[Esercizio] determinare gli elementi idempotenti...

[gundamrx91-votailprof]

... in $ZZ_14$.

Sia [tex](A,+,*)[/tex] un anello e sia [tex]a \in A[/tex]. [tex]a[/tex] è idempotente se [tex]a^2=a[/tex].
In $ZZ_14$, a parte gli elementi "banali", cioè $[0]_14$ e $[1]_14$, gli altri li posso determinare sapendo che:

[tex]a^2=a[/tex] e [tex]a^2-a=a(a-1)=0[/tex]

Se [tex]a[/tex] è idempotente deve essere un multiplo di [tex]14[/tex] quindi se è divisibile per [tex]14[/tex] è divisibile
per uno dei fattori di [tex]14=7*2[/tex]. Quindi in definitiva avrò che [tex]7|a[/tex] e [tex]2|a-1[/tex], oppure [tex]2|a[/tex] e [tex]7|a-1[/tex], il che equivale a risolvere due sistemi di equazioni congruenziali:

${(x-=0_(mod 7)),(x-=1_(mod 2)):}$; ${(x=7k,k in ZZ),(x=1+2k, k inZZ):}$; ${([0]_7),([1]_2):}$ e ${([0]_14),([7]_14):}$
${(x-=0_(mod 2)),(x-=1_(mod 7)):}$; ${(x=2k,k in ZZ),(x=1+7k, k inZZ):}$; ${([0]_2),([1]_7):}$ e ${([0]_14),([2]_14):}$

Ora $[7]_14$ è idempotente: $[7^2]_14=[49]_14=[7]_14$,
e l'elemento $1-a$, cioè $[1-7]_14=[8]_14$, è idempotente: $[8^2]_14=[64]_14=[8]_14$.

Ho provato anche con altri anelli, ad esempio con $ZZ_8, ZZ_10$ e la cosa funzione, ma con anelli più grossi, come ad esempio $ZZ_120$ faccio fatica in quanto $120=5*3*2^3$, ma non so come creare i miei sistemi di congruenze algebriche.... (non è proprio vero, ma quello che ho fatto non credo sia la strada giusta).

Edit: avevo scritto $120=5+3*2^3$, che è palesemente un errore di .... non saprei, ma spero di distrazione

[gundamrx91-votailprof]

Non so bene, anche perchè tutta la parte degli anelli viene giusto accennata, come del resto anche gli ideali.
Non nego però che i quozienti mi interessano (e sicuramente li studierò!!) come tanti altri argomenti, ma non so come introdurli nel mio piano di studi. Ora dovrei anche ripassare i polinomi, quindi potrebbe essere l'occasione per vedere un pò il tutto

[maurer]

Dunque, secondo me ai fini di passare il tuo esame questo sarebbe un overkilling, ma se tu fossi il me stesso del passato, ti consiglierei di farlo. Obiettivamente, però, ti porterà via parecchie energie e se hai già una tabella di marcia per poter dare l'esame, te la scombussolerebbe non poco.

Tanto per dire, le cose che devi fare e devi sapere sui quozienti sono le seguenti:
1) esiste una corrispondenza biunivoca tra equazioni di equivalenza congruenziali e ideali bilateri;
2) dato un morfismo di anelli [tex]f \colon A \to B[/tex], [tex]\ker f[/tex] è un ideale bilatero ed inoltre [tex]A / \ker f \simeq \text{Im}(f)[/tex];
3) dato un anello [tex]A[/tex] ed un suo ideale bilatero [tex]I[/tex] esiste una corrispondenza biunivoca tra gli ideali di [tex]A / I[/tex] e gli ideali di [tex]A[/tex] contenenti [tex]I[/tex].

Di questi, il punto più delicato è probabilmente l'1. A stima potrebbe portarti via 4 ore (non-stop)...

