Numeri primi: regolarità e possibile dimostrazione della congettura dei gemelli
Salve a tutti, da alcuni mesi sto cercando di verificare il contenuto di una mia ricerca sui numeri primi.
Ho inserito su youtube un video in cui spiego in modo esteso tutto il lavoro ma essendo abbastanza lungo scoraggia (se non vi spaventano 1h25 potete cercare "Piergiorgio D'Ercoli" e nel mio canale c'è un video chiamato "numeri primi"). Come nell'oggetto del post ho individuato ciò che ritengo essere la regolarità alla base dei primi e con essa un attacco alla congettura dei primi gemelli che credo corretto e che sto appunto cercando di far valutare.
Tutto il mio lavoro ovviamente richiederebbe un post lunghissimo per il contesto quindi ho deciso di dividerlo in tappe e se qualche utente vuole divertirsi a valutarlo individuando eventuali errori che lo invalidano ne sono felice. Posterò via via tutti i passaggi man mano che sono verificati veri.
Ho inserito su youtube un video in cui spiego in modo esteso tutto il lavoro ma essendo abbastanza lungo scoraggia (se non vi spaventano 1h25 potete cercare "Piergiorgio D'Ercoli" e nel mio canale c'è un video chiamato "numeri primi"). Come nell'oggetto del post ho individuato ciò che ritengo essere la regolarità alla base dei primi e con essa un attacco alla congettura dei primi gemelli che credo corretto e che sto appunto cercando di far valutare.
Tutto il mio lavoro ovviamente richiederebbe un post lunghissimo per il contesto quindi ho deciso di dividerlo in tappe e se qualche utente vuole divertirsi a valutarlo individuando eventuali errori che lo invalidano ne sono felice. Posterò via via tutti i passaggi man mano che sono verificati veri.
Risposte
"pdercoli":
Credo possano essere definite come funzioni
Bene, allora definiscile esattamente cioè descrivi il loro dominio, il codominio e la legge di corrispondenza tra i due (espressione, algoritmo o quello che vuoi purché sia chiaro e non ambiguo)
ho detto di aver usato il termine "funzione" impropriamente. Non mi serve lo studio di funzioni per procedere
Sono valori che dato $6x+-1$ l'insieme di tutti i composti multipli $6k+-1$ risolve le equazioni
a1. $6x_"a1"+1 = (6k-1)(6y-1)$
a2. $6x_"a2"-1 = (6k-1)(6y+1)$
b1. $6x_"a1"-1 = (6k+1)(6y-1)$
b2. $6x_"a1"+1 = (6k+1)(6y+1)$
con $x,k,y ∈ NN >0$
da cui ricavo che
$x_"a1"= 6ky-k-y$
$x_"a2"= 6ky+k-y$
$x_"b1"= 6ky-k+y$
$x_"b2"= 6ky+k+y$
è corretto o sbagliato? Si capisce che sono per me tutte variabili? Posso usare questi valore per costruire un crivello funzionante che indipendentemente da efficienza e altri parametri funzioni e permette di selezionare solo valori $k$ corrispondenti a coppie di primi gemelli $6k+-1$?
Se la risposta è sì allora posso sfruttare la modularità di questi valori per costruire oggetti matematici elementari: dei regoli.
il crivello assume questa forma (notare che procedo per ogni valore di $6k+-1$ indipendentemente sia esso primo o composto)
posso costruire dei regoli corrispondenti ad ogni valore $6k+-1$
costruirò questi regoli con queste caratteristiche:
- sono lunghi $6k+-1$
- sono perfettamente trasparenti eccetto per i punti che posso far corrispondere ai valori $x$ dei composti ponendo il primo valore opaco in testa e il secondo valore dopo 2"k" valori
posso eseguire il crivello con i regoli posizionando il primo regolo di ogni passo in corrispondenza del primo valore della sequenza $x_"a1"$ (se un regolo appartenente ai valori $v_-$) o $x_b1$ (se $v_+$) e allineando tutti gli altri in questo modo:
sovrapponendo in questo modo tutti i regoli lungo una linea di tutti i valori $k$ da $1$ a $∞$ posso dire che i valori che non vedrò più perché coperti da porzioni opache sono quelli che non corrispondono a coppie di primi gemelli mentre quelli che vedo al di sopra del valore del primo regolo dell'ultima sequenza inserita sono invece quelli per cui $6k+-1$ sono primi gemelli.
Se anche questo è corretto ho trovato strutture modulari composte da più regoli combinando infinite sequenze. Da queste posso sapere:
- la lunghezza di ogni modulo composto da più regoli
- il numero esatto di unità opache e trasparenti
- l'esatta lunghezza della parte definita del modulo composto
- facendo la media fra i valori in trasparenza di tutto il modulo composto con la sola porzione definita dimostrare che costruendo moduli sempre più grandi all'infinito avrò necessariamente un numero sempre maggiore di $k$ che in $6k+-1$ sono primi gemelli
Sono valori che dato $6x+-1$ l'insieme di tutti i composti multipli $6k+-1$ risolve le equazioni
a1. $6x_"a1"+1 = (6k-1)(6y-1)$
a2. $6x_"a2"-1 = (6k-1)(6y+1)$
b1. $6x_"a1"-1 = (6k+1)(6y-1)$
b2. $6x_"a1"+1 = (6k+1)(6y+1)$
con $x,k,y ∈ NN >0$
da cui ricavo che
$x_"a1"= 6ky-k-y$
$x_"a2"= 6ky+k-y$
$x_"b1"= 6ky-k+y$
$x_"b2"= 6ky+k+y$
è corretto o sbagliato? Si capisce che sono per me tutte variabili? Posso usare questi valore per costruire un crivello funzionante che indipendentemente da efficienza e altri parametri funzioni e permette di selezionare solo valori $k$ corrispondenti a coppie di primi gemelli $6k+-1$?
Se la risposta è sì allora posso sfruttare la modularità di questi valori per costruire oggetti matematici elementari: dei regoli.
il crivello assume questa forma (notare che procedo per ogni valore di $6k+-1$ indipendentemente sia esso primo o composto)
posso costruire dei regoli corrispondenti ad ogni valore $6k+-1$
costruirò questi regoli con queste caratteristiche:
- sono lunghi $6k+-1$
- sono perfettamente trasparenti eccetto per i punti che posso far corrispondere ai valori $x$ dei composti ponendo il primo valore opaco in testa e il secondo valore dopo 2"k" valori
posso eseguire il crivello con i regoli posizionando il primo regolo di ogni passo in corrispondenza del primo valore della sequenza $x_"a1"$ (se un regolo appartenente ai valori $v_-$) o $x_b1$ (se $v_+$) e allineando tutti gli altri in questo modo:
sovrapponendo in questo modo tutti i regoli lungo una linea di tutti i valori $k$ da $1$ a $∞$ posso dire che i valori che non vedrò più perché coperti da porzioni opache sono quelli che non corrispondono a coppie di primi gemelli mentre quelli che vedo al di sopra del valore del primo regolo dell'ultima sequenza inserita sono invece quelli per cui $6k+-1$ sono primi gemelli.
Se anche questo è corretto ho trovato strutture modulari composte da più regoli combinando infinite sequenze. Da queste posso sapere:
- la lunghezza di ogni modulo composto da più regoli
- il numero esatto di unità opache e trasparenti
- l'esatta lunghezza della parte definita del modulo composto
- facendo la media fra i valori in trasparenza di tutto il modulo composto con la sola porzione definita dimostrare che costruendo moduli sempre più grandi all'infinito avrò necessariamente un numero sempre maggiore di $k$ che in $6k+-1$ sono primi gemelli
"pdercoli":
$x_"a1"= 6ky-k-y$
$x_"a2"= 6ky+k-y$
$x_"b1"= 6ky-k+y$
$x_"b2"= 6ky+k+y$
Queste sono funzioni.
