Esiste unico (dimostrazione)
Buonasera,
stavo cercando di capire una dimostrazione e vorrei chiedere un aiuto a qualcuno ed eccomi qui.
Ho letto la dimostrazione dato un gruppo con * l'equazione $ax=b$ ha soluzione.
Si dimostra per questo che
- è unica: $ax=b$ quindi $a^(-1)ax=a^(−1)b→x=a^(−1)b$ da cui $x=a^(−1)b$ unica
- esiste, infatti; posso sempre assumere $x=a^(−1)b$ ho che $ax=b$
Vorrei però ampliare il discorso per capire questo tipo di dimostrazioni essendo la prima volta che la incontro, noto che in pratica si è ragionato così:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
2- però avendo bisogno anche dell'esistenza di quell'x che esiste(+unico) a questo punto dimostro che preso
q(x)= espressione vista => ho p(x),
Qui viene il mio dubbio, ma se io mantenessi immutata la prima parte:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
(come detto ho ipotizzato che p esiste ma non so ancora se esiste, quindi)
2- dimostro che p(x) vale partendo da un altra ipotesi, ossia r(x) => p(x)
allora vale comunque la dimostrazione che x esiste unico? Il mio dubbio nasce perché se 1 mi dice che se x esiste allora unicamente ha forma data da q(x) allora r(x) => p(x) => q(x) da cui mi pare che r(x) torni ad essere q(x) per forza. Sono molto confuso.
stavo cercando di capire una dimostrazione e vorrei chiedere un aiuto a qualcuno ed eccomi qui.
Ho letto la dimostrazione dato un gruppo con * l'equazione $ax=b$ ha soluzione.
Si dimostra per questo che
- è unica: $ax=b$ quindi $a^(-1)ax=a^(−1)b→x=a^(−1)b$ da cui $x=a^(−1)b$ unica
- esiste, infatti; posso sempre assumere $x=a^(−1)b$ ho che $ax=b$
Vorrei però ampliare il discorso per capire questo tipo di dimostrazioni essendo la prima volta che la incontro, noto che in pratica si è ragionato così:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
2- però avendo bisogno anche dell'esistenza di quell'x che esiste(+unico) a questo punto dimostro che preso
q(x)= espressione vista => ho p(x),
Qui viene il mio dubbio, ma se io mantenessi immutata la prima parte:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
(come detto ho ipotizzato che p esiste ma non so ancora se esiste, quindi)
2- dimostro che p(x) vale partendo da un altra ipotesi, ossia r(x) => p(x)
allora vale comunque la dimostrazione che x esiste unico? Il mio dubbio nasce perché se 1 mi dice che se x esiste allora unicamente ha forma data da q(x) allora r(x) => p(x) => q(x) da cui mi pare che r(x) torni ad essere q(x) per forza. Sono molto confuso.
Risposte
La risposta alla tua domanda è sia sì che no.
Non credo che il genere di astrazione che stai cercando di fare sia possibile, nel senso che quando p, q, r sono espressioni generiche non si può dire molto. Probabilmente vuoi restringerti al caso in cui le dette p, q, r sono elementi dell'algebra libera su una qualche segnatura (per esempio un semigruppo, un gruppo libero...) che hanno solo x come variabile libera. Ma la loro forma ora deve essere molto particolare (per esempio non può avere variabili ripetute), per poter studiare senza intoppi quante soluzioni alla "equazione di punto fisso" p(x) = x esistono.
In definitiva non credo che questo sia il punto di vista giusto per capire "perché" l'identità di un monoide è unica. Il motivo è nella forma della proposizione "u è un elemento neutro per l'operazione binaria *", e in particolare nella quantificazione universale "per ogni x, u*x=x*u=x", la quale è sì una equazione di punto fisso, ma di un motivo molto particolare, che permette di argomentare come sai: se supponiamo u, u' siano entrambi elementi neutri, allora u=u'.
Non credo che il genere di astrazione che stai cercando di fare sia possibile, nel senso che quando p, q, r sono espressioni generiche non si può dire molto. Probabilmente vuoi restringerti al caso in cui le dette p, q, r sono elementi dell'algebra libera su una qualche segnatura (per esempio un semigruppo, un gruppo libero...) che hanno solo x come variabile libera. Ma la loro forma ora deve essere molto particolare (per esempio non può avere variabili ripetute), per poter studiare senza intoppi quante soluzioni alla "equazione di punto fisso" p(x) = x esistono.
In definitiva non credo che questo sia il punto di vista giusto per capire "perché" l'identità di un monoide è unica. Il motivo è nella forma della proposizione "u è un elemento neutro per l'operazione binaria *", e in particolare nella quantificazione universale "per ogni x, u*x=x*u=x", la quale è sì una equazione di punto fisso, ma di un motivo molto particolare, che permette di argomentare come sai: se supponiamo u, u' siano entrambi elementi neutri, allora u=u'.
Ciao.
Non ho ben capito il discorso sull'elemento neutro nel senso che a me sembrava c'entrasse l'inverso $a^(-1)$.
Comunque tralasciando questo volevo provare a riformulare meglio la domanda:
mettiamo di voler dimostrare che esiste unica x soluzione di ax=b
Caso A)
Esiste unica la soluzione:
- unicità: dimostro $ax=b => x=a^(-1)b$ (quindi la forma di x è unicamente di questo tipo)
- esistenza: posso sempre assumere $x=a^(-1)b$ (e dimostro) $=> b=b$ quindi è soluzione x
In definitiva ho che $x$ è soluzione di $ax=b$ $<=>$ $x=a^-1b$
caso B)
Tuttavia mi pare di poterci leggere un esiste unico anche se fosse possibile una dimostrazione del genere (purtroppo non mi viene in mente un esempio che possa rendere l'idea, ma ipotizziamo un caso in cui non valga $ AAx=a^(-1)b$ $=> b=b$ ma si possa comunque mostrare che esiste una x di qualche tipo che renda vera la seguente situazione):
- unicità: dimostro $ax=b => x=a^(-1)b$ (quindi la forma di x è unicamente di questo tipo, come prima)
- esistenza: riesco in qualche modo a dimostrare che esiste sempre una $x$ soluzione per $ax=b$ (oss: lo dimostro però non partendo da $x=a^-1b$ come facevo in precedenza. Insomma, partendo da altra ipotesi.)
