Numeri primi: regolarità e possibile dimostrazione della congettura dei gemelli
Salve a tutti, da alcuni mesi sto cercando di verificare il contenuto di una mia ricerca sui numeri primi.
Ho inserito su youtube un video in cui spiego in modo esteso tutto il lavoro ma essendo abbastanza lungo scoraggia (se non vi spaventano 1h25 potete cercare "Piergiorgio D'Ercoli" e nel mio canale c'è un video chiamato "numeri primi"). Come nell'oggetto del post ho individuato ciò che ritengo essere la regolarità alla base dei primi e con essa un attacco alla congettura dei primi gemelli che credo corretto e che sto appunto cercando di far valutare.
Tutto il mio lavoro ovviamente richiederebbe un post lunghissimo per il contesto quindi ho deciso di dividerlo in tappe e se qualche utente vuole divertirsi a valutarlo individuando eventuali errori che lo invalidano ne sono felice. Posterò via via tutti i passaggi man mano che sono verificati veri.
Ho inserito su youtube un video in cui spiego in modo esteso tutto il lavoro ma essendo abbastanza lungo scoraggia (se non vi spaventano 1h25 potete cercare "Piergiorgio D'Ercoli" e nel mio canale c'è un video chiamato "numeri primi"). Come nell'oggetto del post ho individuato ciò che ritengo essere la regolarità alla base dei primi e con essa un attacco alla congettura dei primi gemelli che credo corretto e che sto appunto cercando di far valutare.
Tutto il mio lavoro ovviamente richiederebbe un post lunghissimo per il contesto quindi ho deciso di dividerlo in tappe e se qualche utente vuole divertirsi a valutarlo individuando eventuali errori che lo invalidano ne sono felice. Posterò via via tutti i passaggi man mano che sono verificati veri.
Risposte
"pdercoli":
… che chiedo circa la correttezza della dimostrazione per induzione delle sequenze $VR$ ed $FR$ …
Si vede che me la sono persa; me la citi per favore? Così come mi mostri come sono definiti (o come si calcolano o come si trovano) $VR$ e $FR$ ?
"pdercoli":
… tanto basta ad avere i valori $ F $ distribuiti non caoticamente e in modo relativamente equilibrato da permettere di usare una media aritmetica …
Mi dimostri anche questo? Il paragrafo precedente a questa frase non è una dimostrazione, a parer mio ...
"pdercoli":
… Forse non avrò dimostrato che i gemelli sono infiniti ma che ci sia un salto di 6 fra 23 e 29 causato dalla presenza del primo composto 25 e che di conseguenza tutti i salti grandi o piccoli sono determinati da una matrice simmetrica di composti in forma $ 6+-1 $ come l'ho descritta io e non sono affatto "irregolari" è un risultato interessante o banale?
Non ho capito cosa intendi dire … potresti spiegare meglio?
A proposito dell'irregolarità della distribuzione dei primi, aggiungo una cosa (che forse conosci o forse no): si può dimostrare che esiste una sequenza di composti (consecutivi) lunga a piacere (per esempio un milione di numeri composti, tutti in fila uno dietro l'altro … )
@Zero87 ciao, sì è corretto a parte la notazione condivisa con @axpgn che è $(6k+-1)(6y+-1)=6x+-1$ provo a sintetizzare:
1) mi concentro su quei valori e osservo come si distribuiscono lungo tutti gli $n∈NN$ in $6n+-1$ per fare un crivello di primi gemelli ed escludere tutti i valori $n$ che non lo sono sicuramente. Quelli che non appartengono alle sequenze identificano coppie di primi gemelli.
2) osservando queste sequenze verifico che sono modulari rispetto il valore $6k+-1$ che precedentemente @axpgn ha suggerito denominare $v_a$ come sequenza ordinata di tutti i valori in quella forma.
3) propongo un modo per sfruttare quella modularità in modo di non contare tutti i valori in base alle funzioni ma di costruire oggetti che chiamo moduli singoli $M_a$ e moduli composti $MM_a$
4) in questi trovo dei valori significativi e cerco di dedurre se questi abbiano una sequenza. Osservando i primi valori la identifico e tento di dimostrare che sia sempre rispettata per induzione.
trovi i vari passaggi all'incirca in queste pagine (spero vediamo la stessa):
1) pagine 1-2
2) pagina 3
3) e 4) pagine 3-7
anche se faticosamente (colpa mia) si è andati avanti quindi qualsiasi dubbio provo a risponderti direttamente o indicandoti i passaggi dove lo abbiamo affrontato
axpgn
In generale, data la distanza $d$ fra due primi successivi, avremo i seguenti casi:
1) Se non ci sono composti della forma $6x+-1$ fra loro questa sarà $2$ se i primi sono gemelli $6k-1$ e $6k+1$ oppure $4$ se sono rispettivamente $6k+1$ e $6(k+1)-1$
2) Se ci sono composti della forma $6x+-1$ fra un primo ed un primo successivo, la distanza fra loro sarà maggiore di $4$ e determinata dal numero di composti di quella forma che li separano
3) Il numero di composti della forma 6x+-1 fra due primi successivi distanti fra loro $d$ è:
a) $d/6$ con $d mod 6 > 0$
b) $d/6-1$ con $d mod 6 = 0$
abbiamo verificato la validità di quelle sequenze e della matrice che ne hai ricavato anche tu. Mi sembra che questa sia una conseguenza che spieghi qualsiasi salto senza ambiguità e con assoluta precisione. Quelli enormi saranno semplicemente determinati da matrici relativamente enormi.
ricordo che Du Sautoy la cita nel suo libro, scelta la sequenza $n$ si fa il fattoriale e tutti i numeri compresi fra $n!+2$ e $n!+n$ sono tutti composti di tutti i numeri da 2 ad $n$
Per arrivare a definire porzioni così grandi dovrei usare moduli enormemente più grandi. Tieni presente che per definire i primi $101$ valori $n$ devo arrivare al modulo $MM_8$ che essendo lungo $v_8!$ è composto da 929553625 valori $V;F$. Quando inizio ad incontrare quelle sequenze consecutive di composti che coprono non solo tutti i valori $n$ ma tutti gli $n$ sia per $v_-$ che $v_+$ per permettere salti così grandi avrò valori inimmaginabili in termini di $MM_a$ (tenendo sempre presente che con la matrice dei composti non tiene conto di tutti i composti di $2$ e $3$). Ciò che mi sembra davvero conti è stabilire se le sequenze risponderanno alle stesse regole anche in quelle regioni numeriche. Ripeto, probabilmente ciò che ho fatto non è corretto perché parliamo di problemi formidabili ma dato che il mio percorso è logico deduttivo mi interessa sapere, se è sbagliato, anche dove.
