Dimostrazione algebrica semplicissima (tramite inverso del gruppo R)
Buongiorno, stavo leggendo una vecchia discussione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=230844 ma vorrei fare una domanda a riguardo sebbene davvero stupida ma che non capisco come risolvere.
è (quasi) intuitivo che: dato m parametro, quando assumo $mx=y$ so che:
- per ogni x nei reali ho un y nei reali che rende vera $mx=y$
- d'altro canto vale l'opposto: per ogni y nei reali ho un x nei reali che rende vera $mx=y$
Si dimostra facilmente sapendo che i reali sono un gruppo e in quanto tale si gioca con l'inverso di m: $m^-1$ che esiste.
C'è però una parte che mi lascia incuriosito: io dimostro che per ogni x c'è un y e per ogni y c'è un x. Ma non dimostro che dato un qualunque x nei reali "copro" tutti i reali con la y.
Graficamente per spiegarmi meglio direi che: (intuitivamente) fissato m, percorrendo le x nei reali (cioè coprendo ogni valore di x) trovo valori in y ma in aggiunta vorrei dimostrare che i valori di y coprono di nuovo tutta la retta dei reali, ma questo come lo faccio?
Io con la dimostrazione mostro che: per ogni x vi è un y ma questo non vuol dire che scegliendo x differenti troverò in y di nuovo tutti i reali.
Con l'altra dimostrazione faccio notare che scegliendo ogni y nei reali ho degli x ma di nuovo non vuol dire che scegliendo varie y troverò di nuovo tutti i reali.
E anche mettendo assieme queste due considerazioni noto che non posso concludere che scegliendo tutti gli x nei reali ritrovo con y tramite $mx=y$ tutti i reali (cioè che y coincide con la retta reale).
Come si fa quindi a dimostrare questa proprietà? Che l'insieme dei reali di x coincide con l'insieme delle y trovate tramite quell'equazione?
Essendo $R$ quello che ho scoperto chiamarsi gruppo vuol dire che ci sono elementi inversi per ogni elemento.
Quindi se io prendo
$ax=y$ posso dire:
- qualunque sia x che ho scelto ho una rispettiva y, questo mi pare ovvio (se assumo l'operazione ben definita, che poi sarebbe un po' il discorso) l'eq. ci dice che ogni x ha una y $ax=y$.
- prendo una y qulunque e considero di nuovo $ax=y$ poiché esiste $a^-1$ posso scrivere $a^-1ax=ay => x=ay$ quindi per ogni y ho una x!
Di questo secondo punto volevo porre due domande:
a) quanto ho detto può funzionare?
è (quasi) intuitivo che: dato m parametro, quando assumo $mx=y$ so che:
- per ogni x nei reali ho un y nei reali che rende vera $mx=y$
- d'altro canto vale l'opposto: per ogni y nei reali ho un x nei reali che rende vera $mx=y$
Si dimostra facilmente sapendo che i reali sono un gruppo e in quanto tale si gioca con l'inverso di m: $m^-1$ che esiste.
C'è però una parte che mi lascia incuriosito: io dimostro che per ogni x c'è un y e per ogni y c'è un x. Ma non dimostro che dato un qualunque x nei reali "copro" tutti i reali con la y.
Graficamente per spiegarmi meglio direi che: (intuitivamente) fissato m, percorrendo le x nei reali (cioè coprendo ogni valore di x) trovo valori in y ma in aggiunta vorrei dimostrare che i valori di y coprono di nuovo tutta la retta dei reali, ma questo come lo faccio?
Io con la dimostrazione mostro che: per ogni x vi è un y ma questo non vuol dire che scegliendo x differenti troverò in y di nuovo tutti i reali.
Con l'altra dimostrazione faccio notare che scegliendo ogni y nei reali ho degli x ma di nuovo non vuol dire che scegliendo varie y troverò di nuovo tutti i reali.
E anche mettendo assieme queste due considerazioni noto che non posso concludere che scegliendo tutti gli x nei reali ritrovo con y tramite $mx=y$ tutti i reali (cioè che y coincide con la retta reale).
Come si fa quindi a dimostrare questa proprietà? Che l'insieme dei reali di x coincide con l'insieme delle y trovate tramite quell'equazione?
