[Esercizio] determinare gli elementi idempotenti...
... in $ZZ_14$.
Sia [tex](A,+,*)[/tex] un anello e sia [tex]a \in A[/tex]. [tex]a[/tex] è idempotente se [tex]a^2=a[/tex].
In $ZZ_14$, a parte gli elementi "banali", cioè $[0]_14$ e $[1]_14$, gli altri li posso determinare sapendo che:
[tex]a^2=a[/tex] e [tex]a^2-a=a(a-1)=0[/tex]
Se [tex]a[/tex] è idempotente deve essere un multiplo di [tex]14[/tex] quindi se è divisibile per [tex]14[/tex] è divisibile
per uno dei fattori di [tex]14=7*2[/tex]. Quindi in definitiva avrò che [tex]7|a[/tex] e [tex]2|a-1[/tex], oppure [tex]2|a[/tex] e [tex]7|a-1[/tex], il che equivale a risolvere due sistemi di equazioni congruenziali:
${(x-=0_(mod 7)),(x-=1_(mod 2)):}$; ${(x=7k,k in ZZ),(x=1+2k, k inZZ):}$; ${([0]_7),([1]_2):}$ e ${([0]_14),([7]_14):}$
${(x-=0_(mod 2)),(x-=1_(mod 7)):}$; ${(x=2k,k in ZZ),(x=1+7k, k inZZ):}$; ${([0]_2),([1]_7):}$ e ${([0]_14),([2]_14):}$
Ora $[7]_14$ è idempotente: $[7^2]_14=[49]_14=[7]_14$,
e l'elemento $1-a$, cioè $[1-7]_14=[8]_14$, è idempotente: $[8^2]_14=[64]_14=[8]_14$.
Ho provato anche con altri anelli, ad esempio con $ZZ_8, ZZ_10$ e la cosa funzione, ma con anelli più grossi, come ad esempio $ZZ_120$ faccio fatica in quanto $120=5*3*2^3$, ma non so come creare i miei sistemi di congruenze algebriche....
(non è proprio vero, ma quello che ho fatto non credo sia la strada giusta).
Edit: avevo scritto $120=5+3*2^3$, che è palesemente un errore di .... non saprei, ma spero di distrazione
Sia [tex](A,+,*)[/tex] un anello e sia [tex]a \in A[/tex]. [tex]a[/tex] è idempotente se [tex]a^2=a[/tex].
In $ZZ_14$, a parte gli elementi "banali", cioè $[0]_14$ e $[1]_14$, gli altri li posso determinare sapendo che:
[tex]a^2=a[/tex] e [tex]a^2-a=a(a-1)=0[/tex]
Se [tex]a[/tex] è idempotente deve essere un multiplo di [tex]14[/tex] quindi se è divisibile per [tex]14[/tex] è divisibile
per uno dei fattori di [tex]14=7*2[/tex]. Quindi in definitiva avrò che [tex]7|a[/tex] e [tex]2|a-1[/tex], oppure [tex]2|a[/tex] e [tex]7|a-1[/tex], il che equivale a risolvere due sistemi di equazioni congruenziali:
${(x-=0_(mod 7)),(x-=1_(mod 2)):}$; ${(x=7k,k in ZZ),(x=1+2k, k inZZ):}$; ${([0]_7),([1]_2):}$ e ${([0]_14),([7]_14):}$
${(x-=0_(mod 2)),(x-=1_(mod 7)):}$; ${(x=2k,k in ZZ),(x=1+7k, k inZZ):}$; ${([0]_2),([1]_7):}$ e ${([0]_14),([2]_14):}$
Ora $[7]_14$ è idempotente: $[7^2]_14=[49]_14=[7]_14$,
e l'elemento $1-a$, cioè $[1-7]_14=[8]_14$, è idempotente: $[8^2]_14=[64]_14=[8]_14$.
Ho provato anche con altri anelli, ad esempio con $ZZ_8, ZZ_10$ e la cosa funzione, ma con anelli più grossi, come ad esempio $ZZ_120$ faccio fatica in quanto $120=5*3*2^3$, ma non so come creare i miei sistemi di congruenze algebriche....
(non è proprio vero, ma quello che ho fatto non credo sia la strada giusta).Edit: avevo scritto $120=5+3*2^3$, che è palesemente un errore di .... non saprei, ma spero di distrazione
Risposte
Adesso preparati a rimanere a bocca aperta.