Il passo successivo da verificare non è questo ma la dimostrazione dei valori $VR$ e $FR$.
Questo è il post in cui definisco tanto i moduli quanto i valori riferiti a $MM_a$ e propongo la dimostrazione. Se è sbagliato è inutile discutere oltre del successivo che si fonda sulla sua correttezza. Se è corretto vale invece la pena farlo.
1) mi concentro su quei valori e osservo come si distribuiscono lungo tutti gli $n∈NN$ in $6n+-1$ per fare un crivello di primi gemelli ed escludere tutti i valori $n$ che non lo sono sicuramente. Quelli che non appartengono alle sequenze identificano coppie di primi gemelli.
2) osservando queste sequenze verifico che sono modulari rispetto il valore $6k+-1$ che precedentemente @axpgn ha suggerito denominare $v_a$ come sequenza ordinata di tutti i valori in quella forma.
3) propongo un modo per sfruttare quella modularità in modo di non contare tutti i valori in base alle funzioni ma di costruire oggetti che chiamo moduli singoli $M_a$ e moduli composti $MM_a$
4) in questi trovo dei valori significativi e cerco di dedurre se questi abbiano una sequenza. Osservando i primi valori la identifico e tento di dimostrare che sia sempre rispettata per induzione.
trovi i vari passaggi all'incirca in queste pagine (spero vediamo la stessa):
1) pagine 1-2
2) pagina 3
3) e 4) pagine 3-7
anche se faticosamente (colpa mia) si è andati avanti quindi qualsiasi dubbio provo a risponderti direttamente o indicandoti i passaggi dove lo abbiamo affrontato
axpgn
"axpgn":
Non ho capito cosa intendi dire … potresti spiegare meglio?
In generale, data la distanza $d$ fra due primi successivi, avremo i seguenti casi:
1) Se non ci sono composti della forma $6x+-1$ fra loro questa sarà $2$ se i primi sono gemelli $6k-1$ e $6k+1$ oppure $4$ se sono rispettivamente $6k+1$ e $6(k+1)-1$
2) Se ci sono composti della forma $6x+-1$ fra un primo ed un primo successivo, la distanza fra loro sarà maggiore di $4$ e determinata dal numero di composti di quella forma che li separano
3) Il numero di composti della forma 6x+-1 fra due primi successivi distanti fra loro $d$ è:
a) $d/6$ con $d mod 6 > 0$
b) $d/6-1$ con $d mod 6 = 0$
abbiamo verificato la validità di quelle sequenze e della matrice che ne hai ricavato anche tu. Mi sembra che questa sia una conseguenza che spieghi qualsiasi salto senza ambiguità e con assoluta precisione. Quelli enormi saranno semplicemente determinati da matrici relativamente enormi.
"axpgn":
A proposito dell'irregolarità della distribuzione dei primi, aggiungo una cosa (che forse conosci o forse no): si può dimostrare che esiste una sequenza di composti (consecutivi) lunga a piacere (per esempio un milione di numeri composti, tutti in fila uno dietro l'altro … )
ricordo che Du Sautoy la cita nel suo libro, scelta la sequenza $n$ si fa il fattoriale e tutti i numeri compresi fra $n!+2$ e $n!+n$ sono tutti composti di tutti i numeri da 2 ad $n$
Per arrivare a definire porzioni così grandi dovrei usare moduli enormemente più grandi. Tieni presente che per definire i primi $101$ valori $n$ devo arrivare al modulo $MM_8$ che essendo lungo $v_8!$ è composto da 929553625 valori $V;F$. Quando inizio ad incontrare quelle sequenze consecutive di composti che coprono non solo tutti i valori $n$ ma tutti gli $n$ sia per $v_-$ che $v_+$ per permettere salti così grandi avrò valori inimmaginabili in termini di $MM_a$ (tenendo sempre presente che con la matrice dei composti non tiene conto di tutti i composti di $2$ e $3$). Ciò che mi sembra davvero conti è stabilire se le sequenze risponderanno alle stesse regole anche in quelle regioni numeriche. Ripeto, probabilmente ciò che ho fatto non è corretto perché parliamo di problemi formidabili ma dato che il mio percorso è logico deduttivo mi interessa sapere, se è sbagliato, anche dove.
Il passo successivo da verificare non è questo ma la dimostrazione dei valori $VR$ e $FR$.
Questo è il post in cui definisco tanto i moduli quanto i valori riferiti a $MM_a$ e propongo la dimostrazione. Se è sbagliato è inutile discutere oltre del successivo che si fonda sulla sua correttezza. Se è corretto vale invece la pena farlo.
"pdercoli":
DEFINIZIONI
- Moduli singoli = sono l'equivalente dei regoli singoli per ogni valore $v_a$ della sequenza precedentemente definita. Li chiamo $M_"a"$ intendendo che corrispondono alle ragioni di ogni $v_a$ e quindi $M_"1"=5; M_"2"=7; M_"3"=11; M_"4"=13;...; M_"(2a-1)" = M_"v-"; M_"(2a)" = M_"v+"$ (quindi tutti gli $M$ con indice pari corrispondono a valori $6k-1$ e tutti gli $M$ con indice dispari a valori $6k+1$. Questo aspetto tornerà utile ai fini della dimostrazione). Disposti in sequenza a partire dai rispettivi valori $x_"a1"; x_"b1"$ individuano tutti i $k$ corrispondenti ai composti in $6k+-1$.
