[Esercizio] determinare gli elementi idempotenti...
... in $ZZ_14$.
Sia [tex](A,+,*)[/tex] un anello e sia [tex]a \in A[/tex]. [tex]a[/tex] è idempotente se [tex]a^2=a[/tex].
In $ZZ_14$, a parte gli elementi "banali", cioè $[0]_14$ e $[1]_14$, gli altri li posso determinare sapendo che:
[tex]a^2=a[/tex] e [tex]a^2-a=a(a-1)=0[/tex]
Se [tex]a[/tex] è idempotente deve essere un multiplo di [tex]14[/tex] quindi se è divisibile per [tex]14[/tex] è divisibile
per uno dei fattori di [tex]14=7*2[/tex]. Quindi in definitiva avrò che [tex]7|a[/tex] e [tex]2|a-1[/tex], oppure [tex]2|a[/tex] e [tex]7|a-1[/tex], il che equivale a risolvere due sistemi di equazioni congruenziali:
${(x-=0_(mod 7)),(x-=1_(mod 2)):}$; ${(x=7k,k in ZZ),(x=1+2k, k inZZ):}$; ${([0]_7),([1]_2):}$ e ${([0]_14),([7]_14):}$
${(x-=0_(mod 2)),(x-=1_(mod 7)):}$; ${(x=2k,k in ZZ),(x=1+7k, k inZZ):}$; ${([0]_2),([1]_7):}$ e ${([0]_14),([2]_14):}$
Ora $[7]_14$ è idempotente: $[7^2]_14=[49]_14=[7]_14$,
e l'elemento $1-a$, cioè $[1-7]_14=[8]_14$, è idempotente: $[8^2]_14=[64]_14=[8]_14$.
Ho provato anche con altri anelli, ad esempio con $ZZ_8, ZZ_10$ e la cosa funzione, ma con anelli più grossi, come ad esempio $ZZ_120$ faccio fatica in quanto $120=5*3*2^3$, ma non so come creare i miei sistemi di congruenze algebriche....
(non è proprio vero, ma quello che ho fatto non credo sia la strada giusta).
Edit: avevo scritto $120=5+3*2^3$, che è palesemente un errore di .... non saprei, ma spero di distrazione
Sia [tex](A,+,*)[/tex] un anello e sia [tex]a \in A[/tex]. [tex]a[/tex] è idempotente se [tex]a^2=a[/tex].
In $ZZ_14$, a parte gli elementi "banali", cioè $[0]_14$ e $[1]_14$, gli altri li posso determinare sapendo che:
[tex]a^2=a[/tex] e [tex]a^2-a=a(a-1)=0[/tex]
Se [tex]a[/tex] è idempotente deve essere un multiplo di [tex]14[/tex] quindi se è divisibile per [tex]14[/tex] è divisibile
per uno dei fattori di [tex]14=7*2[/tex]. Quindi in definitiva avrò che [tex]7|a[/tex] e [tex]2|a-1[/tex], oppure [tex]2|a[/tex] e [tex]7|a-1[/tex], il che equivale a risolvere due sistemi di equazioni congruenziali:
${(x-=0_(mod 7)),(x-=1_(mod 2)):}$; ${(x=7k,k in ZZ),(x=1+2k, k inZZ):}$; ${([0]_7),([1]_2):}$ e ${([0]_14),([7]_14):}$
${(x-=0_(mod 2)),(x-=1_(mod 7)):}$; ${(x=2k,k in ZZ),(x=1+7k, k inZZ):}$; ${([0]_2),([1]_7):}$ e ${([0]_14),([2]_14):}$
Ora $[7]_14$ è idempotente: $[7^2]_14=[49]_14=[7]_14$,
e l'elemento $1-a$, cioè $[1-7]_14=[8]_14$, è idempotente: $[8^2]_14=[64]_14=[8]_14$.
