Numeri primi: regolarità e possibile dimostrazione della congettura dei gemelli
Salve a tutti, da alcuni mesi sto cercando di verificare il contenuto di una mia ricerca sui numeri primi.
Ho inserito su youtube un video in cui spiego in modo esteso tutto il lavoro ma essendo abbastanza lungo scoraggia (se non vi spaventano 1h25 potete cercare "Piergiorgio D'Ercoli" e nel mio canale c'è un video chiamato "numeri primi"). Come nell'oggetto del post ho individuato ciò che ritengo essere la regolarità alla base dei primi e con essa un attacco alla congettura dei primi gemelli che credo corretto e che sto appunto cercando di far valutare.
Tutto il mio lavoro ovviamente richiederebbe un post lunghissimo per il contesto quindi ho deciso di dividerlo in tappe e se qualche utente vuole divertirsi a valutarlo individuando eventuali errori che lo invalidano ne sono felice. Posterò via via tutti i passaggi man mano che sono verificati veri.
Ho inserito su youtube un video in cui spiego in modo esteso tutto il lavoro ma essendo abbastanza lungo scoraggia (se non vi spaventano 1h25 potete cercare "Piergiorgio D'Ercoli" e nel mio canale c'è un video chiamato "numeri primi"). Come nell'oggetto del post ho individuato ciò che ritengo essere la regolarità alla base dei primi e con essa un attacco alla congettura dei primi gemelli che credo corretto e che sto appunto cercando di far valutare.
Tutto il mio lavoro ovviamente richiederebbe un post lunghissimo per il contesto quindi ho deciso di dividerlo in tappe e se qualche utente vuole divertirsi a valutarlo individuando eventuali errori che lo invalidano ne sono felice. Posterò via via tutti i passaggi man mano che sono verificati veri.
Risposte
IPOTESI
tutti i numeri discreti possono essere rappresentati con figure geometriche che ci consentono di associare il concetto di quantità numerica a delle forme omogenee.
La figura che più aiuta a contare (ma anche a fare calcoli se si pensa alla tabellina pitagorica) è il quadrato.
In essa ho cercato la chiave di lettura per i primi gemelli. Già nel quadrato esistono rapporti che si riconducono alle sequenze in N come ad esempio la sommatoria di tutti i dispari che equivale alla sequenza di tutti i quadrati di interi.
Ho quindi pensato che la differenza di due quadrati fosse una sorta di fotogramma dell'espansione dei quadrati e che potesse aiutare a comprendere come "nascono" i numeri trovando una regolarità: la differenza fra quadrati con lato un numero primo > 3 è sempre un numero divisibile per 24.
Questo è sempre verificato e lo si può fare in vari modi.
Dati $a$ e $b$ due numeri primi > 3 con $a>b$ si ha che
$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$
dato che $a$ e $b$ sono primi > 3 si ha che
1) $(a+b)$ è pari
2) $(a-b)$ è pari
3) uno fra $(a+b)$ e $(a-b)$ è necessariamente multiplo di 3
4) uno fra $(a+b)$ e $(a-b)$ è necessariamente multiplo di 4
Ponendo l'attenzione solo sui primi gemelli si ha che
1. $(b+2)^2-b^2 = 24n$
2. $(b^2+4b+4)-b^2 = 24n$
3. $4b+4=24n$
4. $4(b+1) = 24n$
5. $(b+1)= 6n)$
6. $b= 6n-1$
7. $a= 6n+1$
tutti i primi gemelli sono infatti nella forma $6n±1$ e in generale tutti i primi sono o nella forma 6n-1 o nella forma 6n+1.
Ho individuato allora tutti i "non primi" nella sequenza $6n±1$ riscontrando che questi sono composti in queste quattro possibili combinazioni:
tutti i composti di $6n-1$:
a1. $(6n-1)(6y-1)$
a2. $(6n-1)(6y+1)$
tutti i composti di $6n+1$
b1. $(6n+1)(6y-1)$
b2. $(6n+1)(6y+1)$
dato che tutte le possibili combinazioni sopra riconducono a loro volta ad un numero nella forma $6n±1$ ho isolato le forme numeriche corrispondenti ai valori di $n$ che restituiscono i composti nelle rispettive combinazioni:
$n$ corrispondenti a tutti i composti di $6n-1$:
a1x. $(6n-1)y-n$
a2x. $(6n-1)y+n$
$n$ corrispondenti a tutti i composti di $6n+1$:
b1x. $(6n+1)y-n$
b2x. $(6n+1)y+n$
credo di aver messo sufficiente carne al fuoco e spero di aver suscitato l'interesse di qualche utente. Tutti questi passaggi in una forma simile o analoga li ho affrontati con gli utenti @axpgn e @Zero87 nel post aperto da @MarcoDF "Alla ricerca dei primi" e ho fatto una sintesi anche perché sono aspetti in qualche modo già noti o banali. Ciò che non ho mai riscontrato invece sono le forme numeriche che producono tutti gli $n$ che in $6n±1$ restituiscono valori composti e non primi .
Ho deciso di proseguire in un post dedicato per non sovrappormi alle domande di @MarcoDF
un saluto
tutti i numeri discreti possono essere rappresentati con figure geometriche che ci consentono di associare il concetto di quantità numerica a delle forme omogenee.
La figura che più aiuta a contare (ma anche a fare calcoli se si pensa alla tabellina pitagorica) è il quadrato.
In essa ho cercato la chiave di lettura per i primi gemelli. Già nel quadrato esistono rapporti che si riconducono alle sequenze in N come ad esempio la sommatoria di tutti i dispari che equivale alla sequenza di tutti i quadrati di interi.
Ho quindi pensato che la differenza di due quadrati fosse una sorta di fotogramma dell'espansione dei quadrati e che potesse aiutare a comprendere come "nascono" i numeri trovando una regolarità: la differenza fra quadrati con lato un numero primo > 3 è sempre un numero divisibile per 24.
Questo è sempre verificato e lo si può fare in vari modi.
Dati $a$ e $b$ due numeri primi > 3 con $a>b$ si ha che
$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$
dato che $a$ e $b$ sono primi > 3 si ha che
1) $(a+b)$ è pari
2) $(a-b)$ è pari
3) uno fra $(a+b)$ e $(a-b)$ è necessariamente multiplo di 3
4) uno fra $(a+b)$ e $(a-b)$ è necessariamente multiplo di 4
Ponendo l'attenzione solo sui primi gemelli si ha che
1. $(b+2)^2-b^2 = 24n$
2. $(b^2+4b+4)-b^2 = 24n$
3. $4b+4=24n$
4. $4(b+1) = 24n$
5. $(b+1)= 6n)$
6. $b= 6n-1$
7. $a= 6n+1$
tutti i primi gemelli sono infatti nella forma $6n±1$ e in generale tutti i primi sono o nella forma 6n-1 o nella forma 6n+1.
Ho individuato allora tutti i "non primi" nella sequenza $6n±1$ riscontrando che questi sono composti in queste quattro possibili combinazioni:
tutti i composti di $6n-1$:
a1. $(6n-1)(6y-1)$
a2. $(6n-1)(6y+1)$
tutti i composti di $6n+1$
b1. $(6n+1)(6y-1)$
b2. $(6n+1)(6y+1)$
dato che tutte le possibili combinazioni sopra riconducono a loro volta ad un numero nella forma $6n±1$ ho isolato le forme numeriche corrispondenti ai valori di $n$ che restituiscono i composti nelle rispettive combinazioni:
$n$ corrispondenti a tutti i composti di $6n-1$:
a1x. $(6n-1)y-n$
a2x. $(6n-1)y+n$
$n$ corrispondenti a tutti i composti di $6n+1$:
b1x. $(6n+1)y-n$
b2x. $(6n+1)y+n$
credo di aver messo sufficiente carne al fuoco e spero di aver suscitato l'interesse di qualche utente. Tutti questi passaggi in una forma simile o analoga li ho affrontati con gli utenti @axpgn e @Zero87 nel post aperto da @MarcoDF "Alla ricerca dei primi" e ho fatto una sintesi anche perché sono aspetti in qualche modo già noti o banali. Ciò che non ho mai riscontrato invece sono le forme numeriche che producono tutti gli $n$ che in $6n±1$ restituiscono valori composti e non primi .