- Moduli composti = sono oggetti formati allineando più sequenze di moduli $v_a$ da $v_1$ a $v_a$. Anch'essi conservano modularità rispetto alla distribuzione dei valori dati da tutti gli $M_"a"$. Li chiamo $MM_"a"$ intendendo che sono formati da porzioni di sequenze di tutti gli $M_"a"$ da $M_"1"$ a $M_"a"$
- $V$ e $F$ sono valori booleani vero/falso rispetto la proposizione "il valore $k$ in $6k+-1$ può restituire una coppia di primi gemelli" contenuti nei moduli $M_a$ e $MM_a$
PROPRIETA' MODULI SINGOLI
- hanno lunghezza corrispondente a $v_a$
- hanno due valori $F$ corrispondenti a $x_"a1"; x_"a2"$ per tutti i $v_-$
- hanno due valori $F$ corrispondenti a $x_"b1"; x_"b2"$ per tutti i $v_+$
- hanno $v_a-2$ valori $V$
- tutti i valori $F$ sono definiti quindi sono veri rispetto la proposizione data
- tutti i valori $V$ non sono definiti quindi si deve verificare se la stessa posizione non sia occupata da nessun valore $F$ di altri moduli
PROPRIETA' MODULI COMPOSTI
- hanno lunghezza $v_a!$ intendendo che essa corrisponde alla produttoria della ragione di tutti i $v_a$ da $v_1$ a $v_a$ quindi ad es. $MM_"3"$ ha lunghezza $5*7*11$ che corrisponde a $185$ valori $V;F$ risultanti combinando tutti i composti di $v_1, v_2,v_3$
- avendo un qualsiasi modulo $MM_"a"$ lungo $v_a!$ e volendo creare il successivo $MM_"a+1"$ per formarlo dovrò replicare la ragione di $v_"a+1"$ volte il modulo $MM_"a"$ così com'è. Allo stesso tempo dovrò replicare la ragione di $v_a!$ volte il modulo $M_"a+1"$.
- di conseguenza i valori $F$ che potranno annullare posizioni (dico posizioni perché con i moduli non devo più preoccuparmi dei valori discreti) che sono ancora $V$ nel modulo precedente sono $2(v_a!)/(v_a)$ oppure $2(v_"a-1"!)$
- dato che formare un modulo $MM_a$ equivale ad eseguire $a$ passi del crivello posso determinare la porzione definita nel modulo che equivale al punto in cui più nessun altro composto di $v_"a+1"$ potrà più variare i valori $V;F$ ad esso inferiori.
A causa della presenza dei reciproci nelle sequenze $v_a$, il primo valore $V$ che potrà essere cambiato in $F$ in ogni sequenza sarà l'equivalente della potenza della ragione di $v_a$ perché tutti gli altri precedenti sono già stati annullati dai reciproci con valori inferiori.
Le potenze dei valori $v_a$ si trovano tutte nella forma $6k+1$ (cfr. $a1,b2$,) quindi il modulo è definito per $(v_a)^2=6k+1$ e quindi fino al valore $k=((v_a)^2-1)/6$. Ad es. il modulo $MM_2$ è definito per il valore $k=((7)^2-1)/6=8$. Guardando le sequenze riportate nelle immagini si può vedere che infatti i moduli successivi fino a quel punto saranno solo composti reciproci di valori più piccoli (la struttura speculare che avevamo visto). Ultima osservazione $(v_a)^2-1$ è sempre divisibile per $6$ quindi le porzioni dei moduli si definiscono sempre per valori interi
Posso quindi individuare i seguenti valori significativi in ogni $MM_"a"$:
- $F_a$ il numero di tutti i valori $F$ di un modulo $M_"a"$ che, generando $MM_"a"$, vengono replicati $v_"a-1"!$ volte e sono come detto $2(v_"a-1"!) ∀ a>1$ con $F_1=2$
- $FR_a$ è il numero di tutti i valori $F$ "risultanti" $∀$ valore del modulo $MM_"a"$. Dato che i valori $F_a$ sono ridondanti con i valori $FR$ dei moduli $MM$ precedenti avremo $FR_a < F_a ∀ a>1$. Sappiamo che $FR_1=2$
- $VR_a$ è il numero di tutti i valori $V$ "risultanti" $∀$ valore del modulo $MM_"a"$ non annullati da alcun valore $F$ di tutti gli $M_a$ presenti in $MM_a$.
- $V_a$ è il numero di tutti i $VR_"a-1"$ presenti in $MM_"a-1"$ che vengono replicati $v_a$ volte in $MM_a$. Si possono esprimere con $V_a=VR_"a-1"*v_a ∀ a>1$ con $V_1=5$
conseguenza di queste definizioni è che
$V_a-FR_a=VR_a$ quindi $(VR_"a-1"*v_a)-FR_a=VR_a ∀ a>1$ con $V_1=5$
A questo punto posso costruire alcune sequenze di $MM_a$ per verificare che tutti i valori prevedibili perché evidenti ($F_a$ e $V_a$) corrispondano effettivamnte ai rapporti definiti e studiare il comportamento di quelli che ancora sono da definire ($FR_a$ e $VR_a$).