[Leonardo891]

"maurer":quattro teoremi di isomorfismo (e soprattutto sul quarto)

Io ero fermo ai tre teoremi di isomorfismo!
Qual è il quarto? Intendi per caso il teorema di corrispondenza degli ideali tra l'anello e l'anello quoziente?

[maurer]

"Leonardo89":
Io ero fermo ai tre teoremi di isomorfismo!
Qual è il quarto? Intendi per caso il teorema di corrispondenza degli ideali tra l'anello e l'anello quoziente?

Sì, l'ho scritto nel post precedente. Mi sembra che il Dummit & Foote lo chiami quarto teorema di isomorfismo (o Diamond Isomorphism Theorem). E' a tutti gli effetti un isomorfismo: tra il reticolo degli ideali di [tex]A/I[/tex] e l'ideale principale del reticolo degli ideali di [tex]A[/tex] generato da [tex]I[/tex].

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Vorrei segnalare a chiunque sia interessato che del calcolo dei quozienti si è parlato con Paolo90 in modo che ritengo didatticamente utile qui (gruppi) e qui (anelli), e comunque consiglio sempre di consultare questo

[gundamrx91-votailprof]

"maurer":Dunque, secondo me ai fini di passare il tuo esame questo sarebbe un overkilling, ma se tu fossi il me stesso del passato, ti consiglierei di farlo. Obiettivamente, però, ti porterà via parecchie energie e se hai già una tabella di marcia per poter dare l'esame, te la scombussolerebbe non poco.

Tanto per dire, le cose che devi fare e devi sapere sui quozienti sono le seguenti:
1) esiste una corrispondenza biunivoca tra equazioni di equivalenza congruenziali e ideali bilateri;
2) dato un morfismo di anelli [tex]f \colon A \to B[/tex], [tex]\ker f[/tex] è un ideale bilatero ed inoltre [tex]A / \ker f \simeq \text{Im}(f)[/tex];
3) dato un anello [tex]A[/tex] ed un suo ideale bilatero [tex]I[/tex] esiste una corrispondenza biunivoca tra gli ideali di [tex]A / I[/tex] e gli ideali di [tex]A[/tex] contenenti [tex]I[/tex].

Di questi, il punto più delicato è probabilmente l'1. A stima potrebbe portarti via 4 ore (non-stop)...

Sono indeciso, però in effetti l'appello allo scritto di Algebra 1 sarebbe a metà giugno e avrei giusto il tempo per ripassare i polinomi... Poi, se passo lo scritto, ci sarebbe l'orale e a quel punto potrei provare anche studiare questi argomenti.

[maurer]

It just depends on you.

[gundamrx91-votailprof]

Vero.
Credo di aver deciso: come sai di tempo a disposizione per studiare ne ho poco, quindi ora vado avanti con i polinomi, nel frattempo (magari in ufficio nei tempi morti) inizio a vedere anche questi argomenti. Anzi se posso chiederti un consiglio, quale dovrebbe essere il "percorso" più corretto per affrontarli? Eventuali prerequisiti?

Intanto Maurer ti ringrazio infinitamente per l'aiuto datomi fino ad ora

[maurer]

No, prerequisiti nessuno.
Si tratta di un argomento molto specifico, l'elenco in tre punti che ho fatto sopra lo esaurisce completamente, dal mio punto di vista. Poi dovrai fare un po' di esercizi per essere sicuro di aver afferrato il concetto. L'elenco è anche in ordine logico.
Occupa solitamente un capitolo od una sezione di un testo di algebra elementare. Tu su quale studi?

Comunque prova a dare un'occhiata anche alle discussioni che ti ha linkato Martino: potrebbero esserti utili.

[gundamrx91-votailprof]

Bene, quindi mi hai indicato ciò che mi serve.
Come testi ho a disposizione Algebra dell'Artin e del MacLane/Birkhoff, poi potrei avere anche l'Heirstein.
In inglese ho qualcosa ma dato che ho poco tempo non mi va di sprecarlo a tradurre quando non capisco...

