offeso te come persona, ritengo idiozie quelle che hai scritto, non ritengo te un idiota. L'unica parola offensiva presente nel mio post è "rognoso", che se non fosse chiaro è riferito all'atteggiamento e non alla persona. Sarebbe stato più opportuno "piantagrane", ma in quel momento il vocabolo non mi sovveniva. Nella prima versione della risposta era presente una leggera provocazione che ho ritenuto inopportuna ed ho rimosso subito. In ogni caso se trovi il mio intervento offensivo, me ne scuso, non era mia intenzione offenderti. Era mia intenzione farti capire che mi hai esacerbato, perché è così.
La soglia oltre la quale una persona si sente offesa è soggettiva, tu sei di fatto stato offensivo quando mi hai accusato di preferire soluzioni errate e facili, e più volte nell'ultimo intervento. Se si mette in dubbio la mia onestà metodica tendo a prendermela seriamente.
Detto ciò, per quanto mi riguarda il topic è degenerato fin troppo (e riconosco che sia anche colpa mia). Ritengo che le risposte alle nuove questioni matematiche sollevate da LLello siano presenti nei post precedenti sia miei che di Delirium, quindi non ho nient'altro da aggiungere a tal proposito. Portare avanti la scaramuccia non giova né a me, né a LLello né al forum. Dunque, prima di peggiorare ulteriormente la situazione, me ne tiro fuori.
Saluti.
Con l'argomento di Cantor mi hai fatto capire a meraviglia grazie Delirium: la definizione di un insieme si basa su una relazione d'equivalenza e non su una relazione d'ordine!
Ora ho capito che le relazioni d'ordine non centrano niente, ma centrano le relazioni d'equivalenza: per quanto possa ordinare $RR$ essendo gli elementi di $RR$ definiti da una relazione d'equivalenza comunque esso non sarà numerabile.
Il che si accorda splendidamente col fatto che il principio d'induzione non valga solo per insieme $RR$.
Due problemi: da quello che ho potuto vedere gli assiomi di Peano non si applicano solo ad $NN$, ma anche ad altri insiemi che che possono essere ( ma forse è solo casuale?) messi in biezione con $NN$ La mia domanda è: allora su $ZZ$ e su $QQ$ si utilizza l'induzione transfinita o l'induzione? e perché?
Un problema però sorge ulteriormente.
Alcuni matematici non riconoscono la dimostrazione di Cantor perché non è costruttiva: in matematica o è corretto oppure non è corretto: questione di gusti? Chi ha ragione?
Ma soprattutto: chi mi consiglio un buon libro di analisi universitaria? Avevo visto il Prodi, che ne pensate?
Guarda Epimenide93 non c'è bisogno che scrivi di non esser stato offensivo, perché basta rileggere.
Hai iniziato un post dicendo che palle quando devi rispondermi: sai questo cosa vuol dire? Che non hai risposto per amor di risposta ma solo per fare il saccente: sei ridicolo te lo dico tranquillamente.
Hai accusato me di sofismo quando non ho fatto nient'altro che citare ciò che hai scritto e facendo domande? Ma parli a casaccio e per coincidenza cosmica le tue parole sembrano frasi di italiano? Tu credi che la gente per fare il sofista si metta a scrivere su un post di matematica? Ma tu hai gravi paranoie mio caro.
La reductio ad absurdum non è un sofismo! e tu dovresti sapere che non si dice assurdo perché "porta ad estreme conseguenze un discorso e lo fa sembrare falso" ma perché giunge ad una contraddizione, ed è assurdo che un discorso possa poggiare su premesse che portino a contraddizione.
In matematica è sempre possibile, in una teoria formale sull'aritmetica, giungere ad una contraddizione partendo da determinati assiomi, poiché non si può dimostrare la verità di questi.
"rognoso"
"quanto sei carino:D ti posso adottare?" che hai cancellato e mi hai chiesto scusa per messaggio privato, pensa che vigliacco!
e insisti su questa storia che ti ho detto che un matematico deve fare cose corrette e non cose semplici che possono essere sbagliate: io ho scritto questo perché hai dovuto fare una menata sul fatto che è difficile applicare il principio di induzione su $ZZ$,(oltretutto sbagliando!!), come se avessi scritto essere mia intenzione farlo.
Non contento hai voluto pretendere di conoscermi e di darmi consiglio(consiglio su cosa? e con quei modi?con aria di sfida?ma hai mai dato un consiglio a una persona? Forse ti sei scordato come si fa) quando ciò che devi fare è rispondere a ciò che ti ho domandato e se TI VA, SE VUOI! cosa che hai mostrato essere falsa con quel "che palle".
