Esiste unico (dimostrazione)
Buonasera,
stavo cercando di capire una dimostrazione e vorrei chiedere un aiuto a qualcuno ed eccomi qui.
Ho letto la dimostrazione dato un gruppo con * l'equazione $ax=b$ ha soluzione.
Si dimostra per questo che
- è unica: $ax=b$ quindi $a^(-1)ax=a^(−1)b→x=a^(−1)b$ da cui $x=a^(−1)b$ unica
- esiste, infatti; posso sempre assumere $x=a^(−1)b$ ho che $ax=b$
Vorrei però ampliare il discorso per capire questo tipo di dimostrazioni essendo la prima volta che la incontro, noto che in pratica si è ragionato così:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
2- però avendo bisogno anche dell'esistenza di quell'x che esiste(+unico) a questo punto dimostro che preso
q(x)= espressione vista => ho p(x),
Qui viene il mio dubbio, ma se io mantenessi immutata la prima parte:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
(come detto ho ipotizzato che p esiste ma non so ancora se esiste, quindi)
2- dimostro che p(x) vale partendo da un altra ipotesi, ossia r(x) => p(x)
allora vale comunque la dimostrazione che x esiste unico? Il mio dubbio nasce perché se 1 mi dice che se x esiste allora unicamente ha forma data da q(x) allora r(x) => p(x) => q(x) da cui mi pare che r(x) torni ad essere q(x) per forza. Sono molto confuso.
stavo cercando di capire una dimostrazione e vorrei chiedere un aiuto a qualcuno ed eccomi qui.
Ho letto la dimostrazione dato un gruppo con * l'equazione $ax=b$ ha soluzione.
Si dimostra per questo che
- è unica: $ax=b$ quindi $a^(-1)ax=a^(−1)b→x=a^(−1)b$ da cui $x=a^(−1)b$ unica
- esiste, infatti; posso sempre assumere $x=a^(−1)b$ ho che $ax=b$
Vorrei però ampliare il discorso per capire questo tipo di dimostrazioni essendo la prima volta che la incontro, noto che in pratica si è ragionato così:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
2- però avendo bisogno anche dell'esistenza di quell'x che esiste(+unico) a questo punto dimostro che preso
q(x)= espressione vista => ho p(x),
Qui viene il mio dubbio, ma se io mantenessi immutata la prima parte:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
(come detto ho ipotizzato che p esiste ma non so ancora se esiste, quindi)
2- dimostro che p(x) vale partendo da un altra ipotesi, ossia r(x) => p(x)
allora vale comunque la dimostrazione che x esiste unico? Il mio dubbio nasce perché se 1 mi dice che se x esiste allora unicamente ha forma data da q(x) allora r(x) => p(x) => q(x) da cui mi pare che r(x) torni ad essere q(x) per forza. Sono molto confuso.
Risposte
Ok quindi forse stiamo arrivando a far capire il mio dubbio, nonostante la mia incapacità.
Io chiedo solo: per dimostrare l'unicità (aka il punto 2) ) parto dalla forma che ho dimostrato unica nel primo passo: ossia $x=a^-1b$ come soluzione di ax=b o la $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)$ come f per f(vi)=ai (a).
Ebbene, ma se invece di partire da questi due riesco a dimostrare (non usando le (a) come ipotesi) che esiste x soluzione di $ax=b$ o che appunto esiste f che $f(vecv_1)=veca_i$ non ho dimostrato comunque che esiste la x con la proprietà cercata? A me dimostrare questo sembra proprio un esiste.
Invece no, vedo che sempre si parte da $x=a^-1b$ o la $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)$ e dimostrando che rispettano la richiesta voluta (soluzione/applicazione cercata) si dice: perfetto allora esiste.
Io chiedo solo: per dimostrare l'unicità (aka il punto 2) ) parto dalla forma che ho dimostrato unica nel primo passo: ossia $x=a^-1b$ come soluzione di ax=b o la $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)$ come f per f(vi)=ai (a).
Ebbene, ma se invece di partire da questi due riesco a dimostrare (non usando le (a) come ipotesi) che esiste x soluzione di $ax=b$ o che appunto esiste f che $f(vecv_1)=veca_i$ non ho dimostrato comunque che esiste la x con la proprietà cercata? A me dimostrare questo sembra proprio un esiste.
Invece no, vedo che sempre si parte da $x=a^-1b$ o la $f(x)=x_1f(v_1)+....x_nf(v_n)$ e dimostrando che rispettano la richiesta voluta (soluzione/applicazione cercata) si dice: perfetto allora esiste.
Mi hai scritto in privato ma non ho capito perché, visto che rispondevi a quanto scrivevo qui. Ti rispondo qui e ti chiedo due cose: di continuare qui e di darmi del tu. Grazie.
L'unicità di una cosa che soddisfa una proprietà $P$ significa semplicemente che se hai due cose distinte, quelle non possono entrambe soddisfare $P$. Cioè l'unicità garantisce solamente che il numero di soluzioni è al massimo $1$. L'esistenza invece ti dice che il numero delle soluzioni è almeno $1$. Combinando esistenza e unicità, ottieni che il numero di soluzioni è esattamente $1$.
