Esiste unico (dimostrazione)
Buonasera,
stavo cercando di capire una dimostrazione e vorrei chiedere un aiuto a qualcuno ed eccomi qui.
Ho letto la dimostrazione dato un gruppo con * l'equazione $ax=b$ ha soluzione.
Si dimostra per questo che
- è unica: $ax=b$ quindi $a^(-1)ax=a^(−1)b→x=a^(−1)b$ da cui $x=a^(−1)b$ unica
- esiste, infatti; posso sempre assumere $x=a^(−1)b$ ho che $ax=b$
Vorrei però ampliare il discorso per capire questo tipo di dimostrazioni essendo la prima volta che la incontro, noto che in pratica si è ragionato così:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
2- però avendo bisogno anche dell'esistenza di quell'x che esiste(+unico) a questo punto dimostro che preso
q(x)= espressione vista => ho p(x),
Qui viene il mio dubbio, ma se io mantenessi immutata la prima parte:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
(come detto ho ipotizzato che p esiste ma non so ancora se esiste, quindi)
2- dimostro che p(x) vale partendo da un altra ipotesi, ossia r(x) => p(x)
allora vale comunque la dimostrazione che x esiste unico? Il mio dubbio nasce perché se 1 mi dice che se x esiste allora unicamente ha forma data da q(x) allora r(x) => p(x) => q(x) da cui mi pare che r(x) torni ad essere q(x) per forza. Sono molto confuso.
stavo cercando di capire una dimostrazione e vorrei chiedere un aiuto a qualcuno ed eccomi qui.
Ho letto la dimostrazione dato un gruppo con * l'equazione $ax=b$ ha soluzione.
Si dimostra per questo che
- è unica: $ax=b$ quindi $a^(-1)ax=a^(−1)b→x=a^(−1)b$ da cui $x=a^(−1)b$ unica
- esiste, infatti; posso sempre assumere $x=a^(−1)b$ ho che $ax=b$
Vorrei però ampliare il discorso per capire questo tipo di dimostrazioni essendo la prima volta che la incontro, noto che in pratica si è ragionato così:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
2- però avendo bisogno anche dell'esistenza di quell'x che esiste(+unico) a questo punto dimostro che preso
q(x)= espressione vista => ho p(x),
Qui viene il mio dubbio, ma se io mantenessi immutata la prima parte:
1- ipotizzo p(x)=x esiste => trovo che vale q(x)=x ha una unica espressione possibile
(come detto ho ipotizzato che p esiste ma non so ancora se esiste, quindi)
2- dimostro che p(x) vale partendo da un altra ipotesi, ossia r(x) => p(x)
allora vale comunque la dimostrazione che x esiste unico? Il mio dubbio nasce perché se 1 mi dice che se x esiste allora unicamente ha forma data da q(x) allora r(x) => p(x) => q(x) da cui mi pare che r(x) torni ad essere q(x) per forza. Sono molto confuso.
Risposte
No ti prego non farmi questo... o meglio puoi farlo ma non ho il coraggio di risponderti. Posso solo dirti che capisco pochissimo di quanto scrivi. Spero che gli altri utenti ti possano aiutare.
Il problema è che è ormai da mesi che scrivo di queste cose sul forum e ogni volta viene fuori un nuovo utente che si legge tutto e fa le sue domande. Purtroppo non ho l'energia di riscrivere tutto da zero ogni volta. Buona fortuna!
Il problema è che è ormai da mesi che scrivo di queste cose sul forum e ogni volta viene fuori un nuovo utente che si legge tutto e fa le sue domande. Purtroppo non ho l'energia di riscrivere tutto da zero ogni volta. Buona fortuna!
Ma infatti santoddio, che problema c'è ancora?
"megas_archon":
Ma infatti santoddio, che problema c'è ancora?