Come vedi non ti ho offeso e perché ripeto che per me non conta nulla chi si comporta in questo modo, e le parole di offesa che escono dalla bocca di questi poveri uomini.
Saluti e non riprendiamo questa discussione off topic perché sei insalvabile! Oltretutto hai creato una confusione anche matematicamente, e io sono uno che le cose le capisce al volo. Un insegnate deve essere capace di rilevare le difficoltà dell'alunno e di essere il più chiaro possibile, non sbagliare e confodergli le idee. Credi che sarebbe nato tutto questo casino se non avessi detto che su $RR$ è valido il principio d'induzione?
Delirium puoi rispondere alle domande che ti ho fatto sopra? Grazie
Ora ho capito che le relazioni d'ordine non centrano niente, ma centrano le relazioni d'equivalenza: per quanto possa ordinare $RR$ essendo gli elementi di $RR$ definiti da una relazione d'equivalenza comunque esso non sarà numerabile.
Il che si accorda splendidamente col fatto che il principio d'induzione non valga solo per insieme $RR$.
Due problemi: da quello che ho potuto vedere gli assiomi di Peano non si applicano solo ad $NN$, ma anche ad altri insiemi che che possono essere ( ma forse è solo casuale?) messi in biezione con $NN$ La mia domanda è: allora su $ZZ$ e su $QQ$ si utilizza l'induzione transfinita o l'induzione? e perché?
Un problema però sorge ulteriormente.
Alcuni matematici non riconoscono la dimostrazione di Cantor perché non è costruttiva: in matematica o è corretto oppure non è corretto: questione di gusti? Chi ha ragione?
Ma soprattutto: chi mi consiglio un buon libro di analisi universitaria? Avevo visto il Prodi, che ne pensate?
Guarda Epimenide93 non c'è bisogno che scrivi di non esser stato offensivo, perché basta rileggere.
Hai iniziato un post dicendo che palle quando devi rispondermi: sai questo cosa vuol dire? Che non hai risposto per amor di risposta ma solo per fare il saccente: sei ridicolo te lo dico tranquillamente.
Hai accusato me di sofismo quando non ho fatto nient'altro che citare ciò che hai scritto e facendo domande? Ma parli a casaccio e per coincidenza cosmica le tue parole sembrano frasi di italiano? Tu credi che la gente per fare il sofista si metta a scrivere su un post di matematica? Ma tu hai gravi paranoie mio caro.
La reductio ad absurdum non è un sofismo! e tu dovresti sapere che non si dice assurdo perché "porta ad estreme conseguenze un discorso e lo fa sembrare falso" ma perché giunge ad una contraddizione, ed è assurdo che un discorso possa poggiare su premesse che portino a contraddizione.
In matematica è sempre possibile, in una teoria formale sull'aritmetica, giungere ad una contraddizione partendo da determinati assiomi, poiché non si può dimostrare la verità di questi.
"rognoso"
"quanto sei carino:D ti posso adottare?" che hai cancellato e mi hai chiesto scusa per messaggio privato, pensa che vigliacco!
e insisti su questa storia che ti ho detto che un matematico deve fare cose corrette e non cose semplici che possono essere sbagliate: io ho scritto questo perché hai dovuto fare una menata sul fatto che è difficile applicare il principio di induzione su $ZZ$,(oltretutto sbagliando!!), come se avessi scritto essere mia intenzione farlo.
Non contento hai voluto pretendere di conoscermi e di darmi consiglio(consiglio su cosa? e con quei modi?con aria di sfida?ma hai mai dato un consiglio a una persona? Forse ti sei scordato come si fa) quando ciò che devi fare è rispondere a ciò che ti ho domandato e se TI VA, SE VUOI! cosa che hai mostrato essere falsa con quel "che palle".
Come vedi non ti ho offeso e perché ripeto che per me non conta nulla chi si comporta in questo modo, e le parole di offesa che escono dalla bocca di questi poveri uomini.
Saluti e non riprendiamo questa discussione off topic perché sei insalvabile! Oltretutto hai creato una confusione anche matematicamente, e io sono uno che le cose le capisce al volo. Un insegnate deve essere capace di rilevare le difficoltà dell'alunno e di essere il più chiaro possibile, non sbagliare e confodergli le idee. Credi che sarebbe nato tutto questo casino se non avessi detto che su $RR$ è valido il principio d'induzione?
Delirium puoi rispondere alle domande che ti ho fatto sopra? Grazie
"LLello":
[...] Due problemi: da quello che ho potuto vedere gli assiomi di Peano non si applicano solo ad $NN$, ma anche ad altri insiemi che che possono essere ( ma forse è solo casuale?) messi in biezione con $NN$ La mia domanda è: allora su $ZZ$ e su $QQ$ si utilizza l'induzione transfinita o l'induzione? e perché? [...]