A questo punto è evidente che non vale più il se e solo se: x sol. $ax=b$ $<=>x=a^-1b$, però vale in un qualche senso una esistenza e unicità, infatti so che se ipotizzo che esiste una soluzione $x$ di $ax=b$ trovo che la soluzione è unicamente della forma $x=a^(-1)b$ (prima parte della dimostrazione). D'altra parte poi (seconda parte) dimostro per altra via che una x che risolve $ax=b$ esiste. Quindi ho che esiste $x$ (l'ho in qualche modo determinata) e dimostro che è soluzione; in più, inoltre, è unicamente della forma $a^-1b$ (dimostrato nella prima parte), a questo punto ovviamente non varrà $ax=b$ <= $x=a^-1b$, però vale un esiste x unicamente della forma $a^-1b$
Se vogliamo in un certo senso non capisco se "esiste unico" sia da mettere in relazione a un "se e solo se" e quindi vale solo quando visto nel caso A, oppure se dimostrando l'esistenza di x in altro modo e poi l'unicità di scrittura come a^-1b è comunque un "esiste unico".
Spero qualcuno possa aiutarmi ancora
Non ho ben capito il discorso sull'elemento neutro nel senso che a me sembrava c'entrasse l'inverso $a^(-1)$.
Comunque tralasciando questo volevo provare a riformulare meglio la domanda:
mettiamo di voler dimostrare che esiste unica x soluzione di ax=b
Caso A)
Esiste unica la soluzione:
- unicità: dimostro $ax=b => x=a^(-1)b$ (quindi la forma di x è unicamente di questo tipo)
- esistenza: posso sempre assumere $x=a^(-1)b$ (e dimostro) $=> b=b$ quindi è soluzione x
In definitiva ho che $x$ è soluzione di $ax=b$ $<=>$ $x=a^-1b$
caso B)
Tuttavia mi pare di poterci leggere un esiste unico anche se fosse possibile una dimostrazione del genere (purtroppo non mi viene in mente un esempio che possa rendere l'idea, ma ipotizziamo un caso in cui non valga $ AAx=a^(-1)b$ $=> b=b$ ma si possa comunque mostrare che esiste una x di qualche tipo che renda vera la seguente situazione):
- unicità: dimostro $ax=b => x=a^(-1)b$ (quindi la forma di x è unicamente di questo tipo, come prima)
- esistenza: riesco in qualche modo a dimostrare che esiste sempre una $x$ soluzione per $ax=b$ (oss: lo dimostro però non partendo da $x=a^-1b$ come facevo in precedenza. Insomma, partendo da altra ipotesi.)
A questo punto è evidente che non vale più il se e solo se: x sol. $ax=b$ $<=>x=a^-1b$, però vale in un qualche senso una esistenza e unicità, infatti so che se ipotizzo che esiste una soluzione $x$ di $ax=b$ trovo che la soluzione è unicamente della forma $x=a^(-1)b$ (prima parte della dimostrazione). D'altra parte poi (seconda parte) dimostro per altra via che una x che risolve $ax=b$ esiste. Quindi ho che esiste $x$ (l'ho in qualche modo determinata) e dimostro che è soluzione; in più, inoltre, è unicamente della forma $a^-1b$ (dimostrato nella prima parte), a questo punto ovviamente non varrà $ax=b$ <= $x=a^-1b$, però vale un esiste x unicamente della forma $a^-1b$
Se vogliamo in un certo senso non capisco se "esiste unico" sia da mettere in relazione a un "se e solo se" e quindi vale solo quando visto nel caso A, oppure se dimostrando l'esistenza di x in altro modo e poi l'unicità di scrittura come a^-1b è comunque un "esiste unico".
Spero qualcuno possa aiutarmi ancora
Nessuna idea anche da altri utenti (se ho troppo rotto le scatole 
)? Ci tenevo moltissimo a capire e discuterne con qualcuno sull'argomento. Scusate se sono sturpido e la domanda è un po tontarella 
.
Un saluto e buon sabato
)? Ci tenevo moltissimo a capire e discuterne con qualcuno sull'argomento. Scusate se sono sturpido e la domanda è un po tontarella .Un saluto e buon sabato
Forse ti stai perdendo nei tuoi pensieri 
Intanto esiste unico cosa?
La frase dovrebbe essere pincopallino esiste ed e' unico
In questo caso dovrebbe essere: la soluzione dell'equazione $ax=b$ esiste ed e' unica!
Altrimenti ci si potrebbe riferire a patate lesse o biondine carine
Poi il 'discorso sull'elemento neutro' CENTRA, ECCOME se centra!!!
SENZA di quello non fai una cicca!
Poi NON DEVI dimostrare che $b=b$, PER FORZA che sono uguali!
DEVI dimostrare che NON CI SONO DUE soluzioni $x$, $x'$ che RISOLVONO la STESSA equazione.
Partiamo dal concetto che $x$ non e' un'entita' misteriosa MA $x\in G$, $G$ il tuo gruppo.
Poi $G$ e' un gruppo, QUINDI per definizione di gruppo: esiste un'operazionie binaria $*$, esiste l'elemento neutro $u$, e per ogni membro del gruppo $a\in G$ esiste il suo inverso.
Ma come e' definito l'inverso? E' quell'elemento $b$ tale che $a b = u = b a$.
Per convenzione, l'inverso di $a$ si scrive $a^-1$.
ATTENZIONE: c'e' di mezzo la questione della commutativita, cioe' non e' detto che $ab$ sia uguale a $ba$ (un esempio lo sono le matrici NON QUADRATE con la normale moltiplicazione tra matrici). In mancanza di indicazioni specifiche, supponiamo che NON sia commutativo.
ATTENZIONE: scrivere l'inverso come $a^-1$ e' solo una convenzione! In $(\mathbb{Z}, +)$ (numeri interi con segno), l'inverso si scrive $-a$ (-5 e' l'inverso di 5).
ORA, quello che devi dimostrare e' che la soluzione di $ax=b$ esiste ed e' unica!
Ovviamente $ax$ (con $a, x\in G$) esiste, per definizione di gruppo, proprio perche $a$ e $x$ sono membri di $G$.
