[Esercizio] determinare gli elementi idempotenti...
... in $ZZ_14$.
Sia [tex](A,+,*)[/tex] un anello e sia [tex]a \in A[/tex]. [tex]a[/tex] è idempotente se [tex]a^2=a[/tex].
In $ZZ_14$, a parte gli elementi "banali", cioè $[0]_14$ e $[1]_14$, gli altri li posso determinare sapendo che:
[tex]a^2=a[/tex] e [tex]a^2-a=a(a-1)=0[/tex]
Se [tex]a[/tex] è idempotente deve essere un multiplo di [tex]14[/tex] quindi se è divisibile per [tex]14[/tex] è divisibile
per uno dei fattori di [tex]14=7*2[/tex]. Quindi in definitiva avrò che [tex]7|a[/tex] e [tex]2|a-1[/tex], oppure [tex]2|a[/tex] e [tex]7|a-1[/tex], il che equivale a risolvere due sistemi di equazioni congruenziali:
${(x-=0_(mod 7)),(x-=1_(mod 2)):}$; ${(x=7k,k in ZZ),(x=1+2k, k inZZ):}$; ${([0]_7),([1]_2):}$ e ${([0]_14),([7]_14):}$
${(x-=0_(mod 2)),(x-=1_(mod 7)):}$; ${(x=2k,k in ZZ),(x=1+7k, k inZZ):}$; ${([0]_2),([1]_7):}$ e ${([0]_14),([2]_14):}$
Ora $[7]_14$ è idempotente: $[7^2]_14=[49]_14=[7]_14$,
e l'elemento $1-a$, cioè $[1-7]_14=[8]_14$, è idempotente: $[8^2]_14=[64]_14=[8]_14$.
Ho provato anche con altri anelli, ad esempio con $ZZ_8, ZZ_10$ e la cosa funzione, ma con anelli più grossi, come ad esempio $ZZ_120$ faccio fatica in quanto $120=5*3*2^3$, ma non so come creare i miei sistemi di congruenze algebriche....
(non è proprio vero, ma quello che ho fatto non credo sia la strada giusta).
Edit: avevo scritto $120=5+3*2^3$, che è palesemente un errore di .... non saprei, ma spero di distrazione
Sia [tex](A,+,*)[/tex] un anello e sia [tex]a \in A[/tex]. [tex]a[/tex] è idempotente se [tex]a^2=a[/tex].
In $ZZ_14$, a parte gli elementi "banali", cioè $[0]_14$ e $[1]_14$, gli altri li posso determinare sapendo che:
[tex]a^2=a[/tex] e [tex]a^2-a=a(a-1)=0[/tex]
Se [tex]a[/tex] è idempotente deve essere un multiplo di [tex]14[/tex] quindi se è divisibile per [tex]14[/tex] è divisibile
per uno dei fattori di [tex]14=7*2[/tex]. Quindi in definitiva avrò che [tex]7|a[/tex] e [tex]2|a-1[/tex], oppure [tex]2|a[/tex] e [tex]7|a-1[/tex], il che equivale a risolvere due sistemi di equazioni congruenziali:
${(x-=0_(mod 7)),(x-=1_(mod 2)):}$; ${(x=7k,k in ZZ),(x=1+2k, k inZZ):}$; ${([0]_7),([1]_2):}$ e ${([0]_14),([7]_14):}$
${(x-=0_(mod 2)),(x-=1_(mod 7)):}$; ${(x=2k,k in ZZ),(x=1+7k, k inZZ):}$; ${([0]_2),([1]_7):}$ e ${([0]_14),([2]_14):}$
Ora $[7]_14$ è idempotente: $[7^2]_14=[49]_14=[7]_14$,
e l'elemento $1-a$, cioè $[1-7]_14=[8]_14$, è idempotente: $[8^2]_14=[64]_14=[8]_14$.
Ho provato anche con altri anelli, ad esempio con $ZZ_8, ZZ_10$ e la cosa funzione, ma con anelli più grossi, come ad esempio $ZZ_120$ faccio fatica in quanto $120=5*3*2^3$, ma non so come creare i miei sistemi di congruenze algebriche....
(non è proprio vero, ma quello che ho fatto non credo sia la strada giusta).Edit: avevo scritto $120=5+3*2^3$, che è palesemente un errore di .... non saprei, ma spero di distrazione
Risposte
Ho letto le soluzioni di Leonardo e dubito che sarei arrivato alla stessa conclusione in breve tempo... Mannaggia!!!!
L'esercizio mi sembra bello, comunque, e non è completamente banale. In effetti, i punti si sono rivelati in ordine di difficoltà, a quanto pare. Bene, hai imparato un modo non scontato di vedere gli idempotenti, spero che ti sarà utile!Hai anche intravisto una possibile riformulazione di natura geometrico-topologica, ricordatela in futuro, potrebbe sempre tornare utile!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo