Dimostrazione algebrica semplicissima (tramite inverso del gruppo R)
Buongiorno, stavo leggendo una vecchia discussione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=230844 ma vorrei fare una domanda a riguardo sebbene davvero stupida ma che non capisco come risolvere.
è (quasi) intuitivo che: dato m parametro, quando assumo $mx=y$ so che:
- per ogni x nei reali ho un y nei reali che rende vera $mx=y$
- d'altro canto vale l'opposto: per ogni y nei reali ho un x nei reali che rende vera $mx=y$
Si dimostra facilmente sapendo che i reali sono un gruppo e in quanto tale si gioca con l'inverso di m: $m^-1$ che esiste.
C'è però una parte che mi lascia incuriosito: io dimostro che per ogni x c'è un y e per ogni y c'è un x. Ma non dimostro che dato un qualunque x nei reali "copro" tutti i reali con la y.
Graficamente per spiegarmi meglio direi che: (intuitivamente) fissato m, percorrendo le x nei reali (cioè coprendo ogni valore di x) trovo valori in y ma in aggiunta vorrei dimostrare che i valori di y coprono di nuovo tutta la retta dei reali, ma questo come lo faccio?
Io con la dimostrazione mostro che: per ogni x vi è un y ma questo non vuol dire che scegliendo x differenti troverò in y di nuovo tutti i reali.
Con l'altra dimostrazione faccio notare che scegliendo ogni y nei reali ho degli x ma di nuovo non vuol dire che scegliendo varie y troverò di nuovo tutti i reali.
E anche mettendo assieme queste due considerazioni noto che non posso concludere che scegliendo tutti gli x nei reali ritrovo con y tramite $mx=y$ tutti i reali (cioè che y coincide con la retta reale).
Come si fa quindi a dimostrare questa proprietà? Che l'insieme dei reali di x coincide con l'insieme delle y trovate tramite quell'equazione?
Essendo $R$ quello che ho scoperto chiamarsi gruppo vuol dire che ci sono elementi inversi per ogni elemento.
Quindi se io prendo
$ax=y$ posso dire:
- qualunque sia x che ho scelto ho una rispettiva y, questo mi pare ovvio (se assumo l'operazione ben definita, che poi sarebbe un po' il discorso) l'eq. ci dice che ogni x ha una y $ax=y$.
- prendo una y qulunque e considero di nuovo $ax=y$ poiché esiste $a^-1$ posso scrivere $a^-1ax=ay => x=ay$ quindi per ogni y ho una x!
Di questo secondo punto volevo porre due domande:
a) quanto ho detto può funzionare?
è (quasi) intuitivo che: dato m parametro, quando assumo $mx=y$ so che:
- per ogni x nei reali ho un y nei reali che rende vera $mx=y$
- d'altro canto vale l'opposto: per ogni y nei reali ho un x nei reali che rende vera $mx=y$
Si dimostra facilmente sapendo che i reali sono un gruppo e in quanto tale si gioca con l'inverso di m: $m^-1$ che esiste.
C'è però una parte che mi lascia incuriosito: io dimostro che per ogni x c'è un y e per ogni y c'è un x. Ma non dimostro che dato un qualunque x nei reali "copro" tutti i reali con la y.
Graficamente per spiegarmi meglio direi che: (intuitivamente) fissato m, percorrendo le x nei reali (cioè coprendo ogni valore di x) trovo valori in y ma in aggiunta vorrei dimostrare che i valori di y coprono di nuovo tutta la retta dei reali, ma questo come lo faccio?
Io con la dimostrazione mostro che: per ogni x vi è un y ma questo non vuol dire che scegliendo x differenti troverò in y di nuovo tutti i reali.
Con l'altra dimostrazione faccio notare che scegliendo ogni y nei reali ho degli x ma di nuovo non vuol dire che scegliendo varie y troverò di nuovo tutti i reali.
E anche mettendo assieme queste due considerazioni noto che non posso concludere che scegliendo tutti gli x nei reali ritrovo con y tramite $mx=y$ tutti i reali (cioè che y coincide con la retta reale).
Come si fa quindi a dimostrare questa proprietà? Che l'insieme dei reali di x coincide con l'insieme delle y trovate tramite quell'equazione?
Risposte
"pistacios":Ma come no? L'hai detto tu stesso: li hai tutti perché vale (1), e vale (1) per definizione. Davvero non capisco di cosa stai parlando.