Ho deciso di proseguire in un post dedicato per non sovrappormi alle domande di @MarcoDF
un saluto
@pdercoli
[ot]Metti pure il link all'altra discussione così chi fosse interessato può già trovare altre informazioni come il link al video per esempio[/ot]
Questo è vero ma incompleto perciò fuorviante.
Si è già detto che tutti i primi (tranne il due e il tre) sono della forma $v=6k+-1$, una forma però che non genera solo primi ma anche composti.
Lo stesso avviene per la divisibilità per $24$ della differenza tra i quadrati di questi numeri $v$ cioè $24|v_n^2-v_m^2$ è sempre vera sia per i primi che per i composti.
E qui mi fermo perché il passo successivo non mi è chiaro ovvero questo …
Puoi spiegarti meglio?
[ot]Metti pure il link all'altra discussione così chi fosse interessato può già trovare altre informazioni come il link al video per esempio[/ot]
"pdercoli":
… la differenza fra quadrati con lato un numero primo > 3 è sempre un numero divisibile per 24.
Questo è vero ma incompleto perciò fuorviante.
Si è già detto che tutti i primi (tranne il due e il tre) sono della forma $v=6k+-1$, una forma però che non genera solo primi ma anche composti.
Lo stesso avviene per la divisibilità per $24$ della differenza tra i quadrati di questi numeri $v$ cioè $24|v_n^2-v_m^2$ è sempre vera sia per i primi che per i composti.
E qui mi fermo perché il passo successivo non mi è chiaro ovvero questo …
"pdercoli":
Ho individuato allora tutti i "non primi" nella sequenza $ 6n±1 $ riscontrando che questi sono composti in queste quattro possibili combinazioni:
tutti i composti di $ 6n-1 $:
a1. $ (6n-1)(6y-1) $
a2. $ (6n-1)(6y+1) $
tutti i composti di $ 6n+1 $
b1. $ (6n+1)(6y-1) $
b2. $ (6n+1)(6y+1) $
Puoi spiegarti meglio?
Aggiungo una cosa …
Prima una definizione: denomino con $v$ i numeri della forma $6k+-1$ con $k in NN$ e più precisamente $v_+=6k+1$ e $v_(-)=6k-1$
Come già detto l'insieme dei numeri $v$ è formato sia da numeri primi che da numeri composti ed in particolare da tutti i primi tranne il due e il tre e da tutti e solo i composti che non siano multipli di due o di tre (o di entrambi).
Quindi i composti $v$ sono dei prodotti dei soli numeri $v$ (primi o composti che siano).
Cioè dato un qualsiasi $v_a$ avremo $v_a=v_1*v_2*…*v_n$.
A me questo non dice molto ma vediamo cosa ci puoi dire …
Prima una definizione: denomino con $v$ i numeri della forma $6k+-1$ con $k in NN$ e più precisamente $v_+=6k+1$ e $v_(-)=6k-1$
Come già detto l'insieme dei numeri $v$ è formato sia da numeri primi che da numeri composti ed in particolare da tutti i primi tranne il due e il tre e da tutti e solo i composti che non siano multipli di due o di tre (o di entrambi).
Quindi i composti $v$ sono dei prodotti dei soli numeri $v$ (primi o composti che siano).
Cioè dato un qualsiasi $v_a$ avremo $v_a=v_1*v_2*…*v_n$.
A me questo non dice molto ma vediamo cosa ci puoi dire …
Grazie @axpgn
non ho detto che nella forma 6n-1; 6n+1 ci sono esclusivamente numeri primi né che solo i numeri primi godono della proprietà tale per cui la differenza di loro quadrati è multiplo di 24 anzi affermo esattamente quello che affermi tu:
dato che ogni $6k-1; 6k+1$ se entrambi primi sono primi gemelli > 3 e se non lo sono è perché o $6k-1$ o $6k+1$ o entrambi sono composti cerco le possibili forme di $ 6k+-1 $ che non sono numeri primi ma composti e le ho individuate in:
tutti i composti di $6k−1$:
a1. $(6k−1)(6y−1)$
a2. $(6k−1)(6y+1)$
tutti i composti di $6k+1$:
b1. $(6k+1)(6y−1)$
b2. $(6k+1)(6y+1)$
questo a conferma anche di quel che sottolinei e cioè che tutti i $v+$ e i $v-$ della sequenza $6k+-1$ possono essere o primi o composti non multipli di 2 e 3 quindi possono esserlo solo e sempre di valori della serie $v+$ e $v-$
dato che il risultato di questi composti sarà un numero anche esso nella forma $6x+-1$ dove $x$ sarà il valore che restituisce in uno dei due elementi il composto di $6k-1$ o $6k+1$ cerco le forme che, in corrispondenza dei possibili composti a1; a2 e b1; b2, generalizzano questo valore $x$ e le ho trovate in
valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6k-1$:
a1x. $(6k−1)y−k$ o se si preferisce $6ky-y-k$
a2x. $(6k−1)y+k$ o se si preferisce $6ky-y+k$
valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6n+1$:
b1x. $(6k+1)y−k$ o se si preferisce $6ky+y-k$
b2x. $(6k+1)y+k$ o se si preferisce $6ky+y-k$
Si può verificare che questi valori a1x, a2x, b1x, b2x sono effettivamente corrispondenti a quel che dico perché
a1. $(6k-1)(6y−1) = 6x+1$ con $x = (6k−1)y−k$
a2. $(6k-1)(6y+1) = 6x-1$ con $x = (6k−1)y+k$
b1. $(6k+1)(6y−1) = 6x-1$ con $x = (6k+1)y−k$
b2. $(6k+1)(6y+1) = 6x+1$ con $x = (6k+1)y+k$
con questi valori posso produrre un crivello che mi permette di eliminare tutti i valori $k$ tali che uno o entrambi gli elementi della coppia $6k+-1$ siano composti. I valori restanti saranno i $k$ produttivi di coppie $6k+-1$ che saranno primi gemelli.
Dato che hai proposto una definizione continuo ad usare questa e quindi prendendo ogni $v_a$ a partire da $v_1$ (che sarà quindi un $v-$) e così via avremo come risultato esattamente quello messo nell'immagine
nella colonna grigia ci sono tutti i valori $k$ del crivello
nelle colonne a dx ci sono tutti i composti per i valori equivalenti a $v_1; v_2; v_3 ... v_n$ corrispondenti a 5, 7, 11, 13, 17,19 ecc. in corrispondenza del valore $k$ restituito da a1x, a2x per i $v_n$ con indice dispari (cioè tutti i $6k-1$) e b1x, b2x per tutti i $v_n$ con indice pari (cioè tutti i $6k+1$)
in ogni cella in cui compare un composto non ho messo il valore discreto ma il risultato della forma $(6k+-1)(6y+-1)$.
nella prima colonna conto le celle valorizzate e dove non ne ho nessuna finirà che quel valore $k$ sarà produttivo di una coppia di primi gemelli
se arriviamo a chiarire questo possiamo vedere come si può trattare questo algoritmo sfruttando le proprietà modulari di a1x, a2x, b1x, b2x
non ho detto che nella forma 6n-1; 6n+1 ci sono esclusivamente numeri primi né che solo i numeri primi godono della proprietà tale per cui la differenza di loro quadrati è multiplo di 24 anzi affermo esattamente quello che affermi tu:
"axpgn":
denomino con $ v $ i numeri della forma $ 6k+-1 $ con $ k in NN $ e più precisamente $ v_+=6k+1 $ e $ v_(-)=6k-1 $
Come già detto l'insieme dei numeri $ v $ è formato sia da numeri primi che da numeri composti ed in particolare da tutti i primi tranne il due e il tre e da tutti e solo i composti che non siano multipli di due o di tre (o di entrambi).
Quindi i composti $ v $ sono dei prodotti dei soli numeri $ v $ (primi o composti che siano).