Risposte
Ero in trepidante attesa delle vostre risposte perché sono proprio contento di aver finalmente individuato il problema, rispetto all'inizio in cui parlavo a vanvera mi pare ora di sapermi almeno far capire e rapportare con voi molto più esperti e ritengo sia già un piccolo passo in avanti. Purtroppo il mio corso di studi non prevede algebra, infatti partiamo con analisi e algebra lineare e quindi tutte queste cose sono lasciate un po' come "ovvie" ma io non le sento così ovvie nella mia zucca, quindi vi ringrazio per il vostro star aiutarmi, è veramente molto per me perché sento la necessità di capire 
@axpgn
E io è qua che mi inchiodo, forse per l'uso di esiste: a me sembra l'insieme A sia dato da per ogni a per cui trovo almeno un x. Mentre io vorrei un insieme A di elementi per cui per ogni x ho $mx$ che sono tutti gli elementi a di A.
Probabilmente è l'uso dei quantificatori che mi stona, e non capisco perché usare esiste dica che vale per ogni x. Esiste non vuol dire solo: "esiste un qualche x in R per cui vale..."? Io ho bisogno che "per tutti gli x in R valga..."
Stamattina per non aggiungere troppa ciccia sul fuoco avevo atteso una vostra risposta e nel frattempo sono sempre più convinto che il problema sia proprio quello che dice Martino.
@martino
Riassumendo le molte parole in pochissime formule, mi accorgo di questo:
- la dimostrazione di martino per A=R segue questa via:
$(AA a in A <=> a=mx : ∃x in RR)$ => $a in R$ proprio in virtù del fatto che mx, prodotto di reali, è un reale.
- quello con cui mi scontro è invece questo (quello che mi sembra di voler dimostrare è):
$(a in A <=> a=mx, AAx in RR)$ => $a in R$ proprio in virtù del fatto che mx, prodotto di reali, è un reale.
Noi quindi nella prima usiamo questo: $A={mx : x∈R}$, cioè esplicitamente $A={mx : ∃x∈R}$ per cui mi è chiara la dicitura $a∈A$ se e solo se esiste $x∈R$ tale che $a=mx$.
però dire "esiste $x$" non vuol dire che un elemento $a$ in $A$ è dato da ogni $x$ in $R$ t.c mx=a!
Invece, scrivere $A={mx : x∈R}$ vuol dire che io prima fisso $a$ e solo a posteriori trovo una $x in RR$ che renda vera $a=mx$.
Nella seconda, io avrei bisogno di dire che per ogni $x in RR$ che scelgo ho una $a=mx$ in $A$, perché solo assumendo ogni $x in RR$ posso dire di aver dimostrato che per ogni x $=> mx in RR$, ossia che sostituendo tutte (non solo alcune esistenti ∃) le possibili $x$ in $mx$ ottengo $a=mx$ con $a$ tutti i reali di nuovo.
@axpgn
Ha scritto che l'insieme A è composto da TUTTI i prodotti mx dove m è un numero reale fissato mentre x è un qualsiasi numero reale ovvero x∈R.
E io è qua che mi inchiodo, forse per l'uso di esiste: a me sembra l'insieme A sia dato da per ogni a per cui trovo almeno un x. Mentre io vorrei un insieme A di elementi per cui per ogni x ho $mx$ che sono tutti gli elementi a di A.
Probabilmente è l'uso dei quantificatori che mi stona, e non capisco perché usare esiste dica che vale per ogni x. Esiste non vuol dire solo: "esiste un qualche x in R per cui vale..."? Io ho bisogno che "per tutti gli x in R valga..."
Stamattina per non aggiungere troppa ciccia sul fuoco avevo atteso una vostra risposta e nel frattempo sono sempre più convinto che il problema sia proprio quello che dice Martino.
@martino
Riassumendo le molte parole in pochissime formule, mi accorgo di questo:
- la dimostrazione di martino per A=R segue questa via:
$(AA a in A <=> a=mx : ∃x in RR)$ => $a in R$ proprio in virtù del fatto che mx, prodotto di reali, è un reale.
- quello con cui mi scontro è invece questo (quello che mi sembra di voler dimostrare è):
$(a in A <=> a=mx, AAx in RR)$ => $a in R$ proprio in virtù del fatto che mx, prodotto di reali, è un reale.
Noi quindi nella prima usiamo questo: $A={mx : x∈R}$, cioè esplicitamente $A={mx : ∃x∈R}$ per cui mi è chiara la dicitura $a∈A$ se e solo se esiste $x∈R$ tale che $a=mx$.
però dire "esiste $x$" non vuol dire che un elemento $a$ in $A$ è dato da ogni $x$ in $R$ t.c mx=a!