Qui c'è confusione. Gli assiomi di Peano non "si applicano", bensì sono stati utilizzati per definire assiomaticamente quell'insieme che noi denotiamo con \(\mathbb{N}\), che è per l'appunto l'insieme dei numeri naturali. \(\mathbb{N}\) è il modello di questa teoria assiomatica, visto che ogni altro modello costruibile a partire dagli assiomi di Peano è isomorfo ad \(\mathbb{N}\). Quindi la mia risposta (da verificare!) è: si usa induzione semplice su \(\mathbb{N}\) ed induzione transfinita sugli altri.
"LLello":
[...] Alcuni matematici non riconoscono la dimostrazione di Cantor perché non è costruttiva: in matematica o è corretto oppure non è corretto: questione di gusti? Chi ha ragione? [...]
Si tratta fondamentalmente di punti di vista ( - la logica costruttivista fa a meno di "oggetti infiniti", del principio del terzo escluso etc...). Sembra che l'Analisi tradizionale, fatte le giuste assunzioni, si possa riscrivere in "termini costruttivisti" - il lavoro credo sia di un tal Bishop. A riguardo so poco altro.
"LLello":Per sentito dire, è un ottimo testo. Io personalmente ti consiglierei il classico Che cos'è la Matematica? di Courant & Robbins, Dagli insiemi ai numeri di Gabriele Lolli e questa dispensa.
[...] Ma soprattutto: chi mi consiglio un buon libro di analisi universitaria? Avevo visto il Prodi, che ne pensate? [...]
[xdom="vict85"]Da moderatore di questa sezione vi invito a bloccare immediatamente il diverbio oppure sarò costretto ad intervenire, eventualmente bloccando la discussione.[/xdom]
Detto questo non ho letto tutta la discussione ma direi che il principio di induzione vale su qualsiasi insieme che possa essere messo in relazione biunivoca con \(\mathbb{N}\). Ovvio che la cosa non è affatto semplice nel caso in cui non esista una formula esplicita che associ \(f(n)\) a \(f(n+1)\). Per fare un esempio si può usare il principio di induzione per dimostrare che una particolare successione ricorsiva rispetta una particolare formula esplicita. Quindi la risposta alla tua domanda è no per certi versi e sì per altri (ogni insieme isomorfo all'insieme dei numeri naturale con l'usuale ordine è indistinguibile da quest'ultimo nella teoria degli insiemi ordinati ma non al di fuori di essa). Quindi tutto dipende da cosa intendi.
Detto questo non ho letto tutta la discussione ma direi che il principio di induzione vale su qualsiasi insieme che possa essere messo in relazione biunivoca con \(\mathbb{N}\). Ovvio che la cosa non è affatto semplice nel caso in cui non esista una formula esplicita che associ \(f(n)\) a \(f(n+1)\). Per fare un esempio si può usare il principio di induzione per dimostrare che una particolare successione ricorsiva rispetta una particolare formula esplicita. Quindi la risposta alla tua domanda è no per certi versi e sì per altri (ogni insieme isomorfo all'insieme dei numeri naturale con l'usuale ordine è indistinguibile da quest'ultimo nella teoria degli insiemi ordinati ma non al di fuori di essa). Quindi tutto dipende da cosa intendi.
"vict85":
Detto questo non ho letto tutta la discussione ma direi che il principio di induzione vale su qualsiasi insieme che possa essere messo in relazione biunivoca con \(\mathbb{N}\). [...]
Sei sicuro che sia sufficiente una condizione così debole?
Ragazzi così non fate altro che confondermi le idee:vi rendete conto che non si possono dare risposte contraddittorie in questo modo?
Quindi su $ZZ$ e $QQ$, che non sono costruiti con gli assiomi di Peano vale l'induzione transifinita e non vale l'induzione semplice.
Ma poi
$ZZ$ e $QQ$ sono proprio degli insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con $NN$, perciò varrebbe l'induzione semplice. E questo è in contraddizione con ciò che ha scritto Delirium.
Inoltre dopo c'è scritto che la risposta è sì e no: non vuol dire niente così, potresti essere più preciso vict85? grazie
Non vi arrabbiate ma è il caso che oltre a rispondere a me cerchiate di rispondere anche agli altri utenti che mi rispondono, perché date risposte contraddittorie.
"Delirium":
si usa induzione semplice su N ed induzione transfinita sugli altri.
Quindi su $ZZ$ e $QQ$, che non sono costruiti con gli assiomi di Peano vale l'induzione transifinita e non vale l'induzione semplice.