In maniera un po' più formale, potremmo riscrivere la prima così: $f_1: NN^2 -> NN\ \ \ \ x=f_1(k,y)=6ky-k-y$
Se manteniamo fissa una delle variabili indipendenti e variamo l'altra otteniamo una progressione aritmetica, per esempio variando $k$ e fissando $y$ avremo $4, 9, 14, 19, …$; questo perché avendo, per esempio, $x_(k,1)=6ky-k-y$ il successivo sarà $x_(k+1,1)=6*(k+1)*1-(k+1)-y=6k+6-k-1-1=6k-k-y+5=x_(k,1)+5$
Variando anche la $y$ ne avremo infinite di queste progressioni aritmetiche (da moltiplicare per quattro dato che le funzioni sono quattro
)In pratica, funziona come il crivello di Eratostene ma con la complicazione di avere infinite successioni invece di una sola
"pdercoli":
- facendo la media fra i valori in trasparenza di tutto il modulo composto con la sola porzione definita dimostrare che costruendo moduli sempre più grandi all'infinito avrò necessariamente un numero sempre maggiore di $ k $ che in $ 6k+-1 $ sono primi gemelli
E questo da dove salta fuori? Da che cosa lo deduci?
Da quanto detto puoi solo dire che i composti di quella forma sono infiniti (ovvio direi … ) ma nessuno ti garantisce che questi composti esauriscano tutti i primi da un certo punto in poi …
come i moduli singoli si possono costruire moduli composti che equivalgono ad avanzare con i passi del crivello ma che a differenza di tutti i crivelli hanno una regolarità intrinseca che ho individuato.
Possiamo per un attimo dimenticarci i valori o le funzioni così come vanno definite come hai fatto tu che a me servivano solo a stabilire che si ripetono a moduli di $6k+-1$ all'infinito e usare solo i moduli o "regoli" che singolarmente hanno queste caratteristiche evidenti:
- ogni modulo ha lunghezza $6k+-1$
- data la proposizione "il valore $k$ restituisce in $6k+-1$ una coppia di primi gemelli" la lunghezza di ogni modulo corrisponde ad altrettanti valori booleani $V;F$ che rispondono a questa (o usando l'immagine dei regoli trasparente/opaco)
- ogni modulo ha due valori "F" in corrispondenza di $x_"a1;x_"a2"$ per tutti i $v_-$
- ogni modulo ha due valori "F" in corrispondenza di $x_"b1;x_"b2"$ per tutti i $v_+$
- ogni modulo ha $(6k+-1)-2$ valori $V$
- tutti i valori $F$ dei moduli sono "definti" nel senso che sono sempre veri
- tutti i valori $V$ dei moduli non sono "definiti" nel senso che deve essere verificato che altri moduli non abbiano in quella posizione $k$ valori $F$. Un solo valore $F$ annulla definitivamente la possibilità che un dato $k$ possa produrre primi gemelli
ora esattamente come per i regoli posso fare i passi del crivello costruendo moduli composti formati da più sequenze.
Ho usato l'immagine dei regoli perché nel tentare di spiegarla mi è sembrata la più efficace. Prendendo ad esempio 7 regoli lunghi 5 ($v_1$) e 5 regoli lunghi 7 ($v_2$) avrò un nuovo modulo lungo $v_1*v_2$ come evidenziato
Di questo posso contare con esattezza quanti singoli regoli ho di ciascun $v_a$, quanti sono in conseguenza i valori $V;F$ complessivi e potrò contare i nuovi elementi $V;F$ risultanti in questo nuovo modulo lungo 35.
Questo posso farlo all'infinito ed equivale ad eseguire i passi del crivello ma questa volta potendo avere fondamentali informazioni su quanti $k$ incontrerò passo dopo passo.
Ho infatti scoperto (penso non sia noto) che i valori risultanti dalla composizione di tutti i moduli composti passo dopo passo risponde a sequenze regolari quindi non solo le posso contare ma posso generalizzare i rapporti.
Con una dimostrazione per induzione dimostro che queste sequenze vengono rispettate all'infinito (e qui è il punto su cui ho personalmente più dubbi perché potrei aver introdotto sofismi algebrici)
se la dimostrazione è corretta è relativamente facile arrivare a dimostrare che ogni modulo composto che creo non potrà che incrementare di $n$ valori >1 i $k$ che corrispondono a primi gemelli
Possiamo per un attimo dimenticarci i valori o le funzioni così come vanno definite come hai fatto tu che a me servivano solo a stabilire che si ripetono a moduli di $6k+-1$ all'infinito e usare solo i moduli o "regoli" che singolarmente hanno queste caratteristiche evidenti:
- ogni modulo ha lunghezza $6k+-1$
- data la proposizione "il valore $k$ restituisce in $6k+-1$ una coppia di primi gemelli" la lunghezza di ogni modulo corrisponde ad altrettanti valori booleani $V;F$ che rispondono a questa (o usando l'immagine dei regoli trasparente/opaco)
- ogni modulo ha due valori "F" in corrispondenza di $x_"a1;x_"a2"$ per tutti i $v_-$
- ogni modulo ha due valori "F" in corrispondenza di $x_"b1;x_"b2"$ per tutti i $v_+$
- ogni modulo ha $(6k+-1)-2$ valori $V$
- tutti i valori $F$ dei moduli sono "definti" nel senso che sono sempre veri
- tutti i valori $V$ dei moduli non sono "definiti" nel senso che deve essere verificato che altri moduli non abbiano in quella posizione $k$ valori $F$. Un solo valore $F$ annulla definitivamente la possibilità che un dato $k$ possa produrre primi gemelli
ora esattamente come per i regoli posso fare i passi del crivello costruendo moduli composti formati da più sequenze.
Ho usato l'immagine dei regoli perché nel tentare di spiegarla mi è sembrata la più efficace. Prendendo ad esempio 7 regoli lunghi 5 ($v_1$) e 5 regoli lunghi 7 ($v_2$) avrò un nuovo modulo lungo $v_1*v_2$ come evidenziato
Di questo posso contare con esattezza quanti singoli regoli ho di ciascun $v_a$, quanti sono in conseguenza i valori $V;F$ complessivi e potrò contare i nuovi elementi $V;F$ risultanti in questo nuovo modulo lungo 35.
Questo posso farlo all'infinito ed equivale ad eseguire i passi del crivello ma questa volta potendo avere fondamentali informazioni su quanti $k$ incontrerò passo dopo passo.
Ho infatti scoperto (penso non sia noto) che i valori risultanti dalla composizione di tutti i moduli composti passo dopo passo risponde a sequenze regolari quindi non solo le posso contare ma posso generalizzare i rapporti.
Con una dimostrazione per induzione dimostro che queste sequenze vengono rispettate all'infinito (e qui è il punto su cui ho personalmente più dubbi perché potrei aver introdotto sofismi algebrici)
se la dimostrazione è corretta è relativamente facile arrivare a dimostrare che ogni modulo composto che creo non potrà che incrementare di $n$ valori >1 i $k$ che corrispondono a primi gemelli
Ho riletto varie volte il tuo intervento ma non mi è molto chiaro … mi pare che sostanzialmente "la regolarità", "i regoli", ecc. possano essere riassunti da quanto ho scritto nel post precedente.