Beh, il motivo è ovvio: è inutile cercare di mostrare l'esistenza usando un "candidato soluzione" che non è quello dettato dall'unicità, perché se provo con un elemento che non è quello dettato dall'unicità allora certamente quello non sarà soluzione, dato che l'unicità (nel particolare caso di cui stai parlando) sta appunto dicendomi che esiste al massimo un candidato e chi è questo candidato. Di nuovo, non capisco quale sia il problema.
Inoltre sembra piacermi questa cosa di coinvolgermi in discussioni di logica base
e di solito me ne pento dopo uno scambio di battute, quindi vorrei avvertirti che potrei assentarmi subitaneamente dalla discussione, nessuna offesa, il fatto è che faccio moltissima fatica a capire di cosa stai parlando, e secondo me il modo migliore per sciogliere questi tuoi dubbi è elaborarli, col tempo queste cose ti saranno più chiare.
"ganxi":Sì certo. Non capisco quale sia il problema. Se dimostri l'esistenza hai dimostrato l'esistenza. Non importa come la dimostri. Puoi dimostrarla come preferisci. Ma tu continui a dire "la dimostro per altra via", quale altra via? Mi sembri stare molto sul filosofico, parli di una dimostrazione ipotetica che però non espliciti.
la mia domanda è semplicemente io voglio mostrare che una certa X esiste ed è unica, se io quindi ripeto paro paro il primo pezzo ho dimostrato che quella X è unica (come già detto).
Mi manca però l'esistenza, e qui viene la differenza, anzichè assumere la forma vista prima io voglio fare così: dimostro per qualsiasi altra via che una certa X esiste sempre (senza partire dall'espressione trovata nel punto 1), questo non vuol dire comunque che dimostro l'esistenza di X? Io direi di sì, una X esiste l'ho dimostrato.
Quindi cosa ottengo mettendo assieme le due cose: dimostro che una X esiste e se esiste quella X è "unicamente di una certa forma".Mi sembra abbastanza chiaro cosa significhi che una cosa che soddisfa una determinata proprietà $P$ esiste ed è unica. Significa che l'insieme delle cose che soddisfano $P$ è un insieme con un unico elemento. Per esempio la soluzione reale di $3x=2$ esiste ed è unica, è uguale a $2/3$. Poi tu dici "non ho dimostrato che X esiste ed è unico se e solo se ha quella data forma", ok ma non importa, tu puoi dimostrare che una cosa esiste ed è unica senza necessariamente esibirla, e quindi? Per esempio l'equazione $x^5-2x+2 = 0$ ha una unica soluzione reale, cioè la soluzione reale esiste ed è unica. Ma questo si dimostra facendo un abbozzo del grafico di $x^5-2x+2$ con tecniche di analisi e la soluzione non si trova esplicitamente. Ma la soluzione continua comunque ad esistere e ad essere unica. L'esistenza e unicità di una cosa non implica che tu la sappia "esplicitare" (qualsiasi cosa questo voglia dire).
In questo modo mi pare di aver dimostrato sicuramente un esiste X e X è unico, ma non ho dimostrato che X esiste ed è unico se e solo se ha quella data forma. Ma la formulazione di esiste unico non mi sembra richiedere questo. Quindi forse è solo un errore che faccio nel rendere in formule il "esiste unico", ho questa sensazione.
Come diceva nel suo esempio $sqrt(x)=-1$ abbiamo che, io mostro:Sì certo, se dimostri che una cosa che soddisfa una certa proprietà $P$ esiste e poi dimostri l'unicità (cioè che non possono esistere due cose distinte che soddisfano $P$) allora hai dimostrato che esiste una unica cosa che soddisfa $P$. Non importa come lo dimostri, puoi dimostrarlo come preferisci. Se lo dimostri lo hai dimostrato.
1- unicità dicendo: se esiste soluzione $x=1$
2- di solito come fa anche lei per dimostrare invece l'esistenza si dice: assumo x=1 e verifico se è soluzione. (Nel nostro caso non lo è, ma ci sono casi in cui lo è e quindi concludo che "esiste").
E il mio dubbio mi par banale ma non riesco a spiegarlo a nessuno dei partecipanti la conversazione, quello che dico è: se riuscissi a dimostrare che esiste una x soluzione senza partire da x=1 (ossia che non partendo dalla ipotesi trovata come tesi nella dimostrazione dell'unicità) e dimostro che effettivamente una x esiste, e ripeto se lo dimostro sfruttando altra via. Non ho dimostrato "essite unico" comunque?
L'unicità di una cosa che soddisfa una proprietà $P$ significa semplicemente che se hai due cose distinte, quelle non possono entrambe soddisfare $P$. Cioè l'unicità garantisce solamente che il numero di soluzioni è al massimo $1$. L'esistenza invece ti dice che il numero delle soluzioni è almeno $1$. Combinando esistenza e unicità, ottieni che il numero di soluzioni è esattamente $1$.
Invece in pratica si parte sempre (per dimostrare l'esistenza) dicendo se assumo $x=a^-1b$ noto che esiste soluzione. E non capisco perché si debba sempre partire dall'ipotesi dettata dall'unicità.
Beh, il motivo è ovvio: è inutile cercare di mostrare l'esistenza usando un "candidato soluzione" che non è quello dettato dall'unicità, perché se provo con un elemento che non è quello dettato dall'unicità allora certamente quello non sarà soluzione, dato che l'unicità (nel particolare caso di cui stai parlando) sta appunto dicendomi che esiste al massimo un candidato e chi è questo candidato. Di nuovo, non capisco quale sia il problema.