Quindi $ax=b$ ha soluzione? Non e' detto, in teoria potrebbe anche non essere cosi MA per l'esisteza dell'inverso di OGNI membro di $G$, $a$ ha il suo inverso, QUINDI puoi scrivere
\[a^{-1}ax= a^{-1}b\]
E qui puoi fare DUE semplificazioni per le proprieta' dell'inverso E le proprieta' dell'elemento neutro
\[a^{-1}ax= (a^{-1}a)x=(u)x = ux = x\]
risultato
\[ x = a^{-1}b\]
Ora bisogna mostrare l'unicita' DELLA SOLUZIONE, cioe' che $x$ e' unica! Quello che DEVE succedere e' che, ANCHE se $x'$ e' un'altra soluzione, l'equazione DEVE essere sempre soddisfatta, e cioe'
\[
ax = b = ax'
\]
Poiche' siamo in un gruppo, esiste $a^{-1}$
\[
a^{-1}ax = a^{-1}b = a^{-1}ax'
\]
\[
(a^{-1}a)x = a^{-1}b = (a^{-1}a)x'
\]
\[
(u)x = a^{-1}b = (u)x'
\]
\[
x = a^{-1}b = x'
\]
Toh! Ma guarda, $x$ e $x'$ sono entrambi uguali a $a^{-1}b$, QUINDI $x=x'$, QUINDI la soluzione e' unica!
Intanto esiste unico cosa?
La frase dovrebbe essere pincopallino esiste ed e' unico
In questo caso dovrebbe essere: la soluzione dell'equazione $ax=b$ esiste ed e' unica!
Altrimenti ci si potrebbe riferire a patate lesse o biondine carine
Poi il 'discorso sull'elemento neutro' CENTRA, ECCOME se centra!!!
SENZA di quello non fai una cicca!
Poi NON DEVI dimostrare che $b=b$, PER FORZA che sono uguali!
DEVI dimostrare che NON CI SONO DUE soluzioni $x$, $x'$ che RISOLVONO la STESSA equazione.
Partiamo dal concetto che $x$ non e' un'entita' misteriosa MA $x\in G$, $G$ il tuo gruppo.
Poi $G$ e' un gruppo, QUINDI per definizione di gruppo: esiste un'operazionie binaria $*$, esiste l'elemento neutro $u$, e per ogni membro del gruppo $a\in G$ esiste il suo inverso.
Ma come e' definito l'inverso? E' quell'elemento $b$ tale che $a b = u = b a$.
Per convenzione, l'inverso di $a$ si scrive $a^-1$.
ATTENZIONE: c'e' di mezzo la questione della commutativita, cioe' non e' detto che $ab$ sia uguale a $ba$ (un esempio lo sono le matrici NON QUADRATE con la normale moltiplicazione tra matrici). In mancanza di indicazioni specifiche, supponiamo che NON sia commutativo.
ATTENZIONE: scrivere l'inverso come $a^-1$ e' solo una convenzione! In $(\mathbb{Z}, +)$ (numeri interi con segno), l'inverso si scrive $-a$ (-5 e' l'inverso di 5).
ORA, quello che devi dimostrare e' che la soluzione di $ax=b$ esiste ed e' unica!
Ovviamente $ax$ (con $a, x\in G$) esiste, per definizione di gruppo, proprio perche $a$ e $x$ sono membri di $G$.
Quindi $ax=b$ ha soluzione? Non e' detto, in teoria potrebbe anche non essere cosi MA per l'esisteza dell'inverso di OGNI membro di $G$, $a$ ha il suo inverso, QUINDI puoi scrivere
\[a^{-1}ax= a^{-1}b\]
E qui puoi fare DUE semplificazioni per le proprieta' dell'inverso E le proprieta' dell'elemento neutro
\[a^{-1}ax= (a^{-1}a)x=(u)x = ux = x\]
risultato
\[ x = a^{-1}b\]
Ora bisogna mostrare l'unicita' DELLA SOLUZIONE, cioe' che $x$ e' unica! Quello che DEVE succedere e' che, ANCHE se $x'$ e' un'altra soluzione, l'equazione DEVE essere sempre soddisfatta, e cioe'
\[
ax = b = ax'
\]
Poiche' siamo in un gruppo, esiste $a^{-1}$
\[
a^{-1}ax = a^{-1}b = a^{-1}ax'
\]
\[
(a^{-1}a)x = a^{-1}b = (a^{-1}a)x'
\]
\[
(u)x = a^{-1}b = (u)x'
\]
\[
x = a^{-1}b = x'
\]
Toh! Ma guarda, $x$ e $x'$ sono entrambi uguali a $a^{-1}b$, QUINDI $x=x'$, QUINDI la soluzione e' unica!
Ciao, grazie per la risposta. In realtà devo dire che quanto dici mi torna pressoché bene, però mi accorgo che non risolve il mio dubbio sul tipo di dimostrazione (che poi era in reatà il mio vero dubbio primario). Sebbene con la tua spiegazione abbia capito gli errori sulla dimostrazione di soluzoione di ax=b noto che non mi sono però ultili per capire le dimostrazioni "esiste unico" nella forma da me espressa, perché le ritrovo pari pari in molti contesti e?.... e non riesco ad afferrarle!
Come dicevo il mio professore procede così:
Esiste unica la soluzione:
1- unicità: dimostra $ax=b => x=a^(-1)b$ (quindi la forma di x è unicamente di questo tipo)
2- esistenza: posso sempre assumere il valore x $x=a^(-1)b$ (e dimostro) che SOSTITUENDOLA in $x=a^(-1)b$ ho che b=b ergo esiste sempre una soluzione.
Questo ci dice che esiste unica soluzione per quell'equazione.
Inoltre ci dice implicitamente che ho che $x$ è soluzione di $ax=b$ $<=>$ $x=a^-1b$
Interpretazione che non mi è chiara (chiamiamola seconda interpretazione per capirci):
Io però continuo a non capire un fatto: se io dimostro 1) come fa il professore e poi per altra via dimostro che esiste sempre una x che sostituita in ax=b mi dà soluzione di fatto ho dimostrato con 1) che è unica, inoltre esiste sempre, quindi "esiste sempre soluzione"?
A parole sembrerebbe di sì, ma sorge il problema con questa seconda interpretazione che non varrebbe più: $ax=b$ $<=>x=a^-1b$ poiché non è più valida: $ax=b$ <= $x=a^-1b$.