Ho provato anche con altri anelli, ad esempio con $ZZ_8, ZZ_10$ e la cosa funzione, ma con anelli più grossi, come ad esempio $ZZ_120$ faccio fatica in quanto $120=5*3*2^3$, ma non so come creare i miei sistemi di congruenze algebriche....
(non è proprio vero, ma quello che ho fatto non credo sia la strada giusta).Edit: avevo scritto $120=5+3*2^3$, che è palesemente un errore di .... non saprei, ma spero di distrazione
Risposte
"maurer":
In tex devi mettere le parentesi graffe: a_{11}. Non ho capito perché usi due indici, però, soprattutto visto che poi il secondo lo tieni sempre fisso a 1.
Ok, adesso, non credi anche tu che ci siano degli elementi più "belli" degli altri?
Maurer l'intenzione era di indicare il primo elemento di ogni insieme [tex]A_i[/tex]...
Cercando questi elementi più "belli" ho detto facciamo la somma di due elementi di [tex]\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_8[/tex], ad esempio [tex]([0]_3,[0]_5,[0]_8)+([1]_3,[1]_5,[1]_8)=([0+1]_3,[0+1]_5,[0+1]_8)[/tex] che dovrebbe corrispondere alla somma degli elementi [tex][0]_{120}+[1]_{120}[/tex], o sbaglio?
Ma se volessi sommare il decimo elemento di [tex]\mathbb{Z}_{120}[/tex] con l'undicesimo: [tex][9]_{120}+[10]_{120}[/tex] mi trovo in difficoltà perché come rappresento l'elemento [tex][9]_{120}[/tex] come terna ordinata? Cioè come:
[tex](a_{310},a_{510},a_{810})[/tex] ?? Ossia chi è [tex]a_{310} \in \mathbb{Z}_3[/tex]? (L'indice [tex]310[/tex] lo intendo come 3= elemento di $ZZ_3$ e 10= decimo elemento
)
Forse mi rispondo da solo
[tex][9]_{120}+[10]_{120}=([0]_3,[4]_5,[1]_8)+([1]_3,[0]_5,[2]_8)=([1]_3,[4]_5,[3]_8)=[19]_{120}[/tex]
Inoltre gli idempotenti di [tex]\mathbb{Z}_{120}[/tex] sono gli elementi [tex](1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)[/tex] (sono per caso questi i più belli ?????? ) che, per il teorema cinese dei resti, corrispondono a [tex][40]_{120}, [96]_{120}, [105]_{120}[/tex].
[tex][9]_{120}+[10]_{120}=([0]_3,[4]_5,[1]_8)+([1]_3,[0]_5,[2]_8)=([1]_3,[4]_5,[3]_8)=[19]_{120}[/tex]
Inoltre gli idempotenti di [tex]\mathbb{Z}_{120}[/tex] sono gli elementi [tex](1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)[/tex] (sono per caso questi i più belli ?????? ) che, per il teorema cinese dei resti, corrispondono a [tex][40]_{120}, [96]_{120}, [105]_{120}[/tex].
"GundamRX91":
Inoltre gli idempotenti di [tex]\mathbb{Z}_{120}[/tex] sono gli elementi [tex](1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)[/tex] (sono per caso questi i più belli ?????? )
Esattamente. Ricordano mooooolto da vicino le basi canoniche di uno spazio vettoriale! Aspetta... tu hai già visto gli spazi vettoriali? Aiuto, non mi ricordo più l'ordine in cui insegnano le cose! Non che servano dopo, eh...
Prova a usare gli elementi di quella forma per trattare il caso generale!
Come ti ho detto ho studiato un introduzione degli spazio vettoriali in Analisi 1, ma dovrei riprendere tutta la teoria perchè è tanto che non ci lavoro un pò...
Ora vedo di "generalizzare" l'esercizio 1.
Ora vedo di "generalizzare" l'esercizio 1.
Sì, ma non ti serviranno, stai tranquillo. E' solo che è bene avere sempre in testa certi esempi canonici, come, appunto, gli spazi vettoriali: lì è tutto semplice, i coefficienti sono in un campo che non ha ideali a parte quello nullo. La vita lì è bella (e noiosa ).