Invece, scrivere $A={mx : x∈R}$ vuol dire che io prima fisso $a$ e solo a posteriori trovo una $x in RR$ che renda vera $a=mx$.
Nella seconda, io avrei bisogno di dire che per ogni $x in RR$ che scelgo ho una $a=mx$ in $A$, perché solo assumendo ogni $x in RR$ posso dire di aver dimostrato che per ogni x $=> mx in RR$, ossia che sostituendo tutte (non solo alcune esistenti ∃) le possibili $x$ in $mx$ ottengo $a=mx$ con $a$ tutti i reali di nuovo.
Il fatto è che devi studiare queste cose su un buon libro. Se mi ricordo il titolo del libro su cui le studiavo io te lo dico, in ogni caso era un titolo del tipo "la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel".
La notazione è (*) $A={mx : x in RR}$. Non ci sono quantificatori. Non scrivere ${mx : EE x in RR}$, non è questa la notazione corretta. La notazione corretta è (*). Ed è solo una notazione, non ha senso stare a decostruirla come se potesse avere significati diversi da quello che ha.
La notazione è (*) $A={mx : x in RR}$. Non ci sono quantificatori. Non scrivere ${mx : EE x in RR}$, non è questa la notazione corretta. La notazione corretta è (*). Ed è solo una notazione, non ha senso stare a decostruirla come se potesse avere significati diversi da quello che ha.
Inoltre scrivere
$a in A$ $<=>$ $a=mx$ $AA x in RR$
è strano perché nessun elemento $a$ soddisfa l'equivalenza qui sopra. Infatti un tale $a$ dovrebbe essere uguale a tutti i numeri reali $mx$, $x in RR$ e ovviamente non esiste un numero uguale a tutti questi numeri.
$a in A$ $<=>$ $a=mx$ $AA x in RR$
è strano perché nessun elemento $a$ soddisfa l'equivalenza qui sopra. Infatti un tale $a$ dovrebbe essere uguale a tutti i numeri reali $mx$, $x in RR$ e ovviamente non esiste un numero uguale a tutti questi numeri.
Premesso che parlarne è solo una parte come dici tu, però fondamentale perché mi aiuta davvero molto ho visto, infatti sto leggendo varie fonti su queste cose in questi giorni ma molte cose le ho capite solo qui, inoltre cercherò il titolo che dici se riesco a trovare qualcosa di simile
Detto ciò, sai che con queste tue ultime note credo proprio di aver afferrato? C'è solo un'ultima piccola sfumatura, ma mi sa che ho proprio capito...
Avevo mal interpretato
quindi $A={mx:x∈R}$ la vedevo come prendo un qualsiasi $a in A$, ma un qualsia si $a$ è in $A$ se e solo se esiste $x$..., in formule: $AA a in A <=> ∃ x in RR$ tale che $mx:=a$ (ma era errato).
invece mi hai fatto aprire gli occhi sull'utilizzo del per ogni che credo proprio di aver mal interpretato, più correttamente è:
$a in A <=> ∃ x in RR$ tale che $mx:=a$ al massimo è una cosa del genere: $AA a, (a in A <=> ∃ x in RR$ tale che $mx:=a)$
in questa seconda mi accorgo che se prendo il "verso" <= questo dice: "che se io trovo che esiste un qualunque $x in RR$ e considero $mx$, allora mx è elemento di A. Insomma, tutti gli $x in RR$ danno vita ad elementi di A tramite $mx$. Tutti gli x in R quando moltiplicati per m: mx sono tutti gli elementi di A.
A parole è un po' difficile ma mi pare il concetto sia questo.
Venendo invece all'ultimo dubbio su questo argomento e considerando sempre questo verso della "frase"
$∃ x in RR$ tale che $mx=a => a in A$
come spiegavo qui sopra in un certo senso io posso scegliere una qualunque $x$ nei reali, che se esiste tale x ci dice che $mx=a$ è elemento di A.
Però utilizzarlo così non è un po' come dire "per ogni"?
alla fine mi pare avere lo stesso senso di: "qualunque x che scelgo nei reali e tale che $mx=a => a in A$"
Non riesco a focalizzare pienamente cosa cambi.