Come ho detto, ognuna di quelle quattro funzioni genera infinite progressione aritmetiche (ovvero successioni che hanno la caratteristica di avere i termini a distanza fissa); per esempio, prendendo la prima funzione, variando $k$ e fissando $y$ di volta in volta otteniamo $4, 9, 14, 19, …$ se $y=1$ (la ragione è $5$), $9, 20, 31, 41, …$ se $y=2$ (la ragione è $11$), $14, 31, 48, 65, …$ se $y=3$ (la ragione è $17$) e così via.
Ora, il fatto che esistano infinite successioni (diverse) che "producano" numeri composti (alla fine del giro) non garantisce nulla a riguardo dell'esistenza o meno di infiniti primi (tantomeno gemelli); sarà altamente improbabile ma non puoi escludere che tali successioni alla fin fine generino tutti i naturali di quel tipo da un certo punto in poi …
Peraltro, diversamente da quanto affermi qui
Come ho detto, ognuna di quelle quattro funzioni genera infinite progressione aritmetiche (ovvero successioni che hanno la caratteristica di avere i termini a distanza fissa); per esempio, prendendo la prima funzione, variando $k$ e fissando $y$ di volta in volta otteniamo $4, 9, 14, 19, …$ se $y=1$ (la ragione è $5$), $9, 20, 31, 41, …$ se $y=2$ (la ragione è $11$), $14, 31, 48, 65, …$ se $y=3$ (la ragione è $17$) e così via.
Ora, il fatto che esistano infinite successioni (diverse) che "producano" numeri composti (alla fine del giro) non garantisce nulla a riguardo dell'esistenza o meno di infiniti primi (tantomeno gemelli); sarà altamente improbabile ma non puoi escludere che tali successioni alla fin fine generino tutti i naturali di quel tipo da un certo punto in poi …
Peraltro, diversamente da quanto affermi qui
"pdercoli":vorrei ricordarti che i vari $k$ e $y$ producono, sempre, numeri composti non primi
... la possibilità che un dato $ k $ possa produrre primi gemelli ...
corretto, preciso che:
- i variando $k$ ho due successioni rispettivamente per $v_-$ e $v_+$
le successioni dei numeri composti mi serve per arrivare agli oggetti modulari e in particolare all'oggetto modulo composto che ho evidenziato contornandolo di nero nell'ultima immagine. Questo è sia uno strumento per eseguire il crivello dei gemelli sia un oggetto matematico che risponde a precise leggi aritmetiche.
Studiando questo oggetto posso arrivare a quel che affermo perché ogni suo valore è esprimibile in formule rispetto i valori $v_-$ e $v_+$ che lo compongono.
Per questo ho bisogno di un po' di tempo perché devo scrivere formule un po' più articolate e probabilmente più che usare lo strumento del forum mi conviene aggiornare quelle che ho già fatto con i nomi condivisi e pubblicarle come immagini
- i variando $k$ ho due successioni rispettivamente per $v_-$ e $v_+$
"axpgn":
Ora, il fatto che esistano infinite successioni (diverse) che "producano" numeri composti (alla fine del giro) non garantisce nulla a riguardo dell'esistenza o meno di infiniti primi (tantomeno gemelli)
le successioni dei numeri composti mi serve per arrivare agli oggetti modulari e in particolare all'oggetto modulo composto che ho evidenziato contornandolo di nero nell'ultima immagine. Questo è sia uno strumento per eseguire il crivello dei gemelli sia un oggetto matematico che risponde a precise leggi aritmetiche.
Studiando questo oggetto posso arrivare a quel che affermo perché ogni suo valore è esprimibile in formule rispetto i valori $v_-$ e $v_+$ che lo compongono.
Per questo ho bisogno di un po' di tempo perché devo scrivere formule un po' più articolate e probabilmente più che usare lo strumento del forum mi conviene aggiornare quelle che ho già fatto con i nomi condivisi e pubblicarle come immagini
Non mi pare che tu abbia letto con attenzione quanto ho scritto sopra …
Finora stai solo generando un'infinità di progressioni aritmetiche ovvero successioni di numeri a distanza costante che i matematici chiamano "ragione" che è la stessa cosa dei tuoi "regoli/moduli".
Per quel che ne sappiamo, queste successioni potrebbero "coprire" tutti i naturali (da un certo punto in poi) non lasciando spazio ad eventuali primi gemelli.
Tra l'altro mi sorge un dubbio, non vorrei tu stia facendo confusione e quindi mi ripeto: gli infiniti $k$ e $y$ (e di conseguenza gli $x$ prodotti da questi) generano solo numeri composti, NON generano primi,
Finora stai solo generando un'infinità di progressioni aritmetiche ovvero successioni di numeri a distanza costante che i matematici chiamano "ragione" che è la stessa cosa dei tuoi "regoli/moduli".
Per quel che ne sappiamo, queste successioni potrebbero "coprire" tutti i naturali (da un certo punto in poi) non lasciando spazio ad eventuali primi gemelli.
Tra l'altro mi sorge un dubbio, non vorrei tu stia facendo confusione e quindi mi ripeto: gli infiniti $k$ e $y$ (e di conseguenza gli $x$ prodotti da questi) generano solo numeri composti, NON generano primi,
ho letto con attenzione e il passo successivo è proprio illustrare come queste successioni non copriranno tutti i naturali all'infinito. Occorrono alcuni passaggi e li sto traducendo rispetto alle diciture che abbiamo condiviso cercando di acquisire gli strumenti del forum e forse impiegherò un pochino per farlo.
No non sto facendo confusione, gli infiniti $k$ e $y$ generano solo $x$ che corrispondono a composti ma dato che le progressioni aritmetiche portano a sequenze di lunghezza discreta posso sapere quanti sono i valori che non corrispondendo a $x$ di composti e che di conseguenza sono potenzialmente produttivi di primi gemelli. Per saperlo ho prima individuato strutture modulari che man mano completano il quadro della disposizione della sequenza e in esse ho trovato sequenze aritmetiche discrete che mi consentono di attaccare il problema perché mi permettono di conoscere il numero preciso di valori "x" risultanti passo dopo passo. Non conoscevo l'uso del termine "ragione" e cercherò di farlo mio.
No non sto facendo confusione, gli infiniti $k$ e $y$ generano solo $x$ che corrispondono a composti ma dato che le progressioni aritmetiche portano a sequenze di lunghezza discreta posso sapere quanti sono i valori che non corrispondendo a $x$ di composti e che di conseguenza sono potenzialmente produttivi di primi gemelli. Per saperlo ho prima individuato strutture modulari che man mano completano il quadro della disposizione della sequenza e in esse ho trovato sequenze aritmetiche discrete che mi consentono di attaccare il problema perché mi permettono di conoscere il numero preciso di valori "x" risultanti passo dopo passo. Non conoscevo l'uso del termine "ragione" e cercherò di farlo mio.
"pdercoli":
... ma dato che le progressioni aritmetiche portano a sequenze di lunghezza discreta posso sapere quanti sono i valori che non corrispondendo a $x$ di composti …
Attento: una progressione aritmetica ha i termini a distanza costante (la ragione, appunto) ma la lunghezza della sequenza è infinita; inoltre, quel che è peggio, bisogna andare molto cauti quando si conta qualcosa che è infinito …
"axpgn":
[quote="pdercoli"]... ma dato che le progressioni aritmetiche portano a sequenze di lunghezza discreta posso sapere quanti sono i valori che non corrispondendo a $x$ di composti …
Attento: una progressione aritmetica ha i termini a distanza costante (la ragione, appunto) ma la lunghezza della sequenza è infinita; inoltre, quel che è peggio, bisogna andare molto cauti quando si conta qualcosa che è infinito …[/quote]
ne sono consapevole infatti parlo di "possibile dimostrazione"
le sequenze le ho studiate osservando empiricamente i primi valori per capire se esistessero e quando le ho trovate ho dimostrato che vengono rispettate all'infinito attraverso una dimostrazione per induzione.