Comunque rileggendo i tuoi post ho notato che continui a dire "n-esimo elemento di un anello". In che senso? n-esimo rispetto a quale ordine? Non tutti gli anelli possono diventare anelli ordinati! O forse fissi un buon ordine a priori non compatibile con le operazioni? In questo caso è inutile, ti complichi la vita e basta!
).Comunque rileggendo i tuoi post ho notato che continui a dire "n-esimo elemento di un anello". In che senso? n-esimo rispetto a quale ordine? Non tutti gli anelli possono diventare anelli ordinati! O forse fissi un buon ordine a priori non compatibile con le operazioni? In questo caso è inutile, ti complichi la vita e basta!
Uhmmm.... non ci avevo pensato, ma credo che sia solo una questione di praticità espositiva. Magari proviamo ad affrontare l'argomento con un'altra discussione ok?
Riguardo la generalizzazione dell'esercizio 1 sono un pò in panne....credo siano necessarie delle premesse ma mi sembrano errate (pensavo alla definizione di anello e al prodotto cartesiano degli insiemi di supporto e al relativo prodotto diretto...).
Riguardo la generalizzazione dell'esercizio 1 sono un pò in panne....credo siano necessarie delle premesse ma mi sembrano errate (pensavo alla definizione di anello e al prodotto cartesiano degli insiemi di supporto e al relativo prodotto diretto...).
Non mi sono chiari i tuoi dubbi.
Considera per esempio [tex]e_1 = (1_{A_1},0,\ldots,0)[/tex]. Allora si ha [tex]e_1^2 = (1_{A_1} \cdot 1_{A_1}, 0, \ldots, 0) = e_1[/tex], quindi questo è un idempotente non banale, giusto?
Considera per esempio [tex]e_1 = (1_{A_1},0,\ldots,0)[/tex]. Allora si ha [tex]e_1^2 = (1_{A_1} \cdot 1_{A_1}, 0, \ldots, 0) = e_1[/tex], quindi questo è un idempotente non banale, giusto?
Si, si questo è chiaro.
Dunque se [tex]A = A_1 \times A_2[/tex] gli elementi idempotenti non banali sono nella forma [tex]e_1=(1_{A_1}, 0)[/tex] e [tex]e_2=(0,1_{A_2})[/tex].
Se [tex]A = A_1 \times A_2 \times A_3[/tex] gli elementi idempotenti non banali sono nella forma [tex]e_1=(1_{A_1}, 0,0)[/tex], [tex]e_2=(0,1_{A_2},0)[/tex] e [tex]e_3=(0,0,1_{A_3})[/tex].
Segue allora che se [tex]A = A_1 \times A_2 \times ... \times A_n[/tex] avremo [tex]n[/tex] elementi idempotenti non banali [tex]e_1=(1_{A_1},0,0,...,0), e_2=(0,1_{A_2},0,...,0),...,e_n=(0,0,...,1_{A_n})[/tex],
da cui
[tex]e_1^2=(1_{A_1} \cdot 1_{A_1},0,0,...,0)=(1_{A_1},0,0,...,0)=e_1[/tex]
[tex]e_2^2=(0,1_{A_2} \cdot 1_{A_2},0,...,0)=(0,1_{A_2},0,...,0)=e_2[/tex]
...
[tex]e_n^2=(0,0,...,1_{A_n} \cdot 1_{A_n})=(0,0,...,1_{A_n})=e_n[/tex].
Dunque se [tex]A = A_1 \times A_2[/tex] gli elementi idempotenti non banali sono nella forma [tex]e_1=(1_{A_1}, 0)[/tex] e [tex]e_2=(0,1_{A_2})[/tex].