Detto ciò, sai che con queste tue ultime note credo proprio di aver afferrato? C'è solo un'ultima piccola sfumatura, ma mi sa che ho proprio capito...
Avevo mal interpretato
"Martino":
Per dimostrarla dobbiamo prendere un qualsiasi $a in A$ e dimostrare che $a in RR$. Siccome $a in A$, esiste $x in RR$ tale che $a=mx$ (perché gli elementi di $A$ sono di questo tipo).
quindi $A={mx:x∈R}$ la vedevo come prendo un qualsiasi $a in A$, ma un qualsia si $a$ è in $A$ se e solo se esiste $x$..., in formule: $AA a in A <=> ∃ x in RR$ tale che $mx:=a$ (ma era errato).
invece mi hai fatto aprire gli occhi sull'utilizzo del per ogni che credo proprio di aver mal interpretato, più correttamente è:
$a in A <=> ∃ x in RR$ tale che $mx:=a$ al massimo è una cosa del genere: $AA a, (a in A <=> ∃ x in RR$ tale che $mx:=a)$
in questa seconda mi accorgo che se prendo il "verso" <= questo dice: "che se io trovo che esiste un qualunque $x in RR$ e considero $mx$, allora mx è elemento di A. Insomma, tutti gli $x in RR$ danno vita ad elementi di A tramite $mx$. Tutti gli x in R quando moltiplicati per m: mx sono tutti gli elementi di A.
A parole è un po' difficile ma mi pare il concetto sia questo.
Venendo invece all'ultimo dubbio su questo argomento e considerando sempre questo verso della "frase"
$∃ x in RR$ tale che $mx=a => a in A$
come spiegavo qui sopra in un certo senso io posso scegliere una qualunque $x$ nei reali, che se esiste tale x ci dice che $mx=a$ è elemento di A.
Però utilizzarlo così non è un po' come dire "per ogni"?
alla fine mi pare avere lo stesso senso di: "qualunque x che scelgo nei reali e tale che $mx=a => a in A$"
Non riesco a focalizzare pienamente cosa cambi.
Non ti sto più seguendo. Ricorda che la teoria assiomatica degli insiemi è, appunto, assiomatica. Purtroppo a questo livello le cose vanno un po' accettate per come sono.
Scrivere $A={mx : x in RR}$ è equivalente a scrivere le seguenti due cose.
1) Per ogni $a in A$ esiste $x in RR$ tale che $a=mx$.
2) Per ogni $x in RR$ si ha $mx in A$.
Equivalentemente,
$a in A$ se e solo se esiste $x in RR$ tale che $a=mx$.
Equivalentemente
[tex]A = \{y : \exists x \in \mathbb{R} \hspace{.3cm} y=mx\}[/tex]
Ti consiglio comunque di rielaborare queste cose perché (come ci disse il primo professore che ho mai avuto all'università) la teoria degli insiemi è "altamente non intuitiva". Il fatto che quella notazione generi un insieme è un assioma, o meglio è una conseguenza diretta degli assiomi.
Mi sono ricordato il titolo del libro su cui ho studiato gli assiomi di Zermelo-Fraenkel, è "dagli insiemi ai numeri" di Gabriele Lolli.
Scrivere $A={mx : x in RR}$ è equivalente a scrivere le seguenti due cose.
1) Per ogni $a in A$ esiste $x in RR$ tale che $a=mx$.
2) Per ogni $x in RR$ si ha $mx in A$.
Equivalentemente,
$a in A$ se e solo se esiste $x in RR$ tale che $a=mx$.
Equivalentemente
[tex]A = \{y : \exists x \in \mathbb{R} \hspace{.3cm} y=mx\}[/tex]
Ti consiglio comunque di rielaborare queste cose perché (come ci disse il primo professore che ho mai avuto all'università) la teoria degli insiemi è "altamente non intuitiva". Il fatto che quella notazione generi un insieme è un assioma, o meglio è una conseguenza diretta degli assiomi.
Mi sono ricordato il titolo del libro su cui ho studiato gli assiomi di Zermelo-Fraenkel, è "dagli insiemi ai numeri" di Gabriele Lolli.
Eh sì, ma era proprio questa cosa che mi mancava: io non la sapevo prima di averti letto ora, banale messa così, ma creava una enorme incomprensione. I tuoi due punti 1) e 2) sono disarmanti, era quello! 