Boh mi sembrava solo non tornarmi
ma ci rifletterò in autonomia siccome mi sembra di comprendere che non sono stato molto bravo a spiegare il problema.Se mai qualcuno passasse in questa ultima pagina riassumo per non fargli leggere tutta la pappardella, volevo solo capire questo:
Quando si dimostra l'esistenza di una X si opera seguendo i due punti:
a) $AA X,$(se x soddisfa $P(X)$ => $X inS$)
b) $AA X$,($X in S$ => X soddisfa $P(X)$) questo dimostra che X esiste: prendo un X appartenente a S e dimostro che X soddisfa P esiste.
Se invece prendo una biimplicazione del genere:
X animale che verifica P(X)=essere cane <=> X è un animale con antenato comune un certo lupo
svolgo i seguenti passi:
a') per ogni X, (X animale che verifica P(X)=essere cane => X è un animale con antenato comune un certo lupo)
b') per ogni X, (X è un animale con antenato comune un certo lupo => X animale che verifica P(X)=essere cane)
La domanda è quindi: perché il punto b dimostra una esistenza della X (perché io non so se esiste, come nell'esempio di $sqrtx=-1$, lì non esiste e nel punto a suppongo esista) è b a garantirci l'esistenza o meno di quegli elementi X, mentre quando studio b' non mi sembra stia dimostrando l'esistenza di X cane, di fatti anche nell'esempio del cane io suppongo l'esistenza di X cane in a' e svolgo i passi dimostrativi, però X cane esiste e b' (ossia <=) non è atta a dimostrare l'esistenza di alcunché.
Lascio ai posteri l'(h)ardua sentenza
perché il punto b dimostra una esistenza della XIl punto b non dimostra l'esistenza di niente. Pensi davvero di poter dimostrare matematicamente l'esistenza di un cane?
Quando dimostri un'implicazione logica non stai dimostrando l'esistenza di niente, stai dimostrando che se vale una certa premessa allora vale una certa conseguenza. L'effettiva verità della premessa è del tutto irrilevante. Supporre vera una cosa che poi si rivela essere falsa è del tutto lecito, significa semplicemente che la cosa supposta vera in realtà è falsa.
Sì, certo, ma è quello che sto asserendo: b' non dimostra l'esistenza di alcun cane. Ed è quello che mi sembra strano!
Perché, quando noi dimostriamo esistenza (e unicità), è proprio tramite il punto b che concludiamo che la X che soddisfa P(X) esiste.
Riprendendo gli esempi:
b1) assumo $x=a^_1b$ e dimostro che è soluzione di $ax=b$, questo dimostra che x supposta in a esisteva.
b2) assumiamo $f(x)=c*e^x$ con $c in RR$ e mostriamo che per funzioni di questo tipo vale $f'=f$, quindi la f assunta in a esiste.
b3) $1$ non è soluzione di $sqrt(x)=-1$ perché $sqrt(1) = 1 ne -1$, quindi la soluzione cercata non esiste.
b permette ragionamenti sull'esistenza dell'oggetto X partendo da ipotesi di solito, mentre come dici anche tu b' non dimostra l'esistenza del cane (sempre intendendo che si ha per ipotesi che si ha un X animale con nel dna quel dato lupo primordiale comune a tutti i cani); a questo punto:
b') per ogni X, (X è un animale con antenato comune un certo lupo => X animale verifica P(X)=di essere cane)
dovrebbe essere vista come una esistenza di X cane che in a' supponevo esistere per dimostrare la prima implicazione appunto (è paro paro ai punti b1, b2, b3). La logica che ci sta sotto mi sembra la stessa, non vedo quindi perché dovrebbero sussistere differenze.
Perché, quando noi dimostriamo esistenza (e unicità), è proprio tramite il punto b che concludiamo che la X che soddisfa P(X) esiste.