Il dubbio: (sull'ipotesi del prof.)
se io prendo qualsiasi $x$ in $W^⊥$ posso esser sicuro che ho un elemento di ${f(x)|x in W^⊥}=f(W^⊥)$, ma posso dire di averli tutti? In realtà mi pare di no!
Ma non ho preso tutti gli elementi di $f(W^⊥)$, a priori no, ho solo preso tutti gli elementi che discendono da una certa x ma potrei avere degli elementi di $f(W^⊥)$ che non hanno alcuna x.Tutti gli elementi hanno una x corrispondente a causa di (1). A me sembra chiaro, non capisco quale sia il problema.
Devo per forza sfruttare il punto 1) della definizione per poter dire che 1+2 mi garantiscono che scelta ogni x ho OGNI elemento di $f(W^⊥)$. mentre a me non sembra di farlo/esplicitarlo dicendo assumo tutte le x in $W^⊥$ .Usi (1) certo, lo devi usare per forza. E quindi?
Secondo me hai una confusione enorme sui quantificatori. Uno vuole mostrare che $f(W^(bot)) subseteq W^(bot)$, e cosa fa? Prende un qualsiasi $y in f(W^(bot))$ che d'ora in poi è fissato e non cambia. Poi dice "ah ma allora per (1) esiste $x in W^(bot)$ tale che $y=f(x)$." Eccetera. Poi arriva a dimostrare che $y in W^(bot)$ (osserva che fino a qui non ho usato il quantificatore "per ogni"). Cioè ha dimostrato che
(*) Un qualsiasi $y in f(W^(bot))$ appartiene a $W^(bot)$
Ora, siccome questo vale per ogni $y in f(W^(bot))$, se ne deduce che $f(W^(bot)) subseteq W^(bot)$.
Bene, se io parto da: "per ogni $a∈A$, (per 1) esiste $x∈R$" posso esser certo che per tutti gli $a$ trovo alcuni $x$ in R, graficamente la retta data dall'insieme dei punti $A$ è piena mentre vista così ho solo alcuni x della retta $R$ (per via di esiste: per tutti gli elementi/punti di A ho alcuni/esistono degli elementi in R). Ora dimostro che $mx=a$ è un numero reale. Così facendo ho mostrato che l'insieme dei punti a è sicuremante l'insieme reale (e sono d'accordo) però io ho mostrato che mi bastano solo alcuni (esistono alcuni) punti delle ascisse per averlo (non di tutte), mentre l'intuizione ci dice che dovrei scegliere tutte le x, tutta la retta delle ascisse va sostituita in mx per avere tutte le a di A.Anche qui vedo abbastanza confusione.
Questo è vero solo se considero il punto 2) della definzione, perché è il punto due che ci garantisce che ogni elemento x ci dà degli elementi a in A. Ma questo nella dimostrazione non lo metto in mostra, invece mi pare importante.
Prendiamo $A={mx : x in RR}$. Per dimostrare che $A$ è contenuto in $RR$ devi prendere un qualsiasi $a in A$ e dimostrare che $a in RR$. Quindi prendiamo $a in A$, che d'ora in poi è fissato e non cambia. Sappiamo, per definizione di $A$, che esiste $x in RR$ tale che $a=mx$. Quindi $a in RR$ essendo prodotto di numeri reali. Abbiamo quindi dimostrato che un qualsiasi $a in A$ appartiene ad $RR$. Siccome questo vale per ogni $a in A$ abbiamo $A subseteq RR$.
Ora tu dici "eh ma così ho scelto "alcune" $x$ e forse non tutte, avrei dovuto usarle tutte". Perché? Stai facendo un'assunzione superflua, cioè che per qualche motivo tu debba usare tutte le $x$. Non c'è nessuna necessità di essere obbligati ad usare tutte le $x$. Detto questo, in questo caso è vero che ti servono tutte le $x$ (e non solo alcune), e questo si può esprimere dicendo che ${mx : x in RR, x ne r} ne A$ per ogni $r in RR$ fissato. Cioè se togli anche solo un reale dal range degli $x$ allora l'insieme che ottieni moltiplicando per $m$ non è più uguale ad $A$. Il motivo è che, se imponi che $x$ sia diverso da un certo $r$ fissato, allora il numero $a=mr$ non si potrà scrivere come $mx$ semplicemente per il fatto che, per avere $mr=mx$, si deve avere $r=x$ (perché il numero reale fissato $m$ è diverso da $0$ per ipotesi). Sarebbe diverso se invece di $mx$ avessi, per esempio, $x^2$. In questo caso per avere $x^2=r^2$ si deve avere $r=x$ oppure $r=-x$ (qui hai due scelte, non solo una), quindi se ti proibisco di usare un certo numero reale $r$ (diverso da $0$) tu riesci comunque a realizzare $x^2=r^2$ scegliendo $x=-r$ (che è diverso da $r$ perché $r ne 0$). Cioè se ti dico che devi realizzare $9$ come quadrato ma senza usare $3$, basta che usi $-3$. Se invece ti dico che devi realizzare $10$ come doppio di un numero diverso da $5$, non ci riesci perché l'equazione $2x=10$ ha $x=5$ come unica soluzione.