Volevo solo chiederti una cosa su:
Questo vuol dire: $ a∈A <=> ∃x∈R : a=mx$
Ora se leggo <= non avrei: "se esiste $x∈R | a:=mx =>a∈A$" (*), non ho capito perché quindi il punto 2) usa un "per ogni x" che è quello che vorrei, mentre in (*) ho un esiste. Per questo non mi sembrano equivalenti e volevo capire perché lo sono.
E' proprio questo fatto che mi stonava, e che cercavo di spiegare nel mio ultimo post.
Grazie mille, vedo di metterci le mani sopra nel minor tempo possibile.
PS: sarebbe questo? https://www.libreriauniversitaria.it/in ... 8833908380 , sfortuna vuole che sia esaurito, lo cercherò altrove ma per capire se la copertina è quella
Volevo solo chiederti una cosa su:
Equivalentemente, a∈A se e solo se esiste x∈R tale che a=mx
Questo vuol dire: $ a∈A <=> ∃x∈R : a=mx$
Ora se leggo <= non avrei: "se esiste $x∈R | a:=mx =>a∈A$" (*), non ho capito perché quindi il punto 2) usa un "per ogni x" che è quello che vorrei, mentre in (*) ho un esiste. Per questo non mi sembrano equivalenti e volevo capire perché lo sono.
E' proprio questo fatto che mi stonava, e che cercavo di spiegare nel mio ultimo post.
Mi sono ricordato il titolo del libro su cui ho studiato gli assiomi di Zermelo-Fraenkel, è "dagli insiemi ai numeri" di Gabriele Lolli.
Grazie mille, vedo di metterci le mani sopra nel minor tempo possibile.
PS: sarebbe questo? https://www.libreriauniversitaria.it/in ... 8833908380 , sfortuna vuole che sia esaurito, lo cercherò altrove ma per capire se la copertina è quella
Ok, allora supponiamo che valga
(*) $a in A$ se e solo se esiste $x in RR$ tale che $a=mx$
e dimostriamo che
(**) Per ogni $x in RR$ si ha $mx in A$.
Per farlo, dobbiamo prendere un qualsiasi $x in RR$ e dimostrare che $mx in A$. Prendiamo quindi $x in RR$ e definiamo $a=mx$ (osserva che qui stiamo fissando un certo $x in RR$, che d'ora in poi è fissato). Ci chiediamo se è vero o no che $a in A$. La risposta è sì perché vale l'implicazione (<=) in (*) e siamo appunto nella situazione in cui $a=mx$ con $x in RR$. Quindi $a in A$.
Se la cosa ti crea ancora confusione, è il segnale che devi elaborare questi concetti. La teoria degli insiemi va digerita e ci vuole tempo, non si può capire in uno scambio di battute su un forum.
Sì il libro che dicevo è esattamente quello che hai linkato.
(*) $a in A$ se e solo se esiste $x in RR$ tale che $a=mx$
e dimostriamo che
(**) Per ogni $x in RR$ si ha $mx in A$.
Per farlo, dobbiamo prendere un qualsiasi $x in RR$ e dimostrare che $mx in A$. Prendiamo quindi $x in RR$ e definiamo $a=mx$ (osserva che qui stiamo fissando un certo $x in RR$, che d'ora in poi è fissato). Ci chiediamo se è vero o no che $a in A$. La risposta è sì perché vale l'implicazione (<=) in (*) e siamo appunto nella situazione in cui $a=mx$ con $x in RR$. Quindi $a in A$.
Se la cosa ti crea ancora confusione, è il segnale che devi elaborare questi concetti. La teoria degli insiemi va digerita e ci vuole tempo, non si può capire in uno scambio di battute su un forum.
Sì il libro che dicevo è esattamente quello che hai linkato.
Siccome uso la <= di (*) è corretto scrivere:
[(se esiste x∈R tale che a=mx) => a∈A] => [∀x∈R si ha mx∈A] (***)
?
Direi di si! Perché sfrutta la tua dimostrazione.
Mi era controintuitivo dire che "se esiste" implicasse che vale "per ogni" ma in effetti messa così, dovrebbe essere corretta la mia (***)
Se non ho detto una cosa errata, è una prova del nove, direi che ho capito
[(se esiste x∈R tale che a=mx) => a∈A] => [∀x∈R si ha mx∈A] (***)
?
Direi di si! Perché sfrutta la tua dimostrazione.