Inoltre sembra piacermi questa cosa di coinvolgermi in discussioni di logica base
e di solito me ne pento dopo uno scambio di battute, quindi vorrei avvertirti che potrei assentarmi subitaneamente dalla discussione, nessuna offesa, il fatto è che faccio moltissima fatica a capire di cosa stai parlando, e secondo me il modo migliore per sciogliere questi tuoi dubbi è elaborarli, col tempo queste cose ti saranno più chiare.
"Martino":
di continuare qui e di darmi del tu. Grazie.
Ciao, siccome si era parlato di Professori ecc. mi sentivo in dovere di dare del lei. Non sapendo bene come interfacciarmi. Allora userò il "tu"
, grazie.Ho aspettato un poco di tempo a rispondere per avere idee più chiare e ho riletto molte volte il post per capire il più possibile. Sono giunto ad alcune conclusioni su cui prima non ero arrivato e vorrei chiederti se potrei finalmente aver inteso.
In principio è voler dimostrare "X esiste unico" che soddisfa la proprietà P. Per far questo c'è ad esempio il metodo esposto (che ho visto in moltissime dimostrazioni):
1] SUPPONGO vera X e dimostro che X ha una certa forma, diciamo che posso trovare (X=F, con f forma). in pratica suppongo X vera e tramite P trovo => X=F.
2] a questo punto prendo il candidato per l'esistenza trovato: F e mostro che effttivamente soddisfa P.
Concludo che esiste unico x che soddifi P.
Osservavo inotre che dato che avevo dimostrato che se $X$ esiste allora ha forma $F$, e che poi in (2) che se $X=F$ allora $X$ è soluzione della proprietà $P$, da qui dicevo unendo le due ho: $X$ soddisfa $P$ se e solo se $X$ ha quella forma.
In modo compatto: (1) se esiste $X$ che soddisfi $P => X=F$ e (2) se dimostro che se assumo $X=F => X$ Soddista $P$ da (1+2) esiste $X$ che soddisfi $P <=> X=F$
L'altro metodo che immaginavo era il seguente.
1] esattamente come sopra.
2] immagino di poter dimostrare che una certa X esiste, non più partendo dal candidato F ma per una generica altra via.
A questo punto però mi sembrava di aver dimostrato: se X esiste allora ha forma $F$, e nel nuovo punto (2) ho invece dimostrato che X esiste è vero, ma non dimostro più (come nel metodo sopra) che se $X=F$ allora soddisfa $P$, manca qui cioè il <= e quindi mi pareva di concludere che non valesse più $X$ soddisfa P se e solo se $X$ ha quella forma.
In formule: (1) se esiste $X$ che soddisfi $P => X=F$ (2) questa volta ho solo che $X$ esiste e quindi avrei da:
(1+2) $X$ esiste e $X$ che soddisfi $P => X=F$, ma non ho più $X=F => X$ Soddista $P$.
Era qui che mi incarognivo.
D'altra parte leggendo il tuo post mi è venuta una idea. Se io dimostrassi anche per altra via che una $X$ esiste come "verificante" la proprietà P, cioè riesco a dire una X esiste! Ora, so però che la $X$ sarebbe unicamente del tipo $X=F$ dal punto (1), quindi di fatto quando dimostro che $X$ esiste al punto (2) equivarrebbe al fatto di star dimostrando (in modo implicito) che $X=F$ esiste (che è esattamente quello che facevo nel punto (2) della prima dimostrazione).
[Infatti so già che ha forma per forza di $F$, e a questo punto potrei quindi dire assumo $X=F$ e ho dimostrato che esiste come soluzione della proprietà P.]
In pratica mi pare che anche procedendo così ho che esiste $X$ che soddisfi $P <=> X=F$. Sbaglio?
Volevo solo chiederti se le mie farneticazioni sono ora fondate. E ti ringrazio molto per avermi dato tempo di discuterne.
Bene, vedo che stiamo facendo progressi. Tuttavia alcuni dettagli di quanto dici indicano che in alcuni punti stai (forse) fraintendendo l'idea stessa di cosa significa dimostrazione.
"ganxi":Diciamo pure X=F e basta, non so cosa intendi con "forma". Supponendo che X soddisfa la proprietà P arrivi a dimostrare che X=F. Va bene.
(X=F, con f forma).
da qui dicevo unendo le due ho: $X$ soddisfa $P$ se e solo se $X$ ha quella forma.Sì, X soddisfa P se e solo se X=F. Questa è una doppia implicazione. L'implicazione => è l'unicità, l'implicazione <= è l'esistenza.
L'altro metodo che immaginavo era il seguente.Questo va benissimo, non c'è nessun problema. Dimostri che una soluzione esiste per "altra via", va bene. Ma spero che sia chiaro che, siccome nel punto (1) hai dimostrato che se una soluzione esiste allora è uguale a F, la soluzione che hai dimostrato esistere "per altra via" sarà necessariamente uguale a F (indipendentemente dal modo in cui l'hai dimostrato).
1] esattamente come sopra.