Stabilito quanto sopra, ripeto però che tutto il paragrafo qui sopra è superfluo quando cerchi di dimostrare che $A subseteq RR$. Quello che ti interessa è mostrare che ogni $a in A$ appartiene a $RR$. Il fatto che per farlo passi per $x$ è una cosa tecnica che riguarda la dimostrazione del fatto che ogni $a in A$ appartiene a $RR$, e nel dimostrare che $A subseteq RR$ non serve a niente chiedersi se tutte o solo alcune $x$ realizzano gli elementi di $A$.
La domanda "per realizzare gli elementi di $A$ mi servono tutti gli $x in RR$?" è legittima e la risposta è sì, come ti ho dimostrato sopra. Per esempio se prendevi $B={x^2 : x in RR}$ e ti chiedevi "per realizzare gli elementi di $B$ mi servono tutti gli $x in RR$?" la domanda è legittima e in questo caso la risposta è no, perché se ti limiti agli $x$ non negativi ottieni tutti gli elementi di $B$ essendo $(pm x)^2 = x^2$. In altre parole se definisci $C={x^2 : x ge 0}$ allora abbiamo $B=C$. Ma questo non c'entra niente col fatto ovvio che $B subseteq RR$.
Ora, come ho già detto svariate volte negli altri filoni, mi fermo qui e mi dispiace se ancora le cose non sono chiare. Diventeranno chiare col tempo. Purtroppo capisco che hai dei dubbi ma capire da dove nascono e/o risolverli scrivendo su un forum è un lavoro enorme e nella pratica non si può proprio fare, ti consiglio di chiedere aiuto ai tuoi insegnanti o a qualche tuo collega.
Vedendo che non ho ancora ricevuto conferma o grande smentita volevo provare a mettere in sesto il messaggio per renderlo più fruibile. Poi come dicevo ovviamente non interverrò oltre non voglio rompere troppo le scatole, però mi stava davvero a cuore capire a fondo.
Direi che condivido tutte le tue osservazioni e ci tenevo solo a precisare alcune cose perché forse mi ero espresso male.
1) Per la prima parte
Secondo me hai una confusione enorme sui quantificatori. Uno vuole mostrare che $f(W^(bot)) subseteq W^(bot)$, e cosa fa? Prende un qualsiasi $y in f(W^(bot))$ che d'ora in poi è fissato e non cambia. Poi dice "ah ma allora per (1) esiste $x in W^(bot)$ tale che $y=f(x)$." Eccetera. Poi arriva a dimostrare che $y in W^(bot)$ (osserva che fino a qui non ho usato il quantificatore "per ogni"). Cioè ha dimostrato che
(*) Un qualsiasi $y in f(W^(bot))$ appartiene a $W^(bot)$
Ora, siccome questo vale per ogni $y in f(W^(bot))$, se ne deduce che $f(W^(bot)) subseteq W^(bot)$.[/quote] Qui forse mi ero spiegato male, per l'inclusione della tua ultima parte del messaggio è molto chiaro come si faccia (ossia il prendere ogni y, passare per una qualche x tecnica e giungere alla tesi, certamente è chiaro è così e non ho bisogno di tutte le x), l'inclusione così non mi arreca alcun dubbio.
Quello che mi lasciava disorientato era il metodo del prof. per cui partiva proprio come ipotesi da "per ogni x" e giungeva alla tesi (attenzione parte da "per ogni x" NON da "per ogni y!"), cioè il Prof. non passa per quella "x tecnica", lui assume "tutte le x" come HP, però questo mi pare non permettermi di assumere "tutte le y" (tutti le x => avere 'alcune' y).