Cioè dato un qualsiasi $ v_a $ avremo $ v_a=v_1*v_2*…*v_n $.
dato che ogni $6k-1; 6k+1$ se entrambi primi sono primi gemelli > 3 e se non lo sono è perché o $6k-1$ o $6k+1$ o entrambi sono composti cerco le possibili forme di $ 6k+-1 $ che non sono numeri primi ma composti e le ho individuate in:
tutti i composti di $6k−1$:
a1. $(6k−1)(6y−1)$
a2. $(6k−1)(6y+1)$
tutti i composti di $6k+1$:
b1. $(6k+1)(6y−1)$
b2. $(6k+1)(6y+1)$
questo a conferma anche di quel che sottolinei e cioè che tutti i $v+$ e i $v-$ della sequenza $6k+-1$ possono essere o primi o composti non multipli di 2 e 3 quindi possono esserlo solo e sempre di valori della serie $v+$ e $v-$
dato che il risultato di questi composti sarà un numero anche esso nella forma $6x+-1$ dove $x$ sarà il valore che restituisce in uno dei due elementi il composto di $6k-1$ o $6k+1$ cerco le forme che, in corrispondenza dei possibili composti a1; a2 e b1; b2, generalizzano questo valore $x$ e le ho trovate in
valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6k-1$:
a1x. $(6k−1)y−k$ o se si preferisce $6ky-y-k$
a2x. $(6k−1)y+k$ o se si preferisce $6ky-y+k$
valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6n+1$:
b1x. $(6k+1)y−k$ o se si preferisce $6ky+y-k$
b2x. $(6k+1)y+k$ o se si preferisce $6ky+y-k$
Si può verificare che questi valori a1x, a2x, b1x, b2x sono effettivamente corrispondenti a quel che dico perché
a1. $(6k-1)(6y−1) = 6x+1$ con $x = (6k−1)y−k$
a2. $(6k-1)(6y+1) = 6x-1$ con $x = (6k−1)y+k$
b1. $(6k+1)(6y−1) = 6x-1$ con $x = (6k+1)y−k$
b2. $(6k+1)(6y+1) = 6x+1$ con $x = (6k+1)y+k$
con questi valori posso produrre un crivello che mi permette di eliminare tutti i valori $k$ tali che uno o entrambi gli elementi della coppia $6k+-1$ siano composti. I valori restanti saranno i $k$ produttivi di coppie $6k+-1$ che saranno primi gemelli.
Dato che hai proposto una definizione continuo ad usare questa e quindi prendendo ogni $v_a$ a partire da $v_1$ (che sarà quindi un $v-$) e così via avremo come risultato esattamente quello messo nell'immagine
nella colonna grigia ci sono tutti i valori $k$ del crivello
nelle colonne a dx ci sono tutti i composti per i valori equivalenti a $v_1; v_2; v_3 ... v_n$ corrispondenti a 5, 7, 11, 13, 17,19 ecc. in corrispondenza del valore $k$ restituito da a1x, a2x per i $v_n$ con indice dispari (cioè tutti i $6k-1$) e b1x, b2x per tutti i $v_n$ con indice pari (cioè tutti i $6k+1$)
in ogni cella in cui compare un composto non ho messo il valore discreto ma il risultato della forma $(6k+-1)(6y+-1)$.
nella prima colonna conto le celle valorizzate e dove non ne ho nessuna finirà che quel valore $k$ sarà produttivo di una coppia di primi gemelli
se arriviamo a chiarire questo possiamo vedere come si può trattare questo algoritmo sfruttando le proprietà modulari di a1x, a2x, b1x, b2x
Ecco, questo non l'ho proprio capito …
Il risultato di quale operazione? Di quali operandi? Cos'è $x$? Da dove esce fuori? Ecc.…
"pdercoli":
… dato che il risultato di questi composti sarà un numero anche esso nella forma $6x+-1$ dove $x$ sarà il valore che restituisce in uno dei due elementi il composto di $6k-1$ o $6k+1$ cerco le forme che, in corrispondenza dei possibili composti a1; a2 e b1; b2, generalizzano questo valore $x$ e le ho trovate in …
Il risultato di quale operazione? Di quali operandi? Cos'è $x$? Da dove esce fuori? Ecc.…
le operazioni sono quelle che ho elencato come a1, a2, b1, b2
gli operandi sono $(6k+-1) e (6y+-1)$ che danno vita alle quattro combinazioni a1, a2, b1, b2
il risultato di queste moltiplicazioni sarà a sua volta un numero che chiamo $6x+-1$ perché moltiplicando elementi $v_a$ fra loro continuerò a non avere multipli né di 2 né di 3 e quindi solo valori appartenenti alla serie.
Quindi $x$ seleziona tutti i valori $k$ a cui corrispondono valori composti della serie $v_a$ che non sono primi > 3.
Dato che tutti i $6k-1$ e $6k+1$ che sono entrambi primi sono anche tutti i primi gemelli > 3 uso questa sequenza per fare il crivello che ho introdotto.
Ricapitolando:
- a1, a2 tutti i composti multipli di $6k-1$
- b1, b2 tutti i composti multipli di $6k+1$.
Li elenco di nuovo con l'uguaglianza con la forma composta $6x+-1$:
a1. $(6k−1)(6y−1) = 6x+1$
a2. $(6k−1)(6y+1) = 6x-1$
b1. $(6k+1)(6y−1) = 6x-1$
b2. $(6k+1)(6y+1) = 6x+1$
da queste ho ricavato i valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6k−1$:
a1x. $(6k−1)y−k$ che sostituito in $6x+1$ darà un composto multiplo di $6k-1$ come $v+$
a2x. $(6k−1)y+k$ che sostituito in $6x-1$ darà un composto multiplo di $6k-1$ come $v-$
e i valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6n+1$:
b1x. $(6k+1)y−k$ che sostituito in $6x-1$ darà un composto multiplo di $6k+1$ come $v-$
b2x. $(6k+1)y+k$ che sostituito in $6x-1$ darà un composto multiplo di $6k+1$ come $v+$
spero ora sia più chiaro
gli operandi sono $(6k+-1) e (6y+-1)$ che danno vita alle quattro combinazioni a1, a2, b1, b2
il risultato di queste moltiplicazioni sarà a sua volta un numero che chiamo $6x+-1$ perché moltiplicando elementi $v_a$ fra loro continuerò a non avere multipli né di 2 né di 3 e quindi solo valori appartenenti alla serie.
Quindi $x$ seleziona tutti i valori $k$ a cui corrispondono valori composti della serie $v_a$ che non sono primi > 3.
Dato che tutti i $6k-1$ e $6k+1$ che sono entrambi primi sono anche tutti i primi gemelli > 3 uso questa sequenza per fare il crivello che ho introdotto.
Ricapitolando:
- a1, a2 tutti i composti multipli di $6k-1$
- b1, b2 tutti i composti multipli di $6k+1$.
Li elenco di nuovo con l'uguaglianza con la forma composta $6x+-1$:
a1. $(6k−1)(6y−1) = 6x+1$
a2. $(6k−1)(6y+1) = 6x-1$
b1. $(6k+1)(6y−1) = 6x-1$
b2. $(6k+1)(6y+1) = 6x+1$
da queste ho ricavato i valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6k−1$:
a1x. $(6k−1)y−k$ che sostituito in $6x+1$ darà un composto multiplo di $6k-1$ come $v+$
a2x. $(6k−1)y+k$ che sostituito in $6x-1$ darà un composto multiplo di $6k-1$ come $v-$
e i valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6n+1$:
b1x. $(6k+1)y−k$ che sostituito in $6x-1$ darà un composto multiplo di $6k+1$ come $v-$
b2x. $(6k+1)y+k$ che sostituito in $6x-1$ darà un composto multiplo di $6k+1$ come $v+$
spero ora sia più chiaro
Ma perché ce l'avete tutti con la formula dei numeri primi?
@marco
Beh, mi sembra che anche tanti Matematici famosi l'abbiano cercata, no?
@pdercoli
Va beh, ma anche questo è già stato detto e ridetto ... tra l'altro che per ottenere un numero $v$ siano necessari solo due numeri $v$ è vero e non è vero, nel senso che questa è una limitazione tua (cioè voluta da te) ma per esempio $6*21-1=125=5*5*5$; ma non solo … avendo due "tipi" di numeri $v$ (cioè $v_+$ e $v_(-)$), in teoria abbiamo quattro combinazioni fra gli stessi ma in pratica sono solo tre diverse (tenendo conto della proprietà commutativa della moltiplicazione) cioè $5*7=7*5$, non sono differenti (la simmetria che vedi nel tuo "triangolo" è solo dovuta a questo).
Comunque …
non hai ancora detto che cos'è $x$ (e il resto …)
Beh, mi sembra che anche tanti Matematici famosi l'abbiano cercata, no?