Ho ottenuto da questa operazione la seguente tabella
e riscontrato che i valori $VR_a$ crescono per i primi 5 passi per valori corrispondenti alla produttoria
$(v_1-2)*(v_2-2)*(v_3-2)*(v_4-2)*(v_5-2)$
quindi posso ipotizzare che:
ipotesi 1. $VR_a=(v_"a"-2)! ∀a>0$
i valori $FR_a$ per gli stessi passi rispettano invece la produttoria
$2*(v_1-2)*(v_2-2)*(v_3-2)*(v_4-2)$
quindi posso ipotizzare che:
ipotesi 2. $FR_a=2(v_"a-1"-2)! ∀a>1$
se le due ipotesi fossero vere sarebbe vera anche
ipotesi 3. $FR_"a+1"= 2(v_a-2)!$ quindi $FR_"a+1"=2*VR_a ∀ a>0$
DIMOSTRAZIONE PER INDUZIONE DELLE IPOTESI 1,2,3
verifico il primo passo in quanto:
ipotesi 1. $VR_1=(v_1-2)! = (5-2)=3$
ipotesi 2. $FR_2=2(v_1-2)! =2(5-2)=6$
ipotesi 3. $FR_2=6$ quindi $FR_2=2VR_1=2*3$
Avendo tratto dalle definizioni date la conseguenza che
a) $(VR_"a-1"*v_a)-FR_a=VR_a ∀ a>1$ con $V_1=5$
e avendo verificato direttamente il caso con $a=1$ allora posso dire che questa sarà vera per tutti gli altri casi da verificare.
dall'ipotesi 1 suppongo che $VR_a=(v_"a"-2)! ∀a>0$ e di conseguenza
b) $VR_"a-1"=(v_"a-1"-2)! ∀a>1$
quindi per tutti i passaggi con $a>1$, sostituendo b) in a), deve essere vera anche
c) $((v_"a-1"-2)!*v_a)-FR_a=(v_"a"-2)!$
Dato che l'ipotesi 3 è di fatto conseguenza delle prime due e che può essere scritta anche
$FR_"a"=2(v_"a-1"-2)! ∀ a>1$
sostituendo l'ipotesi 3 in c) avrò che
d) $((v_"a-1"-2)!*v_a)-2(v_"a-1"-2)! =(v_"a"-2)!$
Osservo che $(v_"a"-2)! =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$ e quindi d) può essere scritta
d) $((v_"a-1"-2)!*v_a)-2(v_"a-1"-2)! =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$
L'equazione a questo punto dovrebbe continuare a risultare vera infatti posso svolgere i passi
1. $((v_"a-1"-2)!*v_a)-2(v_"a-1"-2)! =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$ raccolgo per (v_"a-1"-2)!
2. $((v_"a-1"-2)!*((1*v_a)-(2*1)) =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$ e quindi
3. $((v_"a-1"-2)!*(v_a-2) =(v_a-2)(v_"a-1"-2)!$
dovrebbe essere quindi dimostrato che con il primo passo con $a=1$ e per tutti gli altri con $a>1$ i rapporti ipotizzati siano sempre realizzati
Troppo lungo, non ce la faccio … 
Mi soffermo solo su un punto:
Supponiamo di avere due primi consecutivi (cioè tali che non ci siano primi fra loro) che posso scrivere nella forma $p_1=6k+1$ e $p_2=6(k+n)+1$ (è una delle quattro possibilità).
La distanza $d$ fra di essi è $d=6(k+n)+1-(6k+1)=6n$ da cui $d/6=(6n)/6=n$.
I composti (della forma $6x+-1$) compresi fra questi due estremi saranno $6(k+1)+-1, 6(k+2)+-1, …, 6(k+(n-1))+-1, 6(k+n)-1$ che in totale fanno $2n-1$ che è diverso da $n$.
Qualcosa non torna …
Mi soffermo solo su un punto:
"pdercoli":
In generale, data la distanza $ d $ fra due primi successivi, avremo i seguenti casi:
1) …
2) …
3) Il numero di composti della forma 6x+-1 fra due primi successivi distanti fra loro $ d $ è:
a) $ d/6 $ con $ d mod 6 > 0 $
b) $ d/6-1 $ con $ d mod 6 = 0 $
Supponiamo di avere due primi consecutivi (cioè tali che non ci siano primi fra loro) che posso scrivere nella forma $p_1=6k+1$ e $p_2=6(k+n)+1$ (è una delle quattro possibilità).
La distanza $d$ fra di essi è $d=6(k+n)+1-(6k+1)=6n$ da cui $d/6=(6n)/6=n$.
I composti (della forma $6x+-1$) compresi fra questi due estremi saranno $6(k+1)+-1, 6(k+2)+-1, …, 6(k+(n-1))+-1, 6(k+n)-1$ che in totale fanno $2n-1$ che è diverso da $n$.
Qualcosa non torna …
hai ragione a) e b) sono errate 
i casi possibili sono giustamente quattro:
a) se $p_1=6k-1; p_2=6(k+n)-1$ allora $d=6n$
b) se $p_1=6k-1; p_2=6(k+n)+1$ allora $d=6n+2$
c) se $p_1=6k+1; p_2=6(k+n)-1$ allora $d=6n-2$
d) se $p_1=6k+1; p_2=6(k+n)+1$ allora $d=6n$
quindi
- con $d mod 6 = 0$ avrò i casi a) e d) quindi i composti che li separano sono $2d/6-1$
- con $d mod 6 = 2$ avrò il caso b) quindi i composti che li separano sono $2(d-2)/6$
- con $d mod 6 = 4$ avrò il caso c) quindi i composti che li separano sono $2(d-4)/6$
spero di non aver fatto altri errori. Il senso è che le distanze sono determinate dal numero di $6x+-1$ presenti in quella regione di $NN$
dire che fra primi successivi ci siano date distanze perché i numeri fra loro sono tutti composti è oltremodo banale ma dire che le distanze sono determinate da una matrice simmetrica formata da tutti i composti $6x+-1$ forse è più interessante perché giustifica esattamente la quantità che li separa non trovi?