2] immagino di poter dimostrare che una certa X esiste, non più partendo dal candidato F ma per una generica altra via.
non dimostro più (come nel metodo sopra) che se $X=F$ allora soddisfa $P$, manca qui cioè il <= e quindi mi pareva di concludere che non valesse più $X$ soddisfa P se e solo se $X$ ha quella forma.Vedi, qui stai commettendo un errore logico, più o meno inconsapevolmente. Cioè mettiamo di avere un enunciato E. Tu sembri dire "siccome non ho dimostrato E, allora E non vale". Questo è sbagliato, il solo fatto che tu non hai dimostrato una certa cosa non significa che quella certa cosa non sia vera (e ovviamente la verità di un enunciato non dipende dalla tua capacità o meno di dimostrarlo). "X soddisfa P se e solo se X=F" è vero indipendentemente da cosa scrivi tu sul tuo foglio di carta, indipendentemente dalla "altra via" in cui dimostri (o non dimostri) le cose.
In formule: (1) se esiste $X$ che soddisfi $P => X=F$ (2) questa volta ho solo che $X$ esiste e quindi avrei da:Non è che "non hai più X=F => X soddisfa P", è che non l'hai dimostrato in questi esatti termini, ma continua ad essere vero anche se non l'hai dimostrato in questi esatti termini.
(1+2) $X$ esiste e $X$ che soddisfi $P => X=F$, ma non ho più $X=F => X$ Soddista $P$.
Era qui che mi incarognivo.
D'altra parte leggendo il tuo post mi è venuta una idea. Se io dimostrassi anche per altra via che una $X$ esiste come "verificante" la proprietà P, cioè riesco a dire una X esiste! Ora, so però che la $X$ sarebbe unicamente del tipo $X=F$ dal punto (1), quindi di fatto quando dimostro che $X$ esiste al punto (2) equivarrebbe al fatto di star dimostrando (in modo implicito) che $X=F$ esiste (che è esattamente quello che facevo nel punto (2) della prima dimostrazione).Sì esatto. Se dimostri che una soluzione esiste (per qualsiasi "altra via" che vuoi) allora quella soluzione che hai dimostrato esistere sarà necessariamente uguale a F per il punto (1) indipendentemente da come hai dimostrato l'esistenza.
Ti ringrazio assai e mi hai anche fatto ragionare su un punto su cui avevo investito poca[nota]della già poca: poca di poca 
[/nota] materia grigia:
In effetti non è che non ho più quella implicazione, infatti come dicevamo dopo c'è (basta metterla in risalto, diciamo così)
Il punto è che non era stato messo in reisalto dalla dimostrazione in quella veste.
Direi che sei stato limpido come un cristallo senza impurezze. E mi complimento perché sei riuscito a far capire la questione anche a uno scemo come me
. Grazie e buona continuazione.
[/nota] materia grigia:Non è che "non hai più X=F => X soddisfa P", è che non l'hai dimostrato in questi esatti termini, ma continua ad essere vero anche se non l'hai dimostrato in questi esatti termini.
In effetti non è che non ho più quella implicazione, infatti come dicevamo dopo c'è (basta metterla in risalto, diciamo così)
D'altra parte leggendo il tuo post mi è venuta una idea. Se io dimostrassi anche per altra via che una X esiste come "verificante" la proprietà P, cioè riesco a dire una X esiste! Ora, so però che la X sarebbe unicamente del tipo X=F dal punto (1), quindi di fatto quando dimostro che X esiste al punto (2) equivarrebbe al fatto di star dimostrando (in modo implicito) che X=F esiste (che è esattamente quello che facevo nel punto (2) della prima dimostrazione).
Il punto è che non era stato messo in reisalto dalla dimostrazione in quella veste.
Direi che sei stato limpido come un cristallo senza impurezze. E mi complimento perché sei riuscito a far capire la questione anche a uno scemo come me
. Grazie e buona continuazione.
Ottimo 
Io non sono mica tanto d'accordo con quello che avete detto negli ultimi interventi.
Devo rileggere meglio, però: adesso sono di fretta.
Devo rileggere meglio, però: adesso sono di fretta.
Beh ovviamente ben venga uno scambio. E' il bello dei forum, credo (no? ).
Grazie per spartire con me le vostre conoscenze. Un saluto a tutti
).Grazie per spartire con me le vostre conoscenze. Un saluto a tutti
"ganxi":
Per far questo c'è ad esempio il metodo esposto (che ho visto in moltissime dimostrazioni):
1] SUPPONGO vera X e dimostro che X ha una certa forma, diciamo che posso trovare (X=F, con f forma). in pratica suppongo X vera e tramite P trovo => X=F.
2] a questo punto prendo il candidato per l'esistenza trovato: F e mostro che effttivamente soddisfa P.
Concludo che esiste unico x che soddifi P.
Io già qui non condivido. Non del tutto.
Tutto questo prova solo che esiste un elemento \(\bar{x}\) che soddisfa \(\mathscr{P}(x)\), non che esso è unico.
Esempio: le equazioni funzionali.
Uno dei metodi standard nella risoluzione delle equazioni funzionali prevede di partire dall'ipotesi che l'equazione funzionale assegnata sia vera e di cominciare a sostituire in essa funzioni particolari, tipo quelle costanti e nell'utilizzare le funzioni costanti si inizia da quelle più semplici, cioè \(f(x)=0\) e \(f(x)=1\): se si procedesse in accordo con la parte quotata, verificato che \(f(x)=0\) è una soluzione dell'equazione funzionale assegnata, allora si è anche verificato che essa è l'unica laddove non è assolutamente detto che sia così.