Proprio quello è il punto critico che solo una persona con esperienza può valutare se corretto e lo posso usare oppure se ho introdotto un sofisma algebrico e cade tutto il castello
Se non ci sono dubbi sul fatto che si può eseguire il crivello con un approccio modulare oltre che sequenziale vado a descrivere questi moduli
DEFINIZIONI
- Moduli singoli = sono l'equivalente dei regoli singoli per ogni valore $v_a$ della sequenza precedentemente definita. Li chiamo $M_"a"$ intendendo che corrispondono alle ragioni di ogni $v_a$ e quindi $M_"1"=5; M_"2"=7; M_"3"=11; M_"4"=13;...; M_"(2a-1)" = M_"v-"; M_"(2a)" = M_"v+"$ (quindi tutti gli $M$ con indice pari corrispondono a valori $6k-1$ e tutti gli $M$ con indice dispari a valori $6k+1$. Questo aspetto tornerà utile ai fini della dimostrazione). Disposti in sequenza a partire dai rispettivi valori $x_"a1"; x_"b1"$ individuano tutti i $k$ corrispondenti ai composti in $6k+-1$.
- Moduli composti = sono oggetti formati allineando più sequenze di moduli $v_a$ da $v_1$ a $v_a$. Anch'essi conservano modularità rispetto alla distribuzione dei valori dati da tutti gli $M_"a"$. Li chiamo $MM_"a"$ intendendo che sono formati da porzioni di sequenze di tutti gli $M_"a"$ da $M_"1"$ a $M_"a"$
- $V$ e $F$ sono valori booleani vero/falso rispetto la proposizione "il valore $k$ in $6k+-1$ può restituire una coppia di primi gemelli" contenuti nei moduli $M_a$ e $MM_a$
PROPRIETA' MODULI SINGOLI
- hanno lunghezza corrispondente a $v_a$
- hanno due valori $F$ corrispondenti a $x_"a1"; x_"a2"$ per tutti i $v_-$
- hanno due valori $F$ corrispondenti a $x_"b1"; x_"b2"$ per tutti i $v_+$
- hanno $v_a-2$ valori $V$
- tutti i valori $F$ sono definiti quindi sono veri rispetto la proposizione data
- tutti i valori $V$ non sono definiti quindi si deve verificare se la stessa posizione non sia occupata da nessun valore $F$ di altri moduli
PROPRIETA' MODULI COMPOSTI
- hanno lunghezza $v_a!$ intendendo che essa corrisponde alla produttoria della ragione di tutti i $v_a$ da $v_1$ a $v_a$ quindi ad es. $MM_"3"$ ha lunghezza $5*7*11$ che corrisponde a $185$ valori $V;F$ risultanti combinando tutti i composti di $v_1, v_2,v_3$
- avendo un qualsiasi modulo $MM_"a"$ lungo $v_a!$ e volendo creare il successivo $MM_"a+1"$ per formarlo dovrò replicare la ragione di $v_"a+1"$ volte il modulo $MM_"a"$ così com'è. Allo stesso tempo dovrò replicare la ragione di $v_a!$ volte il modulo $M_"a+1"$.
- di conseguenza i valori $F$ che potranno annullare posizioni (dico posizioni perché con i moduli non devo più preoccuparmi dei valori discreti) che sono ancora $V$ nel modulo precedente sono $2(v_a!)/(v_a)$ oppure $2(v_"a-1"!)$
- dato che formare un modulo $MM_a$ equivale ad eseguire $a$ passi del crivello posso determinare la porzione definita nel modulo che equivale al punto in cui più nessun altro composto di $v_"a+1"$ potrà più variare i valori $V;F$ ad esso inferiori.
A causa della presenza dei reciproci nelle sequenze $v_a$, il primo valore $V$ che potrà essere cambiato in $F$ in ogni sequenza sarà l'equivalente della potenza della ragione di $v_a$ perché tutti gli altri precedenti sono già stati annullati dai reciproci con valori inferiori.
Le potenze dei valori $v_a$ si trovano tutte nella forma $6k+1$ (cfr. $a1,b2$,) quindi il modulo è definito per $(v_a)^2=6k+1$ e quindi fino al valore $k=((v_a)^2-1)/6$. Ad es. il modulo $MM_2$ è definito per il valore $k=((7)^2-1)/6=8$. Guardando le sequenze riportate nelle immagini si può vedere che infatti i moduli successivi fino a quel punto saranno solo composti reciproci di valori più piccoli (la struttura speculare che avevamo visto). Ultima osservazione $(v_a)^2-1$ è sempre divisibile per $6$ quindi le porzioni dei moduli si definiscono sempre per valori interi
Posso quindi individuare i seguenti valori significativi in ogni $MM_"a"$:
- $F_a$ il numero di tutti i valori $F$ di un modulo $M_"a"$ che, generando $MM_"a"$, vengono replicati $v_"a-1"!$ volte e sono come detto $2(v_"a-1"!) ∀ a>1$ con $F_1=2$
- $FR_a$ è il numero di tutti i valori $F$ "risultanti" $∀$ valore del modulo $MM_"a"$. Dato che i valori $F_a$ sono ridondanti con i valori $FR$ dei moduli $MM$ precedenti avremo $FR_a < F_a ∀ a>1$. Sappiamo che $FR_1=2$
- $VR_a$ è il numero di tutti i valori $V$ "risultanti" $∀$ valore del modulo $MM_"a"$ non annullati da alcun valore $F$ di tutti gli $M_a$ presenti in $MM_a$.
- $V_a$ è il numero di tutti i $VR_"a-1"$ presenti in $MM_"a-1"$ che vengono replicati $v_a$ volte in $MM_a$. Si possono esprimere con $V_a=VR_"a-1"*v_a ∀ a>1$ con $V_1=5$
conseguenza di queste definizioni è che
$V_a-FR_a=VR_a$ quindi $(VR_"a-1"*v_a)-FR_a=VR_a ∀ a>1$ con $V_1=5$
A questo punto posso costruire alcune sequenze di $MM_a$ per verificare che tutti i valori prevedibili perché evidenti ($F_a$ e $V_a$) corrispondano effettivamnte ai rapporti definiti e studiare il comportamento di quelli che ancora sono da definire ($FR_a$ e $VR_a$).
Ho ottenuto da questa operazione la seguente tabella
e riscontrato che i valori $VR_a$ crescono per i primi 5 passi per valori corrispondenti alla produttoria
$(v_1-2)*(v_2-2)*(v_3-2)*(v_4-2)*(v_5-2)$
quindi posso ipotizzare che:
ipotesi 1. $VR_a=(v_"a"-2)! ∀a>0$
i valori $FR_a$ per gli stessi passi rispettano invece la produttoria
$2*(v_1-2)*(v_2-2)*(v_3-2)*(v_4-2)$
quindi posso ipotizzare che:
ipotesi 2. $FR_a=2(v_"a-1"-2)! ∀a>1$
se le due ipotesi fossero vere sarebbe vera anche
ipotesi 3. $FR_"a+1"= 2(v_a-2)!$ quindi $FR_"a+1"=2*VR_a ∀ a>0$
DIMOSTRAZIONE PER INDUZIONE DELLE IPOTESI 1,2,3
verifico il primo passo in quanto:
ipotesi 1. $VR_1=(v_1-2)! = (5-2)=3$
ipotesi 2. $FR_2=2(v_1-2)! =2(5-2)=6$
ipotesi 3. $FR_2=6$ quindi $FR_2=2VR_1=2*3$
Avendo tratto dalle definizioni date la conseguenza che
a) $(VR_"a-1"*v_a)-FR_a=VR_a ∀ a>1$ con $V_1=5$
e avendo verificato direttamente il caso con $a=1$ allora posso dire che questa sarà vera per tutti gli altri casi da verificare.