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(Sto per fare un pessimo esempio di didattica)
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Devi sapere infatti che quando si parla di anelli commutativi (unitari) la presenza di idempotenti non banali è condizione necessaria e sufficiente affinché l'anello possa essere decomposto come prodotto diretto di altri anelli. Quindi, nel tuo caso, io, sapendo questo magico fatto, farei così: per il teorema cinese del resto, [tex]\mathbb Z / 14 \mathbb Z \cong (\mathbb Z / 2 \mathbb Z) \times (\mathbb Z / 7 \mathbb Z)[/tex] e adesso mi aspetto già quattro idempotenti, precisamente [tex](0,0)[/tex], [tex](1,1)[/tex] (quelli banali) e [tex](1,0),(0,1)[/tex], che corrispondono, in virtù del CRT (chinese remainder theorem) a [tex][7]_{14}, [8]_{14}[/tex]. Non ce ne sono altri, perché [tex]\mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex] e [tex]\mathbb Z / 7 \mathbb Z[/tex] sono campi e quindi sono "connessi" (ha senso questa parola, proprio nell'accezione topologica, ma non mi sogno nemmeno di entrare nel merito se non su esplicita richiesta di qualche utente; ti sfido, d'altro canto, a giustificare la mia affermazione usando solo il risultato generale che ho citato prima).
Capisci (o per lo meno intuisci) subito che questo metodo si generalizza ad ogni [tex]\mathbb Z / n \mathbb Z[/tex]. Perciò ti chiedo: vuoi approfondire il discorso? Posso proporti qualche esercizio guidato che ha come conseguenza il risultato generale che ho citato sopra...
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(Sto per fare un pessimo esempio di didattica)
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Devi sapere infatti che quando si parla di anelli commutativi (unitari) la presenza di idempotenti non banali è condizione necessaria e sufficiente affinché l'anello possa essere decomposto come prodotto diretto di altri anelli. Quindi, nel tuo caso, io, sapendo questo magico fatto, farei così: per il teorema cinese del resto, [tex]\mathbb Z / 14 \mathbb Z \cong (\mathbb Z / 2 \mathbb Z) \times (\mathbb Z / 7 \mathbb Z)[/tex] e adesso mi aspetto già quattro idempotenti, precisamente [tex](0,0)[/tex], [tex](1,1)[/tex] (quelli banali) e [tex](1,0),(0,1)[/tex], che corrispondono, in virtù del CRT (chinese remainder theorem) a [tex][7]_{14}, [8]_{14}[/tex]. Non ce ne sono altri, perché [tex]\mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex] e [tex]\mathbb Z / 7 \mathbb Z[/tex] sono campi e quindi sono "connessi" (ha senso questa parola, proprio nell'accezione topologica, ma non mi sogno nemmeno di entrare nel merito se non su esplicita richiesta di qualche utente; ti sfido, d'altro canto, a giustificare la mia affermazione usando solo il risultato generale che ho citato prima).
Capisci (o per lo meno intuisci) subito che questo metodo si generalizza ad ogni [tex]\mathbb Z / n \mathbb Z[/tex]. Perciò ti chiedo: vuoi approfondire il discorso? Posso proporti qualche esercizio guidato che ha come conseguenza il risultato generale che ho citato sopra...
"maurer":A me pare tutt'altro che pessimo!
(Sto per fare un pessimo esempio di didattica)
Com'è la storia dei campi connessi?
"Martino":
A me pare tutt'altro che pessimo!
Grazie Martino, troppo buono
E' che si tratta in sostanza di un esercizio dell'Atiyah e, chissà perché, mi sembra di dare un cannone ad un bambino che sta imparando ad usare la fionda (senza offesa, GundamRX91! Voglio solo dire che c'è un percorso naturale da seguire; io ti propongo questo cannone, nella speranza che saprai usarlo per il meglio).
"Martino":
Com'è la storia dei campi connessi?
Mi fa strano rispondere a questa tua domanda, perché la prima parte della risposta la sai bene almeno quanto me, se non meglio. Chiaramente, mi sto riferendo all'antiequivalenza [tex](\mathbf{CRing})^\text{op} \simeq \mathbf{AffSch}[/tex], composta con il funtore dimenticante [tex]\mathbf{AffSch} \to \mathbf{Top}[/tex]. Lo spazio topologico associato allo spettro di un campo è un punto, che è banalmente un insieme connesso.