Da qui in poi è solo un approfondimento per far capire che la domanda è identica in ogni situazione del genere (se si vuole si può anche saltare)...
Come dicevo il dubbio si ripercuote per qualunque dimostrazione del genere, infatti ad esempio il professore di algebra lineare (e quindi siamo in applicazioni lineari che non centrano un tubo con quanto sopra) usa lo stesso schema ma su un concetto totalmente diverso:
Teorema: Dati V e W spazi vettoriali e $B={v_1,...,v_n}$ base di V se prendo n vettori qualsiasi ${a_1,...,a_n}⊆W$ allora ESISTE UNICA l'applicazione lineare f:V->W t.c. $f(v_i)=a_i, AAi in {1,...,n}$
DIM:
1- unicità: assunto un qualunque vettore $x=x_1v_1+...+x_nv_n$, e considerando che ipotizzando esista $x_i->f(v_i)=:a_i$ avro' che $f(x)$ sarà (per linearità) $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)=x_1a_1+....x_na_n$ e avrà unicamente tale forma la f cercata (ecco l'unicità proprio come nel precedente teorema, prima era unicamente del tipo $x=a^-1b$).
In sostanza quello che fa è partire da una certa f(x) => ha una forma prefissata e l'implicazione ci garantisce proprio essere unica la forma trovata!
2- esistenza: a questo punto passa a dimostrare l'esistenza e dice: assumo a tale scopo $f(x)=x_1a_1+....x_na_n$ perché tanto posso sempre scrivere questa cosa e dimostro che è una $f(v_j)$ di tale tipo: $f(v_j)=0f(v_1)+...+1f(v_j)+....0f(v_n)=f(v_j)=a_j$ come voluto. E questo dice che esiste!
E anche qui la domanda è paro paro, l'esistenza la dimostra in 2) partendo dalla forma che avevo trovato unica: $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)$ (a), ma se io dimostrassi il punto 2) per altra via, ad esempio non partendo da (a) ma riuscendo a dimostrare semplicemente che esiste sempre una f del tipo f(vi)=ai, ho comunque dimostrato che "esiste unica f(vi)=ai"?
Il dubbio in sostanza è solo questo.
Come dicevo il mio professore procede così:
Esiste unica la soluzione:
1- unicità: dimostra $ax=b => x=a^(-1)b$ (quindi la forma di x è unicamente di questo tipo)
2- esistenza: posso sempre assumere il valore x $x=a^(-1)b$ (e dimostro) che SOSTITUENDOLA in $x=a^(-1)b$ ho che b=b ergo esiste sempre una soluzione.
Questo ci dice che esiste unica soluzione per quell'equazione.
Inoltre ci dice implicitamente che ho che $x$ è soluzione di $ax=b$ $<=>$ $x=a^-1b$
Interpretazione che non mi è chiara (chiamiamola seconda interpretazione per capirci):
Io però continuo a non capire un fatto: se io dimostro 1) come fa il professore e poi per altra via dimostro che esiste sempre una x che sostituita in ax=b mi dà soluzione di fatto ho dimostrato con 1) che è unica, inoltre esiste sempre, quindi "esiste sempre soluzione"?
A parole sembrerebbe di sì, ma sorge il problema con questa seconda interpretazione che non varrebbe più: $ax=b$ $<=>x=a^-1b$ poiché non è più valida: $ax=b$ <= $x=a^-1b$.
Da qui in poi è solo un approfondimento per far capire che la domanda è identica in ogni situazione del genere (se si vuole si può anche saltare)...
Come dicevo il dubbio si ripercuote per qualunque dimostrazione del genere, infatti ad esempio il professore di algebra lineare (e quindi siamo in applicazioni lineari che non centrano un tubo con quanto sopra
) usa lo stesso schema ma su un concetto totalmente diverso:Teorema: Dati V e W spazi vettoriali e $B={v_1,...,v_n}$ base di V se prendo n vettori qualsiasi ${a_1,...,a_n}⊆W$ allora ESISTE UNICA l'applicazione lineare f:V->W t.c. $f(v_i)=a_i, AAi in {1,...,n}$
DIM:
1- unicità: assunto un qualunque vettore $x=x_1v_1+...+x_nv_n$, e considerando che ipotizzando esista $x_i->f(v_i)=:a_i$ avro' che $f(x)$ sarà (per linearità) $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)=x_1a_1+....x_na_n$ e avrà unicamente tale forma la f cercata (ecco l'unicità proprio come nel precedente teorema, prima era unicamente del tipo $x=a^-1b$).
In sostanza quello che fa è partire da una certa f(x) => ha una forma prefissata e l'implicazione ci garantisce proprio essere unica la forma trovata!
2- esistenza: a questo punto passa a dimostrare l'esistenza e dice: assumo a tale scopo $f(x)=x_1a_1+....x_na_n$ perché tanto posso sempre scrivere questa cosa e dimostro che è una $f(v_j)$ di tale tipo: $f(v_j)=0f(v_1)+...+1f(v_j)+....0f(v_n)=f(v_j)=a_j$ come voluto. E questo dice che esiste!
E anche qui la domanda è paro paro, l'esistenza la dimostra in 2) partendo dalla forma che avevo trovato unica: $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)$ (a), ma se io dimostrassi il punto 2) per altra via, ad esempio non partendo da (a) ma riuscendo a dimostrare semplicemente che esiste sempre una f del tipo f(vi)=ai, ho comunque dimostrato che "esiste unica f(vi)=ai"?
Il dubbio in sostanza è solo questo.
Dovremmo provare a cambiare strategia, dato che sembra tu sia perso in una cosa che avresti saputo fare già alle elementari.
Il fatto che vuoi dimostrare è questo: in un gruppo \((G,\cdot,1)\) ogni "equazione" della forma \(ax=b\) ha un'unica soluzione.
La dimostrazione, come hai giustamente notato, è fatta di due parti, l'esistenza di una soluzione, e la sua unicità. Che una soluzione esista segue dal fatto che ciascuna di queste implicazioni è vera in entrambe le direzioni:
\[ax=b\iff a^{-1}ax=a^{-1}b \iff 1\cdot x = a^{-1}b \iff x = a^{-1}b\]
del resto ora non devi fare granché per mostrare che questa soluzione è unica, dati \(a,b\in G\), perché l'espressione \(a^{-1}b\) è univocamente determinata a partire da questi due elementi di $G$. Oppure, più formalmente, la corrispondenza \((a,b) \mapsto a^{-1}b\) è una funzione, quindi c'è un solo elemento che corrisponde ad \((a,b)\), una volta che essi siano fissati.