dall'ipotesi 1 suppongo che $VR_a=(v_"a"-2)! ∀a>0$ e di conseguenza
b) $VR_"a-1"=(v_"a-1"-2)! ∀a>1$
quindi per tutti i passaggi con $a>1$, sostituendo b) in a), deve essere vera anche
c) $((v_"a-1"-2)!*v_a)-FR_a=(v_"a"-2)!$
Dato che l'ipotesi 3 è di fatto conseguenza delle prime due e che può essere scritta anche
$FR_"a"=2(v_"a-1"-2)! ∀ a>1$
sostituendo l'ipotesi 3 in c) avrò che
d) $((v_"a-1"-2)!*v_a)-2(v_"a-1"-2)! =(v_"a"-2)!$
Osservo che $(v_"a"-2)! =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$ e quindi d) può essere scritta
d) $((v_"a-1"-2)!*v_a)-2(v_"a-1"-2)! =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$
L'equazione a questo punto dovrebbe continuare a risultare vera infatti posso svolgere i passi
1. $((v_"a-1"-2)!*v_a)-2(v_"a-1"-2)! =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$ raccolgo per (v_"a-1"-2)!
2. $((v_"a-1"-2)!*((1*v_a)-(2*1)) =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$ e quindi
3. $((v_"a-1"-2)!*(v_a-2) =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$
dovrebbe essere quindi dimostrato che con il primo passo con $a=1$ e per tutti gli altri con $a>1$ i rapporti ipotizzati siano sempre realizzati
se non ho commesso errori in questo passaggio posso usare tutte le informazioni acquisite per dimostrare che per ogni $MM_a$ esiste $MM_"a+1"$ che incrementa i valori produttivi di coppie di primi gemelli nella porzione definita di almeno una unità e quindi che di conseguenza questi sono infiniti
DEFINIZIONI
- Moduli singoli = sono l'equivalente dei regoli singoli per ogni valore $v_a$ della sequenza precedentemente definita. Li chiamo $M_"a"$ intendendo che corrispondono alle ragioni di ogni $v_a$ e quindi $M_"1"=5; M_"2"=7; M_"3"=11; M_"4"=13;...; M_"(2a-1)" = M_"v-"; M_"(2a)" = M_"v+"$ (quindi tutti gli $M$ con indice pari corrispondono a valori $6k-1$ e tutti gli $M$ con indice dispari a valori $6k+1$. Questo aspetto tornerà utile ai fini della dimostrazione). Disposti in sequenza a partire dai rispettivi valori $x_"a1"; x_"b1"$ individuano tutti i $k$ corrispondenti ai composti in $6k+-1$.
- Moduli composti = sono oggetti formati allineando più sequenze di moduli $v_a$ da $v_1$ a $v_a$. Anch'essi conservano modularità rispetto alla distribuzione dei valori dati da tutti gli $M_"a"$. Li chiamo $MM_"a"$ intendendo che sono formati da porzioni di sequenze di tutti gli $M_"a"$ da $M_"1"$ a $M_"a"$
- $V$ e $F$ sono valori booleani vero/falso rispetto la proposizione "il valore $k$ in $6k+-1$ può restituire una coppia di primi gemelli" contenuti nei moduli $M_a$ e $MM_a$
PROPRIETA' MODULI SINGOLI
- hanno lunghezza corrispondente a $v_a$
- hanno due valori $F$ corrispondenti a $x_"a1"; x_"a2"$ per tutti i $v_-$
- hanno due valori $F$ corrispondenti a $x_"b1"; x_"b2"$ per tutti i $v_+$
- hanno $v_a-2$ valori $V$
- tutti i valori $F$ sono definiti quindi sono veri rispetto la proposizione data
- tutti i valori $V$ non sono definiti quindi si deve verificare se la stessa posizione non sia occupata da nessun valore $F$ di altri moduli
PROPRIETA' MODULI COMPOSTI
- hanno lunghezza $v_a!$ intendendo che essa corrisponde alla produttoria della ragione di tutti i $v_a$ da $v_1$ a $v_a$ quindi ad es. $MM_"3"$ ha lunghezza $5*7*11$ che corrisponde a $185$ valori $V;F$ risultanti combinando tutti i composti di $v_1, v_2,v_3$
- avendo un qualsiasi modulo $MM_"a"$ lungo $v_a!$ e volendo creare il successivo $MM_"a+1"$ per formarlo dovrò replicare la ragione di $v_"a+1"$ volte il modulo $MM_"a"$ così com'è. Allo stesso tempo dovrò replicare la ragione di $v_a!$ volte il modulo $M_"a+1"$.
- di conseguenza i valori $F$ che potranno annullare posizioni (dico posizioni perché con i moduli non devo più preoccuparmi dei valori discreti) che sono ancora $V$ nel modulo precedente sono $2(v_a!)/(v_a)$ oppure $2(v_"a-1"!)$
- dato che formare un modulo $MM_a$ equivale ad eseguire $a$ passi del crivello posso determinare la porzione definita nel modulo che equivale al punto in cui più nessun altro composto di $v_"a+1"$ potrà più variare i valori $V;F$ ad esso inferiori.
A causa della presenza dei reciproci nelle sequenze $v_a$, il primo valore $V$ che potrà essere cambiato in $F$ in ogni sequenza sarà l'equivalente della potenza della ragione di $v_a$ perché tutti gli altri precedenti sono già stati annullati dai reciproci con valori inferiori.
Le potenze dei valori $v_a$ si trovano tutte nella forma $6k+1$ (cfr. $a1,b2$,) quindi il modulo è definito per $(v_a)^2=6k+1$ e quindi fino al valore $k=((v_a)^2-1)/6$. Ad es. il modulo $MM_2$ è definito per il valore $k=((7)^2-1)/6=8$. Guardando le sequenze riportate nelle immagini si può vedere che infatti i moduli successivi fino a quel punto saranno solo composti reciproci di valori più piccoli (la struttura speculare che avevamo visto). Ultima osservazione $(v_a)^2-1$ è sempre divisibile per $6$ quindi le porzioni dei moduli si definiscono sempre per valori interi
Posso quindi individuare i seguenti valori significativi in ogni $MM_"a"$:
- $F_a$ il numero di tutti i valori $F$ di un modulo $M_"a"$ che, generando $MM_"a"$, vengono replicati $v_"a-1"!$ volte e sono come detto $2(v_"a-1"!) ∀ a>1$ con $F_1=2$
- $FR_a$ è il numero di tutti i valori $F$ "risultanti" $∀$ valore del modulo $MM_"a"$. Dato che i valori $F_a$ sono ridondanti con i valori $FR$ dei moduli $MM$ precedenti avremo $FR_a < F_a ∀ a>1$. Sappiamo che $FR_1=2$
- $VR_a$ è il numero di tutti i valori $V$ "risultanti" $∀$ valore del modulo $MM_"a"$ non annullati da alcun valore $F$ di tutti gli $M_a$ presenti in $MM_a$.
- $V_a$ è il numero di tutti i $VR_"a-1"$ presenti in $MM_"a-1"$ che vengono replicati $v_a$ volte in $MM_a$. Si possono esprimere con $V_a=VR_"a-1"*v_a ∀ a>1$ con $V_1=5$
conseguenza di queste definizioni è che
$V_a-FR_a=VR_a$ quindi $(VR_"a-1"*v_a)-FR_a=VR_a ∀ a>1$ con $V_1=5$
A questo punto posso costruire alcune sequenze di $MM_a$ per verificare che tutti i valori prevedibili perché evidenti ($F_a$ e $V_a$) corrispondano effettivamnte ai rapporti definiti e studiare il comportamento di quelli che ancora sono da definire ($FR_a$ e $VR_a$).