Ma si può dire qualcosa di più, in effetti, se si affronta la teoria di Galois per gli schemi. In quel contesto si introduce il concetto di oggetto connesso in una categoria Galoisiana qualsiasi che si traduce in tanti concetti noti (che rispecchiano l'idea di connessione) a seconda della categoria che si sceglie. La definizione di oggetto connesso è semplicemente un oggetto che non ha sotto-oggetti banali (per la definizione di categoria Galoisiana rimando al capitolo 3 delle note di Lenstra). Quando la categoria Galoisiana è, ad esempio, la categoria dei [tex]\pi[/tex]-set (con [tex]\pi[/tex] gruppo profinito; questa è la categoria degli insiemi finiti con un'azione continua da parte di [tex]\pi[/tex]), la connessione diventa la transitività dell'azione. Quando ci mettiamo a lavorare nella teoria classica di Galois, gli oggetti connessi sono precisamente i campi (questo è perché la connessione negli schemi cattura gli schemi connessi, come spazi topologici). Poi, vabbeh, ci si potrebbe sbizzarrire ancora un po', ma aspetto di avere sufficiente familiarità con queste idee e magari apro un thread di discussione sul concetto di connessione in matematica (uno dei miei soliti thread XD). Già che ci sono anticipo che mi sto occupando in questo periodo di capire il concetto di connessione in senso "relativistico" (ossia in stile Grothendieck); saranno allora le mappe ad essere connesse (in particolare le mappe tra topos geometrici, ossia i morfismi geometrici). XD Ma adesso sono decisamente off topic, quindi mi fermo!
Maurer certo che voglio approfondire il discorso!!!!! L'unica cosa è che le mie conoscenze sugli anelli sono proprio quelle di base (nel mio programma di Algebra 1 viene giusto introdotta la definizione e poco altro). A dopo
Nota. Visto che la discussione non è proprio lineare, segnalo le soluzioni, per chi non fosse interessato a leggere tutto quanto.
Bene! Non preoccuparti, le tecniche richieste per la soluzione sono elementari. Sono le "mie" interpretazioni di questi risultati ad essere un po' sopra le righe. 
Allora gli esercizi sarebbero questi:
(tutti gli anelli sono da intendersi commutativi unitari e quando dico elemento idempotente non banale, intendo un idempotente diverso da 0 e da 1)
[list=1]
[*:2e7s2rla] Dimostra che, dato un anello [tex]A = A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n[/tex] esistono [tex]n[/tex] elementi idempotenti non banali [tex]e_1,e_2,\ldots,e_n[/tex] (soluzione;[/*:m:2e7s2rla]
[*:2e7s2rla] dimostra che gli elementi del punto precedente possono essere scelti "ortogonali", ossia [tex]e_i e_j = 0[/tex] se [tex]i \ne j[/tex]. Dimostra inoltre che possono essere scelti in modo da formare un "sistema ortogonale completo", ossia che [tex]e_1 + e_2 + \ldots + e_n = 1[/tex] (soluzione);[/*:m:2e7s2rla]
[*:2e7s2rla] Viceversa supponi che un anello [tex]A[/tex] contenga un elemento idempotente non banale [tex]e[/tex]; dimostrare che allora [tex]A \simeq A_1 \times A_2[/tex] (hint: si studino le proprietà di [tex]1- e[/tex]) (soluzione;[/*:m:2e7s2rla]
[*:2e7s2rla] Generalizzare il punto precedente mostrando che ogni sistema ortogonale completo [tex]e_1,\ldots,e_n \in A[/tex] dà luogo ad una decomposizione di [tex]A[/tex] nel prodotto diretto di [tex]n[/tex] anelli (soluzione).[/*:m:2e7s2rla]
[*:2e7s2rla] Che cosa si può dire sugli elementi idempotenti di [tex]\mathbb Z / p^n \mathbb Z[/tex]?[/*:m:2e7s2rla][/list:o:2e7s2rla]
Poi, una volta fatto questo, ci sarebbe una questione strettamente collegata, che è: quali sono gli ideali (primi) di un prodotto? Qui è la prima volta che entra in gioco indirettamente (nel senso che nessuno lo sa, la prima volta che fa quest'esercizio) il fatto che Spec è un'antiequivalenza. Comunque l'esercizio è fattibile con tecniche elementari, se vuoi puoi vederlo come una piccola sfida.