Riprendendo gli esempi:
b1) assumo $x=a^_1b$ e dimostro che è soluzione di $ax=b$, questo dimostra che x supposta in a esisteva.
b2) assumiamo $f(x)=c*e^x$ con $c in RR$ e mostriamo che per funzioni di questo tipo vale $f'=f$, quindi la f assunta in a esiste.
b3) $1$ non è soluzione di $sqrt(x)=-1$ perché $sqrt(1) = 1 ne -1$, quindi la soluzione cercata non esiste.
b permette ragionamenti sull'esistenza dell'oggetto X partendo da ipotesi di solito, mentre come dici anche tu b' non dimostra l'esistenza del cane (sempre intendendo che si ha per ipotesi che si ha un X animale con nel dna quel dato lupo primordiale comune a tutti i cani); a questo punto:
b') per ogni X, (X è un animale con antenato comune un certo lupo => X animale verifica P(X)=di essere cane)
dovrebbe essere vista come una esistenza di X cane che in a' supponevo esistere per dimostrare la prima implicazione appunto (è paro paro ai punti b1, b2, b3). La logica che ci sta sotto mi sembra la stessa, non vedo quindi perché dovrebbero sussistere differenze.
Quello che voglio dire è quindi che i punti b1 b2 b3 mi sono proprio utili (se non indispensabili!!) per mostrare che la X esiste o meno.
Il punto b' (quello del cane) non mi è utile a dimostrare che X cane esiste.
Il concetto dubbio è banalmente questo... riassumendo in due righe
Il punto b' (quello del cane) non mi è utile a dimostrare che X cane esiste.
Il concetto dubbio è banalmente questo... riassumendo in due righe
I vari punti b che hai citato partono da un oggetto X la cui esistenza è indiscutibile e procedono dimostrando che X è soluzione di un certo problema P, dimostrando così che la soluzione di P esiste. Cioè nel punto b non dimostri l'esistenza di niente. Parti da un oggetto che già sai esistere e dimostri che è soluzione.
Cioè è chiaro che $1$ esiste, questo non è in discussione. Se poi dimostri che $1$ è soluzione di (*) $x^2-2x+1=0$ non hai dimostrato che $1$ esiste, hai solo mostrato che una soluzione di (*) esiste.
procedono dimostrando che X è soluzione di un certo problema P, dimostrando così che la soluzione di P esiste
Questa frase mi ha fatto riflettere sul punto che comprendevo male, perché io intendevo "dimostrazione di esistenza e unicità" come dimostrare che esiste (e in aggiunta unica, ma ora non ci interessa) la X. Il punto è che dimostro che esiste X soluzione di P, mi concentravo erroneamente su X come oggetto da dimostrare esistente, ma ora che mi ci fai riflettere in realtà provo che esiste soluzione di P(X).
Dunque a questo punto si può estendere anche all'esempio del cane, per forza di cose, così tornerebbe:
a') per ogni X, (X animale che verifica P(X)=essere cane => X è un animale con antenato comune un certo lupo).
Come già detto qui assumo tutte le X, le X che non verificano l'ipotesi non le calcolo perché automanticamente verificano l'implicazione e quindi assumo che esista X che verifica P(X) (ma non so se esiste in questo passo proprio come $sqrtx=1$), quindi ipotizzo esista un animale cane e vedo che rende vera =>, fine.
Il punto cruciale è questo:
b') per ogni X, (X è un animale con antenato comune un certo lupo => X animale verifica P(X)=di essere cane)
assumo X animale che avente dna di lupo esiste (facendo un parallelismo al tuo ultimo esempio sarebbe 1), e questo non è in discussione: esiste e basta; poi dimostrando che tale X verifica l'essere cane otteniamo che posso concludere che esiste X che verifica il P essere cane. Mi sembra così abbia senso appunto, otteniamo che un animale del genere (cioè cane che verifica P) esiste.
E' questo senso di esistenza che volevo cogliere col mio discorso.
Comunque mi scuso perché non volevo rompervi così tanto le Pallet con la mia domanda
.
Ma non è che assumi che l'animale "avente dna di lupo" esiste, quell'animale esiste o non esiste. Se hai in casa un animale così che si chiama Toby allora sai che esiste perché ce l'hai davanti. Poi argomenti che Toby è un cane e hai dimostrato che un cane esiste. Ma è strano come esempio perché fuori dall'ambito puramente matematico l'esistenza è un concetto non facilmente definibile. Cosa vuol dire che un cane esiste? Io esisto? Tu esisti?