Ma poi
"vict85":
Detto questo non ho letto tutta la discussione ma direi che il principio di induzione vale su qualsiasi insieme che possa essere messo in relazione biunivoca con N
$ZZ$ e $QQ$ sono proprio degli insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con $NN$, perciò varrebbe l'induzione semplice. E questo è in contraddizione con ciò che ha scritto Delirium.
Inoltre dopo c'è scritto che la risposta è sì e no: non vuol dire niente così, potresti essere più preciso vict85? grazie
Non vi arrabbiate ma è il caso che oltre a rispondere a me cerchiate di rispondere anche agli altri utenti che mi rispondono, perché date risposte contraddittorie.
"LLello":
Ragazzi così non fate altro che confondermi le idee:vi rendete conto che non si possono dare risposte contraddittorie in questo modo?
[quote="Delirium"] si usa induzione semplice su N ed induzione transfinita sugli altri.
Quindi su $ZZ$ e $QQ$, che non sono costruiti con gli assiomi di Peano vale l'induzione transifinita e non vale l'induzione semplice. [...][/quote]
Tra parentesi ho scritto "da verificare!", ché non ero (e non sono) sicuro fosse(/sia) sufficiente l'equipotenza. E' un fatto che andrebbe dimostrato, ma al momento non saprei come farlo. Aspetto anche io delucidazioni - rimangono ovviamente valide tutte le altre osservazioni che ho fatto.
Segnalo:
http://www.proofwiki.org/wiki/Real_Numb ... ncountable
che personalmente ho trovato estremamente utile.
http://www.proofwiki.org/wiki/Real_Numb ... ncountable
che personalmente ho trovato estremamente utile.
"gio73":
Ragazzi... ho mal di testa!
Vi ho seguito con molto interesse, appena riesco a riprendermi intervengo.
Idem, piuttosto inizio a non capirci più un tubo e mi sono perso tempo fa. Però non credo che interverrò in futuro perché sono abbastanza entry level in questi argomenti e sarei dannoso più che utile: avevo iniziato a rispondere perché, effettivamente, trovando una discussione sull'induzione nella secondaria di secondo grado non credevo si iniziasse a parlare dell'esistenza di entità soprannaturali (non ci manca molto
).Però, scherzi a parte, torno serio e faccio una piccola domanda. La getto un po' nel mucchio ed è un "ho capito bene?": si riferisce a quanto sto per dire riguardo all'interpretazione di queste parole.
"vict85":
direi che il principio di induzione vale su qualsiasi insieme che possa essere messo in relazione biunivoca con \( \mathbb{N} \). [...] Quindi la risposta alla tua domanda è no per certi versi e sì per altri (ogni insieme isomorfo all'insieme dei numeri naturale con l'usuale ordine è indistinguibile da quest'ultimo nella teoria degli insiemi ordinati ma non al di fuori di essa).
Il punto è questo, allora.
In teoria posso utilizzare l'induzione in ogni insieme numerabile, sia esso $\QQ$ o $\NN^2$ o qualsiasi altro insieme in corrispondenza biunivoca con $\NN$.
In pratica è impossibile usarla semplicemente perché è difficile trovare corrispondenze biunivoche interessanti o, comunque, che consentono di essere sfruttate adeguatamente per varie ragioni (es. se passo da $n$ a $n+1$ nei naturali, magari in $\QQ$ salto da palo in frasca in modo assurdo tramite la corrispondenza).
"Delirium":
[quote="vict85"]Detto questo non ho letto tutta la discussione ma direi che il principio di induzione vale su qualsiasi insieme che possa essere messo in relazione biunivoca con \(\mathbb{N}\). [...]
Sei sicuro che sia sufficiente una condizione così debole?[/quote]
Perché non dovrebbe? Se \(\displaystyle f\colon \mathbb{N}\to X \) è una funzione biunivoca (probabilmente anche solamente suriettiva se si fa attenzione) puoi applicare l'induzione su \(\displaystyle f(X) \) perché di fatto la stai facendo su \(\displaystyle \mathbb{N} \). Semplicemente quello che fai è invece di testare la proprietà \(\displaystyle P \) su \(\displaystyle f(X) \) dimostri la proprietà \(\displaystyle P_f \) su \(\displaystyle \mathbb{N} \). Dove \(\displaystyle P_f(n) = P(f(n)) \). Non mi sembra nulla di particolare.
È evidente che seppur tu stia di fatto controllando che \(\displaystyle f(X) \) possieda la proprietà \(\displaystyle P \), stai di fatto usando la proprietà induttiva per dimostrare \(\displaystyle P_f \) su \(\displaystyle \mathbb{N} \). Non so se mi sono spiegato. La difficoltà sta però nel riuscire a passare da \(\displaystyle P_f(n+1) \) a \(\displaystyle P_f(n) \), cosa non sempre proprio immediata.
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