Il fatto che vuoi dimostrare è questo: in un gruppo \((G,\cdot,1)\) ogni "equazione" della forma \(ax=b\) ha un'unica soluzione.
La dimostrazione, come hai giustamente notato, è fatta di due parti, l'esistenza di una soluzione, e la sua unicità. Che una soluzione esista segue dal fatto che ciascuna di queste implicazioni è vera in entrambe le direzioni:
\[ax=b\iff a^{-1}ax=a^{-1}b \iff 1\cdot x = a^{-1}b \iff x = a^{-1}b\]
del resto ora non devi fare granché per mostrare che questa soluzione è unica, dati \(a,b\in G\), perché l'espressione \(a^{-1}b\) è univocamente determinata a partire da questi due elementi di $G$. Oppure, più formalmente, la corrispondenza \((a,b) \mapsto a^{-1}b\) è una funzione, quindi c'è un solo elemento che corrisponde ad \((a,b)\), una volta che essi siano fissati.
esiste una soluzione ed e' unica
indipendentemente dal contesto (quindi, come dici tu, in generale), richiede DUE passi:
1) ESISTE la soluzione? potrebbe non esistere
2) SE dovesse esistere UN'ALTRA soluzione, questa e' DIVERSA dalla prima oppure no?
Se no, nel senso che sono UGUALI, allora la soluzione e' unica!
Pensa ad un polinomio di 2 grado: $ax^2+bx+c=0$
1) esiste soluzione (in $RR$)? Si e no, DIPENDE!
2) supponiamo che esista la soluzione. Questa e' UNICA? No ma anche si (più o meno). DIPENDE,!
Il (piu' o meno) si riferisce al fatto che il polinomio ha sempre 0 o 2 soluzioni reali, eventualmente le due soluzioni potrebbero coincidere, ma SONO DUE. Non e' l'esempio piu' giusto, ma serve per farti capire che i passi da fare sono DUE e nell'ordine indicato all'inizio.
E' OVVIO che NON PUOI, come hai scritto, PRIMA controllare se la soluzione e' unica E POI se esiste
Non funziona!
E' come voler invitare gli amici a cena per presentare la famosa biondina PRIMA di aver trovalo la suddetta biondina (o se vuoi, mangiare le tue famose patate lesse PRIMA di aver comprato le patate, ma la biondina e' meglio )
Non funziona!
indipendentemente dal contesto (quindi, come dici tu, in generale), richiede DUE passi:
1) ESISTE la soluzione? potrebbe non esistere
2) SE dovesse esistere UN'ALTRA soluzione, questa e' DIVERSA dalla prima oppure no?
Se no, nel senso che sono UGUALI, allora la soluzione e' unica!
Pensa ad un polinomio di 2 grado: $ax^2+bx+c=0$
1) esiste soluzione (in $RR$)? Si e no, DIPENDE!
2) supponiamo che esista la soluzione. Questa e' UNICA? No ma anche si (più o meno). DIPENDE,!
Il (piu' o meno) si riferisce al fatto che il polinomio ha sempre 0 o 2 soluzioni reali, eventualmente le due soluzioni potrebbero coincidere, ma SONO DUE. Non e' l'esempio piu' giusto, ma serve per farti capire che i passi da fare sono DUE e nell'ordine indicato all'inizio.
E' OVVIO che NON PUOI, come hai scritto, PRIMA controllare se la soluzione e' unica E POI se esiste
Non funziona!
E' come voler invitare gli amici a cena per presentare la famosa biondina PRIMA di aver trovalo la suddetta biondina
(o se vuoi, mangiare le tue famose patate lesse PRIMA di aver comprato le patate, ma la biondina e' meglio )Non funziona!
"Migliorabile":
E' OVVIO che NON PUOI, come hai scritto, PRIMA controllare se la soluzione e' unica E POI se esiste
Non funziona!
Non confondere ulteriormente le acque. Certo che si può, e spesso è quello che si fa, anche se più per un vezzo matematico che per un motivo contingente. Se non esiste una soluzione, la proposizione "se una soluzione esiste, allora è unica" è sempre vera, perchè la premessa è falsa.
@hydro, sono nuovo nel forum, ma, insomma, fino ad ora pensavo di saperne qualcosina
Se mi mostri un caso in cui PRIMA si dimostra che una soluzione e' unica E poi se esiste, mi genufletto al tuo cospetto
Vuol dire che tutto quello che ho imparato fino ad ora va, letteralmente, a gambe all'aria
(Senza mettersi a pasticciare con la logica dei predicati del primo ordine, l'implicazione e le elucubrazioni mentali tra filosofia e implicazione materiale )
Se mi mostri un caso in cui PRIMA si dimostra che una soluzione e' unica E poi se esiste, mi genufletto al tuo cospetto
Vuol dire che tutto quello che ho imparato fino ad ora va, letteralmente, a gambe all'aria
(Senza mettersi a pasticciare con la logica dei predicati del primo ordine, l'implicazione e le elucubrazioni mentali tra filosofia e implicazione materiale
)
Se mi mostri un caso in cui PRIMA si dimostra che una soluzione e' unica E poi se esiste, mi genufletto al tuo cospettoQualsiasi oggetto definito da una proprietà universale: se esiste, è unico, ma a volte non esiste (prendi, ad esempio, un poset che non ammette un massimo, per esempio \((\mathbb Z,\le)\).
Ora inginocchiati, non mi calerò i pantaloni, tranquillo.
APPENA chiesto ad un professore universitario di Matematica!
Ma deve essere SE ESISTE E' UNICA e poi ESISTE.
Gli approcci sono plausibili entrambi, ma dipende dal contesto.
La BUONA pratica suggerisce che PRIMA si dimostra che esiste E POI che e' unica.
Ok!
Ma deve essere SE ESISTE E' UNICA e poi ESISTE.
Gli approcci sono plausibili entrambi, ma dipende dal contesto.