Sì G.D., ma (almeno per quanto mi riguarda) la discussione riguardava l'esistenza e unicità della soluzione. Se non si ha l'unicità si devono ovviamente fare piccole modifiche. Tu stai parlando di un caso in cui si ha l'esistenza ma non l'unicità. Cioè stai dimostrando che "$X$ soddisfa $P$ se e solo se $X in S$" dove $P$ è una certa proprietà e $S$ è un certo insieme.
Per esempio cerchiamo le funzioni derivabili $f:RR to RR$ tali che (*) $f'=f$ e dopo dei conti troviamo che, se vale (*), allora $f$ dev'essere necessariamente del tipo $f(x)=c*e^x$ con $c in RR$. Ora mostriamo (facilmente) che per funzioni di questo tipo vale $f'=f$. Questo mostra che le soluzioni di (*) sono tutte e sole del tipo $f(x)=c*e^x$. Cioè l'insieme delle soluzioni è l'insieme $S$ delle funzioni del tipo $c*e^x$.
Per riformulare/variare questo in un caso di esistenza e unicità, posso dire "trovare tutte le funzioni derivabili $f:RR to RR$ tali che $f'=f$ e $f(0)=1$". Procedendo come sopra si ottiene che necessariamente $f(x)=e^x$ e risostituendo abbiamo che $f'=f$ e $f(0)=1$ per questa funzione, quindi in questo caso abbiamo esistenza e unicità.
Tutto il discorso del thread riguarda esistenza+unicità.
Per esempio cerchiamo le funzioni derivabili $f:RR to RR$ tali che (*) $f'=f$ e dopo dei conti troviamo che, se vale (*), allora $f$ dev'essere necessariamente del tipo $f(x)=c*e^x$ con $c in RR$. Ora mostriamo (facilmente) che per funzioni di questo tipo vale $f'=f$. Questo mostra che le soluzioni di (*) sono tutte e sole del tipo $f(x)=c*e^x$. Cioè l'insieme delle soluzioni è l'insieme $S$ delle funzioni del tipo $c*e^x$.
Per riformulare/variare questo in un caso di esistenza e unicità, posso dire "trovare tutte le funzioni derivabili $f:RR to RR$ tali che $f'=f$ e $f(0)=1$". Procedendo come sopra si ottiene che necessariamente $f(x)=e^x$ e risostituendo abbiamo che $f'=f$ e $f(0)=1$ per questa funzione, quindi in questo caso abbiamo esistenza e unicità.
Tutto il discorso del thread riguarda esistenza+unicità.
"Martino":
Questo mostra che le soluzioni di (*) sono tutte e sole del tipo $f(x)=c*e^x$. Cioè l'insieme delle soluzioni è l'insieme $S$ delle funzioni del tipo $c*e^x$.
Solo per capire, perchè non ho capito se lo usavi come non esempio, ma questa è comunque una esistenza e unicità? Nel senso che esistono soluzioni assumendo quelle del tipo $c*e^x$, ma sono anche unicamente quelle di quell'insieme, cioè del tipo $c*e^x$.
Non ho quindi capito l'esempio se era pro o contro.
Ma sì, è un discorso simile, ma non la stessa cosa.
Risolviamo $x^2=1$. Qui non hai l'unicità perché (argomentando) trovi $x=1$ e $x=-1$. Poi risostituendo trovi che $1$ e $-1$ sono effettivamente soluzioni.
Se preferisci, invece di esistenza e unicità, pensala in termini di sufficienza e necessità.
$x^2=1$ se e solo se $x in {-1,1}$.
L'implicazione $=>$ è la necessità, l'implicazione $Leftarrow$ è la sufficienza.
Basta che ci capiamo. Per me quando si parla di esistenza e unicità si sta dicendo che la soluzione esiste ed è unica. Quando la soluzione esiste ma non è unica (come nel caso di $f'=f$) non si ha l'unicità.
Poi tu puoi dare alla parola "unicità" un altro significato ma allora stiamo parlando di italiano e non di matematica.
Risolviamo $x^2=1$. Qui non hai l'unicità perché (argomentando) trovi $x=1$ e $x=-1$. Poi risostituendo trovi che $1$ e $-1$ sono effettivamente soluzioni.
Se preferisci, invece di esistenza e unicità, pensala in termini di sufficienza e necessità.
$x^2=1$ se e solo se $x in {-1,1}$.
L'implicazione $=>$ è la necessità, l'implicazione $Leftarrow$ è la sufficienza.
Basta che ci capiamo. Per me quando si parla di esistenza e unicità si sta dicendo che la soluzione esiste ed è unica. Quando la soluzione esiste ma non è unica (come nel caso di $f'=f$) non si ha l'unicità.
Poi tu puoi dare alla parola "unicità" un altro significato ma allora stiamo parlando di italiano e non di matematica.