Se poi sai qualcosa di topologia, si può fare il più divertente di tutti: mostrare che un anello è prodotto diretto di altri anelli (ossia l'anello ha elementi idempotenti) se e solo se il suo spettro è disconnesso. In tal caso gli anelli che compaiono nel prodotto diretto corrispondono esattamente alle componenti connesse del suo spettro. Ma questa è un'altra storia (solo che non ce la facevo a tenermela per me, è troppo bella!). Ad esempio, da qui si vede la motivazione geometrica per cui i domini di integrità non hanno idempotenti non banali (algebricamente è facile!): i loro spettri hanno un punto denso, quindi sicuramente non possono essere disconnessi. Da questo punto di vista, si può dire che la legge di annullamento del prodotto corrisponde geometricamente alla presenza di un punto denso. Non è proprio così, nel senso che ci sono questioni "infinitesimali" (in senso tecnico Leibniziano) di mezzo, ma rende l'idea.
Edit: al punto 3 è un isomorfismo, non un'uguaglianza, come giustamente mi fa notare Leonardo89 in privato.
Edit: aggiunti i link alle soluzioni.
Bene!
Non preoccuparti, le tecniche richieste per la soluzione sono elementari. Sono le "mie" interpretazioni di questi risultati ad essere un po' sopra le righe. Allora gli esercizi sarebbero questi:
(tutti gli anelli sono da intendersi commutativi unitari e quando dico elemento idempotente non banale, intendo un idempotente diverso da 0 e da 1)
[list=1]
[*:2e7s2rla] Dimostra che, dato un anello [tex]A = A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n[/tex] esistono [tex]n[/tex] elementi idempotenti non banali [tex]e_1,e_2,\ldots,e_n[/tex] (soluzione;[/*:m:2e7s2rla]
[*:2e7s2rla] dimostra che gli elementi del punto precedente possono essere scelti "ortogonali", ossia [tex]e_i e_j = 0[/tex] se [tex]i \ne j[/tex]. Dimostra inoltre che possono essere scelti in modo da formare un "sistema ortogonale completo", ossia che [tex]e_1 + e_2 + \ldots + e_n = 1[/tex] (soluzione);[/*:m:2e7s2rla]
[*:2e7s2rla] Viceversa supponi che un anello [tex]A[/tex] contenga un elemento idempotente non banale [tex]e[/tex]; dimostrare che allora [tex]A \simeq A_1 \times A_2[/tex] (hint: si studino le proprietà di [tex]1- e[/tex]) (soluzione;[/*:m:2e7s2rla]
[*:2e7s2rla] Generalizzare il punto precedente mostrando che ogni sistema ortogonale completo [tex]e_1,\ldots,e_n \in A[/tex] dà luogo ad una decomposizione di [tex]A[/tex] nel prodotto diretto di [tex]n[/tex] anelli (soluzione).[/*:m:2e7s2rla]
[*:2e7s2rla] Che cosa si può dire sugli elementi idempotenti di [tex]\mathbb Z / p^n \mathbb Z[/tex]?[/*:m:2e7s2rla][/list:o:2e7s2rla]
Poi, una volta fatto questo, ci sarebbe una questione strettamente collegata, che è: quali sono gli ideali (primi) di un prodotto? Qui è la prima volta che entra in gioco indirettamente (nel senso che nessuno lo sa, la prima volta che fa quest'esercizio) il fatto che Spec è un'antiequivalenza. Comunque l'esercizio è fattibile con tecniche elementari, se vuoi puoi vederlo come una piccola sfida.
Se poi sai qualcosa di topologia, si può fare il più divertente di tutti: mostrare che un anello è prodotto diretto di altri anelli (ossia l'anello ha elementi idempotenti) se e solo se il suo spettro è disconnesso. In tal caso gli anelli che compaiono nel prodotto diretto corrispondono esattamente alle componenti connesse del suo spettro. Ma questa è un'altra storia (solo che non ce la facevo a tenermela per me, è troppo bella!). Ad esempio, da qui si vede la motivazione geometrica per cui i domini di integrità non hanno idempotenti non banali (algebricamente è facile!): i loro spettri hanno un punto denso, quindi sicuramente non possono essere disconnessi. Da questo punto di vista, si può dire che la legge di annullamento del prodotto corrisponde geometricamente alla presenza di un punto denso. Non è proprio così, nel senso che ci sono questioni "infinitesimali" (in senso tecnico Leibniziano) di mezzo, ma rende l'idea.
Edit: al punto 3 è un isomorfismo, non un'uguaglianza, come giustamente mi fa notare Leonardo89 in privato.
Edit: aggiunti i link alle soluzioni.
Scusa il ritardo (uff ogni tanto mi tocca lavorare ).