Se [tex]A = A_1 \times A_2 \times A_3[/tex] gli elementi idempotenti non banali sono nella forma [tex]e_1=(1_{A_1}, 0,0)[/tex], [tex]e_2=(0,1_{A_2},0)[/tex] e [tex]e_3=(0,0,1_{A_3})[/tex].
Segue allora che se [tex]A = A_1 \times A_2 \times ... \times A_n[/tex] avremo [tex]n[/tex] elementi idempotenti non banali [tex]e_1=(1_{A_1},0,0,...,0), e_2=(0,1_{A_2},0,...,0),...,e_n=(0,0,...,1_{A_n})[/tex],
da cui
[tex]e_1^2=(1_{A_1} \cdot 1_{A_1},0,0,...,0)=(1_{A_1},0,0,...,0)=e_1[/tex]
[tex]e_2^2=(0,1_{A_2} \cdot 1_{A_2},0,...,0)=(0,1_{A_2},0,...,0)=e_2[/tex]
...
[tex]e_n^2=(0,0,...,1_{A_n} \cdot 1_{A_n})=(0,0,...,1_{A_n})=e_n[/tex].
Ok, questo conclude il primo punto. Il secondo punto è da riferirsi a questi particolari idempotenti, quindi è piuttosto ovvio. Il terzo è più sottile...
Si in effetti [tex]e_1 \cdot e_2 \cdot ... \cdot e_n = (1_{A_1} \cdot 0 \cdot ... \cdot 0, 0 \cdot 1_{A_2} \cdot 0 \cdot ... \cdot 0, ... , 0 \cdot 0 \cdot ... \cdot 1_{A_n}) = 0[/tex]
mentre
[tex]e_1 + e_2 + ... + e_n = (1_{A_1} + 0 + ... + 0, 0 + 1_{A_2} + 0 + ... + 0, ... , 0 + 0 + ... + 1_{A_n}) = (1_{A_1},1_{A_2},...,1_{A_n}) = 1[/tex]
Invece cosa intendi per [tex]A \simeq A_1 \times A_2[/tex] ?
mentre
[tex]e_1 + e_2 + ... + e_n = (1_{A_1} + 0 + ... + 0, 0 + 1_{A_2} + 0 + ... + 0, ... , 0 + 0 + ... + 1_{A_n}) = (1_{A_1},1_{A_2},...,1_{A_n}) = 1[/tex]
Invece cosa intendi per [tex]A \simeq A_1 \times A_2[/tex] ?
Intendo che puoi definire due anelli [tex]A_1[/tex] e [tex]A_2[/tex] tali che esista un isomorfismo di anelli [tex]A \simeq A_1 \times A_2[/tex].
Però qui:
Non controlli quello che voglio io. Io chiedevo che [tex]e_i \cdot e_j = 0[/tex]. Ok, è chiaro che è scemo da controllare, ma tecnicamente quello che hai scritto tu non implica quello che voglio.
Però qui:
"GundamRX91":
Si in effetti [tex]e_1 \cdot e_2 \cdot ... \cdot e_n = (1_{A_1} \cdot 0 \cdot ... \cdot 0, 0 \cdot 1_{A_2} \cdot 0 \cdot ... \cdot 0, ... , 0 \cdot 0 \cdot ... \cdot 1_{A_n}) = 0[/tex]
Non controlli quello che voglio io. Io chiedevo che [tex]e_i \cdot e_j = 0[/tex]. Ok, è chiaro che è scemo da controllare, ma tecnicamente quello che hai scritto tu non implica quello che voglio.
Uhmmm... nel testo dell'esercizio 3 proponi un hint: si studino le proprietà di [tex]1-e[/tex].
In [tex]A_1 \times A_2[/tex] un elemento idempotente non banale è nella forma [tex](1,0) \lor (0,1)[/tex] e
[tex]1-e=(1,1)-(1,0)=(1-1,1-0)=(0,1)[/tex] oppure abbiamo [tex]1-e=(1,1)-(0,1)=(1-0,1-1)=(1,0)[/tex]
che sono sempre gli idempotenti non banali.