La BUONA pratica suggerisce che PRIMA si dimostra che esiste E POI che e' unica.
Ok!
Peccato, ero GIA' pronto a
"Migliorabile":
APPENA chiesto ad un VERO professore universitario di Matematica!
Occhio ad usare aggettivi, non sai mai con chi stai parlando...
"Migliorabile":
Gli approcci sono plausibili entrambi, ma dipende dal contesto.
Cosa significa "dipende dal contesto"? Le dimostrazioni o sono giuste o sono sbagliate, non esiste nessuna dipendenza dal contesto. Ad ogni modo credo che la cosa che ti confonde sia semplicemente la seguente: tu intendi "la soluzione è unica" come "la soluzione esiste ed è unica", e in questo senso è ovvio che una dimostrazione del claim non può prescindere dalla dimostrazione dell'esistenza. Quello che io e megas_archon ti stiamo dicendo è che si può dimostrare le proposizioni "la soluzione esiste" e "SE la soluzione esiste ALLORA è unica" in modo completamente indipendente, e ovviamente nell'ordine che si vuole. Il punto è che la seconda proposizione è vera anche se la soluzione NON esiste, perchè da premesse false segue qualsiasi cosa.
L'ex falso quodlibet è la cosa piu difficile da spiegare agli studenti... Comunque APPENA vuoi rispondere anche io voglio sapere cos'è un VERO professore
Esempio: trovare gli $x$ positivi tali che $sqrt(x)=-1$. Se la soluzione esiste allora è unica, infatti se $x$ è soluzione allora elevando al quadrato otteniamo $x=1$. Quindi se una soluzione esiste è unica, essendo uguale a $1$. D'altra parte non esiste soluzione, perché come abbiamo appena mostrato l'unica possibile soluzione è eventualmente $1$ ma $1$ non è soluzione perché $sqrt(1) = 1 ne -1$.
Cioè diciamo che questo VERO professore non ti ha spiegato il concetto specifico, ti ha solo dato una regoletta a cui affidarti in modo sostanzialmente arbitrario e indipendentemente dal contesto. Contento tu 
APPENA chiesto ad un VERO professore universitario di Matematica!Dimostrazione per autorità
Gli approcci sono plausibili entrambi, ma dipende dal contesto.
La BUONA pratica suggerisce che PRIMA si dimostra che esiste E POI che e' unica.
Ok!
Cioè diciamo che questo VERO professore non ti ha spiegato il concetto specifico, ti ha solo dato una regoletta a cui affidarti in modo sostanzialmente arbitrario e indipendentemente dal contesto. Contento tu
Corretto il post, cosi' evitiamo derive da Bar Sport!
Mi spiace aver sollevato un polverone col post su VERI professori . Però in realtà volevo solo provare a risolvermi un dubbio che vedo sussistere (come dice qualcuno anche dalle elementari probabilmente XD) di logica. Ma devo proprio capirlo per mettermi il cuore in pace.
Per tornare OT:
Io in realtà ho capito le speigazioni ma vedo che si fossilizzano al caso in particolare però a turbarmi è proprio la resa a parole di quello che voglio dimostrare esiste unico.
Ricapitolando: io vedo che uno schema dimostrativo può essere il seguente. Vogliamo dimostrare una peculiarità di una entità X che rende vero il fatto che abbia la proprietà di esistere ed essere unica.
Normalmente procedo così.
1- SUPPONGO vera X e dimostro (quindi sfrutto =>) che X ha una certa forma e quindi sarà X="unicamente di qualche tipo", l'unicità è proprio data dall'implicazione che mi dice che ipotizzando l'esistenza avrò una unica forma per quella X.
2- mi manca ora l'esistenza. Quello che si fa è prendere l'espressione che ho trovato nel punto precedente e dimostro che presa come ipotesi (quella forma) verifica la proprietà, ergo: ESISTE.
Ebbene, la mia domanda è semplicemente io voglio mostrare che una certa X[nota]che vi prego di considerare come uan entità astratta non PIU' una soluzione del caso di apertura che vedo continua a perseguitarmi nelle vostre risposte ![/nota] esiste ed è unica, se io quindi ripeto paro paro il primo pezzo ho dimostrato che quella X è unica (come già detto).
Mi manca però l'esistenza, e qui viene la differenza, anzichè assumere la forma vista prima io voglio fare così: dimostro per qualsiasi altra via che una certa X esiste sempre (senza partire dall'espressione trovata nel punto 1), questo non vuol dire comunque che dimostro l'esistenza di X? Io direi di sì, una X esiste l'ho dimostrato.
Quindi cosa ottengo mettendo assieme le due cose: dimostro che una X esiste e se esiste quella X è "unicamente di una certa forma".
In questo modo mi pare di aver dimostrato sicuramente un esiste X e X è unico, ma non ho dimostrato che X esiste ed è unico se e solo se ha quella data forma. Ma la formulazione di esiste unico non mi sembra richiedere questo. Quindi forse è solo un errore che faccio nel rendere in formule il "esiste unico", ho questa sensazione.
Forse rimanere sul generale è meglio perché vedo che sennò vi faccio dire cose che mi tornano su quanto riguarda le soluzioni di una ax=b, ma io ho un dubbio sulla logica della dimostrazione e non sulla dimostrazione in sé che ho usato solo come esempio.
PS:
non c'entra con la mia domanda ma volevo dire a Martino che questo esempio (che forse chiarirà le idee a migliorabile) è squisito, mi è piaciuto un sacco
. Però in realtà volevo solo provare a risolvermi un dubbio che vedo sussistere (come dice qualcuno anche dalle elementari probabilmente XD) di logica. Ma devo proprio capirlo per mettermi il cuore in pace.Per tornare OT:
Io in realtà ho capito le speigazioni ma vedo che si fossilizzano al caso in particolare però a turbarmi è proprio la resa a parole di quello che voglio dimostrare esiste unico.
Ricapitolando: io vedo che uno schema dimostrativo può essere il seguente. Vogliamo dimostrare una peculiarità di una entità X che rende vero il fatto che abbia la proprietà di esistere ed essere unica.
Normalmente procedo così.
1- SUPPONGO vera X e dimostro (quindi sfrutto =>) che X ha una certa forma e quindi sarà X="unicamente di qualche tipo", l'unicità è proprio data dall'implicazione che mi dice che ipotizzando l'esistenza avrò una unica forma per quella X.