Ora provo a risolvere questi esercizi, anche se ti chiedo una certa pazienza dato che tra una risposta e l'altra ci passerà del tempo (sono vecchio e vado a rilento). Immagino (e spero) che la difficoltà degli esercizi sia in ordine crescente come la numerazione da te data, altrimenti non importa. Riguardo la topologia avevo iniziato a studiarne un introduzione con Analisi 1, ma al momento ricordo poco, per cui direi di lasciare da parte (per ora) questo argomento.
Però prima di iniziare con gli esercizi volevo un chiarimento a proposito degli elementi idempotenti in $ZZ_120$.
Posso considerare l'isomorfismo $ZZ_120~=ZZ_12 \times ZZ_10$, oppure $ZZ_120~=ZZ_15 \times ZZ_8$, oppure $ZZ_120~=ZZ_5 \times ZZ_24$ ?
E l'isomorfismo $ZZ_120~=ZZ_5 \times ZZ_3 \times ZZ_8$ è ammesso?
).Ora provo a risolvere questi esercizi, anche se ti chiedo una certa pazienza dato che tra una risposta e l'altra ci passerà del tempo (sono vecchio e vado a rilento). Immagino (e spero) che la difficoltà degli esercizi sia in ordine crescente come la numerazione da te data, altrimenti non importa. Riguardo la topologia avevo iniziato a studiarne un introduzione con Analisi 1, ma al momento ricordo poco, per cui direi di lasciare da parte (per ora) questo argomento.
Però prima di iniziare con gli esercizi volevo un chiarimento a proposito degli elementi idempotenti in $ZZ_120$.
Posso considerare l'isomorfismo $ZZ_120~=ZZ_12 \times ZZ_10$, oppure $ZZ_120~=ZZ_15 \times ZZ_8$, oppure $ZZ_120~=ZZ_5 \times ZZ_24$ ?
E l'isomorfismo $ZZ_120~=ZZ_5 \times ZZ_3 \times ZZ_8$ è ammesso?
"GundamRX91":
Scusa il ritardo (uff ogni tanto mi tocca lavorare
"GundamRX91":
Ora provo a risolvere questi esercizi, anche se ti chiedo una certa pazienza dato che tra una risposta e l'altra ci passerà del tempo (sono vecchio e vado a rilento). Immagino (e spero) che la difficoltà degli esercizi sia in ordine crescente come la numerazione da te data, altrimenti non importa.
Sì non preoccuparti, io mica ho fretta (li ho già fatti! XD). L'ordine non è in base alla difficoltà, ma in base alla successione logica degli argomenti; comunque i 5 punti hanno più o meno lo stesso livello di difficoltà, mi sembra...
"GundamRX91":
Riguardo la topologia avevo iniziato a studiarne un introduzione con Analisi 1, ma al momento ricordo poco, per cui direi di lasciare da parte (per ora) questo argomento.
Ok, concordo. Anche perché la topologia che vedi in analisi è completamente diversa da quella che serve qui; meglio che prima fortifichi la tua intuizione topologico-generale prima di tornarci.
"GundamRX91":
Però prima di iniziare con gli esercizi volevo un chiarimento a proposito degli elementi idempotenti in $ZZ_120$.
Posso considerare l'isomorfismo $ZZ_120~=ZZ_12 \times ZZ_10$, oppure $ZZ_120~=ZZ_15 \times ZZ_8$, oppure $ZZ_120~=ZZ_5 \times ZZ_24$ ?
E l'isomorfismo $ZZ_120~=ZZ_5 \times ZZ_3 \times ZZ_8$ è ammesso?
No, allora, qui è un problema di CRT. In generale, se tu hai due ideali coprimi [tex]I, J[/tex] (ossia tali che [tex]I + J = (1)[/tex]) allora avrai anche un isomorfismo [tex]A \cong A / I \times A /J[/tex]. Ti invito a prendere coscienza del fatto che questo è proprio il teorema cinese del resto che si fa in Algebra 1. Ora, l'isomorfismo [tex]\mathbb Z / 120 \mathbb Z \cong (\mathbb Z / 12 \mathbb Z) \times (\mathbb Z / 10 \mathbb Z)[/tex] è falso (ma vorrei che capissi tu il perché!). Gli altri due sono corretti, invece, proprio per il CRT.
Scusami Maurer, ho trovato la risposta da solo ma non si era bloccato il forum per scriverlo.