Ho ottenuto da questa operazione la seguente tabella
e riscontrato che i valori $VR_a$ crescono per i primi 5 passi per valori corrispondenti alla produttoria
$(v_1-2)*(v_2-2)*(v_3-2)*(v_4-2)*(v_5-2)$
quindi posso ipotizzare che:
ipotesi 1. $VR_a=(v_"a"-2)! ∀a>0$
i valori $FR_a$ per gli stessi passi rispettano invece la produttoria
$2*(v_1-2)*(v_2-2)*(v_3-2)*(v_4-2)$
quindi posso ipotizzare che:
ipotesi 2. $FR_a=2(v_"a-1"-2)! ∀a>1$
se le due ipotesi fossero vere sarebbe vera anche
ipotesi 3. $FR_"a+1"= 2(v_a-2)!$ quindi $FR_"a+1"=2*VR_a ∀ a>0$
DIMOSTRAZIONE PER INDUZIONE DELLE IPOTESI 1,2,3
verifico il primo passo in quanto:
ipotesi 1. $VR_1=(v_1-2)! = (5-2)=3$
ipotesi 2. $FR_2=2(v_1-2)! =2(5-2)=6$
ipotesi 3. $FR_2=6$ quindi $FR_2=2VR_1=2*3$
Avendo tratto dalle definizioni date la conseguenza che
a) $(VR_"a-1"*v_a)-FR_a=VR_a ∀ a>1$ con $V_1=5$
e avendo verificato direttamente il caso con $a=1$ allora posso dire che questa sarà vera per tutti gli altri casi da verificare.
dall'ipotesi 1 suppongo che $VR_a=(v_"a"-2)! ∀a>0$ e di conseguenza
b) $VR_"a-1"=(v_"a-1"-2)! ∀a>1$
quindi per tutti i passaggi con $a>1$, sostituendo b) in a), deve essere vera anche
c) $((v_"a-1"-2)!*v_a)-FR_a=(v_"a"-2)!$
Dato che l'ipotesi 3 è di fatto conseguenza delle prime due e che può essere scritta anche
$FR_"a"=2(v_"a-1"-2)! ∀ a>1$
sostituendo l'ipotesi 3 in c) avrò che
d) $((v_"a-1"-2)!*v_a)-2(v_"a-1"-2)! =(v_"a"-2)!$
Osservo che $(v_"a"-2)! =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$ e quindi d) può essere scritta
d) $((v_"a-1"-2)!*v_a)-2(v_"a-1"-2)! =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$
L'equazione a questo punto dovrebbe continuare a risultare vera infatti posso svolgere i passi
1. $((v_"a-1"-2)!*v_a)-2(v_"a-1"-2)! =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$ raccolgo per (v_"a-1"-2)!
2. $((v_"a-1"-2)!*((1*v_a)-(2*1)) =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$ e quindi
3. $((v_"a-1"-2)!*(v_a-2) =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$
dovrebbe essere quindi dimostrato che con il primo passo con $a=1$ e per tutti gli altri con $a>1$ i rapporti ipotizzati siano sempre realizzati
se non ho commesso errori in questo passaggio posso usare tutte le informazioni acquisite per dimostrare che per ogni $MM_a$ esiste $MM_"a+1"$ che incrementa i valori produttivi di coppie di primi gemelli nella porzione definita di almeno una unità e quindi che di conseguenza questi sono infiniti
Magari se postavi un paragrafo per volta era meglio, molto meglio
Non capisco cosa intendi con questa differenziazione ...
E visto che inizi, giustamente, con le definizioni, definisci per bene ... così come hai fatto, per esempio, non si capisce da dove saltano fuori i valori dei vari $M$ che sono la "base" dei tuo ragionamenti (si capisce veramente poco, ci sono un sacco di simboli e praticamente nessuno è definito in modo preciso … IMHO)
"pdercoli":
Se non ci sono dubbi sul fatto che si può eseguire il crivello con un approccio modulare oltre che sequenziale vado a descrivere questi moduli
Non capisco cosa intendi con questa differenziazione ...
"pdercoli":
DEFINIZIONI
- Moduli singoli = sono l'equivalente dei regoli singoli per ogni valore $ v_a $ della sequenza precedentemente definita. Li chiamo $ M_"a" $ intendendo che corrispondono alle ragioni di ogni $ v_a $ e quindi $ M_"1"=5; M_"2"=7; M_"3"=11; M_"4"=13;...; M_"(2a-1)" = M_"v-"; M_"(2a)" = M_"v+" $ (quindi tutti gli $ M $ con indice pari corrispondono a valori $ 6k-1 $ e tutti gli $ M $ con indice dispari a valori $ 6k+1 $. Questo aspetto tornerà utile ai fini della dimostrazione). Disposti in sequenza a partire dai rispettivi valori $ x_"a1"; x_"b1" $ individuano tutti i $ k $ corrispondenti ai composti in $ 6k+-1 $.
E visto che inizi, giustamente, con le definizioni, definisci per bene
... così come hai fatto, per esempio, non si capisce da dove saltano fuori i valori dei vari $M$ che sono la "base" dei tuo ragionamenti (si capisce veramente poco, ci sono un sacco di simboli e praticamente nessuno è definito in modo preciso … IMHO)
comprendo ma ho preferito scrivere tutto perché riportare i singoli passaggi a pezzi nel forum mi crea più problemi.
Ora posso anche riprenderli passo passo e vedere se la poca chiarezza è solo formale o anche sostanziale.
i moduli singoli $M_a$ sono questi (rosso $M_1$, blu $M_2$, verde $M_3$ etc.):
i moduli composti $MM_a$ sono questi (evidenziato $MM_2$):
- $F_2$ sono i 10 valori composti del singolo $M_2$ equivalenti alle 2 posizioni corrispondenti ai valori composti replicati 5 volte per formare $MM_2$
- $FR_2$ sono quei valori che non sono ridondanti. Sono 6 dato che in corrispondenza dei composti 7*5, 7*25, 7*29, 7*31 sono ridondanti in quanto già occupate da valori $F$ della sequenza dei moduli $M_1$
- $VR_2$ sono i valori $V$ che risultano effettivamente presenti in $MM_2$. sono 15 con considerando significativi i soli 35 valori del modulo da 4 a 38
- $V_2$ sono i 3 valori $V$ di $MM_1$ (per il primo caso $MM_1$ ed $M_1$ si equivalgono) che costruendo $MM_2$ vengono replicati per 7 volte quindi 21 nuovi potenziali valori $V$ di cui una parte sarà annullata dai valori $FR_2$
Ora posso anche riprenderli passo passo e vedere se la poca chiarezza è solo formale o anche sostanziale.
i moduli singoli $M_a$ sono questi (rosso $M_1$, blu $M_2$, verde $M_3$ etc.):
i moduli composti $MM_a$ sono questi (evidenziato $MM_2$):
- $F_2$ sono i 10 valori composti del singolo $M_2$ equivalenti alle 2 posizioni corrispondenti ai valori composti replicati 5 volte per formare $MM_2$
- $FR_2$ sono quei valori che non sono ridondanti. Sono 6 dato che in corrispondenza dei composti 7*5, 7*25, 7*29, 7*31 sono ridondanti in quanto già occupate da valori $F$ della sequenza dei moduli $M_1$
- $VR_2$ sono i valori $V$ che risultano effettivamente presenti in $MM_2$. sono 15 con considerando significativi i soli 35 valori del modulo da 4 a 38
- $V_2$ sono i 3 valori $V$ di $MM_1$ (per il primo caso $MM_1$ ed $M_1$ si equivalgono) che costruendo $MM_2$ vengono replicati per 7 volte quindi 21 nuovi potenziali valori $V$ di cui una parte sarà annullata dai valori $FR_2$
credo non serva ma per specificare meglio gli oggetti $MM_a$ e i valori che prendo in considerazione:
- Evidenziati in verde e celeste due $MM_2$ lunghi ciascuno 35 e disposti lungo i primi valori di $k$ da verificare da 4 a 73 in colonna C.