@pdercoli
"pdercoli":
il risultato di queste moltiplicazioni sarà a sua volta un numero che chiamo $ 6x+-1 $ …
Va beh, ma anche questo è già stato detto e ridetto ... tra l'altro che per ottenere un numero $v$ siano necessari solo due numeri $v$ è vero e non è vero, nel senso che questa è una limitazione tua (cioè voluta da te) ma per esempio $6*21-1=125=5*5*5$; ma non solo … avendo due "tipi" di numeri $v$ (cioè $v_+$ e $v_(-)$), in teoria abbiamo quattro combinazioni fra gli stessi ma in pratica sono solo tre diverse (tenendo conto della proprietà commutativa della moltiplicazione) cioè $5*7=7*5$, non sono differenti (la simmetria che vedi nel tuo "triangolo" è solo dovuta a questo).
Comunque …
"pdercoli":
da queste ho ricavato i valori $ x $ corrispondenti a tutti i composti di $6k−1$
non hai ancora detto che cos'è $x$ (e il resto …)
@marco forse perché sono affascinanti
@axpgn
la limitazione la pongo perché mi sono concentrato sulla forma $6k+-1$ e da essa si ottiene un insieme con date caratteristiche e inoltre non ho affermato che per ottenere un numero $v$ siano "necessari" due numeri ma che cercando i composti in quelle quattro sequenze avrò come risultato un altro numero $v$. Mi sembra diverso
Ciò che invece affermo è che con quelle quattro sequenze io trovo tutti i $v$ che sono composti indipendentemente dalla complessità della loro fattorizzazione in una forma $v_k*v_y=v_x$
$x$ ho detto essere un valore $∈NN$ restituito dalle forme a1x, a2x, b1x, b2x che mi restituiscono tutti i valori $k$ che in $6k+-1$ hanno un elemento composto. Nel post precedente ho scritto:
Su questo fondo il crivello per individuare le coppie di primi gemelli. Se questo è corretto posso ridurre il problema di sapere se i primi gemelli siano effettivamente in numero infinito dimostrando che sono infiniti i valori $k$ non appartenenti ad a1x, a2x, b1x, b2x.
Se questo è corretto il passo successivo torneranno utili anche le due forme di composti apparentemente uguali perché se a2 e b1 sono uguali per la proprietà commutativa non lo sono a2x e b1x
cosa intendi per?
mi sembra di aver risposto alle tue domanda già nel post precedente indicandoti :
1) le operazioni
2) gli operandi
3) che cosa è $x$ e che lo ho ricavato dai valori delle quattro sequenze dei composti
se non ci sono errori in queste sequenze e trovi che il crivello è corretto possiamo andare avanti perché è chiaro che fin qui non ho dimostrato ancora nulla ma sto procedendo step by step quindi dire questo è banale oppure questo non serve rallenta. Se ci sono errori qui o avanti significherà che mi sono sbagliato e sarò soddisfatto anche di questo risultato.
Grazie 1000
@axpgn
la limitazione la pongo perché mi sono concentrato sulla forma $6k+-1$ e da essa si ottiene un insieme con date caratteristiche e inoltre non ho affermato che per ottenere un numero $v$ siano "necessari" due numeri ma che cercando i composti in quelle quattro sequenze avrò come risultato un altro numero $v$. Mi sembra diverso
Ciò che invece affermo è che con quelle quattro sequenze io trovo tutti i $v$ che sono composti indipendentemente dalla complessità della loro fattorizzazione in una forma $v_k*v_y=v_x$
$x$ ho detto essere un valore $∈NN$ restituito dalle forme a1x, a2x, b1x, b2x che mi restituiscono tutti i valori $k$ che in $6k+-1$ hanno un elemento composto. Nel post precedente ho scritto:
"pdercoli":.
da queste (a1, a2, b1, b2) ho ricavato i valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6k−1$:
a1x. $(6k−1)y−k$ che sostituito in $6x+1$ darà un composto multiplo di $6k−1$ come $v+$
a2x. $(6k−1)y+k$ che sostituito in $6x−1$ darà un composto multiplo di $6k−1$ come $v−$
e i valori $x$ corrispondenti a tutti i composti di $6n+1$:
b1x. $(6k+1)y−k$ che sostituito in $6x−1$ darà un composto multiplo di $6k+1$ come $v−$
b2x. $(6k+1)y+k$ che sostituito in $6x−1$ darà un composto multiplo di $6k+1$ come $v+$
Su questo fondo il crivello per individuare le coppie di primi gemelli. Se questo è corretto posso ridurre il problema di sapere se i primi gemelli siano effettivamente in numero infinito dimostrando che sono infiniti i valori $k$ non appartenenti ad a1x, a2x, b1x, b2x.
Se questo è corretto il passo successivo torneranno utili anche le due forme di composti apparentemente uguali perché se a2 e b1 sono uguali per la proprietà commutativa non lo sono a2x e b1x
cosa intendi per?
"axpgn":
non hai ancora detto che cos'è x (e il resto …)
mi sembra di aver risposto alle tue domanda già nel post precedente indicandoti :
1) le operazioni
2) gli operandi
3) che cosa è $x$ e che lo ho ricavato dai valori delle quattro sequenze dei composti
se non ci sono errori in queste sequenze e trovi che il crivello è corretto possiamo andare avanti perché è chiaro che fin qui non ho dimostrato ancora nulla ma sto procedendo step by step quindi dire questo è banale oppure questo non serve rallenta. Se ci sono errori qui o avanti significherà che mi sono sbagliato e sarò soddisfatto anche di questo risultato.
Grazie 1000
Se rimarco alcuni punti è per fissarli bene dato che la tua esposizione è generalmente tortuosa e talvolta gira su sé stessa e ritorna al punto di partenza.
Se continuo a chiederti cosa sia $x$ è solo perché non è per niente chiaro.
Questo
Oppure cosa significa quest'altro pezzo?
Come sostituisci la prima espressione nella seconda? Non lo dici …
Come hai ricavato la prima espressione? Non lo dici …
Se continuo a chiederti cosa sia $x$ è solo perché non è per niente chiaro.
Questo
"pdercoli":è incomprensibile, matematicamente parlando: cosa significa che $x$ è restituito da delle forme? cosa vuol dire "restituiscono tutti i valori di $k$"?
… $ x $ ho detto essere un valore $ ∈NN $ restituito dalle forme a1x, a2x, b1x, b2x che mi restituiscono tutti i valori $ k $ che in $ 6k+-1 $ hanno un elemento composto.
Oppure cosa significa quest'altro pezzo?
"pdercoli":
a1x. $ (6k−1)y−k $ che sostituito in $ 6x+1 $ darà un composto multiplo di $ 6k−1 $ come $ v+ $
Come sostituisci la prima espressione nella seconda? Non lo dici …
Come hai ricavato la prima espressione? Non lo dici …
@axpgn
perdonami come più volte detto sono un informatico e non un matematico quindi ho delle carenze nell'esposizione.
per me $x$ è una variabile a cui assegno i valori delle espressioni che ho chiamato ax1, ax2, b1x, b2x
faccio l'esempio con a1x:
so che il composto a1 è nella forma $(6k-1)(6y-1) = 36ky-6k-6y+1$
questo risultato sarà un composto multiplo di $(6k-1)$ che avrà la forma $6(6ky-k-y)+1$
a1x $(6k−1)y−k$ è esattamente $6ky-y-k$ quindi a1 corrisponde ad un $v_+$ con $k=6ky-y-k$ e così via
Dato che $k$ lo sto già usando e risulta ambiguo mi sembrava più chiaro usare $x$.
L'ho ricavato non con questo passaggio che è più elementare e forse comprensibile. Questo perché all'inizio non sospettavo che ci fosse regolarità e che potevo individuarla in questo modo più semplice. Lì per lì non avevo nemmeno la comprensione che tutti i composti fossero nella forma $(6k-1)(6y-1)$ che di per sé come anche tu fai notare non ha nulla di speciale dato che ci sono infinite combinazioni per descrivere un composto in $6k+-1$.
Il percorso è stato un po' diverso. Ho supposto che i composti in $6k+-1$ fossero tali e mi sono chiesto se esistesse un modo per selezionare tutti i valori $k$ associabili a composti. Questo spiega perché li ho scritti in quella forma con tra parentesi il valore del composto di cui cercavo tutti i rispettivi multipli. Trovandoli li ho chiamati $x$ e da lì la formulazione contorta che lamenti.