2- mi manca ora l'esistenza. Quello che si fa è prendere l'espressione che ho trovato nel punto precedente e dimostro che presa come ipotesi (quella forma) verifica la proprietà, ergo: ESISTE.
Ebbene, la mia domanda è semplicemente io voglio mostrare che una certa X[nota]che vi prego di considerare come uan entità astratta non PIU' una soluzione del caso di apertura che vedo continua a perseguitarmi nelle vostre risposte
![/nota] esiste ed è unica, se io quindi ripeto paro paro il primo pezzo ho dimostrato che quella X è unica (come già detto).Mi manca però l'esistenza, e qui viene la differenza, anzichè assumere la forma vista prima io voglio fare così: dimostro per qualsiasi altra via che una certa X esiste sempre (senza partire dall'espressione trovata nel punto 1), questo non vuol dire comunque che dimostro l'esistenza di X? Io direi di sì, una X esiste l'ho dimostrato.
Quindi cosa ottengo mettendo assieme le due cose: dimostro che una X esiste e se esiste quella X è "unicamente di una certa forma".
In questo modo mi pare di aver dimostrato sicuramente un esiste X e X è unico, ma non ho dimostrato che X esiste ed è unico se e solo se ha quella data forma. Ma la formulazione di esiste unico non mi sembra richiedere questo. Quindi forse è solo un errore che faccio nel rendere in formule il "esiste unico", ho questa sensazione.
Forse rimanere sul generale è meglio perché vedo che sennò vi faccio dire cose che mi tornano su quanto riguarda le soluzioni di una ax=b, ma io ho un dubbio sulla logica della dimostrazione e non sulla dimostrazione in sé che ho usato solo come esempio.
PS:
"Martino":
Esempio: trovare gli $x$ positivi tali che $sqrt(x)=-1$. Se la soluzione esiste allora è unica, infatti se $x$ è soluzione allora elevando al quadrato otteniamo $x=1$. Quindi se una soluzione esiste è unica, essendo uguale a $1$. D'altra parte non esiste soluzione, perché come abbiamo appena mostrato l'unica possibile soluzione è eventualmente $1$ ma $1$ non è soluzione perché $sqrt(1) = 1 ne -1$.
non c'entra con la mia domanda ma volevo dire a Martino che questo esempio (che forse chiarirà le idee a migliorabile) è squisito, mi è piaciuto un sacco
Il fatto è questo, ed è stato enunciato per la prima volta come principio logico da Laozi:
Quello che scrivi è la dimostrazione perfetta che hai capito l'idea, ma non stai abbandonando le parole, e anzi ti stai interstardendo a renderle più fumose del necessario.
> Vogliamo dimostrare una peculiarità di una entità X che rende vero il fatto che abbia la proprietà di esistere ed essere unica.
Questo significa gran poco, perché non sai cos'è una "entità che rende vero il fatto che abbia la proprietà d esistere ed essere unica". Questo asserto è poi talmente generale che ci sono circa dodici modi diversi di cercare di formalizzarlo, e sospetto nessuno sia abbastanza soddisfacente da appagarti. Una maniera elementare di farlo è: se $U$ è un insieme di "soluzioni" a un "problema", allora \(U = \{x\mid Px\}\) ha al più un elemento, ovverosia o è vuoto (quando un elemento che rende vera la proprietà $P$ non esiste) oppure, quando ne esiste almeno uno, ne esiste esattamente uno.
Questo tipo di formule sono spesso chiamate "proprietà universali": quando la soluzione a un problema universale esiste, essa è unica, ma appunto, non è detto che esista, cioè che la soluzione che hai scritto come formula sia "ben definita", "ben posta", "ben determinata", e tutte queste locuzioni che significano esattamente "ho scritto dei simboli nella sintassi; ho controllato che corrispondano a qualcosa nella semantica".
Considera questo asserto: data una funzione \(f : A\to B\) e una relazione di equivalenza $R$ su $A$; allora esiste al più una funzione \(\hat f : A/R \to B\) con la proprietà che \(\hat f([x])=f(x)\) e tale funzione, per di più, è iniettiva.
Come si dimostra questo fatto, e soprattutto cosa si dimostra, considerando che esso si presenta come apparentemente già risolto --visto che sembra sufficiente definire \(\hat f\) mediante la regola \(\hat f[x]=f(x)\) per avere la risposta? Pensaci sopra.
Il fine della rete è il pesce: preso il pesce metti da parte la rete.
Il fine del laccio è la lepre: presa la lepre metti da parte il laccio.
Il fine delle parole è l'idea: afferrata l'idea metti da parte le parole.
Quello che scrivi è la dimostrazione perfetta che hai capito l'idea, ma non stai abbandonando le parole, e anzi ti stai interstardendo a renderle più fumose del necessario.
> Vogliamo dimostrare una peculiarità di una entità X che rende vero il fatto che abbia la proprietà di esistere ed essere unica.
Questo significa gran poco, perché non sai cos'è una "entità che rende vero il fatto che abbia la proprietà d esistere ed essere unica". Questo asserto è poi talmente generale che ci sono circa dodici modi diversi di cercare di formalizzarlo, e sospetto nessuno sia abbastanza soddisfacente da appagarti. Una maniera elementare di farlo è: se $U$ è un insieme di "soluzioni" a un "problema", allora \(U = \{x\mid Px\}\) ha al più un elemento, ovverosia o è vuoto (quando un elemento che rende vera la proprietà $P$ non esiste) oppure, quando ne esiste almeno uno, ne esiste esattamente uno.
Questo tipo di formule sono spesso chiamate "proprietà universali": quando la soluzione a un problema universale esiste, essa è unica, ma appunto, non è detto che esista, cioè che la soluzione che hai scritto come formula sia "ben definita", "ben posta", "ben determinata", e tutte queste locuzioni che significano esattamente "ho scritto dei simboli nella sintassi; ho controllato che corrispondano a qualcosa nella semantica".
Normalmente procedo così.Questo pezzo poi è impossibile da commentare, non significa nulla ($X$ era un'entità, e le entità non sono "vere"; "sfruttare \(\Rightarrow\)" non significa una ceppa; $X$ è un'entità, e non ha senso uguagliarla con "unicamente di qualche tipo" (che è cosa, un giudizio? Una stringa? Un supplì?)...