Lascia stare i cani e i lupi, è meglio se ti concentri su enunciati matematici.
Lascia stare i cani e i lupi, è meglio se ti concentri su enunciati matematici.
Ma non è che assumi che l'animale "avente dna di lupo" esiste, quell'animale esiste o non esiste.
Volevo dire "esiste quell'animale" (come esiste 1 nel tuo esempio e poi svolgo la <= ). parto cioè da una cosa che esiste e mostro che risolve P(X).
Volevo replicare il punto b partendo da un animale che so esistere con quel dna:
"I vari punti b che hai citato partono da un oggetto X la cui esistenza è indiscutibile e procedono dimostrando che X è soluzione di un certo problema P".
Ho usato in modo infelice la parola "assumo"
Per il resto sì, hai ragione sull'esempio, avevo solo preso un esempio fatto in precedenza riadattandolo per non farne di altri. Il mio scopo era in realtà solo il voler cogliere l'essenza del concetto esistenza di "X che risolve un problema P" della: $X$ risolve $P(X)$ $<=>$ $X in S$.
Siccome, come si diceva
- per il verso =>: P(X) potrebbe anche non esser verificata , quindi non ne so l'esistenza di X che risolve P.
- la risposta sull'esistenza ce la dà invece l'altro verso <=: quando assumo $X in S$ e dimostro => $X$ risolve $P(X)$ esso ci suggerisce che esiste la X soluzione di P(X), cercavo di afferrare se si potesse fare un ragionamento simile qualunque fosse la nostra implicazione e quindi dire se appunto "esite X animale con quel dna => X è un cane", potesse assumere il senso di mostrare (in una certa qual misura) l'esistenza di un X animale che risolve l'essere un cane.
Volevo spremere l'essenza del discorso per afferrarlo meglio, lo scopo era puramente quello
.
Ok!
(**) "per ogni $x$, se $P(x)$ allora $x=S$".
Per dimostrare (**) si prende un $x$ che soddisfa $P$ supponendo appunto che un tale $x$ esista, perché se non esiste nessun $x$ che soddisfa P allora (**) è automaticamente vera, per definizione di implicazione logica.
Comunque riflettendo lungamente anche su questa tua precedente risposta mi accorgo che uno dei problemi sorgeva anche da questo:
quando io ad esempio ho:
P(x) => Q(x)
- se x cane => x ha 4 zampe
- se x soluzione di $sqrt(x)=-1$ => $x=+-sqrt(-1)$
il punto che mi pare importante è che se parto da x cane che so esistere (indiscutibilmente) e mostro che x risolve Q(x)=avere 4 zampe, allora questo ci dice che esiste x che verifica Q(x), questo perché come detto x esiste per forza, siamo partiti da un x esistente e quindi esiste e risolve Q.
mentre nella seconda ipotizzo-assumo che x esista come soluzione e mostro che in tal caso ($x=+-sqrt(-1)$)=Q(x), però siccome x non è detto esista (infatti poi non esiste!) non posso nemmeno concludere che esiste x che risolve Q(x).
L'esistenza non è tanto intrinseca nell'implicazione ma nel fatto che parto da una ipotesi di x esistente in quella del cane.
Questo per dire che l'implicazione assume un senso di esistenza di qualcosa che verifica Q(x) solo se parto da x sicuramente esistente.
Comunque ti ringrazio per avermi fatto ragionare molto su cose su cui mai avrei posto la dovuta attenzione.
Ma che tu sappia dove potrei indagare oltre queste cose? (intendo se sei a conoscenza di qualche testo di -credo- logica di questo tipo, cioè molto base.)