La fbf che definisce il quantificatore di unicità è
\[
\exists x ( \mathscr{P}(x) \land \forall y (\mathscr{P}(y) \implies y = x))
\]
Non potete derivare l'unicità dal fatto che supponendo \(\mathscr{P}(x)\) per qualche \(x\), riuaciate a trovare una specificazione per \(x\). Questo prova solo l'esistenza, a patto ovviamente che il controllo sulla specifiazione trovata sia positivo. Il problema è che avete in testa tutti esempi dove la costruzione della specificazione per \(x\) ha in sé l'unicità, però in un discorso generale, che è quello che stavate affrontando negli ultimi messaggi, non sapete se potete procedere in tale maniera oppure no.
\[
\exists x ( \mathscr{P}(x) \land \forall y (\mathscr{P}(y) \implies y = x))
\]
Non potete derivare l'unicità dal fatto che supponendo \(\mathscr{P}(x)\) per qualche \(x\), riuaciate a trovare una specificazione per \(x\). Questo prova solo l'esistenza, a patto ovviamente che il controllo sulla specifiazione trovata sia positivo. Il problema è che avete in testa tutti esempi dove la costruzione della specificazione per \(x\) ha in sé l'unicità, però in un discorso generale, che è quello che stavate affrontando negli ultimi messaggi, non sapete se potete procedere in tale maniera oppure no.
Quello che sto dicendo è la cosa seguente, ed è molto semplice: supponiamo di voler dimostrare che $X$ ha la proprietà $P$ se e solo se $X=F$. Se dimostro l'implicazione $=>$ allora so che, se $X$ ha la proprietà $P$, allora $X=F$. Ora supponiamo di mostrare che esiste $X$ con la proprietà $P$. Siccome vale $=>$, allora questo $X$ deve necessariamente essere uguale a $F$.
Non mi pare sbagliato, cosa dici?
Riguardo a quanto dici, G.D., non ti seguo, dovresti fare un esempio specifico così ci capiamo.
Non mi pare sbagliato, cosa dici?
Riguardo a quanto dici, G.D., non ti seguo, dovresti fare un esempio specifico così ci capiamo.
Tenendo a mente questo schema:
dimostro che esiste una e una sola funzione \(f(x)\) che verifica la condizione \(f(\alpha)+f(\beta)=f(\alpha + \beta)\).
Supponiamo che la proprietà di cui sopra sia verificata almeno da una funzione. Facciamo l'ipotesi che \(f(x)\) sia costante: \(f(x) = k\); segue dalla proprietà assunta come vera che \(k + k = k\) da cui \(k = 0\). Ho trovato la mia \(F\).
D'altronde se sostituisco la funzione costante all'interno della mia proprietà, ottengo che è verificata.
Quindi esiste una e una sola funzione che verifica la proprietà, vale a dire la funzione costantemente nulla.
Ovviamente questa prova è sbagliata.
Però ho usato lo schema che ho quotato.
"ganxi":
Per far questo c'è ad esempio il metodo esposto (che ho visto in moltissime dimostrazioni):
1] SUPPONGO vera X e dimostro che X ha una certa forma, diciamo che posso trovare (X=F, con f forma). in pratica suppongo X vera e tramite P trovo => X=F.
2] a questo punto prendo il candidato per l'esistenza trovato: F e mostro che effttivamente soddisfa P.
Concludo che esiste unico x che soddifi P.
dimostro che esiste una e una sola funzione \(f(x)\) che verifica la condizione \(f(\alpha)+f(\beta)=f(\alpha + \beta)\).
Supponiamo che la proprietà di cui sopra sia verificata almeno da una funzione. Facciamo l'ipotesi che \(f(x)\) sia costante: \(f(x) = k\); segue dalla proprietà assunta come vera che \(k + k = k\) da cui \(k = 0\). Ho trovato la mia \(F\).
D'altronde se sostituisco la funzione costante all'interno della mia proprietà, ottengo che è verificata.
Quindi esiste una e una sola funzione che verifica la proprietà, vale a dire la funzione costantemente nulla.
Ovviamente questa prova è sbagliata.
Però ho usato lo schema che ho quotato.
Ma non è questo che stavamo dicendo. Ti invito a rileggere con attenzione.
Stavamo dicendo che nella parte (1) si prende un $X$ arbitrario che soddisfa $P$ e si mostra che $X$ deve necessariamente essere uguale a $F$. Nella parte (2) si dimostra che esiste un certo $X_0$ che soddisfa $P$. Segue allora dalla parte (1) che $X_0=F$.
Da (1)+(2) si deduce che "$X$ soddisfa $P$ se e solo se $X=F$".
Stavamo dicendo che nella parte (1) si prende un $X$ arbitrario che soddisfa $P$ e si mostra che $X$ deve necessariamente essere uguale a $F$. Nella parte (2) si dimostra che esiste un certo $X_0$ che soddisfa $P$. Segue allora dalla parte (1) che $X_0=F$.
Da (1)+(2) si deduce che "$X$ soddisfa $P$ se e solo se $X=F$".
"Martino":
Ma sì, è un discorso simile, ma non la stessa cosa.
Risolviamo $x^2=1$. Qui non hai l'unicità perché (argomentando) trovi $x=1$ e $x=-1$. Poi risostituendo trovi che $1$ e $-1$ sono effettivamente soluzioni.
Se preferisci, invece di esistenza e unicità, pensala in termini di sufficienza e necessità.
$x^2=1$ se e solo se $x in {-1,1}$.
L'implicazione $=>$ è la necessità, l'implicazione $Leftarrow$ è la sufficienza.
Basta che ci capiamo. Per me quando si parla di esistenza e unicità si sta dicendo che la soluzione esiste ed è unica. Quando la soluzione esiste ma non è unica (come nel caso di $f'=f$) non si ha l'unicità.
Poi tu puoi dare alla parola "unicità" un altro significato ma allora stiamo parlando di italiano e non di matematica.