Una volta compreso che per quei valori che supponevo composti e che chiamavo $6x+-1$ avevo di fatto tutti i composti nella forma $(6k+-1)(6y+-1)$ e verificato che a1x, a2x, b1x, b2x erano corretti li ho lasciati così ritenendo la cosa sufficientemente chiara e ho rivolto tutta la mia attenzione al crivello dei gemelli che subito mi è venuto in mente di fare.
Inoltre mi sono accorto che il crivello potevo usarlo anche per individuare i valori primi isolati e quindi che tutti i salti fra primi successivi sono diretta conseguenza della distribuzione dei composti in $6k+-1$ e con essa posso spiegarli e affermare che non sono irregolari.
Studiando poi il crivello dei gemelli mi sono accorto che i valori a1x, a2x e b1x, b2x sono modulari e ho sfruttato questa modularità per superare il problema degli algoritmi (funzionano ma non li puoi usare in genere per dimostrare qualcosa) e tentare di risolvere il problema di cercare infiniti $k$ produttivi di primi gemelli.
Spero di aver chiarito i punti che non ti sono chiari
perdonami come più volte detto sono un informatico e non un matematico quindi ho delle carenze nell'esposizione.
per me $x$ è una variabile a cui assegno i valori delle espressioni che ho chiamato ax1, ax2, b1x, b2x
faccio l'esempio con a1x:
so che il composto a1 è nella forma $(6k-1)(6y-1) = 36ky-6k-6y+1$
questo risultato sarà un composto multiplo di $(6k-1)$ che avrà la forma $6(6ky-k-y)+1$
a1x $(6k−1)y−k$ è esattamente $6ky-y-k$ quindi a1 corrisponde ad un $v_+$ con $k=6ky-y-k$ e così via
Dato che $k$ lo sto già usando e risulta ambiguo mi sembrava più chiaro usare $x$.
L'ho ricavato non con questo passaggio che è più elementare e forse comprensibile. Questo perché all'inizio non sospettavo che ci fosse regolarità e che potevo individuarla in questo modo più semplice. Lì per lì non avevo nemmeno la comprensione che tutti i composti fossero nella forma $(6k-1)(6y-1)$ che di per sé come anche tu fai notare non ha nulla di speciale dato che ci sono infinite combinazioni per descrivere un composto in $6k+-1$.
Il percorso è stato un po' diverso. Ho supposto che i composti in $6k+-1$ fossero tali e mi sono chiesto se esistesse un modo per selezionare tutti i valori $k$ associabili a composti. Questo spiega perché li ho scritti in quella forma con tra parentesi il valore del composto di cui cercavo tutti i rispettivi multipli. Trovandoli li ho chiamati $x$ e da lì la formulazione contorta che lamenti.
Una volta compreso che per quei valori che supponevo composti e che chiamavo $6x+-1$ avevo di fatto tutti i composti nella forma $(6k+-1)(6y+-1)$ e verificato che a1x, a2x, b1x, b2x erano corretti li ho lasciati così ritenendo la cosa sufficientemente chiara e ho rivolto tutta la mia attenzione al crivello dei gemelli che subito mi è venuto in mente di fare.
Inoltre mi sono accorto che il crivello potevo usarlo anche per individuare i valori primi isolati e quindi che tutti i salti fra primi successivi sono diretta conseguenza della distribuzione dei composti in $6k+-1$ e con essa posso spiegarli e affermare che non sono irregolari.
Studiando poi il crivello dei gemelli mi sono accorto che i valori a1x, a2x e b1x, b2x sono modulari e ho sfruttato questa modularità per superare il problema degli algoritmi (funzionano ma non li puoi usare in genere per dimostrare qualcosa) e tentare di risolvere il problema di cercare infiniti $k$ produttivi di primi gemelli.
Spero di aver chiarito i punti che non ti sono chiari
"pdercoli":
… sono un informatico e non un matematico …
Io un elettrotecnico
(mai esercitato)"pdercoli":
per me $ x $ è una variabile a cui assegno i valori delle espressioni …
E quindi ti basta scrivere $x=...$ o $a_x=...$ oppure $a_(x1)=...$ e sostituire ai puntini l'espressione appropriata così diventerebbe più chiaro per tutti ciò che vuoi dire.
"pdercoli":
so che il composto a1 è nella forma $ (6k-1)(6y-1) = 36ky-6k-6y+1 $
questo risultato sarà un composto multiplo di $ (6k-1) $ che avrà la forma $ 6(6ky-k-y)+1 $
a1x $ (6k−1)y−k $ è esattamente $ 6ky-y-k $ quindi a1 corrisponde ad un $ v_+ $ con $ k=6ky-y-k $ e così via
Dato che $ k $ lo sto già usando e risulta ambiguo mi sembrava più chiaro usare $ x $.
Aspetta, aspetta … questo è il tuo solito modo di fare, un giro tortuoso che torna al punto di partenza ma di cui non te ne accorgi ...
Se ho capito bene, dici che il prodotto di $(6k-1)(6y-1)$ è $36ky-6k-6y+1 $ che è uguale a $ 6(6ky-k-y)+1 $ e poi chiami $x$ l'espressione tra parentesi $6ky-k-y$; ciò significa che sei passato da $(6k-1)(6y-1)$ a $(6k-1)(6x-1)$ ovvero la stessa cosa!!!
In attesa di capire come poi da qui costruisci il "crivello" fammi aggiungere un paio di pensieri:
- ammesso e non concesso che il tuo crivello funzioni correttamente, il crivello non è il metodo più efficiente per trovare primi (isolati o gemelli che siano); da Eratostene passi avanti sono stati fatti e ci sono metodi decisamente migliori.
- hai detto che il tuo scopo è "dimostrare che esistono infinite coppie di primi gemelli"; ora, questo è impossibile farlo con un crivello (che serve per trovare i primi) dato che non puoi dimostrare che un insieme è infinito contandone i membri, chiaro?
"axpgn":
Aspetta, aspetta … questo è il tuo solito modo di fare, un giro tortuoso che torna al punto di partenza ma di cui non te ne accorgi ...
Se ho capito bene, dici che il prodotto di (6k−1)(6y−1) è 36ky−6k−6y+1 che è uguale a 6(6ky−k−y)+1 e poi chiami x l'espressione tra parentesi 6ky−k−y; ciò significa che sei passato da (6k−1)(6y−1) a (6k−1)(6x−1) ovvero la stessa cosa!!!
ti ringrazio per le osservazioni.
Forse è corretto scrivere che chiamo $6x+-1$ tutti i valori $v_a$ sia $v_-$ ce $v_+$ che non sono primi ma composti e che questi possono essere solo in queste quattro forme:
tutti i composti multipli di $6k-1$
a1. $6x+1=(6k-1)(6y-1)=36ky−6k−6y+1=6(6ky-k-y)+1$ con $x=6ky−k−y$ (a1x)
a2. $6x-1=(6k-1)(6y+1)=36ky+6k−6y-1=6(6ky+k-y)-1$ con $x=6ky+k−y$ (a2x)
tutti i composti multipli di $6k+1$
b1. $6x-1=(6k+1)(6y-1)=36ky−6k+6y-1=6(6ky-k+y)-1$ con $x=6ky−k+y$ (b1x)
b2. $6x+1=(6k+1)(6y+1)=36ky+6k+6y+1=6(6ky+k+y)+1$ con $x=6ky+k+y$ (b2x)
con i rispettivi valori a1x, a2x, b1x, b2x effettuo un crivello.
Ora mi interessa la considerazione:
"pdercoli":
- ammesso e non concesso che il tuo crivello funzioni correttamente, il crivello non è il metodo più efficiente per trovare primi (isolati o gemelli che siano); da Eratostene passi avanti sono stati fatti e ci sono metodi decisamente migliori.