Dunque volevo capire se il discorso dell'inclusione funzionasse proprio per via della definizione (1) e (2) che avevi dato di insieme,in questo caso in particolare serve la (1) e mi sembra, dalle prime due risposte del tuo messaggio nel quote, che sia proprio così. Quello che volevo chiedere in sostanza, e forse non ero stato chiaro, era se "funziona quel metodo del prof per via del punto (1) (o meglio in realtà per 1+2 assieme)?" Solo vedendole assime 1 e 2 comporta che il prendere "una qualsiasi x" in quell'insieme sia equivalente a prendere qualsiasi y di quell'insieme e viceversa. Giusto?
2)Anche qui, questo mi è più che chiaro, per l'inclusione di A in R non servono tutte le x:
Certo, e forse ho peccato di chiarezza ma quello che chiedevo in sostanza era: "per realizzare gli elementi di A mi servono tutti gli x∈R?"
Però me lo chiedevo non tanto per completare il senso di A⊆R che non lo richiede, piuttosto perché volevo dimostrare "l'intuizione grafica" che, prendendo ogni elemento delle ascisse trovo un elemento della retta obliqua passante per l'origine, però in particolare non trovo solo un elemento della retta obliqua in realta li trovo tutti uno a uno: cioè quello che ho è che la retta obliqua sono tutti i reali e li posso ottenere sostituendo tutti i reali delle ascisse in x, uno alla volta tramite a=mx.
Ripeto il dubbio non era per l'inclusione (quella è chiara), era voler diciamo dimostrare l'intuizione esposta però a livello di insiemi e mi chiedevo se fosse fattibile, e mi sembrava di poterlo fare considerando il fatto che ogni elemento di A era ottenibile per definizione da: 2) Per ogni x∈R si ha mx∈A. E volevo capire se sbagliavo o andava bene.
Ti ringrazio e saluto
Direi che condivido tutte le tue osservazioni e ci tenevo solo a precisare alcune cose perché forse mi ero espresso male.
1) Per la prima parte
"Martino":Ma come no? L'hai detto tu stesso: li hai tutti perché vale (1), e vale (1) per definizione. Davvero non capisco di cosa stai parlando.
[quote="pistacios"]Il dubbio: (sull'ipotesi del prof.)
se io prendo qualsiasi $x$ in $W^⊥$ posso esser sicuro che ho un elemento di ${f(x)|x in W^⊥}=f(W^⊥)$, ma posso dire di averli tutti? In realtà mi pare di no!
Ma non ho preso tutti gli elementi di $f(W^⊥)$, a priori no, ho solo preso tutti gli elementi che discendono da una certa x ma potrei avere degli elementi di $f(W^⊥)$ che non hanno alcuna x.Tutti gli elementi hanno una x corrispondente a causa di (1). A me sembra chiaro, non capisco quale sia il problema.
Devo per forza sfruttare il punto 1) della definizione per poter dire che 1+2 mi garantiscono che scelta ogni x ho OGNI elemento di $f(W^⊥)$. mentre a me non sembra di farlo/esplicitarlo dicendo assumo tutte le x in $W^⊥$ .Usi (1) certo, lo devi usare per forza. E quindi?
Secondo me hai una confusione enorme sui quantificatori. Uno vuole mostrare che $f(W^(bot)) subseteq W^(bot)$, e cosa fa? Prende un qualsiasi $y in f(W^(bot))$ che d'ora in poi è fissato e non cambia. Poi dice "ah ma allora per (1) esiste $x in W^(bot)$ tale che $y=f(x)$." Eccetera. Poi arriva a dimostrare che $y in W^(bot)$ (osserva che fino a qui non ho usato il quantificatore "per ogni"). Cioè ha dimostrato che
(*) Un qualsiasi $y in f(W^(bot))$ appartiene a $W^(bot)$
Ora, siccome questo vale per ogni $y in f(W^(bot))$, se ne deduce che $f(W^(bot)) subseteq W^(bot)$.[/quote] Qui forse mi ero spiegato male, per l'inclusione della tua ultima parte del messaggio è molto chiaro come si faccia (ossia il prendere ogni y, passare per una qualche x tecnica e giungere alla tesi, certamente è chiaro è così e non ho bisogno di tutte le x), l'inclusione così non mi arreca alcun dubbio.