Proprio per il teorema cinese dei resti si ha il seguente corollario:
siano $r_1,r_2,...,r_n$ interi e a due a due coprimi, allora risulta che
$ZZ_(r_1 r_2 ... r_n) ~= ZZ_(r_1) \times ZZ_(r_2) \times ... \times ZZ_(r_n)$
e da questo è ovvio come $ZZ_120$ non possa essere isomorfo a $ZZ_10 \times ZZ_12$ essendo [tex](10,12)=2[/tex].
Proprio per il teorema cinese dei resti si ha il seguente corollario:
siano $r_1,r_2,...,r_n$ interi e a due a due coprimi, allora risulta che
$ZZ_(r_1 r_2 ... r_n) ~= ZZ_(r_1) \times ZZ_(r_2) \times ... \times ZZ_(r_n)$
e da questo è ovvio come $ZZ_120$ non possa essere isomorfo a $ZZ_10 \times ZZ_12$ essendo [tex](10,12)=2[/tex].
Diciamo meglio: se avessimo [tex]\mathbb Z / 120 \mathbb Z \cong \mathbb Z / 10 \mathbb Z \times \mathbb Z/ 12 \mathbb Z[/tex] allora [tex](10)[/tex] e [tex](12)[/tex] sarebbero ideali coprimi, assurdo.
Un altro modo, per sporcarsi un po' più le mani, era osservare che [tex]\mathbb Z/ 10 \mathbb Z \times \mathbb Z / 12 \mathbb Z[/tex] non può essere ciclico (se avesse un generatore...)
Un altro modo, per sporcarsi un po' più le mani, era osservare che [tex]\mathbb Z/ 10 \mathbb Z \times \mathbb Z / 12 \mathbb Z[/tex] non può essere ciclico (se avesse un generatore...)
Ok, ok, però è meglio se faccio un passo alla volta, perchè il percorso è lungo e non voglio farmi troppo male ogni qualvolta che cadrò
A dopo
PS. grazie
A dopo
PS. grazie
Posso intromettermi?
GundamRX91 stai tranquillo metto in spoiler ciò che non desideri leggere!
Posta pure la versione elmentare! Quella con lo spettro la si può vedere poi nelle tue lezioni di algebra commutativa al momento giusto, no?
Bellissimo ma, come sopra, forse è meglio inserirlo nelle tue lezioni.
GundamRX91 stai tranquillo metto in spoiler ciò che non desideri leggere!
"maurer":
Poi, una volta fatto questo, ci sarebbe una questione strettamente collegata, che è: quali sono gli ideali (primi) di un prodotto? Qui è la prima volta che entra in gioco indirettamente (nel senso che nessuno lo sa, la prima volta che fa quest'esercizio) il fatto che Spec è un'antiequivalenza. Comunque l'esercizio è fattibile con tecniche elementari, se vuoi puoi vederlo come una piccola sfida.
Posta pure la versione elmentare!
Quella con lo spettro la si può vedere poi nelle tue lezioni di algebra commutativa al momento giusto, no?"maurer":
Se poi sai qualcosa di topologia, si può fare il più divertente di tutti...
Bellissimo
ma, come sopra, forse è meglio inserirlo nelle tue lezioni.
@Leonardo89: in [tex]\mathbf{CRing}[/tex] la somma diretta non è il prodotto diretto, attento! Anzi, lascio scoprire a te chi sia (magari rispondimi in pm per evitare di andare OT). Lì intendevo proprio il prodotto! Infatti, [tex]\mathbf{CRing}[/tex] non è una categoria abeliana proprio per questa ragione!
Per quanto riguarda il punto 5., mi è stato fatto notare che in effetti è leggermente più laborioso di quello che credevo, ma comunque niente di trascendentale (per te sicuramente, magari è meglio avvisare GundamRX91 che l'esercizio potrebbe non essere così facile come credevo in un primo momento).
Bellissimo ma, come sopra, forse è meglio inserirlo nelle tue lezioni.[/quote]
Mah, la versione elementare è: determinare tutti gli ideali primi del prodotto in funzione degli ideali primi dei singoli fattori. La versione precisa è: dimostrare che esiste un omeomorfismo
[tex]\text{Spec}(A_1 \times \ldots \times A_n) \cong \text{Spec}(A_1) \coprod \ldots \coprod \text{Spec}(A_n)[/tex]
(unione disgiunta di spazi topologici). Sì sì, non preoccuparti, questo va a finire dritto dritto nella parte sulla topologia di Zariski!