Certo credo di aver colto ora
uno è: X verifica P se e solo se $X in S$, l'altro X verifica P se e solo se $X = F$, ho usato la tua notazione di cui sopra. Mi è chiaro: io vedevo la similitudine nel modo di dimostrare, però la differenza è che uno è proprio unico $X = F$ elemento, l'altro ci dà una appartenenza a un insieme (che io ritenevo "unico" come insieme, solo terminologia come hai segnalato).
Questo mi par ora di averlo ora ben chiarito con te.
Poi...
Qui chiedo un aiuto sia a Martino che G.D (perché mi è sorto il dubbio pensando al suo intervento):
Quando dimostro => ad esempio se X è un cane => X è un mammifero, questo garantisce che nell'insieme di "arrivo" mammifero ci siano i cani ma non garantisce che tutti i mammiferi siano cani.
Astraendo se dimostro che elementi di A => sono elementi di B, non ci dice che B contenga altri elementi che non sono in A.
Nel nostro caso invece quando dimostro "=>" ossia questo "verso" dico ad esempio che se x è soluzione di $x^2=1$ esse saranno $x=1$ o $x=-1$ dell'insieme soluzioni dell'equazione. In sostanza dico $B={1,-1}$ essere tutto il mio insieme di arrivo, e questo presuppone che non possono esistere altri elementi in B che non siano $1$ e $-1$ (è un po' diverso dal dire se cane è mammifero, ma i mammiferi possono essere un insieme più grande dei soli cani), quindi di solito per dimostrare ⊇ (che corrisponde a "<=" ) dovrei prendere qualunque oggetto del secondo insieme (tutti i mammiferi nel nostro esempio) e mostrare l'implicazione inversa "<=", invece qui assumo solo $x=1$ e $x=-1$ (ossia riprendo solo i cani) li sostituisco e mostro che sono soluzioni e concludo dicendo vale "x soluzione se e solo se $x=1$ o $x=-1$", in effetti questa sfumatura è un po' strana e devo capire bene perché in tal caso mi basti solo verificare per x=1 e x=-1 (ossia quale è la differenza rispetto al caso col mammifero? li non era garantito che tutti gli elementi di B fossero quelli che trovavo tramite =>, mentre in $x^2=1$ si), per questo mi chiedo: come faccio a sapere a priori che l'insieme di arrivo B non possa contenere altri elementi oltre questi due? è come se sapessi già che {soluzioni di $x^2=1$} è composto dalle sole -1 e 1 e infatti vado a risostituire questi due singoli oggetti cioè tutti gli elementi del secondo insieme B, mentre nel caso dei cani e mammiferi=B no.
Forse sbaglio ma mi sembrava dicesse questo G.D. o se non lo dice è comunque un punto su cui devo riflettere.
Per il resto seguo il vostro scambio con interesse perché temo proprio di non poter aggiungere nulla di utile, ma da voi posso solo che imaprare
ed è già una foruna potervi leggere.
Forse mi ero spiegato male ma prendiamo questa parte citata e vorrei integrare quanto ho scritto proprio qui sopra dopo "Poi..."
(1) io ipotizzo esista un aniamle x che è cane e dimostro che: x è cane => x è mammifero
(2) come dicevamo posso dimostrare l'animale x cane esiste, per altra via senza assumere i mammiferi. A questo punto per quanto detto dovrei avere se x è cane è "unicamente" del tipo un mammifero, dimostro poi ché x esiste e quindi per quanto detto dovrei concludere che "x cane <=> x mammifero". Evidentemente errato.
In realtà questo è dovuto al fatto che dimostro x in A=>x in B ma ho elementi di B che non stanno in A. (cioè non ho altri elementi in B all'infuori di quelli)
Questa dimostrazione invece funziona se riesco a sapere a priori che B è tutto l'insieme che trovo partendo da elementi di A
es:
(1) io ipotizzo esista un aniamle x che è cane e dimostro che: x è cane => x abbaia
(2) è evidente che ora se dimostro che x esiste esso è unicamente del tipo animale "x che abbaia"
"x cane <=> x abbaia"
Quindi questo tipo di dimostrazione funziona perché so che tutti gli elementi di B sono unicamente raggiunti da elementi di A.
Quindi la domanda risulta essere. Come mai se dimostro x soluzione di $x^2=1$ => $x=1$ o $x=-1$ mi garanstice che l'insieme B è ristretto ad avere solo quegli elementi? Così se dimostro per altra via (2) che per $x^2=1$ ESISTE soluzione so che lo è se e solo se $x=1$ o $x=-1$.
Sono convinto sia questo che dice G.D.
"ganxi":
L'altro metodo che immaginavo era il seguente.
1] esattamente come sopra.
2] immagino di poter dimostrare che una certa X esiste, non più partendo dal candidato F ma per una generica altra via.
D'altra parte leggendo il tuo post mi è venuta una idea. Se io dimostrassi anche per altra via che una $X$ esiste come "verificante" la proprietà P, cioè riesco a dire una X esiste! Ora, so però che la $X$ sarebbe unicamente del tipo $X=F$ dal punto (1), quindi di fatto quando dimostro che $X$ esiste al punto (2) equivarrebbe al fatto di star dimostrando (in modo implicito) che $X=F$ esiste (che è esattamente quello che facevo nel punto (2) della prima dimostrazione).
[Infatti so già che ha forma per forza di $F$, e a questo punto potrei quindi dire assumo $X=F$ e ho dimostrato che esiste come soluzione della proprietà P.]