Mi era controintuitivo dire che "se esiste" implicasse che vale "per ogni" ma in effetti messa così, dovrebbe essere corretta la mia (***)
Se non ho detto una cosa errata, è una prova del nove, direi che ho capito
Sì giusto.
Solo per divertirmi un po' con quello che mi hai insegnato:
D'altra parte vale anche l'opposto:
[(se esiste $x∈R$ tale che $a=mx$) => $a∈A$] <= [$∀x∈R$ si ha $mx∈A$]
Partiamo da: $∀x∈R$ si ha $mx∈A $
e mostriamo
(se esiste $x∈R$ tale che $a=mx$) => $a∈A$
Dim: questo è ovvio poiché, se esiste $x in R$ t.c $a=mx$, dall'ipotesi (che vale per ogni) ho che $mx∈A$, ma $mx=a$ per definizione, quindi $a∈A$ c.v.d.
Da cui: [(se esiste $x∈R$ tale che $a=mx$) => $a∈A$] <=> [$∀x∈R$ si ha $mx∈A$]
Mi pare non sia una scempiaggine!?
Che figata 'sta roba, mi esalto per poco lo so ma devo procurarmi quel libro ora
D'altra parte vale anche l'opposto:
[(se esiste $x∈R$ tale che $a=mx$) => $a∈A$] <= [$∀x∈R$ si ha $mx∈A$]
Partiamo da: $∀x∈R$ si ha $mx∈A $
e mostriamo
(se esiste $x∈R$ tale che $a=mx$) => $a∈A$
Dim: questo è ovvio poiché, se esiste $x in R$ t.c $a=mx$, dall'ipotesi (che vale per ogni) ho che $mx∈A$, ma $mx=a$ per definizione, quindi $a∈A$ c.v.d.
Da cui: [(se esiste $x∈R$ tale che $a=mx$) => $a∈A$] <=> [$∀x∈R$ si ha $mx∈A$]
Mi pare non sia una scempiaggine!?
Che figata 'sta roba, mi esalto per poco lo so ma devo procurarmi quel libro ora
Giusto. Bene sono contento, ma per curiosità il tuo corso di studi è matematica? Perché se lo è, probabilmente hai almeno un corso di fondamenti nel tuo piano. Se invece non lo è, a giudicare dal nostro scambio forse avresti dovuto iscriverti a matematica
Purtroppo no, sono un "ingegnerando" ; per quello ahimé dicevo di non aver visto queste cose. Mi sembra che si parta meno dalle basi qui, come se molte cose fossero già assodate. Ma io, onestamente, alle superiori non avevo mai trattato nulla del genere, o meglio in termini più formali. E' vero che sono banali, ma mica le avevo mai viste in questo modo.
Effettivamente ho scelto ingegneria perché mi piace la matematica, ma quello che mi ha frenato dall'iscrivermi al cdl di matematica è che come vedi mi faccio domande idiote. Ho avuto una folgorante passione solo l'ultimo anno delle superiori per questa materia e mi sento carentissimo in cose molto di base inoltre sono abbastanza testone e per capire una cosa ci sono volute 4 pagine
... è un po' questo insieme di cose che mi ha spinto a optare per una "sorella" più semplice.
Però, col senno di poi, non sono sicuro di aver fatto una furbata.
; per quello ahimé dicevo di non aver visto queste cose. Mi sembra che si parta meno dalle basi qui, come se molte cose fossero già assodate. Ma io, onestamente, alle superiori non avevo mai trattato nulla del genere, o meglio in termini più formali. E' vero che sono banali, ma mica le avevo mai viste in questo modo.Effettivamente ho scelto ingegneria perché mi piace la matematica, ma quello che mi ha frenato dall'iscrivermi al cdl di matematica è che come vedi mi faccio domande idiote. Ho avuto una folgorante passione solo l'ultimo anno delle superiori per questa materia e mi sento carentissimo in cose molto di base inoltre sono abbastanza testone e per capire una cosa ci sono volute 4 pagine
... è un po' questo insieme di cose che mi ha spinto a optare per una "sorella" più semplice.Però, col senno di poi, non sono sicuro di aver fatto una furbata.
Scusate, io non sono un ingegnere né un matematico. Però ho visto che questa domanda ha preso il la da una mia precedente quindi ho avuto il piacere di segurla.