- Nella colonna D ed E ci sono i rispettivi $M_a$ necessari per formarlo (7 $M_1$ e 5 $M_2$) da cui ricavo esplicitamente i valori $F_2$ e $V_2$.
- Nella colonna B evidenziati i valori risultanti $FR_2$ (evidenziati in rosa perché in corrispondenza c'è almeno un valore $F$) e i valori risultanti $VR$ (dove non c'è nessun valore $F$ e quindi sono potenzialmente produttivi di primi gemelli)
- Il primo valore $V$ cambiato in $F$ da un modulo $M_2$ è quello in corrispondenza di $(v_2)^2$ perché dell'altro c'era già il reciproco con un $v_1$ e da questo ricavo la formula per individuare il punto in cui il modulo è definito.
Ho fatto esattamente quello che farei nei primi due passi del crivello in modo sequenziale calcolando tutti i valori di $x_a1; x_a2; x_b1; x_b2$ ma con un approccio modulare che mi consente di avere valori significativi rispetto a quanti sono i $k$ produttivi di gemelli ogni singolo passo compiuto
"pdercoli":
i moduli singoli $M_a$ sono questi (rosso $M_1$, blu $M_2$, verde $M_3$ etc.):
Matematicamente questa frase non ha nessun significato … mi ripeto: devi definire per bene ogni oggetto che usi altrimenti non solo è difficile capirsi ma soprattutto è facile fare confusione e prendere fischi per fiaschi.
Una definizione non solo deve essere chiara e comprensibile ma anche NON deve essere ambigua né contradditoria.
Un esempio di come definirei io alcune cose è questo (ovviamente tu puoi fare come vuoi basta che rispetti quanto ho detto poca sopra):
- L'insieme $V$ è composto da tutti i numeri naturali della forma $v=6n+-1$ con $n in NN$.
- L'insieme $V$ contiene tutti i numeri primi tranne il $2$ e il $3$.
- L'insieme $V$ contiene tutti i numeri composti che NON sono multipli di $2$ o di $3$.
- I numeri composti appartenenti a $V$ sono il prodotto di numeri appartenenti a $V$.
- Abbiamo due tipologie di numeri composti di $V$:
$v_+=6n+1$ con $n in NN$ che identifichiamo con il pedice "+"
$v_(-)=6n-1$ con $n in NN$ che identifichiamo con il pedice "-"
- Ciascuna delle due tipologie può essere decomposta nel prodotto di due numeri di $V$ in due modi diversi e più precisamente:
$v_(+a)=6x+1=(6k+1)(6y+1)$
$v_(+b)=6x+1=(6k-1)(6y-1)$
$v_(-a)=6x-1=(6k-1)(6y+1)$
$v_(-b)=6x-1=(6k+1)(6y-1)$
- dato un elemento qualsiasi $w=6x+-1$ di $V$ denominiamo la variabile $x$ come il "seme" che genera gli elementi di $V$
- dalle quattro relazioni precedenti possiamo ricavare quattro funzioni che definiscono tutti i "semi" in funzione di ogni coppia di numeri naturali (ovvero per ogni elemento di $NN^2$ esiste un "seme"); le funzioni sono le seguenti:
$f_1: NN^2 -> N\ \ \ \ \ \ \ x_(+a)=f(k,y)=6ky+k+y$
$f_2: NN^2 -> N\ \ \ \ \ \ \ x_(+b)=f(k,y)=6ky-k-y$
$f_3: NN^2 -> N\ \ \ \ \ \ \ x_(-a)=f(k,y)=6ky+k-y$
$f_4: NN^2 -> N\ \ \ \ \ \ \ x_(-b)=f(k,y)=6ky-k+y$
- per ciascuna funzione, tenendo fissa una delle variabili e variando l'altra, otteniamo delle progressioni aritmetiche (ed in concreto ne otteniamo infinite variando di volta in volta la seconda variabile).
E questo esempio è solo l'inizio … adesso tocca a te: i tuoi "moduli" sono le "ragioni" di queste progressioni aritmetiche e se vuoi proseguire un discorso più "matematichese" devi definire "per bene" questi moduli (insomma, non con frasi come "i moduli sono questi" oppure elencandone i primi termini e basta).
IMHO
"axpgn":
[quote="pdercoli"]i moduli singoli $M_a$ sono questi (rosso $M_1$, blu $M_2$, verde $M_3$ etc.):
Matematicamente questa frase non ha nessun significato[/quote]
infatti non l'ho scritta nelle definizioni ma in un esempio finalizzato a far comprendere meglio la sostanza di ciò che sto cercando di descrivere perché io il "matematichese" non lo possiedo e come tutti quelli che non possiedono un linguaggio cercano di tradurre le idee in immagini
sei molto gentile, paziente e rigoroso e non posso che ringraziarti di tutte e tre le cose
tu mi dici che ci sono ambiguità ma io fatico a vederle. Puoi farmi un esempio di dove sono nelle definizioni che ho dato di $M_a$, $MM_a$, $F_a$, $FR_a$, $V_a$, $VR_a$
anche non tutte ma solo in generale in modo che posso venire incontro alla tua richiesta
"pdercoli":
infatti non l'ho scritta nelle definizioni ma in un esempio finalizzato a far comprendere meglio la sostanza di ciò che sto cercando di descrivere perché io il "matematichese" non lo possiedo e come tutti quelli che non possiedono un linguaggio cercano di tradurre le idee in immagini
Eh, ma così è difficile andare avanti … io non ho letto completamente i tuoi ultimi interventi perché, oltre ad essere faticoso, se il primo punto non è chiaro, il secondo diventa più nebuloso, il terzo ancor di più e alla fine diventa tutta nebbia
... non so se mi spiego ... Per esempio, io non vedo da nessuna parte una definizione o un'espressione o un algoritmo che mi permetta di calcolare i vari $M$ in modo preciso e puntuale; non è sufficiente dire "è evidente", "si intuisce che" o fare un elenco dei valori iniziali, non funziona così ...
Tanto per cominciare, devi sforzarti di proporre un metodo (preciso e rigoroso), una procedura, per giungere a calcolare ogni $M$.
Gli algoritmi sai cosa sono, quindi dovresti farcela
"axpgn":
Tanto per cominciare, devi sforzarti di proporre un metodo (preciso e rigoroso), una procedura, per giungere a calcolare ogni $M$.
Gli algoritmi sai cosa sono, quindi dovresti farcela
ma io gli $M$ li ho già calcolati, la loro lunghezza è data dalla modularità delle funzioni $x_"a1",x_"a2"$ e $x_"b1", x_"b2"$ che è, come dici tu, la stessa ragione di ogni rispettivo $v_a$. Dato che la distanza fra $x_"#1"$ e gli $x_"#2"$ è sempre minore della lunghezza di $M_a$ perché è $2k$ mentre la ragione di $v_a$ è al minimo $6k-1$ ogni modulo lungo la ragione di $v_a$ conterrà entrambi i valori $x$ riferiti ai composti.
Uso gli esempi dei regoli perché, indipendentemente dalle mie limitate competenze, mi sembra estremamente più immediato da comprendere così.