L'esercizio bello (e difficile, imho) è di dimostrare che se [tex]\text{Spec}(A)[/tex] è disconnesso, ossia [tex]\text{Spec}(A) = X \coprod Y[/tex] con [tex]X,Y[/tex] spazi topologici, allora esistono idempotenti nell'anello. Ad esempio, come conseguenza hai a gratis che [tex]\mathbb Z / p^n \mathbb Z[/tex] non ha idempotenti non banali: infatti, [tex]\text{Spec}(\mathbb Z / p^n \mathbb Z) = \text{Spec}(\mathbb Z / p \mathbb Z)[/tex] (l'interpretazione geometrica è questa: il radicale di [tex](p^n)[/tex] è [tex](p)[/tex] e quindi non stai aggiungendo punti, ma stai solo aggiungendo la possibilità di una "deformazione infinitesima locale"
) e d'altra parte [tex]\mathbb Z / p \mathbb Z[/tex] è un campo, sicché il suo spettro è formato da un solo punto, quindi è connesso, fine della storia.
Per quanto riguarda il punto 5., mi è stato fatto notare che in effetti è leggermente più laborioso di quello che credevo, ma comunque niente di trascendentale (per te sicuramente, magari è meglio avvisare GundamRX91 che l'esercizio potrebbe non essere così facile come credevo in un primo momento).
"Leonardo89":
Posta pure la versione elmentare!
[quote="maurer"]Se poi sai qualcosa di topologia, si può fare il più divertente di tutti...
Bellissimo
ma, come sopra, forse è meglio inserirlo nelle tue lezioni.[/quote]Mah, la versione elementare è: determinare tutti gli ideali primi del prodotto in funzione degli ideali primi dei singoli fattori. La versione precisa è: dimostrare che esiste un omeomorfismo
[tex]\text{Spec}(A_1 \times \ldots \times A_n) \cong \text{Spec}(A_1) \coprod \ldots \coprod \text{Spec}(A_n)[/tex]
(unione disgiunta di spazi topologici). Sì sì, non preoccuparti, questo va a finire dritto dritto nella parte sulla topologia di Zariski!
L'esercizio bello (e difficile, imho) è di dimostrare che se [tex]\text{Spec}(A)[/tex] è disconnesso, ossia [tex]\text{Spec}(A) = X \coprod Y[/tex] con [tex]X,Y[/tex] spazi topologici, allora esistono idempotenti nell'anello. Ad esempio, come conseguenza hai a gratis che [tex]\mathbb Z / p^n \mathbb Z[/tex] non ha idempotenti non banali: infatti, [tex]\text{Spec}(\mathbb Z / p^n \mathbb Z) = \text{Spec}(\mathbb Z / p \mathbb Z)[/tex] (l'interpretazione geometrica è questa: il radicale di [tex](p^n)[/tex] è [tex](p)[/tex] e quindi non stai aggiungendo punti, ma stai solo aggiungendo la possibilità di una "deformazione infinitesima locale"
) e d'altra parte [tex]\mathbb Z / p \mathbb Z[/tex] è un campo, sicché il suo spettro è formato da un solo punto, quindi è connesso, fine della storia.
Maurer riguardo l'esercizio 1 stavo proponendo la soluzione quando mi è venuta il sospetto che non sia proprio generale, in quanto funziona con gli anelli [tex]\mathbb{Z}_n[/tex]... Ma in altri tipi di anelli è sempre vero l'esercizio 1? (anche se immagino che la risposta sia affermativa) 
Tra l'altro leggo che l'esercizio 5 è più difficile del previsto e io ho già problemi con il primo....
Tra l'altro leggo che l'esercizio 5 è più difficile del previsto e io ho già problemi con il primo....
Sì, è vero per ogni tipo di anelli. Posta il procedimento, mica ti mangiamo se è sbagliato! Serve anche capire gli errori!
Il quinto provaci, non costa nulla. Ma, appunto, potrebbe essere un po' più difficile degli altri.
Posta il procedimento, mica ti mangiamo se è sbagliato! Serve anche capire gli errori!Il quinto provaci, non costa nulla. Ma, appunto, potrebbe essere un po' più difficile degli altri.
Ok
Esercizio 1: dimostrare che [tex]A = A_1 \times A_2 \times ... \times A_n[/tex] possiede [tex]n[/tex] elementi idempotenti non banali.
Premessa: consideriamo gli anelli delle classi dei resti [tex]\mathbb{Z}_n[/tex].
Un elemento [tex][a]_n \in \mathbb{Z}_n[/tex] è idempotente se [tex][a^2]_n=[a]_n[/tex].