In pratica mi pare che anche procedendo così ho che esiste $X$ che soddisfi $P <=> X=F$.
(1) io ipotizzo esista un aniamle x che è cane e dimostro che: x è cane => x è mammifero
(2) come dicevamo posso dimostrare l'animale x cane esiste, per altra via senza assumere i mammiferi. A questo punto per quanto detto dovrei avere se x è cane è "unicamente" del tipo un mammifero, dimostro poi ché x esiste e quindi per quanto detto dovrei concludere che "x cane <=> x mammifero". Evidentemente errato.
In realtà questo è dovuto al fatto che dimostro x in A=>x in B ma ho elementi di B che non stanno in A. (cioè non ho altri elementi in B all'infuori di quelli)
Questa dimostrazione invece funziona se riesco a sapere a priori che B è tutto l'insieme che trovo partendo da elementi di A
es:
(1) io ipotizzo esista un aniamle x che è cane e dimostro che: x è cane => x abbaia
(2) è evidente che ora se dimostro che x esiste esso è unicamente del tipo animale "x che abbaia"
"x cane <=> x abbaia"
Quindi questo tipo di dimostrazione funziona perché so che tutti gli elementi di B sono unicamente raggiunti da elementi di A.
Quindi la domanda risulta essere. Come mai se dimostro x soluzione di $x^2=1$ => $x=1$ o $x=-1$ mi garanstice che l'insieme B è ristretto ad avere solo quegli elementi? Così se dimostro per altra via (2) che per $x^2=1$ ESISTE soluzione so che lo è se e solo se $x=1$ o $x=-1$.
Sono convinto sia questo che dice G.D.
"ganxi":No non è questo che fai. Nel punto (1) dimostri che "ogni cane è mammifero". Cioè che per ogni x, "x cane" implica "x mammifero".
(1) io ipotizzo esista un animale x che è cane e dimostro che: x è cane => x è mammifero
Sìsì esatto però nel nostro esempio funzionava perché:
(1) X verifica P => X=F (e questo ci dice che ho un solo elemento in quello che chiamavo B)
poi,
(2) immagino di poter dimostrare che una certa X esiste, non più partendo dal candidato F ma per una generica altra via. (e in virtù dell'uguaglianza ho quella restrizione di cui parlavo su B, essendo un solo elemento, non ho un insieme più grande che lo contenga le X trovate tramite =>)
Questo non funziona ovviamente nel caso del cane poiché:
(1) io ipotizzo esista un aniamle x che è cane e dimostro che: x è cane => x è mammifero (facendo un parallelismo ho che x è unicamente mammifero)
similmente a sopra:
(2) posso dimostrare l'animale x cane esiste, per altra via senza assumere i mammiferi. A questo punto per quanto detto dovrei avere se x è cane è "unicamente" del tipo un mammifero, dimostro poi ché x esiste e quindi per quanto detto dovrei concludere che "x cane <=> x mammifero". Evidentemente errato.
E' molto simile, ma ovviamente quello che dice G.D non funziona proprio perché a me pare che assuma esempi per cui B abbia elementi in più, non ho cioè quell'uguaglianza che avevo in X=F che era quella che mi permetteva di condurre il punto (2) senza problemi.
Quello che voglio dire è che in sostanza uso le implicazioni similmente eni due casi, ma a far la differenza è che nel primo caso dimostro un X=F, nel secondo un $X in$ {mammiferi} e questo presuppone solo un ⊆ che non rende più vero il ragionamento nel punto (2).
A me sembra che l'esempio di G.D sia proprio cadere in questo "tranello", ma forse sbaglio. Mi sembra che non eri d'accordo quindi sbaglio per forza
(1) X verifica P => X=F (e questo ci dice che ho un solo elemento in quello che chiamavo B)
poi,
(2) immagino di poter dimostrare che una certa X esiste, non più partendo dal candidato F ma per una generica altra via. (e in virtù dell'uguaglianza ho quella restrizione di cui parlavo su B, essendo un solo elemento, non ho un insieme più grande che lo contenga le X trovate tramite =>)
Questo non funziona ovviamente nel caso del cane poiché:
(1) io ipotizzo esista un aniamle x che è cane e dimostro che: x è cane => x è mammifero (facendo un parallelismo ho che x è unicamente mammifero)
similmente a sopra:
(2) posso dimostrare l'animale x cane esiste, per altra via senza assumere i mammiferi. A questo punto per quanto detto dovrei avere se x è cane è "unicamente" del tipo un mammifero, dimostro poi ché x esiste e quindi per quanto detto dovrei concludere che "x cane <=> x mammifero". Evidentemente errato.
E' molto simile, ma ovviamente quello che dice G.D non funziona proprio perché a me pare che assuma esempi per cui B abbia elementi in più, non ho cioè quell'uguaglianza che avevo in X=F che era quella che mi permetteva di condurre il punto (2) senza problemi.
Quello che voglio dire è che in sostanza uso le implicazioni similmente eni due casi, ma a far la differenza è che nel primo caso dimostro un X=F, nel secondo un $X in$ {mammiferi} e questo presuppone solo un ⊆ che non rende più vero il ragionamento nel punto (2).
A me sembra che l'esempio di G.D sia proprio cadere in questo "tranello", ma forse sbaglio. Mi sembra che non eri d'accordo quindi sbaglio per forza
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