Anche qui io da non addetto ai lavori mi sono fatto venire dei dubbi perché ho accesso alle opinioni di matematici riguardo la divulgazione che per quanto seria e fatta bene resta divulgazione. Magari questo fatto è perfettamente noto poi però non mi spiego perché si debba parlare di "mistero" o "irregolarità"
i casi possibili sono giustamente quattro:
a) se $p_1=6k-1; p_2=6(k+n)-1$ allora $d=6n$
b) se $p_1=6k-1; p_2=6(k+n)+1$ allora $d=6n+2$
c) se $p_1=6k+1; p_2=6(k+n)-1$ allora $d=6n-2$
d) se $p_1=6k+1; p_2=6(k+n)+1$ allora $d=6n$
quindi
- con $d mod 6 = 0$ avrò i casi a) e d) quindi i composti che li separano sono $2d/6-1$
- con $d mod 6 = 2$ avrò il caso b) quindi i composti che li separano sono $2(d-2)/6$
- con $d mod 6 = 4$ avrò il caso c) quindi i composti che li separano sono $2(d-4)/6$
spero di non aver fatto altri errori. Il senso è che le distanze sono determinate dal numero di $6x+-1$ presenti in quella regione di $NN$
dire che fra primi successivi ci siano date distanze perché i numeri fra loro sono tutti composti è oltremodo banale ma dire che le distanze sono determinate da una matrice simmetrica formata da tutti i composti $6x+-1$ forse è più interessante perché giustifica esattamente la quantità che li separa non trovi?
Anche qui io da non addetto ai lavori mi sono fatto venire dei dubbi perché ho accesso alle opinioni di matematici riguardo la divulgazione che per quanto seria e fatta bene resta divulgazione. Magari questo fatto è perfettamente noto poi però non mi spiego perché si debba parlare di "mistero" o "irregolarità"
"pdercoli":
… Il senso è che le distanze sono determinate dal numero di $6x+-1$ presenti in quella regione di $NN$
dire che fra primi successivi ci siano date distanze perché i numeri fra loro sono tutti composti è oltremodo banale ma dire che le distanze sono determinate da una matrice simmetrica formata da tutti i composti $6x+-1$ forse è più interessante perché giustifica esattamente la quantità che li separa non trovi?
No, non va … prendiamo la prima frase, in pratica tu asserisci esservi una correlazione tra la quantità di composti tra due primi consecutivi e la distanza tra essi o meglio la quantità implica la distanza ma non c'è nessun supporto a questa implicazione.
La correlazione effettivamente esiste tra le due grandezze ma va nell'altro senso: la distanza dipende da $n$ (che è un dato di fatto, "misurabile") e da $n$ discende la quantità di composti che "stanno in mezzo", non viceversa.
A mio parere …
Onestamente per me il "dato di fatto" è la definizione e cioè che i numeri primi non hanno divisori eccetto sé stessi. Quindi, se i primi >3 possono essere solo nella forma $6k+-1$, se esiste una regolarità nella distribuzione di tutti i composti nella serie $6k+-1$, questa regolarità determina quando un $6k+-1$ è o non è un primo.
Quel che dici tu avrebbe senso se esistesse anche una sola serie di composti consecutivi in $v_a$ non preceduta e seguita da due numeri primi successivi perché ce n'è uno in mezzo oppure quelli prima e dopo non sono primi e non appartengono alla serie dei composti. Allora quello significherebbe che hai ragione ad obbiettare perché dovrei attenermi al dato di fatto che la distanza di due primi successivi che ho riconosciuto come tali non è determinata dalla presenza di composti pur permettendomi quella distanza di sapere quanti ne avrò allo stesso modo come quella distanza mi consente di sapere quante unità ci sono o quanti pari ci sono e via dicendo. Ma non è così.
Posso partire dalla matrice dei composti per individuare con precisione sequenze consecutive che daranno luogo a salti corrispondenti alla lunghezza della serie senza avere conoscenza di quali sono i primi consecutivi che separa
Guardiamo la matrice dei composti e come si distribuisce dall'alto verso il basso lungo i $NN$
è caotica?
Quel che dici tu avrebbe senso se esistesse anche una sola serie di composti consecutivi in $v_a$ non preceduta e seguita da due numeri primi successivi perché ce n'è uno in mezzo oppure quelli prima e dopo non sono primi e non appartengono alla serie dei composti. Allora quello significherebbe che hai ragione ad obbiettare perché dovrei attenermi al dato di fatto che la distanza di due primi successivi che ho riconosciuto come tali non è determinata dalla presenza di composti pur permettendomi quella distanza di sapere quanti ne avrò allo stesso modo come quella distanza mi consente di sapere quante unità ci sono o quanti pari ci sono e via dicendo. Ma non è così.
Posso partire dalla matrice dei composti per individuare con precisione sequenze consecutive che daranno luogo a salti corrispondenti alla lunghezza della serie senza avere conoscenza di quali sono i primi consecutivi che separa
Guardiamo la matrice dei composti e come si distribuisce dall'alto verso il basso lungo i $NN$
è caotica?
"pdercoli":
è caotica?
Questa sarebbe una dimostrazione?
E poi cosa intendi per "caotica" cioè cosa intendi per "regolarità"?
Ti ho già detto che la simmetria dx/sx è dovuta solo alla commutatività della moltiplicazione (è solo un discorso estetico) ma soprattutto quando si parla di "irregolarità" dei primi lo si dice in riferimento a TUTTI i naturali non a una selezione di questi come fai in quella tabella.
Metti in fila tutti i naturali da uno in poi e vediamo se riesci a trovare una "regolarità" nella distribuzione dei primi tra essi (e non solo per qualche centinaio o migliaio).
Ti ho già spiegato perché ogni passo $5$ trovi due falsi e tre veri, e lo stesso dicasi per il passo $7$ e $11$ ecc.
Ma appena "misceli" la "regolarità" del $5$ con quella del $7$, questa regolarità salta e ne devi trovare un'altra, e poi un'altra ancora … e siccome queste successioni sono infinite la "regolarità definitiva" non puoi trovarla …
ho risposto alla tua obbiezione replicando che non può esistere possibilità che la presenza di composti non determini la distanza fra due primi successivi quindi se esistono composti consecutivi lì non potrò avere numeri primi. Di conseguenza quello che precede e quello che segue una qualsiasi serie di composti consecutivi che sia $1$ oppure $n$ sono primi successivi. Se non è pertinente spiega perché
Non vorrei in ogni caso allontanarmi dalla questione che non è questa ma la dimostrazione della "regolarità" che mi porta ad avere per ogni $MM_a$ esattamente $(v_a-2)!$ valori $V$ (quel che chiamo VR_a) che al passo successivo saranno replicati per $v_"a+1"$ ed annullati da soli $2(v_a!)$ valori $F$ (quel che chiamo FR_"a+1")
per me regolarità è ciò che risponde a regole determinate e caos ciò che non lo fa. Quelle sequenze rispondono a regole precise. Non si tratta solo di estetica perché come ti ho cercato di spiegare ogni $MM_a$ ha una porzione definita con valori che non vengono più rimessi in discussione da lì in avanti.