[maurer]

Direi che sono ottimi. Io consiglio sempre Abstract Algebra di Dummit & Foote, ma quelli vanno benissimo, specie su argomenti di base come questo. Facci sapere come va! (Magari in un altro thread, questo lo lascerei dedicato agli idempotenti, quando vorrai tornarci su).

[gundamrx91-votailprof]

Ok

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"GundamRX91":In inglese ho qualcosa ma dato che ho poco tempo non mi va di sprecarlo a tradurre quando non capisco...

Ti consiglio di abituarti all'inglese in matematica, perché arrivato a un certo livello di profondità trovi poco o niente in italiano.

[maurer]

ça va sans dire. Io sono almeno due anni che non leggo più nulla in italiano! In questo stesso momento mi guardo intorno e vedo che nei miei immediati paraggi su 17 libri di matematica uno solo è in italiano (tre sono in francese, precisamente EGA I, EGA II, e Sur quelques point d'algèbre homologique )!

[Leonardo891]

Io suggerirei di abituarsi all'inglese in generale, per una lunga serie di motivi (anche lavorativi), e non solo all'inglese semplice della matematica.

[gundamrx91-votailprof]

Il problema non è solo della Matematica (in informatica i testi migliori sono in inglese), me ne rendo conto, e con l'inglese scritto me la cavo meglio di quello parlato, per cui sicuramente prima o poi ci arriverò, ma un pò alla volta

[maurer]

Tornando in topic, propongo un raffinamento del punto 5. per i "temerari":

Esercizio. Sia [tex]A[/tex] un anello commutativo unitario non nullo e sia [tex]\mathfrak m[/tex] un ideale massimale. Dimostrate che [tex]A / \mathfrak m^n[/tex] non ha idempotenti.

[Leonardo891]

Probabile soluzione del punto 4.

Per ogni \(\displaystyle i =1, \dots , n \) definisco l'ideale \(\displaystyle I_i := \sum_{i \neq j=1}^n e_j A\).
Definisco un omomorfismo di anelli \( \displaystyle \varphi \colon A \to \prod_{i=1}^n A/I_i \) così: \( \displaystyle a \to \varphi (a): = (a + e_1 A, \dots, a + e_n A ) \).

Dimostro la suriettività: per il CRT basta fare vedere che \(\displaystyle I_i + I_t = A \) per ogni \(\displaystyle i \neq t \). Sia \(\displaystyle a \in A \). Allora \(\displaystyle a = a \cdot 1\ = a \cdot \sum_{j=1}^n e_j = a \left( \sum_{i \neq j=1}^n e_j + e_i \right) \in I_i + I_t \).

Dimostro l'iniettività. Sia \(\displaystyle a \in A \) tale che \(\displaystyle \varphi(a) = 0 \). Scelgo \(\displaystyle i \in \{ 1, \dots, n\} \) fissato. Scelgo \(\displaystyle t \in \{ 1, \dots, n\} \setminus \{ i\} \) liberamente. Allora \(\displaystyle a = \sum_{i \neq j=1}^n \alpha_j e_j = \sum_{t \neq j=1}^n \beta_j e_j\) per determinati \(\displaystyle \alpha_j, \beta_j \in A \). Scelgo \(\displaystyle s \in \{ 1, \dots, n\} \setminus \{ i, t\} \). Moltiplico ambo i membri di \(\displaystyle \sum_{i \neq j=1}^n \alpha_j e_j = \sum_{t \neq j=1}^n \beta_j e_j\) per \(\displaystyle e_s \) ottenendo, grazie all'ortogonalità, \(\displaystyle \alpha_s e_s =\beta_s e_s \). Eliminando gli addendi uguali in \(\displaystyle \sum_{i \neq j=1}^n \alpha_j e_j = \sum_{t \neq j=1}^n \beta_j e_j\) si ottiene \(\displaystyle \alpha_t e_t =\beta_i e_i \). Poi si ha \(\displaystyle \alpha_t e_t =\alpha_t e_t^2 =\alpha_t \beta_i e_i =0 \) quindi \(\displaystyle a=0 \) poiché avevo scelto \(\displaystyle t \in \{ 1, \dots, n\} \setminus \{ i\} \) liberamente.