Riguardo la domanda dell'utente (uso la vostra notazione come lettere): prendere l'equazione $a=mx$ e notare che sostituendo tutti i numeri reali nelle x (cioè ogni elemento dell'insieme reale) ritrovo tramite l'equazione con le varie a tutti i numeri reali ancora.
Questo fatto mi aveva incuriosito e per questo avevo fatto la stessa domanda che ha linkato @sisterioso nel primo mex.
Avevo nel mio post ideato questa dimostrazione
E pensavo che questo dimostrasse l'asserto intuitivo.
L'idea della dimostrazione è in effetti questa, però così non va ancora bene ed è da correggere sfruttando gli insiemi, così
I passaggi sono praticamente gli stessi che avevo pensato io, però la mia formulazione non è ancora precisa perché bisogna realizzare la doppia inclusione e sfruttare l'insiemistica. C'è quindi l'intuizione, però va formalizzata come hai fatto tu, la mia non basta?
Vi voglio chiedere se fosse corretto quello che ho capito dal vostro dibattito, dato che poi la discussione si è molto sviluppata spostandosi di tema.
Riguardo la domanda dell'utente (uso la vostra notazione come lettere): prendere l'equazione $a=mx$ e notare che sostituendo tutti i numeri reali nelle x (cioè ogni elemento dell'insieme reale) ritrovo tramite l'equazione con le varie a tutti i numeri reali ancora.
Questo fatto mi aveva incuriosito e per questo avevo fatto la stessa domanda che ha linkato @sisterioso nel primo mex.
Avevo nel mio post ideato questa dimostrazione
*qualunque sia $x$ nei reali ho che $a:=mx$ appartiene ai reali, essendone moltiplicazione.
*prendo ora una r qualunque e considero di nuovo $mx=r$ poiché esiste $m^-1$ posso scrivere
$mx=r$ => $m^-1mx=m^-1r$ quindi $x=r/m$
E pensavo che questo dimostrasse l'asserto intuitivo.
L'idea della dimostrazione è in effetti questa, però così non va ancora bene ed è da correggere sfruttando gli insiemi, così
Prendiamo $A={mx\ :\ x in RR}$ dove $m ne 0$ è fissato. Ti dimostro che $A=RR$.
Per farlo dobbiamo dimostrare le due inclusioni, $A subseteq RR$ e $RR subseteq A$.
Prima inclusione: $A subseteq RR$. Per dimostrarla dobbiamo prendere un qualsiasi $a in A$ e dimostrare che $a in RR$. Siccome $a in A$, esiste $x in RR$ tale che $a=mx$ (perché gli elementi di $A$ sono di questo tipo). Essendo quindi $a$ un prodotto tra due numeri reali (perché anche $m in RR$), deduciamo che $a$ è un numero reale, cioè $a in RR$.
Seconda inclusione; $RR subseteq A$. Per dimostrarla dobbiamo prendere un qualsiasi $r in RR$ e dimostrare che $r in A$. Dobbiamo cioè mostrare che esiste $x in RR$ tale che $r=mx$. Ma per questo basta prendere $x=r/m$ (che ha senso perché $m ne 0$). Infatti con questa scelta di $x$ abbiamo $mx=m*r/m=r$.
I passaggi sono praticamente gli stessi che avevo pensato io, però la mia formulazione non è ancora precisa perché bisogna realizzare la doppia inclusione e sfruttare l'insiemistica. C'è quindi l'intuizione, però va formalizzata come hai fatto tu, la mia non basta?
Vi voglio chiedere se fosse corretto quello che ho capito dal vostro dibattito, dato che poi la discussione si è molto sviluppata spostandosi di tema.
"sisterioso":Non sono banali, perché pensi che ci siano libri interi sulla teoria assiomatica? Appunto perché se ti chiedi che senso hanno le cose ti accorgi che esiste un punto, se vai abbastanza indietro, in cui i concetti hanno una componente di arbitrarietà perché non possono essere dimostrati, possono solo essere presi per buoni (gli assiomi). E costruire l'intuizione intorno a cose astratte richiede tempo. A ingegneria queste cose non vengono viste nemmeno da lontano, la matematica la userai come strumento e non come oggetto di studio (un po' come la logica è strumento per capire la matematica).
E' vero che sono banali, ma mica le avevo mai viste in questo modo.
@Gualtiero a me sembra giusto quello che hai scritto. Non c'è un unico modo di dimostrare le cose, il livello di formalità dipende dalle tue necessità.