Per poter fare una media devo considerare tutto il modulo altrimenti faccio la media di una porzione arbitraria e allora avresti ragione tu. Ma se ho un modulo che mi indica quali sono i rapporti esatti che regoleranno la composizione di quelle due o più sequenze da lì e per sempre posso usarla come riferimento medio per la sola porzione definita da quelle stesse sequenze (la parte non definita e cosa accadrà poi non mi interessa).
Proprio perché è medio e la parte definita non viene più toccata da valori $F$ fornirà una stima per difetto che risponde anche essa ad una formula in cui posso comparare cosa accade nelle parti definite di $MM_a$ e $MM_"a+1"$ e trarre le conseguenze. Ma ripeto questo è eventualmente il passo successivo
Non vorrei in ogni caso allontanarmi dalla questione che non è questa ma la dimostrazione della "regolarità" che mi porta ad avere per ogni $MM_a$ esattamente $(v_a-2)!$ valori $V$ (quel che chiamo VR_a) che al passo successivo saranno replicati per $v_"a+1"$ ed annullati da soli $2(v_a!)$ valori $F$ (quel che chiamo FR_"a+1")
per me regolarità è ciò che risponde a regole determinate e caos ciò che non lo fa. Quelle sequenze rispondono a regole precise. Non si tratta solo di estetica perché come ti ho cercato di spiegare ogni $MM_a$ ha una porzione definita con valori che non vengono più rimessi in discussione da lì in avanti.
Per poter fare una media devo considerare tutto il modulo altrimenti faccio la media di una porzione arbitraria e allora avresti ragione tu. Ma se ho un modulo che mi indica quali sono i rapporti esatti che regoleranno la composizione di quelle due o più sequenze da lì e per sempre posso usarla come riferimento medio per la sola porzione definita da quelle stesse sequenze (la parte non definita e cosa accadrà poi non mi interessa).
Proprio perché è medio e la parte definita non viene più toccata da valori $F$ fornirà una stima per difetto che risponde anche essa ad una formula in cui posso comparare cosa accade nelle parti definite di $MM_a$ e $MM_"a+1"$ e trarre le conseguenze. Ma ripeto questo è eventualmente il passo successivo
Dato che banalizzi la simmetria dovuta ai reciproci ti mostro come questa e la presenza dei reciproci mi aiuta ad affermare che la media dei valori $V$ presenti in un modulo $MM_a$ tende ad essere una stima per difetto della sola parte definita di $MM_a$ che trovo in $((v_a)^2-1)/6$, formula che trovo sempre grazie alla matrice dei composti
$A$ è la parte definita che coincide con $((v_a)^2-1)/6$ ed è lungo $((v_a)^2-1)/6-3$ dato che il modulo inizia a partire dal valore $4$
$B$ è la lunghezza del modulo $MM_a$ (in questo caso il più piccolo $MM_2$ formato da due sequenze di composti
$C$ è la diagonale delle potenze della matrice simmetrica
$D$ è il punto non discreto dove la lunghezza del modulo $MM_a$ interseca la linea ideale formata da due punti discreti della diagonale delle potenze. Anche questa parte è realmente definita nel modulo
Come puoi osservare tutti i moduli $MM_a$ inizieranno da $n=4$ e occuperanno uno spazio $B$ sempre più grande rispetto la sua parte definita. Quello è lo spazio che tanto ti disturba perché in esso i valori $V$ non sono definiti. Da quali valori saranno modificati? Solo da quelli a partire dal quadrato del valore $v_a$ nel modulo $MM_a$ (i più piccoli hanno nella parte a destra solo valori simmetrici già contenuti in $MM_a$ quindi non possono modificare valori $F$ che per definizione, nel momento in cui li ho trovati, saranno sempre definiti). Come vedi passando da $MM_2$ a $MM_3$ avrò nella parte $B$ che corrisponde a $MM_2$ dei nuovi valori $F$ significativi perché si trovano a sinistra o lungo la diagonale della matrice simmetrica (sono i $3$ che portano i reali produttivi di primi gemelli dai $15$ presenti in $MM_2$ ai $12$ reali). Quanti sono? Tendenzialmente aumentano progressivamente allontanandoci dal punto definito $A$. Questo è coerente con la tendenza dei gemelli ad essere sempre più rarefatti man mano che i valori $NN$ diventano sempre più grandi e questo modello descrive perfettamente come e perché questo avviene.
Ma questo significa che la media dei valori contenuti in $MM_a$ è sì tendenzialmente una stima "per eccesso" dei valori $V$ reali contenuti nella parte dopo $A$ ma anche che diventa sempre più precisa man mano che si considera la sola parte definita discreta $A$. Questa anzi tende ad esserlo "per difetto" all'aumentare di $MM_a$ essendo più piccola della parte definita reale $D$. Se questo valore tende ad infinito, con $v_a$ che tende ad infinito, i primi gemelli sono infiniti. In caso contrario cesseranno di presentarsi in una qualche punto di $NN$ e i valori di quella media cesserebbero di crescere per iniziare a diminuire.
$A$ è la parte definita che coincide con $((v_a)^2-1)/6$ ed è lungo $((v_a)^2-1)/6-3$ dato che il modulo inizia a partire dal valore $4$
$B$ è la lunghezza del modulo $MM_a$ (in questo caso il più piccolo $MM_2$ formato da due sequenze di composti
$C$ è la diagonale delle potenze della matrice simmetrica
$D$ è il punto non discreto dove la lunghezza del modulo $MM_a$ interseca la linea ideale formata da due punti discreti della diagonale delle potenze. Anche questa parte è realmente definita nel modulo
Come puoi osservare tutti i moduli $MM_a$ inizieranno da $n=4$ e occuperanno uno spazio $B$ sempre più grande rispetto la sua parte definita. Quello è lo spazio che tanto ti disturba perché in esso i valori $V$ non sono definiti. Da quali valori saranno modificati? Solo da quelli a partire dal quadrato del valore $v_a$ nel modulo $MM_a$ (i più piccoli hanno nella parte a destra solo valori simmetrici già contenuti in $MM_a$ quindi non possono modificare valori $F$ che per definizione, nel momento in cui li ho trovati, saranno sempre definiti). Come vedi passando da $MM_2$ a $MM_3$ avrò nella parte $B$ che corrisponde a $MM_2$ dei nuovi valori $F$ significativi perché si trovano a sinistra o lungo la diagonale della matrice simmetrica (sono i $3$ che portano i reali produttivi di primi gemelli dai $15$ presenti in $MM_2$ ai $12$ reali). Quanti sono? Tendenzialmente aumentano progressivamente allontanandoci dal punto definito $A$. Questo è coerente con la tendenza dei gemelli ad essere sempre più rarefatti man mano che i valori $NN$ diventano sempre più grandi e questo modello descrive perfettamente come e perché questo avviene.
Ma questo significa che la media dei valori contenuti in $MM_a$ è sì tendenzialmente una stima "per eccesso" dei valori $V$ reali contenuti nella parte dopo $A$ ma anche che diventa sempre più precisa man mano che si considera la sola parte definita discreta $A$. Questa anzi tende ad esserlo "per difetto" all'aumentare di $MM_a$ essendo più piccola della parte definita reale $D$. Se questo valore tende ad infinito, con $v_a$ che tende ad infinito, i primi gemelli sono infiniti. In caso contrario cesseranno di presentarsi in una qualche punto di $NN$ e i valori di quella media cesserebbero di crescere per iniziare a diminuire.
"pdercoli":
Quello è lo spazio che tanto ti disturba perché in esso i valori $V$ non sono definiti.
Cosa sarebbe quello "spazio"? Vorrei saperlo anch'io dato che mi "disturba tanto" …
$B$ è dove aggiungendo una sequenza di composti a $MM_a$ formando $MM_"a+1"$ i composti di $v_"a+1"$ rimettono in discussione i valori $VR$ di $MM_a$
NB: nell'immagine l'ho evidenziato male perché l'ho fatto partire sempre dall'inizio invece parte dove termina $A$ in corrispondenza di $((v_a)^2-1)/6$
NB: nell'immagine l'ho evidenziato male perché l'ho fatto partire sempre dall'inizio invece parte dove termina $A$ in corrispondenza di $((v_a)^2-1)/6$
"pdercoli":
@Zero87 ciao, sì è corretto a parte la notazione condivisa con @axpgn che è $(6k+-1)(6y+-1)=6x+-1$ provo a sintetizzare:
[Spoilerizzo per non fare un messaggio lungo, nota mia.]
Ti ringrazio, mi stanno per finire le ferie (
) poi con calma recupero (anche perché quando torno a casa ho una connessione accettabile). 
@Zero87 ringrazio io te, goditi questi scampoli di ferie
@axpgn trovi il mio ragionamento coerente? In particolare
- il nesso fra matrice dei composti e come questi valori si distribuiscono rispetto i valori $n$ della forma generale $6n+-1$ (determinando di fatto l'esatto collocamento di tutti i primi gemelli ed isolati) è reale o accidentale?
- le proprietà descritte di questa distribuzione rispondono a regole aritmetiche e geometriche tali da essere vere per qualsiasi valore?
@axpgn trovi il mio ragionamento coerente? In particolare
- il nesso fra matrice dei composti e come questi valori si distribuiscono rispetto i valori $n$ della forma generale $6n+-1$ (determinando di fatto l'esatto collocamento di tutti i primi gemelli ed isolati) è reale o accidentale?
- le proprietà descritte di questa distribuzione rispondono a regole aritmetiche e geometriche tali da essere vere per qualsiasi valore?
Tu hai notato una tendenza/regolarità che cerchi di dimostrare usando tuoi simboli e tue definizioni che, purtroppo, io non comprendo. Mi spiace. Auguri.
Avrai più fortuna con Zero87 (Peccato per le ferie finite comunque buon ritorno 
).
Tra l'altro, se non ricordo male, ha dato la tesi di laurea sull'ipotesi di Riemann (o qualcosa del genere, spero mi perdonerà se sbaglio
) che è "legata" alla distribuzione dei numeri primi.
).Tra l'altro, se non ricordo male, ha dato la tesi di laurea sull'ipotesi di Riemann (o qualcosa del genere, spero mi perdonerà se sbaglio
) che è "legata" alla distribuzione dei numeri primi.
@axpgn grazie per il tempo che mi hai dedicato. In bocca al lubo a te per tutto
Anche a te.
"axpgn":
Avrai più fortuna con Zero87 (Peccato per le ferie finite comunque buon ritorno
Tra l'altro, se non ricordo male, ha dato la tesi di laurea sull'ipotesi di Riemann (o qualcosa del genere, spero mi perdonerà se sbaglio
Ricordi benissimo, solo che è passata una vita da quando studiavo matematica.
Comunque, pdercoli, sto cercando di recuperare i tuoi post come detto e ho trovato un punto di svolta, diciamo interessante. Magari lo ha notato anche axpgn (se passa, ciao!) ma comunque te lo faccio vedere.
Sono ancora a pagina 2.