- hai detto che il tuo scopo è "dimostrare che esistono infinite coppie di primi gemelli"; ora, questo è impossibile farlo con un crivello (che serve per trovare i primi) dato che non puoi dimostrare che un insieme è infinito contandone i membri, chiaro?
io prima ho scritto:
"pdercoli":
Studiando poi il crivello dei gemelli mi sono accorto che i valori a1x, a2x e b1x, b2x sono modulari e ho sfruttato questa modularità per superare il problema degli algoritmi (funzionano ma non li puoi usare in genere per dimostrare qualcosa) e tentare di risolvere il problema di cercare infiniti k produttivi di primi gemell
non posso dimostrare che un insieme è infinito contandone i membri perché dovrei continuare a contare all'infinito ma posso dimostrare che un insieme è infinito dimostrando che trovato un qualsiasi valore $k_a$ produttivo una coppia di gemelli ne esisterà sempre uno $k_b>k_a$
Credo che questo sia un approccio corretto dato che sostanzialmente fu quello usato da Euclide per dimostrare che i primi sono infiniti. Come detto se il crivello è corretto posso applicare un metodo che mi permette di trovare una regolarità nella sequenza che mi fa procedere passo dopo passo, dimostro che questa è destinata a ripetersi all'infinito e la sfrutto per arrivare a dimostrare che esistono infiniti $k$ produttivi di primi gemelli.
Se abbiamo superato l'equivoco su $x$ e trovi corrette le sequenze passo ad illustrare il funzionamento del crivello di cui parlo
Premesso che io chiamerei a1x, a2x, b1x, b2x come [size=150]$x_(a1),x_(a2),x_(b1),x_(b2)$[/size] visto che sono i valori che hai chiamato $x$ e che, da parte mia, non vedo differenze tra a2 e b1, allora
Come?
"pdercoli":
con i rispettivi valori a1x, a2x, b1x, b2x effettuo un crivello.
Come?
il crivello funziona nel seguente modo:
- per ogni $v_a$ partendo da $v_1, v_2, v_3... v_a$ eseguo le rispettive funzioni $X_"a1", X_"a2"$ oppure $X_"b1", X_"b2"$
- tutti i $v_a$ con indice dispari, cioè quelli di tipo $v_-$, hanno i multipli per i valori di $X_"a1", X_"a2"$
- tutti i $v_a$ con indice pari, cioè quelli di tipo $v_+$, hanno i multipli per i valori di $X_"b1", X_"b2"$
- dato $n$ l'insieme di tutti i $NN$
eseguo il primo passo per $v_1$ ed elimino tutti i valori $n$ corrispondenti a $X_"a1", X_"a2"$ con $k=1$ e $∀$ valore $y$ da $1$ a $∞$
i primi valori di questa serie sono:
$4;6;9;11;14;16;19;21;24;26... etc$
questi valori producono in $6n+-1$ una coppia contenente un composto multiplo di $v_1$ quindi possiamo escluderli definitivamente perché con certezza non sarà una coppia di primi gemelli (come detto per tutti gli $X"a1"$ sarà l'elemento $v_+$, per tutti gli $X"a2"$ sarà l'elemento $v_-$)
i restanti valori $n$ saranno tutti quelli potranno ancora essere produttivi di una coppia di primi gemelli e andremo a verificarli proseguendo con questo crivello.
eseguiamo ora la serie per $v_2$ ed eliminiamo tutti i valori $n$ corrispondenti a $x_"b1", x_"b2"$ con $k=1$ e $∀$ valore $y$ da $1$ a $∞$
i primi valori di questa nuova serie sono:
$6;8;13;15;20;22;27;29;34;36... etc$
anche in questo caso potremo escludere tutti questi valori perché non produttivi una coppia di primi gemelli (come detto per tutti gli $X"b1"$ sarà l'elemento $v_-$, per tutti gli $X"b2"$ sarà l'elemento $v_+$)
il risultato dei due passi sarà il seguente
nota: questo crivello è orientato ai primi gemelli ma conoscendo anche quali sono i composti $v_-$ e $v_+$ che vado ad eliminare ne consegue che tutti i salti fra numeri primi rispondono a queste quattro funzioni in modo determinato.
Che sia la distanza minima equivalente a quella dei primi gemelli o una distanza molto grande questa è determinata dalla distribuzione di tutti i valori che abbiamo chiamato $X_"a1";X_"a2";X_"b1";X_"b2"$
Questa è la regolarità di cui vado parlando.
Dire che le distanze fra primi successivi sono determinate dal fatto che fra loro ci sono composti è di per sé banale e non dice nulla. Se si osserva tutto l'insieme $NN$ ci sfugge come questo avviene. Così invece è molto più chiaro:
- se è 2 questo è perché non ci sono composti nella coppia $6k-1;6k+1"$
- se è 4 questo è perché non ci sono composti fra $6k+1$ e $6(k+1)-1$
- se è $>4$ sarà tanto grande quanti sono i composti di $6k+-1$ che li separano
Tornando ai primi gemelli e al crivello la domanda successiva è quando possiamo dire che un dato $n$ che fin lì non ho eliminato non appartiene più con certezza a nessun valore di $X_"a1";X_"a2";X_"b1";X_"b2"$ e quindi è produttivo di una coppia di primi gemelli?
Per farlo mi è di aiuto descrivere quella che ho chiamato matrice dei composti e che andrò a dettagliare al passo successivo una volta verificato che fin qui non ci sono errori
- per ogni $v_a$ partendo da $v_1, v_2, v_3... v_a$ eseguo le rispettive funzioni $X_"a1", X_"a2"$ oppure $X_"b1", X_"b2"$
- tutti i $v_a$ con indice dispari, cioè quelli di tipo $v_-$, hanno i multipli per i valori di $X_"a1", X_"a2"$
- tutti i $v_a$ con indice pari, cioè quelli di tipo $v_+$, hanno i multipli per i valori di $X_"b1", X_"b2"$
- dato $n$ l'insieme di tutti i $NN$
eseguo il primo passo per $v_1$ ed elimino tutti i valori $n$ corrispondenti a $X_"a1", X_"a2"$ con $k=1$ e $∀$ valore $y$ da $1$ a $∞$
i primi valori di questa serie sono:
$4;6;9;11;14;16;19;21;24;26... etc$
questi valori producono in $6n+-1$ una coppia contenente un composto multiplo di $v_1$ quindi possiamo escluderli definitivamente perché con certezza non sarà una coppia di primi gemelli (come detto per tutti gli $X"a1"$ sarà l'elemento $v_+$, per tutti gli $X"a2"$ sarà l'elemento $v_-$)
i restanti valori $n$ saranno tutti quelli potranno ancora essere produttivi di una coppia di primi gemelli e andremo a verificarli proseguendo con questo crivello.
eseguiamo ora la serie per $v_2$ ed eliminiamo tutti i valori $n$ corrispondenti a $x_"b1", x_"b2"$ con $k=1$ e $∀$ valore $y$ da $1$ a $∞$
i primi valori di questa nuova serie sono:
$6;8;13;15;20;22;27;29;34;36... etc$
anche in questo caso potremo escludere tutti questi valori perché non produttivi una coppia di primi gemelli (come detto per tutti gli $X"b1"$ sarà l'elemento $v_-$, per tutti gli $X"b2"$ sarà l'elemento $v_+$)
il risultato dei due passi sarà il seguente
nota: questo crivello è orientato ai primi gemelli ma conoscendo anche quali sono i composti $v_-$ e $v_+$ che vado ad eliminare ne consegue che tutti i salti fra numeri primi rispondono a queste quattro funzioni in modo determinato.
Che sia la distanza minima equivalente a quella dei primi gemelli o una distanza molto grande questa è determinata dalla distribuzione di tutti i valori che abbiamo chiamato $X_"a1";X_"a2";X_"b1";X_"b2"$
Questa è la regolarità di cui vado parlando.
Dire che le distanze fra primi successivi sono determinate dal fatto che fra loro ci sono composti è di per sé banale e non dice nulla. Se si osserva tutto l'insieme $NN$ ci sfugge come questo avviene. Così invece è molto più chiaro:
- se è 2 questo è perché non ci sono composti nella coppia $6k-1;6k+1"$
- se è 4 questo è perché non ci sono composti fra $6k+1$ e $6(k+1)-1$
- se è $>4$ sarà tanto grande quanti sono i composti di $6k+-1$ che li separano
Tornando ai primi gemelli e al crivello la domanda successiva è quando possiamo dire che un dato $n$ che fin lì non ho eliminato non appartiene più con certezza a nessun valore di $X_"a1";X_"a2";X_"b1";X_"b2"$ e quindi è produttivo di una coppia di primi gemelli?