Dal teorema cinese dei resti sappiamo che [tex]\mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_q[/tex] dove [tex]n=p*q[/tex] e [tex](p,q)=1[/tex].
Da [tex]a^2=a[/tex] si ha [tex]a^2-a=0[/tex] e [tex]a(a-1)=0[/tex] ed essendo un multiplo di [tex]n[/tex] allora sarà diviso dai fattori di [tex]n[/tex] stesso. Si tratta quindi di risolvere i seguenti sistemi di equazioni congruenziali:
${(x-=0_(mod p)),(x-=0_(mod r)):}$
${(x-=1_(mod p)),(x-=1_(mod r)):}$
Il primo sistema determina l'elemento idempotente banale $[0]_(p*q)$, mentre risolvendo il secondo sistema troviamo gli elementi idempotenti di $ZZ_(p*q)$. Stesso ragionamento se i fattori di $n$ sono più di $2$.
Esercizio 1: dimostrare che [tex]A = A_1 \times A_2 \times ... \times A_n[/tex] possiede [tex]n[/tex] elementi idempotenti non banali.
Premessa: consideriamo gli anelli delle classi dei resti [tex]\mathbb{Z}_n[/tex].
Un elemento [tex][a]_n \in \mathbb{Z}_n[/tex] è idempotente se [tex][a^2]_n=[a]_n[/tex].
Dal teorema cinese dei resti sappiamo che [tex]\mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_q[/tex] dove [tex]n=p*q[/tex] e [tex](p,q)=1[/tex].
Da [tex]a^2=a[/tex] si ha [tex]a^2-a=0[/tex] e [tex]a(a-1)=0[/tex] ed essendo un multiplo di [tex]n[/tex] allora sarà diviso dai fattori di [tex]n[/tex] stesso. Si tratta quindi di risolvere i seguenti sistemi di equazioni congruenziali:
${(x-=0_(mod p)),(x-=0_(mod r)):}$
${(x-=1_(mod p)),(x-=1_(mod r)):}$
Il primo sistema determina l'elemento idempotente banale $[0]_(p*q)$, mentre risolvendo il secondo sistema troviamo gli elementi idempotenti di $ZZ_(p*q)$. Stesso ragionamento se i fattori di $n$ sono più di $2$.
Uhm, ok, ma è più semplice e più generale. Dimmi, come si rappresenta un elemento in [tex]A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n[/tex], e come sono definite le operazioni (somma e prodotto) su questo anello?
Un elemento di [tex]A_1 \times A_2 \times ... \times A_n[/tex] dovrebbe essere definito come $(a_11,a_21,...,a_(n1))$ per $a_11 \in A_1, a_21 \in A_2, ..., a_(n1) \in A_n$, e le operazioni di somma e prodotto sono:
$(a_11,a_21, ... ,a_n1) + (b_11,b_21, ... ,b_(n1)) = (a_11+a_21+...+a_n1 , b_11+b_21+...+b_(n1))$
$(a_11,a_21, ... ,a_n1) \cdot (b_11,b_21, ... ,b_(n1)) = (a_11 \cdot a_21 \cdot ... \cdot a_(n1) , b_11 \cdot b_21 \cdot ... \cdot b_(n1))$
PS. In tex non riesco a fare i pedici degli elementi in linea.... [tex]a_11 \ne[/tex]$a_11$
$(a_11,a_21, ... ,a_n1) + (b_11,b_21, ... ,b_(n1)) = (a_11+a_21+...+a_n1 , b_11+b_21+...+b_(n1))$
$(a_11,a_21, ... ,a_n1) \cdot (b_11,b_21, ... ,b_(n1)) = (a_11 \cdot a_21 \cdot ... \cdot a_(n1) , b_11 \cdot b_21 \cdot ... \cdot b_(n1))$
PS. In tex non riesco a fare i pedici degli elementi in linea.... [tex]a_11 \ne[/tex]$a_11$
In tex devi mettere le parentesi graffe: a_{11}. Non ho capito perché usi due indici, però, soprattutto visto che poi il secondo lo tieni sempre fisso a 1.
Ok, adesso, non credi anche tu che ci siano degli elementi più "belli" degli altri?
Ok, adesso, non credi anche tu che ci siano degli elementi più "belli" degli altri?
Probabile soluzione del punto 3.
Se questa è giusta cerco di passare al punto 4.
Se questa è giusta cerco di passare al punto 4.
Mi torna perfettamente
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