Se ne faccio il prodotto trovo che [tex]e\cdot(1-e)=(1,0)\cdot(0,1)=(0,0)=0[/tex]
ma non riesco a capire come utilizzare tutto ciò....
In [tex]A_1 \times A_2[/tex] un elemento idempotente non banale è nella forma [tex](1,0) \lor (0,1)[/tex] e
[tex]1-e=(1,1)-(1,0)=(1-1,1-0)=(0,1)[/tex] oppure abbiamo [tex]1-e=(1,1)-(0,1)=(1-0,1-1)=(1,0)[/tex]
che sono sempre gli idempotenti non banali.
Se ne faccio il prodotto trovo che [tex]e\cdot(1-e)=(1,0)\cdot(0,1)=(0,0)=0[/tex]
ma non riesco a capire come utilizzare tutto ciò....
Ho visto solo ora l'edit del tuo post... intendi dire che devo formalizzare solo quanto scritto nel calcolo?
"GundamRX91":
In [tex]A_1 \times A_2[/tex] un elemento idempotente non banale è nella forma [tex](1,0) \lor (0,1)[/tex]
Questo è falso: in [tex](\mathbb Z / 4 \mathbb Z) \times (\mathbb Z / 15 \mathbb Z)[/tex] ci sono certamente gli idempotenti [tex](1,0)[/tex] e [tex](0,1)[/tex], ma ci sono anche [tex](0,10)[/tex] e [tex](0,6)[/tex].
Poi allo stato attuale tu gli anelli [tex]A_1,A_2[/tex] non ce li hai: la loro esistenza è la tesi dell'esercizio. La tua ipotesi è semplicemente che [tex]e \in A[/tex] è un idempotente e che [tex]e \ne 0,1[/tex]. L'hint va interpretato come: quanto fa [tex](1-e)^2[/tex]? Quanto fa [tex]e(1-e)[/tex]? Quanto fa [tex]e + (1-e)[/tex]?
Nell'edit precedente intendevo semplicemente dire che devi calcolare [tex]e_i \cdot e_j[/tex] (per ogni [tex]i,j[/tex]), non [tex]e_1 \cdot e_2 \cdot \ldots \cdot e_n[/tex]!
Allora, vediamo di riepilogare includendo anche il punto 2 dell'esercizio.
Sia [tex]A=A_1 \times A_2[/tex] un anello e siano [tex]e_1=(1_{A_1},0)[/tex] e [tex]e_2=(0,1_{A_2})[/tex] gli elementi idempotenti non banali tali che [tex]e_1^2=e_1[/tex] e [tex]e_2^2=e_2[/tex]. [tex]e_1[/tex] e [tex]e_2[/tex] sono ortogonali in quanto [tex]e_1 \cdot e_2=(1_{A_1} \cdot 0,0 \cdot 1_{A_2})=0[/tex]e formano un sistema ortogonale completo [tex]e_1+e_2=(1_{A_1}+0,0+1_{A_2})=1[/tex].
Se [tex]A=A_1 \times A_2 \times A_3[/tex] gli elementi idempotenti non banali sono nella forma [tex]e_1=(1_{A_1},0,0)[/tex] , [tex]e_2=(0,1_{A_2},0)[/tex] e [tex]e_3=(0,0,1_{A_3})[/tex]. [tex]e_1[/tex], [tex]e_2[/tex] e [tex]e_3[/tex] sono ortogonali in quanto [tex]e_1 \cdot e_2=(1_{A_1} \cdot 0,0 \cdot 1_{A_2},0 \cdot 0)=0[/tex],[tex]e_1 \cdot e_3=(1_{A_1} \cdot 0,0 \cdot 0, 0 \cdot 1_{A_3})=0[/tex] e [tex]e_1 \cdot e_2 \cdot e_3=(1_{A_1} \cdot 0 \cdot 0, 0 \cdot 1_{A_2} \cdot 0, 0 \cdot 0 \cdot 1_{A_3})=0[/tex], formano inoltre un sistema ortogonale completo [tex]e_1+e_2+e_3=(1_{A_1}+0+0,0+1_{A_2}+0,0+0+1_{A_3})=1[/tex].