Guarda, non è difficile: se $x$ è un qualsiasi numero reale tale che (*) $sqrt(x)= -1$ allora elevando al quadrato otteniamo $x=1$. Questo prova che nessun numero reale diverso da $1$ è soluzione di (*). D'altra parte $1$ non è soluzione di (*) perché $sqrt(1)=1 ne -1$. Questo dimostra che (*) non ha soluzione.
Se invece hai (**) $sqrt(x)=1$ allora prendi $1$ (che esiste) e mostri che è soluzione di (**) perché $sqrt(1)=1$.
Sono due approcci diversi. In (1) prendo una soluzione $x$ qualsiasi e cerco informazioni su $x$. In (2) prendo un $x$ specifico e mostro che è soluzione.
Cioè in (1) si sta cercando una condizione necessaria ("se (*) vale allora $x=1$") mentre in (2) si cerca una condizione sufficiente ("se $x=1$ allora (**) vale").
Non ti so indicare libri, pensaci per qualche mese. Secondo me sei nel mezzo di un'elaborazione personale e queste cose le dominerai bene col tempo.
Se invece hai (**) $sqrt(x)=1$ allora prendi $1$ (che esiste) e mostri che è soluzione di (**) perché $sqrt(1)=1$.
Sono due approcci diversi. In (1) prendo una soluzione $x$ qualsiasi e cerco informazioni su $x$. In (2) prendo un $x$ specifico e mostro che è soluzione.
Cioè in (1) si sta cercando una condizione necessaria ("se (*) vale allora $x=1$") mentre in (2) si cerca una condizione sufficiente ("se $x=1$ allora (**) vale").
Non ti so indicare libri, pensaci per qualche mese. Secondo me sei nel mezzo di un'elaborazione personale e queste cose le dominerai bene col tempo.
"Martino":
Sono due approcci diversi. In (1) prendo una soluzione $x$ qualsiasi e cerco informazioni su $x$. In (2) prendo un $x$ specifico e mostro che è soluzione.
Ecco, sì mi sembra proprio quello che cercavo di esprimere in modo peggiore. Cioè che alla fine la differenza era proprio sull'ipotesi ho sempre "se vale P(x)" però da una parte con una x che non ho idea se renda o meno valida P(x) suppongo solo ci sia tale x e col processo dimostrativo valuto cosa viene fuori come info sulle x. Dall'altro ho proprio una x=1 fissa, quindi esiste a priori e dimostro che verifica P(x), concludo quindi esiste x che verifica P(x).
Mi sembra ora di esserci arrivato, con un po' di fatica per tutti e due
.Grazie.
Anche perché appunto in (1) suppongo x sia soluzione di $sqrt(x)=-1$ e può anche non esserci nemmeno la soluzione (difatti non ha soluzione come si dimostra dopo) e valuto il caso in cui l'antecedente sia vero (cioè vero che x può essere soluzione) e antecedente falso (che x possa essere soluzione) il caso falso rende sempre vera l'implicazione ovviamente; mentre in (2) suppongo x=1, però beh x può assumere quel valore (infatti è proprio uguale a 1, lo scelgo tale), e procedo di nuovo dicendo x=1 (antecedente vero), e poi il caso antecedente falso e dimostro l'implicazione per vero.
Mi portava fuori tracciato proprio il fatto che in (1) fosse solo una supposizione x=soluzione non esiste, mentre (2) una certezza x=1 esiste. Detto in altre parole io suppongo l'antecedente vero e procedo a dimostrare in ambo i casi, però in (1) in realtà non lo sarà mai vero, in (2) sì, perché x=1 può esserlo.
Mi portava fuori tracciato proprio il fatto che in (1) fosse solo una supposizione x=soluzione non esiste, mentre (2) una certezza x=1 esiste. Detto in altre parole io suppongo l'antecedente vero e procedo a dimostrare in ambo i casi, però in (1) in realtà non lo sarà mai vero, in (2) sì, perché x=1 può esserlo.
Ok va bene
Ti ringrazio per avermi portato a comprensione . Ne farò tesoro.
. Ne farò tesoro.
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