Per farlo mi è di aiuto descrivere quella che ho chiamato matrice dei composti e che andrò a dettagliare al passo successivo una volta verificato che fin qui non ci sono errori
Sinceramente non riesco a seguirti; ho provato a rileggere il tuo post un po' di volte ma mi sembra un serpente che si morde la coda … non ne vengo a capo …
Comunque dato che il crivello non serve per determinare l'eventuale infinitudine dei primi gemelli e che come metodo per trovare primi non è granché efficiente, dicci qual è l'idea, il concetto, l'argomento ovvero la dimostrazione che ti porta ad affermare questo?
Comunque dato che il crivello non serve per determinare l'eventuale infinitudine dei primi gemelli e che come metodo per trovare primi non è granché efficiente, dicci qual è l'idea, il concetto, l'argomento ovvero la dimostrazione che ti porta ad affermare questo?
cosa non è chiaro?
l'idea è che il crivello non usa come per quello di Eratostene i primi che man mano trova ma pulisce i valori produttivi delle funzioni $X_"a1",X_"a2",X_"b1",X_"b2"$.
Questi sono modulari e attraverso questi moduli trovo una sequenza che mi consente di dire che andando avanti all'infinito troverò sempre valori $k$ che in $6k+-1$ producono una coppia $v_-;v_+$ che sono primi gemelli.
Mi sfugge cosa c'è di contorto perché il mio ragionamento è piuttosto lineare.
con $k=1$ ho una coppia di valori $v_-, v_+$ che corrisponde a $5;7$. Questa coppia come tutte le altre per $k=n$ è potenzialmente una coppia di primi gemelli dato che questi possono esserlo solo in questa forma. Per confermare o escludere che sia così per tutte devo stabilire un modo per dire che sia il valore $v_-$ che il valore $v_+$ non sia un composto.
Lo posso fare con le funzioni che mi individuano i composti nella forma $6x+-1$ e quindi andando ad eliminare via via tutti i $k$ in cui troverò almeno un composto con $6k+-1$.
con $X_"a1"$ posso selezionare tutti i valori $x$ in cui, per $6x+1$, troverò composti multipli di $v_1=5$ nella forma $v_+$. Infatti la sequenza è per i valori $X_"a1"(k,y)$:
- $X_"a1"(1,1)=4$ quindi $6*4+1 = 25$ cioè $5*5$
- $X_"a1"(1,2)=9$ quindi $6*9+1 = 55$ cioè $5*11$
- $X_"a1"(1,3)=14$ quindi $6*14+1 = 85$ cioè $5*17$
- $X_"a1"(1,4)=19$ quindi $6*19+1 = 115$ cioè $5*23$
etc.
con $X_"a2"$ posso selezionare tutti i valori $x$ in cui troverò,per $6x-1$, composti multipli di $v_1=5$ nella forma $v_-$. Infatti la sequenza è per i valori $X_"a2"(k,y)$:
- $X_"a2"(1,1)=6$ quindi $6*6-1 = 35$ cioè $5*7$
- $X_"a2"(1,2)=11$ quindi $6*11-1 = 65$ cioè $5*13$
- $X_"a2"(1,3)=16$ quindi $6*16-1 = 95$ cioè $5*19$
- $X_"a2"(1,4)=21$ quindi $6*21-1 = 125$ cioè $5*25$
etc.
posso quindi escludere dai valori $k$ l'insieme $4,6,9,11,14,16,19,21, ecc.$ perché per quei valori non avrò primi gemelli.
Restano $1,2,3,5,7,8,10,12,13,15,17,18,20, etc.$
Stessa cosa posso fare per tutti i composti multipli di $v_2=7$ con $X_"b1"$ e $X_"b2"$.
dopo aver escluso tutti i composti di $v_2=7$ che sono $6,8,13,15,20,22 etc.$
restano $1,2,3,5,7,10,12,17,18, etc.$
dato che $v_3$ ha il primo multiplo con $X_"a1"(2,1)=9$ equivalente a $6*9+1=55$ cioè $11*5$ tutti i valori inferiori di $9$ rimasti dopo i primi passaggi del crivello posso dire con assoluta certezza che sono primi gemelli perché non potranno più essere puliti da composti per valori $v_a>v_2$ infatti:
- $k=1$ restituisce $5,7$
- $k=2$ restituisce $11,13$
- $k=3$ restituisce $17,19$
- $k=5$ restituisce $29,31$
- $k=7$ restituisce $41,43$
Andando avanti ad escludere tutti i valori prodotti da queste funzioni quelli che resteranno identificano coppie di primi gemelli $v_-;v_+$.
Più passi faccio e più copro valori sempre maggiori di $k$ di cui potrò dire se sono o non sono produttivi di coppie di primi gemelli.
Trovando, grazie alla modularità delle funzioni $X_a$ ed $X_b$ delle sequenze prevedibili che mi permettono di capire quanti $k$ man mano che avanzo sono produttivi di primi gemelli posso arrivare alla conclusione che avanzando all'infinito troverò sempre nuovi $k$ che corrispondono a primi gemelli.
l'idea è che il crivello non usa come per quello di Eratostene i primi che man mano trova ma pulisce i valori produttivi delle funzioni $X_"a1",X_"a2",X_"b1",X_"b2"$.
Questi sono modulari e attraverso questi moduli trovo una sequenza che mi consente di dire che andando avanti all'infinito troverò sempre valori $k$ che in $6k+-1$ producono una coppia $v_-;v_+$ che sono primi gemelli.
Mi sfugge cosa c'è di contorto perché il mio ragionamento è piuttosto lineare.
con $k=1$ ho una coppia di valori $v_-, v_+$ che corrisponde a $5;7$. Questa coppia come tutte le altre per $k=n$ è potenzialmente una coppia di primi gemelli dato che questi possono esserlo solo in questa forma. Per confermare o escludere che sia così per tutte devo stabilire un modo per dire che sia il valore $v_-$ che il valore $v_+$ non sia un composto.
Lo posso fare con le funzioni che mi individuano i composti nella forma $6x+-1$ e quindi andando ad eliminare via via tutti i $k$ in cui troverò almeno un composto con $6k+-1$.
con $X_"a1"$ posso selezionare tutti i valori $x$ in cui, per $6x+1$, troverò composti multipli di $v_1=5$ nella forma $v_+$. Infatti la sequenza è per i valori $X_"a1"(k,y)$:
- $X_"a1"(1,1)=4$ quindi $6*4+1 = 25$ cioè $5*5$
- $X_"a1"(1,2)=9$ quindi $6*9+1 = 55$ cioè $5*11$
- $X_"a1"(1,3)=14$ quindi $6*14+1 = 85$ cioè $5*17$
- $X_"a1"(1,4)=19$ quindi $6*19+1 = 115$ cioè $5*23$
etc.
con $X_"a2"$ posso selezionare tutti i valori $x$ in cui troverò,per $6x-1$, composti multipli di $v_1=5$ nella forma $v_-$. Infatti la sequenza è per i valori $X_"a2"(k,y)$:
- $X_"a2"(1,1)=6$ quindi $6*6-1 = 35$ cioè $5*7$
- $X_"a2"(1,2)=11$ quindi $6*11-1 = 65$ cioè $5*13$
- $X_"a2"(1,3)=16$ quindi $6*16-1 = 95$ cioè $5*19$
- $X_"a2"(1,4)=21$ quindi $6*21-1 = 125$ cioè $5*25$
etc.
posso quindi escludere dai valori $k$ l'insieme $4,6,9,11,14,16,19,21, ecc.$ perché per quei valori non avrò primi gemelli.
Restano $1,2,3,5,7,8,10,12,13,15,17,18,20, etc.$
Stessa cosa posso fare per tutti i composti multipli di $v_2=7$ con $X_"b1"$ e $X_"b2"$.
dopo aver escluso tutti i composti di $v_2=7$ che sono $6,8,13,15,20,22 etc.$
restano $1,2,3,5,7,10,12,17,18, etc.$
dato che $v_3$ ha il primo multiplo con $X_"a1"(2,1)=9$ equivalente a $6*9+1=55$ cioè $11*5$ tutti i valori inferiori di $9$ rimasti dopo i primi passaggi del crivello posso dire con assoluta certezza che sono primi gemelli perché non potranno più essere puliti da composti per valori $v_a>v_2$ infatti:
- $k=1$ restituisce $5,7$
- $k=2$ restituisce $11,13$
- $k=3$ restituisce $17,19$
- $k=5$ restituisce $29,31$
- $k=7$ restituisce $41,43$
Andando avanti ad escludere tutti i valori prodotti da queste funzioni quelli che resteranno identificano coppie di primi gemelli $v_-;v_+$.