Segue allora che se [tex]A = A_1 \times A_2 \times ... \times A_n[/tex] avremo [tex]n[/tex] elementi idempotenti non banali [tex]e_1=(1_{A_1},0,0,...,0), e_2=(0,1_{A_2},0,...,0),...,e_n=(0,0,...,1_{A_n})[/tex],
da cui
[tex]e_1^2=(1_{A_1} \cdot 1_{A_1},0,0,...,0)=(1_{A_1},0,0,...,0)=e_1[/tex]
[tex]e_2^2=(0,1_{A_2} \cdot 1_{A_2},0,...,0)=(0,1_{A_2},0,...,0)=e_2[/tex]
...
[tex]e_n^2=(0,0,...,1_{A_n} \cdot 1_{A_n})=(0,0,...,1_{A_n})=e_n[/tex].
[tex]e_1,e_2,...,e_n[/tex] sono ortgonali in quanto [tex]e_i \cdot e_j=(0 \cdot ... \cdot 1_{A_i} \cdot 0 \cdot... \cdot 0,0 \cdot 1_{A_j} \cdot ... \cdot 0)=0[/tex], per [tex]i \ne j[/tex], e formano un sistema ortogonale completo [tex]e_1+e_2+...+e_n=(1_{A_1}+0+...+0,0+1_{A_2}+0+...+0,0+0+...+1_{A_n})=1[/tex].
Relativamente al punto 3 dell'esercizio io ho solo l'anello [tex]A[/tex] da cui devo "costruire" gli anelli [tex]A_1[/tex] e [tex]A_2[/tex]. Pensavo che se [tex]A[/tex] è isomorfo a due anelli allora c'è una funzione che definisce l'isomorfismo, o sbaglio? Nel caso dovrei "trovare" questa funzione....
Sia [tex]A=A_1 \times A_2[/tex] un anello e siano [tex]e_1=(1_{A_1},0)[/tex] e [tex]e_2=(0,1_{A_2})[/tex] gli elementi idempotenti non banali tali che [tex]e_1^2=e_1[/tex] e [tex]e_2^2=e_2[/tex]. [tex]e_1[/tex] e [tex]e_2[/tex] sono ortogonali in quanto [tex]e_1 \cdot e_2=(1_{A_1} \cdot 0,0 \cdot 1_{A_2})=0[/tex]e formano un sistema ortogonale completo [tex]e_1+e_2=(1_{A_1}+0,0+1_{A_2})=1[/tex].
Se [tex]A=A_1 \times A_2 \times A_3[/tex] gli elementi idempotenti non banali sono nella forma [tex]e_1=(1_{A_1},0,0)[/tex] , [tex]e_2=(0,1_{A_2},0)[/tex] e [tex]e_3=(0,0,1_{A_3})[/tex]. [tex]e_1[/tex], [tex]e_2[/tex] e [tex]e_3[/tex] sono ortogonali in quanto [tex]e_1 \cdot e_2=(1_{A_1} \cdot 0,0 \cdot 1_{A_2},0 \cdot 0)=0[/tex],[tex]e_1 \cdot e_3=(1_{A_1} \cdot 0,0 \cdot 0, 0 \cdot 1_{A_3})=0[/tex] e [tex]e_1 \cdot e_2 \cdot e_3=(1_{A_1} \cdot 0 \cdot 0, 0 \cdot 1_{A_2} \cdot 0, 0 \cdot 0 \cdot 1_{A_3})=0[/tex], formano inoltre un sistema ortogonale completo [tex]e_1+e_2+e_3=(1_{A_1}+0+0,0+1_{A_2}+0,0+0+1_{A_3})=1[/tex].