Allora si ha \(\displaystyle A \cong \frac{A}{\text{ker} \varphi } \cong \prod_{i=1}^n A/I_i \).
Non so se ce l'avrei fatta (sempre che ciò che ho scritto sia giusto!) senza il tuo commento sulla mia fissazione per gli ideali principali!

Me ne servirebbero di più di esercizi simili.

EDIT: ho corretto un errore di battitura nella dimostrazione ed eliminato un inutile quote di me stesso (avevo riciclato e modificato un mio post precedente).

[maurer]

Credo che ci siano errori di battitura riguardo all'iniettività:

"Leonardo89":

Dimostro l'iniettività. Sia \(\displaystyle a \in A \) tale che \(\displaystyle \varphi(a) = 0 \). Scelgo \(\displaystyle i \in \{ 1, \dots, n\} \) fissato. Scelgo \(\displaystyle t \in \{ 1, \dots, n\} \setminus \{ i\} \) liberamente. Allora \(\displaystyle a = \sum_{i \neq j=1}^n \alpha_j e_j = \sum_{t \neq j=1}^n \beta_j e_j\) per determinati \(\displaystyle \alpha_j, \beta_j \in A \). Scelgo \(\displaystyle s \in \{ 1, \dots, n\} \setminus \{ i, t\} \). Moltiplico ambo i membri di \(\displaystyle \sum_{i \neq j=1}^n \alpha_j e_j = \sum_{t \neq j=1}^n \beta_j e_j\) per \(\displaystyle e_s \) ottenendo, grazie all'ortogonalità, \(\displaystyle \alpha_s e_s =\beta_s e_s \). Eliminando gli addendi uguali in \(\displaystyle \sum_{i \neq j=1}^n \alpha_j e_j = \sum_{t \neq j=1}^n \beta_j e_j\) si ottiene \(\displaystyle \alpha_t e_t =\beta_i e_i \). Poi si ha \(\displaystyle \alpha_t e_t =\alpha_t^2 e_t =\alpha_t \beta_i e_i =0 \) quindi \(\displaystyle a=0 \) poiché avevo scelto \(\displaystyle t \in \{ 1, \dots, n\} \setminus \{ i\} \) liberamente.

Non mi torna l'ultima catena di uguaglianze. Forse volevi scrivere [tex]\alpha_t e_t = \beta_i e_i \Rightarrow \alpha_t e_t = \alpha_t e_t^2 = \beta_i e_i e_t = 0[/tex]?

Comunque direi proprio che va bene, globalmente!

"Leonardo89":
Non so se ce l'avrei fatta (sempre che ciò che ho scritto sia giusto!) senza il tuo commento sulla mia fissazione per gli ideali principali!

Esperienza personale!

"Leonardo89":Me ne servirebbero di più di esercizi simili.

L'Atiyah è pieno. Man mano che redaggo la panoramica farò una selezione di quelli che mi sono piaciuti di più (da lì, ma non solo ).

[Leonardo891]

"maurer":

Non mi torna l'ultima catena di uguaglianze. Forse volevi scrivere [tex]\alpha_t e_t = \beta_i e_i \Rightarrow \alpha_t e_t = \alpha_t e_t^2 = \beta_i e_i e_t = 0[/tex]?

Si certo, ora correggo subito, hai ragione.

"maurer":Comunque direi proprio che va bene, globalmente!

OK!

"maurer":[quote="Leonardo89"]Me ne servirebbero di più di esercizi simili.

L'Atiyah è pieno. Man mano che redaggo la panoramica farò una selezione di quelli che mi sono piaciuti di più (da lì, ma non solo ).[/quote]
Ottimo, aspetterò fiducioso!