Quello che mi lasciava disorientato era il metodo del prof. per cui partiva proprio come ipotesi da "per ogni x" e giungeva alla tesi (attenzione parte da "per ogni x" NON da "per ogni y!"), cioè il Prof. non passa per quella "x tecnica", lui assume "tutte le x" come HP, però questo mi pare non permettermi di assumere "tutte le y" (tutti le x => avere 'alcune' y).
Dunque volevo capire se il discorso dell'inclusione funzionasse proprio per via della definizione (1) e (2) che avevi dato di insieme,in questo caso in particolare serve la (1) e mi sembra, dalle prime due risposte del tuo messaggio nel quote, che sia proprio così. Quello che volevo chiedere in sostanza, e forse non ero stato chiaro, era se "funziona quel metodo del prof per via del punto (1) (o meglio in realtà per 1+2 assieme)?" Solo vedendole assime 1 e 2 comporta che il prendere "una qualsiasi x" in quell'insieme sia equivalente a prendere qualsiasi y di quell'insieme e viceversa. Giusto?
2)Anche qui, questo mi è più che chiaro, per l'inclusione di A in R non servono tutte le x:
Stabilito quanto sopra, ripeto però che tutto il paragrafo qui sopra è superfluo quando cerchi di dimostrare che A⊆R. Quello che ti interessa è mostrare che ogni a∈A appartiene a R. Il fatto che per farlo passi per x è una cosa tecnica che riguarda la dimostrazione del fatto che ogni a∈A appartiene a R, e nel dimostrare che A⊆R non serve a niente chiedersi se tutte o solo alcune x realizzano gli elementi di A.
Certo, e forse ho peccato di chiarezza ma quello che chiedevo in sostanza era: "per realizzare gli elementi di A mi servono tutti gli x∈R?"
Però me lo chiedevo non tanto per completare il senso di A⊆R che non lo richiede, piuttosto perché volevo dimostrare "l'intuizione grafica" che, prendendo ogni elemento delle ascisse trovo un elemento della retta obliqua passante per l'origine, però in particolare non trovo solo un elemento della retta obliqua in realta li trovo tutti uno a uno: cioè quello che ho è che la retta obliqua sono tutti i reali e li posso ottenere sostituendo tutti i reali delle ascisse in x, uno alla volta tramite a=mx.
Ripeto il dubbio non era per l'inclusione (quella è chiara), era voler diciamo dimostrare l'intuizione esposta però a livello di insiemi e mi chiedevo se fosse fattibile, e mi sembrava di poterlo fare considerando il fatto che ogni elemento di A era ottenibile per definizione da: 2) Per ogni x∈R si ha mx∈A. E volevo capire se sbagliavo o andava bene.
Ti ringrazio e saluto
"pistacios":Giusto.
Solo vedendole assime 1 e 2 comporta che il prendere "una qualsiasi x" in quell'insieme sia equivalente a prendere qualsiasi y di quell'insieme e viceversa. Giusto?
Però me lo chiedevo non tanto per completare il senso di A⊆R che non lo richiede, piuttosto perché volevo dimostrare "l'intuizione grafica" che, prendendo ogni elemento delle ascisse trovo un elemento della retta obliqua passante per l'origine, però in particolare non trovo solo un elemento della retta obliqua in realta li trovo tutti uno a uno: cioè quello che ho è che la retta obliqua sono tutti i reali e li posso ottenere sostituendo tutti i reali delle ascisse in x, uno alla volta tramite a=mx.Per riassumere, hai capito bene che $A subseteq RR$ ma hai dei dubbi sull'altra inclusione, cioè $RR subseteq A$. Tuttavia abbiamo già stabilito che $RR subseteq A$ e riscrivo qui come si dimostra: se $r in RR$, scegliendo $x=r/m$ abbiamo $mx=r$ e quindi $r in A$. Questo dimostra che ogni $r in RR$ appartiene ad $A$ e quindi $RR subseteq A$. Siccome valgono le due inclusioni, deduciamo che $A =RR$.
Ripeto il dubbio non era per l'inclusione (quella è chiara), era voler diciamo dimostrare l'intuizione esposta però a livello di insiemi e mi chiedevo se fosse fattibile, e mi sembrava di poterlo fare considerando il fatto che ogni elemento di A era ottenibile per definizione da: 2) Per ogni x∈R si ha mx∈A. E volevo capire se sbagliavo o andava bene.
Come ripeto, mi dispiace se questo non chiarisce il tuo dubbio. Se non lo chiarisce, allora non ho proprio capito di cosa stai parlando, in ogni caso mi fermo qui
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