Dato che i regoli rispondono evidentemente a leggi aritmetiche, nello specifico la moltiplicazione, più sequenze formate da regoli diversi risponderanno a questi rapporti quindi si ripeteranno così come sono per la lunghezza data dal loro prodotto perché è evidente che se ho regoli del 5 e regoli del 7 per produrre due sequenze della stessa lunghezza usando solo quelli uguali fra loro avrò bisogno al minimo di 7 regoli lunghi 5 e 5 lunghi 7.
questa è la definizione dei moduli singoli:
"pdercoli":.
- Moduli singoli = sono l'equivalente dei regoli singoli per ogni valore $v_a$ della sequenza precedentemente definita. Li chiamo $M_a$ intendendo che corrispondono alle ragioni di ogni $v_a$ e quindi $M_1=5;M_2=7;M_3=11;M_4=13;...;M_"(2a-1)"=Mv-;M_"(2a)"=Mv+$ (quindi tutti gli $M$ con indice pari corrispondono a valori $6k−1$ e tutti gli $M$ con indice dispari a valori $6k+1$. Questo aspetto tornerà utile ai fini della dimostrazione). Disposti in sequenza a partire dai rispettivi valori $x_"a1";x_"b1"$ individuano tutti i $k$ corrispondenti ai composti in $6k±1$.
Se analizzo quel che ho scritto descrivo:
- cosa sono = sono l'equivalente dei regoli singoli per ogni valore $v_a$
- come li chiamo = Li chiamo $M_a$ intendendo che corrispondono alle ragioni di ogni $v_a$
- come li uso e che informazione mi restituiscono = Disposti in sequenza a partire dai rispettivi valori xa1;xb1 individuano tutti i k corrispondenti ai composti in $6k±1$
cosa è ambiguo e va precisato e cosa manca per comprenderli chiaramente?
"pdercoli":
ma io gli $M$ li ho già calcolati, …
Che tu li abbia calcolati non significa assolutamente niente, devono poterli calcolare TUTTI, deve essere chiaro a TUTTI cosa sono e così via …
"pdercoli":
… la loro lunghezza è data dalla modularità delle funzioni …
Questa frase e il resto sono solo parole che non hanno un significato preciso, univoco.
Che è "la modularità delle funzioni"? Non mi interessa il significato che hanno sulla Treccani ma vorrei conoscere il procedimento che usi per dargli un valore numerico.
Ti faccio un esempio ...
Tu chiami $M$ le ragioni delle progressioni aritmetiche che si possono generare indirettamente da quella quattro funzioni.
Chiamo $M1$ le ragioni derivanti dalla prima funzione $f_1$
E siccome sono infinite, fisso una delle due variabili per avere una progressione sola (una alla volta, evidentemente) e quindi il "nome" della ragione di ogni progressione sarà $M1_(k,y=i)$ (dove la $i$ rappresenta il valore fissato per la seconda variabile).
Ora, la ragione di una progressione aritmetica si trova facilmente, calcolando la differenza tra due termini consecutivi della progressione ovvero nel caso di $M1$ avremo $M1_(k,y=i)=[(6(k+1)i+(k+1)+i]-[(6ki+k+i]=6i+1$ che in concreto produce $M1_(k,y=1)=7$ e $M1_(k,y=2)=13$ e $M1_(k,y=3)=19$ e …
Questo è un modo concreto di definire un oggetto matematico. Altrimenti son solo parole ed è difficile intendersi.
IMHO
"axpgn":
Tu chiami M le ragioni delle progressioni aritmetiche che si possono generare indirettamente da quella quattro funzioni.
Chiamo M1 le ragioni derivanti dalla prima funzione f1
E siccome sono infinite, fisso una delle due variabili per avere una progressione sola (una alla volta, evidentemente) e quindi il "nome" della ragione di ogni progressione sarà M1k,y=i (dove la i rappresenta il valore fissato per la seconda variabile).
Ora, la ragione di una progressione aritmetica si trova facilmente, calcolando la differenza tra due termini consecutivi della progressione ovvero nel caso di M1 avremo M1k,y=i=[(6(k+1)i+(k+1)+i]−[(6ki+k+i]=6i+1 che in concreto produce M1k,y=1=7 e M1k,y=2=13 e M1k,y=3=19 e …
però non corrisponde a ciò che intendo io
$M_1$ comprende entrambe le progressioni aritmetiche delle funzioni $x_"a1"; x_"a2"$ oppure $x_"b1"; x_"b2"$ a seconda che le stiamo calcolando rispettivamente a $v_-$ oppure $v_+$
$x_"a1"; x_"a2";x_"b1"; x_"b2"$ distano rispettivamente le ragioni dei rispettivi $v_a$ (se $v_a$ è di tipo $v_-$ saranno gli $x_a$, se di tipo $v_+$ saranno gli $x_b$)
gli oggetti $M_a$ non sono dei valori ma dei range di $v_a$ valori corrispondenti a valori booleani $V;F$ che mi dicono se in quella posizione che occupano rispetto ad una sequenza di $k ∈ NN$ posso o non posso avere potenziali valori $k$ che in $6k+-1$ produce coppie di primi gemelli
quindi $M_1$ non equivale ad una sequenza di valori $NN$ distanti $5$ ma sfruttando questa proprietà costruisco una sequenza di valori booleani di tipo $V;F$ lunga la ragione di $v_a$. In essa i valori sono tutti $V$ tranne quelli che corrispondono ai due composti che sono $F$. Gli $x_"a1";x_"b1"$ sono in posizione $1$ mentre gli $x_"a2";x_"b2"$ sono distanti $2k$ valori per tutti i $k$ che restituiscono coppie di valori $v_-;v_+$
quindi
$M_1$ è lungo la ragione di $v_1=5$ ed equivale alla sequenza $F;V;F;V;V$
$M_2$ è lungo la ragione di $v_2=7$ ed equivale alla sequenza $F;V;F;V;V;V;V$
$M_3$ è lungo la ragione di $v_3=11$ ed equivale alla sequenza $F;V;V;F;V;V;V;V;V;V;V$
$M_4$ è lungo la ragione di $v_3=13$ ed equivale alla sequenza $F;V;V;F;V;V;V;V;V;V;V;V;V$ e via dicendo
ripetendo queste sequenze all'infinito e cogliendo la possibilità di costruire con esse strutture modulari composte da più $M_a$ (che equivale ad eseguire l'algoritmo dei primi gemelli) ho trovato la strada per capire quanti valori $V$ corrispondono a $k$ produttivi di coppie di gemelli rispetto ad ogni oggetto composto che ho chiamato $MM$ e che per essere descritto da funzioni deve essere studiato nelle sequenze dei valori che ho dichiarato.
Io continuo a parlare di sostanza e tu di forma. Dato che non so per ignoranza mia e perché non ho mai studiato matematica che tratta questo genere di oggetti (e di conseguenza come descriverli correttamente) ho usato l'immagine dei regoli che è a mio avviso più che efficace perché, e questo lo so con certezza, se in un algoritmo uso regoli o aree di memoria che contengono valori booleani fatte di bit è concettualmente la stessa cosa, sto descrivendo due strade per fare quel che faccio con le funzioni che uso per il crivello: cercare $k$ produttivi di primi gemelli. Con le funzioni ho i valori $x$ discreti ma devo contare all'infinito in modo sequenziale. Con i moduli ho strutture che mi consentono di sapere come crescono indipendentemente dal loro valore discreto man mano che introduco tutte le sequenze di $v_a$ e mi inoltro verso porzioni più grandi di $k$ che sto verificando e questa è la chiave per comprendere se tendono ad infinito oppure no
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