Segue allora che se [tex]A = A_1 \times A_2 \times ... \times A_n[/tex] avremo [tex]n[/tex] elementi idempotenti non banali [tex]e_1=(1_{A_1},0,0,...,0), e_2=(0,1_{A_2},0,...,0),...,e_n=(0,0,...,1_{A_n})[/tex],
da cui
[tex]e_1^2=(1_{A_1} \cdot 1_{A_1},0,0,...,0)=(1_{A_1},0,0,...,0)=e_1[/tex]
[tex]e_2^2=(0,1_{A_2} \cdot 1_{A_2},0,...,0)=(0,1_{A_2},0,...,0)=e_2[/tex]
...
[tex]e_n^2=(0,0,...,1_{A_n} \cdot 1_{A_n})=(0,0,...,1_{A_n})=e_n[/tex].
[tex]e_1,e_2,...,e_n[/tex] sono ortgonali in quanto [tex]e_i \cdot e_j=(0 \cdot ... \cdot 1_{A_i} \cdot 0 \cdot... \cdot 0,0 \cdot 1_{A_j} \cdot ... \cdot 0)=0[/tex], per [tex]i \ne j[/tex], e formano un sistema ortogonale completo [tex]e_1+e_2+...+e_n=(1_{A_1}+0+...+0,0+1_{A_2}+0+...+0,0+0+...+1_{A_n})=1[/tex].
Relativamente al punto 3 dell'esercizio io ho solo l'anello [tex]A[/tex] da cui devo "costruire" gli anelli [tex]A_1[/tex] e [tex]A_2[/tex]. Pensavo che se [tex]A[/tex] è isomorfo a due anelli allora c'è una funzione che definisce l'isomorfismo, o sbaglio? Nel caso dovrei "trovare" questa funzione....
"GundamRX91":
Allora, vediamo di riepilogare includendo anche il punto 2 dell'esercizio.
[...] e formano un sistema ortogonale completo [tex]e_1+e_2+...+e_n=(1_{A_1}+0+...+0,0+1_{A_2}+0+...+0,0+0+...+1_{A_n})=1[/tex].
Bene, questa volta è perfetto.
"GundamRX91":
Relativamente al punto 3 dell'esercizio io ho solo l'anello [tex]A[/tex] da cui devo "costruire" gli anelli [tex]A_1[/tex] e [tex]A_2[/tex]. Pensavo che se [tex]A[/tex] è isomorfo a due anelli allora c'è una funzione che definisce l'isomorfismo, o sbaglio? Nel caso dovrei "trovare" questa funzione....
E' isomorfo al prodotto di due anelli. Sì certo, devi esibire la funzione esplicitamente. Un suggerimento un po' più concreto: potresti considerare gli ideali [tex](e)[/tex] e [tex](1-e)[/tex] di [tex]A[/tex]... siccome l'anello è commutativo puoi considerare il quoziente... e avresti delle proiezioni canoniche sul quoziente... Di qui riesci a concludere?
Si fa difficile la cosa.... devo prima chiarirmi le idee.
Gli ideali sono sottogruppi additivi [tex](I,+)[/tex] di un anello [tex](A,+,*)[/tex] tali che [tex]\forall i \in I[/tex] e [tex]\forall a \in A[/tex] allora [tex]i*a \in I[/tex].
Se devo quozientare gli ideali devo avere una relazione di equivalenza e una funzione di supporto per ciascun ideale?
Gli ideali sono sottogruppi additivi [tex](I,+)[/tex] di un anello [tex](A,+,*)[/tex] tali che [tex]\forall i \in I[/tex] e [tex]\forall a \in A[/tex] allora [tex]i*a \in I[/tex].
Se devo quozientare gli ideali devo avere una relazione di equivalenza e una funzione di supporto per ciascun ideale?
"GundamRX91":
Se devo quozientare gli ideali devo avere una relazione di equivalenza e una funzione di supporto per ciascun ideale?
Mmmm. Pensavo che in Algebra 1 vi definissero il quoziente per un ideale.