In questo tuo post tu mostri due successioni che non danno primi gemelli.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 1#p8427341
In realtà lo fai in modo molto complesso. Premesso che con l'aritmetica modulare quello che sto per dire dovrebbe essere più semplice, la prima successione, ovvero
$4,6,9,11,14,16, ... = 5k \pm 1$ per $k \in \NN$
ha una proprietà interessante nel tuo contesto. Tu mostri che $6 \cdot (5k \pm 1)$ non è una coppia di primi gemelli, infatti
$6 \cdot (5k - 1) \pm 1 = (30k - 6) \pm 1$ ma se mi restringo al caso $+1$ ho che $30k-6+1 = 30k-5 = 5(6k-1)$ ed è divisibile per 5 quindi non è primo (anche se lo fosse $30-6-1$ comunque non è primo questo quindi niente numeri gemelli). Allo stesso modo
$6 \cdot (5k+1) \pm 1 = 30k+6 \pm 1$ per cui si può fare un ragionamento analogo a prima nel caso in cui si sottrae 1 perché $30k+6-1 = 30k+5$ divisibile per 5.
Quindi ho visto che c'è un modo semplice per dimostrare che la prima successione non da origine a coppie di numeri primi gemelli.
Per quanto riguarda la seconda successione, il ragionamento è simile.
La tua seconda successione si può scrivere come $7k \pm 1 = 6,8,13,15,20,22, ...$ con $k \in \NN$. Si può trarre un ragionamento analogo e dire che non si dà origine a numeri gemelli.
Non so se sono riuscito a farmi capire, però se è così si può mettere un punto sulla questione delle successioni e andare oltre visto che ci sono delle dimostrazioni abbastanza semplici. Che ne dici?
esattamente come dici
purtroppo e per fortuna la matematica è anche "mestiere" e questo risultato l'ho raggiunto più faticosamente di come avrebbe fatto uno con mestiere ma so che è corretto
su questo fondo il crivello che mi consente di selezionare con certezza valori k che corrispondono ai primi gemelli $6k+-1$
La cosa a mio avviso più interessante è che con queste sequenze si trova l'organizzazione aritmetica che determina tutti i salti di primi successivi.
se continuo ad eseguire tutti i passi del crivello i composti si distribuiscono lungo i valori $k$ in questo modo:
osservando il dettaglio dei primi passi
noto che innanzitutto tutti i composti dei valori $6k-1$ si trovano alternativamente in $v_+$ e $v_-$
tutti quelli dei valori $6k+1$ si trovano alternativamente in $v_-$ e $v_+$
evidenziando con il rosa i $v_-$ e con il celeste i $v_+$ osservo che i salti si determinano da tutti i valori delle quattro sequenze. A me è sembrata una cosa rilevante
qui i passaggi visti con @axpgn
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8428384
Non sapendo se la cosa fosse rilevante oppure già nota (un conto è leggere divulgazione anche fatta bene un conto è avere la conoscenza dello stato dell'arte della letteratura scientifica) ho provato a vedere se potesse portarmi da qualche parte con un problema aperto sui primi. Visto che avevo un "crivello per i gemelli" ho scelto la congettura dei gemelli.
Il passo successivo è l'individuazione di quelli che chiamo "moduli singoli" ($M_a$) e "moduli composti" $MM_a$. Li descrivo all'incirca da qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8427464
purtroppo e per fortuna la matematica è anche "mestiere" e questo risultato l'ho raggiunto più faticosamente di come avrebbe fatto uno con mestiere ma so che è corretto
su questo fondo il crivello che mi consente di selezionare con certezza valori k che corrispondono ai primi gemelli $6k+-1$
La cosa a mio avviso più interessante è che con queste sequenze si trova l'organizzazione aritmetica che determina tutti i salti di primi successivi.
se continuo ad eseguire tutti i passi del crivello i composti si distribuiscono lungo i valori $k$ in questo modo:
osservando il dettaglio dei primi passi
noto che innanzitutto tutti i composti dei valori $6k-1$ si trovano alternativamente in $v_+$ e $v_-$
tutti quelli dei valori $6k+1$ si trovano alternativamente in $v_-$ e $v_+$
evidenziando con il rosa i $v_-$ e con il celeste i $v_+$ osservo che i salti si determinano da tutti i valori delle quattro sequenze. A me è sembrata una cosa rilevante
qui i passaggi visti con @axpgn
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8428384
Non sapendo se la cosa fosse rilevante oppure già nota (un conto è leggere divulgazione anche fatta bene un conto è avere la conoscenza dello stato dell'arte della letteratura scientifica) ho provato a vedere se potesse portarmi da qualche parte con un problema aperto sui primi. Visto che avevo un "crivello per i gemelli" ho scelto la congettura dei gemelli.
Il passo successivo è l'individuazione di quelli che chiamo "moduli singoli" ($M_a$) e "moduli composti" $MM_a$. Li descrivo all'incirca da qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 0#p8427464
Una piccola nota per "giustificare" alcune apparenti contorsioni che sono presenti nel mio percorso che comunque è logico-deduttivo. Io sono partito da alcune osservazioni sul comportamento del crivello di Eratostene per ipotizzare che una chiave di lettura per comprendere i primi fosse nei rapporti geometrici che dal quadrato riconducono ai numeri interi. Questo mi ha portato alla forma numerica $6n+-1$. Da quel che ne potevo sapere il valore "n" in corrispondenza di coppie contenenti composti poteva procedere con salti irregolari al pari dei primi. Una volta ricavate le quattro equazioni mi sono tenuto quelle e sono andato avanti.
Questo vale per ogni singolo passo fatto che era totalmente al buio e per di più con poca conoscenza e mestiere.
Nella comunicazione ho cercato di mediare senza rinunciare alle immagini e alle idee che mi avevano suggerito perché forse la loro efficacia compensa la mia scarsa dimestichezza a scrivere matematica.
Questo vale per ogni singolo passo fatto che era totalmente al buio e per di più con poca conoscenza e mestiere.
Nella comunicazione ho cercato di mediare senza rinunciare alle immagini e alle idee che mi avevano suggerito perché forse la loro efficacia compensa la mia scarsa dimestichezza a scrivere matematica.
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