1- SUPPONGO vera X e dimostro (quindi sfrutto =>) che X ha una certa forma e quindi sarà X="unicamente di qualche tipo", l'unicità è proprio data dall'implicazione che mi dice che ipotizzando l'esistenza avrò una unica forma per quella X.
2- mi manca ora l'esistenza. Quello che si fa è prendere l'espressione che ho trovato nel punto precedente e dimostro che presa come ipotesi (quella forma) verifica la proprietà, ergo: ESISTE.
Considera questo asserto: data una funzione \(f : A\to B\) e una relazione di equivalenza $R$ su $A$; allora esiste al più una funzione \(\hat f : A/R \to B\) con la proprietà che \(\hat f([x])=f(x)\) e tale funzione, per di più, è iniettiva.
Come si dimostra questo fatto, e soprattutto cosa si dimostra, considerando che esso si presenta come apparentemente già risolto --visto che sembra sufficiente definire \(\hat f\) mediante la regola \(\hat f[x]=f(x)\) per avere la risposta? Pensaci sopra.
Ti ringrazio per la replica.
Mi rendo conto che il mio grande problema sia formalizzare meglio perché come mi segnali ho usato termini poco formali. Tuttavia volevo portare l'altro esempio, per far capire forse la generalità di quello che intravedo ma non so classificare o realizzare cosa sia:
Teorema: Dati V e W spazi vettoriali e $B={v_1,...,v_n}$ base di V se prendo n vettori qualsiasi ${a_1,...,a_n}⊆W$ allora ESISTE UNICA l'applicazione lineare f:V->W t.c. $f(v_i)=a_i, AAi in {1,...,n}$
DIM:
1- unicità: assunto un qualunque vettore $x=x_1v_1+...+x_nv_n$, e considerando che ipotizzando esista $x_i->f(v_i)=:a_i$ avro' che $f(x)$ sarà (per linearità) $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)=x_1a_1+....x_na_n$ e avrà unicamente tale forma la f cercata (ecco l'unicità proprio come nel precedente teorema, prima era unicamente del tipo $x=a^-1b$).
In sostanza quello che fa è partire da una certa f(x) => ha una forma prefissata e l'implicazione ci garantisce proprio essere unica la forma trovata!
2- esistenza: a questo punto passa a dimostrare l'esistenza e dice: assumo a tale scopo $f(x)=x_1a_1+....x_na_n$ perché tanto posso sempre scrivere questa cosa e dimostro che è una $f(v_j)$ di tale tipo: $f(v_j)=0f(v_1)+...+1f(v_j)+....0f(v_n)=f(v_j)=a_j$ come voluto. E questo dice che esiste!
E anche qui la domanda è paro paro, l'esistenza la dimostra in 2) partendo dalla forma che avevo trovato unica: $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)$ (a), ma se io dimostrassi il punto 2) per altra via, ad esempio non partendo da (a) ma riuscendo a dimostrare semplicemente che esiste sempre una f del tipo f(vi)=ai, ho comunque dimostrato che "esiste unica f(vi)=ai"?
Come vedi qui c'è qualcosa di totalmente simile a quello che dicevo per il primo esempio.
Si dimostra l'unicità di qualcosa (che ignorantemente ho definito entità X) e poi si verifica l'unicità riprendendo quella struttura e dimostrando che è l'applicazione cercata.
Io ci vedo uno schema dimostrativo del tutto simile e un dubbio del tutto uguale.
Mi rendo conto che il mio grande problema sia formalizzare meglio perché come mi segnali ho usato termini poco formali. Tuttavia volevo portare l'altro esempio, per far capire forse la generalità di quello che intravedo ma non so classificare o realizzare cosa sia:
Teorema: Dati V e W spazi vettoriali e $B={v_1,...,v_n}$ base di V se prendo n vettori qualsiasi ${a_1,...,a_n}⊆W$ allora ESISTE UNICA l'applicazione lineare f:V->W t.c. $f(v_i)=a_i, AAi in {1,...,n}$
DIM:
1- unicità: assunto un qualunque vettore $x=x_1v_1+...+x_nv_n$, e considerando che ipotizzando esista $x_i->f(v_i)=:a_i$ avro' che $f(x)$ sarà (per linearità) $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)=x_1a_1+....x_na_n$ e avrà unicamente tale forma la f cercata (ecco l'unicità proprio come nel precedente teorema, prima era unicamente del tipo $x=a^-1b$).
In sostanza quello che fa è partire da una certa f(x) => ha una forma prefissata e l'implicazione ci garantisce proprio essere unica la forma trovata!
2- esistenza: a questo punto passa a dimostrare l'esistenza e dice: assumo a tale scopo $f(x)=x_1a_1+....x_na_n$ perché tanto posso sempre scrivere questa cosa e dimostro che è una $f(v_j)$ di tale tipo: $f(v_j)=0f(v_1)+...+1f(v_j)+....0f(v_n)=f(v_j)=a_j$ come voluto. E questo dice che esiste!
E anche qui la domanda è paro paro, l'esistenza la dimostra in 2) partendo dalla forma che avevo trovato unica: $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)$ (a), ma se io dimostrassi il punto 2) per altra via, ad esempio non partendo da (a) ma riuscendo a dimostrare semplicemente che esiste sempre una f del tipo f(vi)=ai, ho comunque dimostrato che "esiste unica f(vi)=ai"?
Come vedi qui c'è qualcosa di totalmente simile a quello che dicevo per il primo esempio.
Si dimostra l'unicità di qualcosa (che ignorantemente ho definito entità X) e poi si verifica l'unicità riprendendo quella struttura e dimostrando che è l'applicazione cercata.
Io ci vedo uno schema dimostrativo del tutto simile e un dubbio del tutto uguale.
Certo, perché il teorema che riporti è anche lui una proprietà universale. Tutti gli spazi vettoriali su un campo $k$ sono moduli liberi su quel campo, che è un modo equivalente di rifrasare quello che hai detto (al netto del fatto che è vero qualcosa di leggermente più generale, perché le dimensioni di $V$ e di $W$ non devono coincidere.
Io ci vedo uno schema dimostrativo del tutto simile e un dubbio del tutto uguale.
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