Ad ogni ideale (bilatero) è sempre associata una relazione di equivalenza congruenziale, ossia compatibile con le operazioni dell'anello. Questo consente di definire il quoziente [tex]A/I[/tex] in modo che la mappa di proiezione [tex]\pi \colon A \to A/I[/tex] sia un morfismo di anelli (la struttura è poi unica a meno di isomorfismo per una certa proprietà universale).
La relazione in questione è [tex]a \equiv b \pmod{I}[/tex] se e solo se [tex]a -b \in I[/tex]. Siccome l'anello è commutativo, l'ideale è certamente bilatero e quindi segue che se [tex]a \equiv b \pmod{I}[/tex] e [tex]c \equiv d \pmod{I}[/tex] allora [tex]a + c \equiv b + d \pmod{I}[/tex] e [tex]ac \equiv bd \pmod{I}[/tex] (dovresti controllare tutte queste cose ovviamente). Allora ponendo [tex][a] + := [a+b][/tex] e [tex][a] \cdot := [ab][/tex] ottieni una struttura di anello su [tex]A / I[/tex].
Ma se hai incertezze su queste cose, conviene sospendere per un attimo e riparlarne quando avrai sistemato tutti questi dettagli, che, a posteriori sembrano banali, ma che la prima volta possono risultare ostici (per me lo furono senz'altro).
Però scusa, eh, ma come fai a parlare di [tex]\mathbb Z / n \mathbb Z[/tex] se non sai quozientare un anello per un ideale? Voglio dire, [tex]\mathbb Z / n \mathbb Z[/tex] è [tex]\mathbb Z[/tex] quozientato l'ideale [tex](n)[/tex]...
[tex]\mathbb{Z}_n[/tex] il nostro docente lo introduce partendo dalla relazione di congruenza modulo [tex]n[/tex]: [tex]a \equiv b \Leftrightarrow n|a-b[/tex], da cui poi si definiscono le classi di congruenza modulo [tex]n[/tex] e infine [tex]\mathbb{Z}_n[/tex] come l'insieme di tutte le classi di congruenza modulo [tex]n[/tex]. Definite poi le operazioni di somma e prodotto arriviamo alla struttura di anello e, se [tex]n[/tex] è un numero primo allora [tex](\mathbb{Z}_n,+,*)[/tex] è un campo. Gli ideali vengono introdotti invece nella definizione di anello dei polinomi...
Capisco. Un approccio molto "concreto", che in fondo mi ricorda molto quello seguito nel Piacentini Cattaneo. E' lo stesso modo con cui lo fecero a me, però poi verso la fine del corso ci avevano anche introdotto le definizioni "vere".
Vedi anche tu, comunque, che la relazione [tex]a \equiv b \iff n \mid a -b[/tex] è esattamente quella che ti ho scritto io: [tex]a \equiv b \pmod{I} \iff a -b \in I[/tex] (nel tuo caso [tex]I = (n)[/tex]).
Sappi che i quozienti sono una delle cose senza cui non puoi fare matematica, quindi prima o poi dovrai iniziare a lavorarci. Ed è importante sviluppare una certa intuizione al riguardo, basata sostanzialmente sui quattro teoremi di isomorfismo (e soprattutto sul quarto).
Dimmi tu cosa vuoi fare, a questo punto!
Vedi anche tu, comunque, che la relazione [tex]a \equiv b \iff n \mid a -b[/tex] è esattamente quella che ti ho scritto io: [tex]a \equiv b \pmod{I} \iff a -b \in I[/tex] (nel tuo caso [tex]I = (n)[/tex]).
Sappi che i quozienti sono una delle cose senza cui non puoi fare matematica, quindi prima o poi dovrai iniziare a lavorarci. Ed è importante sviluppare una certa intuizione al riguardo, basata sostanzialmente sui quattro teoremi di isomorfismo (e soprattutto sul quarto).
Dimmi tu cosa vuoi fare, a questo punto!
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