Più passi faccio e più copro valori sempre maggiori di $k$ di cui potrò dire se sono o non sono produttivi di coppie di primi gemelli.
Trovando, grazie alla modularità delle funzioni $X_a$ ed $X_b$ delle sequenze prevedibili che mi permettono di capire quanti $k$ man mano che avanzo sono produttivi di primi gemelli posso arrivare alla conclusione che avanzando all'infinito troverò sempre nuovi $k$ che corrispondono a primi gemelli.
"pdercoli":
Mi sfugge cosa c'è di contorto perché il mio ragionamento è piuttosto lineare.
Beato te che ne sei convinto.
"pdercoli":
… delle funzioni $ X_"a1",X_"a2",X_"b1",X_"b2" $.
Funzioni? quando le hai definite? dove? come? finora si è parlato di valori $x$ ma non di funzioni …
"pdercoli":
… pulisce i valori produttivi …
Cosa sono i "valori produttivi" ? quando li hai definiti? dove? come?
"pdercoli":
Questi sono modulari ...
Che significa "sono modulari"?
"pdercoli":
… attraverso questi moduli trovo una sequenza che mi consente di dire che andando avanti all'infinito …
L'hai trovata questa sequenza? O la devi trovare?
Come vedi di cose ne devi definire, per bene, parecchie, altrimenti il discorso NON è chiaro …
Andando avanti, a me pare che il funzionamento del tuo crivello è analogo, concettualmente, a quello di Eratostene, ovvero elimini elementi in base a quelli che hai trovato … né più né meno …
"pdercoli":
Trovando, grazie alla modularità delle funzioni $ X_a $ ed $ X_b $ delle sequenze prevedibili che mi permettono di capire quanti $ k $ man mano che avanzo sono produttivi di primi gemelli [size=150]posso[/size] arrivare alla conclusione che avanzando all'infinito troverò sempre nuovi $ k $ che corrispondono a primi gemelli.
Questa non è una dimostrazione ma una dichiarazione di intenti: trovando (forse) ... potrò (forse) … IMHO
"pdercoli":In pratica
Andando avanti ad escludere tutti i valori prodotti da queste funzioni quelli che resteranno identificano coppie di primi gemelli $v_-;v_+$.
1. Hai una lista infinita di candidate coppie di primi gemelli.
2. Da questa lista escludi progressivamente coppie che non sono primi gemelli.
3. Quello che ti rimane sono coppie di primi gemelli.
Ma niente ti garantisce che ti rimangano infinite coppie.
A scanso di equivoci: guarda che il fatto che le coppie di primi gemelli sono del tipo $6n-1,6n+1$ è una banalità, mentre tu la tratti come la profonda idea centrale della tua tecnica.
@Martino
esattamente. So che ancora nulla mi garantisce che troverò coppie all'infinito ma quello è un passaggio che ancora devo fare. Sto descrivendo il mio lavoro passo dopo passo. Se uno dei passaggi, indipendentemente dalla banalità, è corretto posso procedere altrimenti il mio lavoro sarà nullo e ci possiamo fermare.
Questo crivello mi consente di trovare tutti i primi gemelli indipendentemente dall'efficienza? Se sì posso andare avanti altrimenti ci sarà un errore che invaliderà probabilmente tutto il mio lavoro
@axpgn
grazie per elencare i punti non chiari perché così mi aiuti a correggere e/o chiarirli
Ho usato la parola "funzione" forse impropriamente. Intendo che le quattro espressioni restituiscono tutti gli $x$ valori in funzione di $(k,y)$. Credo possano essere definite come funzioni
in $6k+-1$ ho coppie che sono primi gemelli e coppie che non lo sono. Ne consegue che ci sono valori $k$ che posso "associare a", o che "producono", o che "identificano" coppie di primi gemelli e valori $k$ che non lo sono.
Mi sembrava un concetto abbastanza chiaro e che non necessitava di particolari specificazioni e lo ho espresso con questo termine. Spero ora sia chiaro
qui anticipo un qualcosa che ancora devo descrivere perché mi hai chiesto qual è e su cosa fondo la mia strategia dato che con un crivello non si dimostra nulla.
$X"a1" mod 6k-1=(6k-1)-k$
$X"a2" mod 6k-1=k$
$X"b1" mod 6k+1=(6k+1)-k$
$X"b2" mod 6k+1=k$.
in soldoni tutti i composti multipli di $v_1=5$ si trovano via via a distanza di $5$ quindi come detto la sequenza è $4,9,14,19,24 etc.$
Per i valori $X_"a2"$ la sequenza è $6,11,16,21,26 etc.$.
Quelli di $v_2=7$ saranno tutti a distanza di $7$ e così via. Questa è una proprietà fondamentale perché fa disporre i composti in modo regolare e grazie a questo posso fare un passaggio sul crivello che andrò a spiegare una volta validato questo.
sì l'ho trovata ma come detto sto procedendo step by step proprio perché i concetti per me sono comunque impegnativi da esporre ad altre persone. Come ho scritto se il crivello è corretto e trova tutti e solo primi gemelli posso andare al passo successivo che sarà quello di determinare con precisione fin dove i valori che ho ricavato non potranno essere più eliminati da passi successivi del crivello e quindi se non sono stati eliminati corrispondono ad un valore $k$ che restituisce una coppia di gemelli con assoluta certezza
esattamente. So che ancora nulla mi garantisce che troverò coppie all'infinito ma quello è un passaggio che ancora devo fare. Sto descrivendo il mio lavoro passo dopo passo. Se uno dei passaggi, indipendentemente dalla banalità, è corretto posso procedere altrimenti il mio lavoro sarà nullo e ci possiamo fermare.
Questo crivello mi consente di trovare tutti i primi gemelli indipendentemente dall'efficienza? Se sì posso andare avanti altrimenti ci sarà un errore che invaliderà probabilmente tutto il mio lavoro
@axpgn
grazie per elencare i punti non chiari perché così mi aiuti a correggere e/o chiarirli
"axpgn":
Funzioni? quando le hai definite? dove? come? finora si è parlato di valori x ma non di funzioni …
Ho usato la parola "funzione" forse impropriamente. Intendo che le quattro espressioni restituiscono tutti gli $x$ valori in funzione di $(k,y)$. Credo possano essere definite come funzioni
"axpgn":
Cosa sono i "valori produttivi" ? quando li hai definiti? dove? come?
in $6k+-1$ ho coppie che sono primi gemelli e coppie che non lo sono. Ne consegue che ci sono valori $k$ che posso "associare a", o che "producono", o che "identificano" coppie di primi gemelli e valori $k$ che non lo sono.
Mi sembrava un concetto abbastanza chiaro e che non necessitava di particolari specificazioni e lo ho espresso con questo termine. Spero ora sia chiaro
"axpgn":
Che significa "sono modulari"?
qui anticipo un qualcosa che ancora devo descrivere perché mi hai chiesto qual è e su cosa fondo la mia strategia dato che con un crivello non si dimostra nulla.
$X"a1" mod 6k-1=(6k-1)-k$
$X"a2" mod 6k-1=k$
$X"b1" mod 6k+1=(6k+1)-k$
$X"b2" mod 6k+1=k$.
in soldoni tutti i composti multipli di $v_1=5$ si trovano via via a distanza di $5$ quindi come detto la sequenza è $4,9,14,19,24 etc.$
Per i valori $X_"a2"$ la sequenza è $6,11,16,21,26 etc.$.
Quelli di $v_2=7$ saranno tutti a distanza di $7$ e così via. Questa è una proprietà fondamentale perché fa disporre i composti in modo regolare e grazie a questo posso fare un passaggio sul crivello che andrò a spiegare una volta validato questo.
"axpgn":
L'hai trovata questa sequenza? O la devi trovare?
sì l'ho trovata ma come detto sto procedendo step by step proprio perché i concetti per me sono comunque impegnativi da esporre ad altre persone. Come ho scritto se il crivello è corretto e trova tutti e solo primi gemelli posso andare al passo successivo che sarà quello di determinare con precisione fin dove i valori che ho ricavato non potranno essere più eliminati da passi successivi del crivello e quindi se non sono stati eliminati corrispondono ad un valore $k$ che restituisce una coppia di gemelli con assoluta certezza
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