@Gualtiero a me sembra giusto quello che hai scritto. Non c'è un unico modo di dimostrare le cose, il livello di formalità dipende dalle tue necessità.
grazie mille, però facendo nel 'mio modo' non sorge un piccolo problemino?
* mostro che per ogni $x$ nei reali ho una $a$ reale
*mostro che per ogni $a:=r$ nei reali ho una $x$ nei reali
Però non mi sembra dimostrare come nel tuo caso che sostituendo in $x$ tutti i reali ritrovo con $a$ tutti i reali, posso solo dire che per ogni $x$ ho una $a$, ma non mi permette di concludere che tutti i risultati $a$ sono l'insieme reale (con a: $a=mx$ che trovo sostituendo tutte le $x$ reali).
Mi pare che unicamente il tuo metodo dia risposta completa a questo, sbaglio?
Volevo poi lasciare una seconda domanda @Martino su una parte da lui scritta.
Dato che anche io sto muovendo i primi passi, in modo esteso sarebbe:
1) $AA$ $a$, $(a in A$ esiste $x in RR$ tale che $a=mx)$.
2) $AAx,(x in RR$ si ha $mx in A)$.
Equivalentemente,
$AAa$, $(a in A$ se e solo se esiste $x in RR$ tale che $a=mx)$.
Chiedo solo se sia giusto
"Martino":
Scrivere $A={mx : x in RR}$ è equivalente a scrivere le seguenti due cose.
1) Per ogni $a in A$ esiste $x in RR$ tale che $a=mx$.
2) Per ogni $x in RR$ si ha $mx in A$.
Equivalentemente,
$a in A$ se e solo se esiste $x in RR$ tale che $a=mx$.
Dato che anche io sto muovendo i primi passi, in modo esteso sarebbe:
1) $AA$ $a$, $(a in A$ esiste $x in RR$ tale che $a=mx)$.
2) $AAx,(x in RR$ si ha $mx in A)$.
Equivalentemente,
$AAa$, $(a in A$ se e solo se esiste $x in RR$ tale che $a=mx)$.
Chiedo solo se sia giusto
Oddio, non ho l'energia per ricominciare da zero spero che qualcuno ti possa aiutare.
spero che qualcuno ti possa aiutare.
No beh non volevo spingerTI a ricominciare volevo capire solo se era scorretto e comprendo di sì. Ci ragiono da solo sul perché. ovviamente se @axpgn o altri intervenuti però avessero voglia di rispondere alle mie due domande precedenti (cioè gli utimi due post) sarei ben contento di capire
Mentre per il secondo post? Anche quello è errato?
Mi basta un si o no poi cerco di arrivarci da solo
chiedevo soltanto perché non mi sembrava
Quantificassero in tutta la frase, ad esempio per x: Per ogni x∈R => mx∈A mi sembrava più corretta come:
Per ognix, (x∈R si ha mx∈A)
e così le restanti:
1) ∀ a, (a∈A esiste x∈R tale che a=mx).
2) ∀x,(x∈R si ha mx∈A).
Equivalentemente,
∀a, (a∈A se e solo se esiste x∈R tale che a=mx).
Ma come dicevo volevol solo un si o un no, così posso mettermici a pensare.
volevo capire solo se era scorretto e comprendo di sì. Ci ragiono da solo sul perché. ovviamente se @axpgn o altri intervenuti però avessero voglia di rispondere alle mie due domande precedenti (cioè gli utimi due post) sarei ben contento di capire Mentre per il secondo post? Anche quello è errato?
Mi basta un si o no poi cerco di arrivarci da solochiedevo soltanto perché non mi sembrava
1) Per ogni a∈A esiste x∈R tale che a=mx.
2) Per ogni x∈R si ha mx∈A.
Equivalentemente,
a∈A se e solo se esiste x∈R tale che a=mx.
Quantificassero in tutta la frase, ad esempio per x: Per ogni x∈R => mx∈A mi sembrava più corretta come:
Per ognix, (x∈R si ha mx∈A)
e così le restanti:
1) ∀ a, (a∈A esiste x∈R tale che a=mx).
2) ∀x,(x∈R si ha mx∈A).
Equivalentemente,
∀a, (a∈A se e solo se esiste x∈R tale che a=mx).
Ma come dicevo volevol solo un si o un no, così posso mettermici a pensare.
Sì quello che dici è corretto.
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