Dimostrazione algebrica semplicissima (tramite inverso del gruppo R)
Buongiorno, stavo leggendo una vecchia discussione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=230844 ma vorrei fare una domanda a riguardo sebbene davvero stupida ma che non capisco come risolvere.
è (quasi) intuitivo che: dato m parametro, quando assumo $mx=y$ so che:
- per ogni x nei reali ho un y nei reali che rende vera $mx=y$
- d'altro canto vale l'opposto: per ogni y nei reali ho un x nei reali che rende vera $mx=y$
Si dimostra facilmente sapendo che i reali sono un gruppo e in quanto tale si gioca con l'inverso di m: $m^-1$ che esiste.
C'è però una parte che mi lascia incuriosito: io dimostro che per ogni x c'è un y e per ogni y c'è un x. Ma non dimostro che dato un qualunque x nei reali "copro" tutti i reali con la y.
Graficamente per spiegarmi meglio direi che: (intuitivamente) fissato m, percorrendo le x nei reali (cioè coprendo ogni valore di x) trovo valori in y ma in aggiunta vorrei dimostrare che i valori di y coprono di nuovo tutta la retta dei reali, ma questo come lo faccio?
Io con la dimostrazione mostro che: per ogni x vi è un y ma questo non vuol dire che scegliendo x differenti troverò in y di nuovo tutti i reali.
Con l'altra dimostrazione faccio notare che scegliendo ogni y nei reali ho degli x ma di nuovo non vuol dire che scegliendo varie y troverò di nuovo tutti i reali.
E anche mettendo assieme queste due considerazioni noto che non posso concludere che scegliendo tutti gli x nei reali ritrovo con y tramite $mx=y$ tutti i reali (cioè che y coincide con la retta reale).
Come si fa quindi a dimostrare questa proprietà? Che l'insieme dei reali di x coincide con l'insieme delle y trovate tramite quell'equazione?
Essendo $R$ quello che ho scoperto chiamarsi gruppo vuol dire che ci sono elementi inversi per ogni elemento.
Quindi se io prendo
$ax=y$ posso dire:
- qualunque sia x che ho scelto ho una rispettiva y, questo mi pare ovvio (se assumo l'operazione ben definita, che poi sarebbe un po' il discorso) l'eq. ci dice che ogni x ha una y $ax=y$.
- prendo una y qulunque e considero di nuovo $ax=y$ poiché esiste $a^-1$ posso scrivere $a^-1ax=ay => x=ay$ quindi per ogni y ho una x!
Di questo secondo punto volevo porre due domande:
a) quanto ho detto può funzionare?
è (quasi) intuitivo che: dato m parametro, quando assumo $mx=y$ so che:
- per ogni x nei reali ho un y nei reali che rende vera $mx=y$
- d'altro canto vale l'opposto: per ogni y nei reali ho un x nei reali che rende vera $mx=y$
Si dimostra facilmente sapendo che i reali sono un gruppo e in quanto tale si gioca con l'inverso di m: $m^-1$ che esiste.
C'è però una parte che mi lascia incuriosito: io dimostro che per ogni x c'è un y e per ogni y c'è un x. Ma non dimostro che dato un qualunque x nei reali "copro" tutti i reali con la y.
Graficamente per spiegarmi meglio direi che: (intuitivamente) fissato m, percorrendo le x nei reali (cioè coprendo ogni valore di x) trovo valori in y ma in aggiunta vorrei dimostrare che i valori di y coprono di nuovo tutta la retta dei reali, ma questo come lo faccio?
Io con la dimostrazione mostro che: per ogni x vi è un y ma questo non vuol dire che scegliendo x differenti troverò in y di nuovo tutti i reali.
Con l'altra dimostrazione faccio notare che scegliendo ogni y nei reali ho degli x ma di nuovo non vuol dire che scegliendo varie y troverò di nuovo tutti i reali.
E anche mettendo assieme queste due considerazioni noto che non posso concludere che scegliendo tutti gli x nei reali ritrovo con y tramite $mx=y$ tutti i reali (cioè che y coincide con la retta reale).
Come si fa quindi a dimostrare questa proprietà? Che l'insieme dei reali di x coincide con l'insieme delle y trovate tramite quell'equazione?
Risposte
Sai che l'immagine di \(f(x) = mx\) è tutto \(\mathbb R\) perché dato un valore qualsiasi \(y \in \mathbb R\) esiste un \(x = y/m\) per cui \(f(x) = y\) (secondo punto della dimostrazione). Se tu avessi una funzione non suriettiva (per esempio \(g(x) = \sqrt{|x|}\)), esisterebbero dei valori di \(y\) (per esempio \(-1\)) per cui non esistebbe alcun valore di \(x\) per cui \(g(x) = y\). La suriettività dell'inversa deriva invece dal primo punto e discussioni analoghe. Ovviamente tutto questo è valido solo per \(m \neq 0\).
Ti ringrazio ma avrei comunque due appunti che vorrei chiarire.
1)
quello che dici tu mi mostra in effetti che tutte le y nei reali hanno un x che le determina, però non mostra che per avere tutte le y posso percorrere tutte le y. Il tuo ragionamento mi dice solo che ci sono delle x che danno tutte le y. Ma io vorrei che tutte le y siano "generate" tramite non alcune ma TUTTE le x.
2)
Ma se volessi vederla in termini di gruppo senza scomodare le funzioni? Cioè dimostrare che per ogni x reale ho una y reale e che le ho anche tutte tramite tutte le x. Era questo che volevo chiedere.
In questo caso non capisco perché assumere tutte le x nei reali e mostrare che ho un y e viceversa assumere ora tutte le y reali e mostrare che mi danno un x mi faccia concludere che tutte le x dei reali "generano" tramite mx tutte le y nei reali.
Perché appunto si può giocare sull'inverso ma i due passi della dimostrazione (che ho ripostato nel I° post) non capisco perché mi porterebbero a dire che sia per x che y ho $RR$
1)
quello che dici tu mi mostra in effetti che tutte le y nei reali hanno un x che le determina, però non mostra che per avere tutte le y posso percorrere tutte le y. Il tuo ragionamento mi dice solo che ci sono delle x che danno tutte le y. Ma io vorrei che tutte le y siano "generate" tramite non alcune ma TUTTE le x.
2)
Ma se volessi vederla in termini di gruppo senza scomodare le funzioni? Cioè dimostrare che per ogni x reale ho una y reale e che le ho anche tutte tramite tutte le x. Era questo che volevo chiedere.
In questo caso non capisco perché assumere tutte le x nei reali e mostrare che ho un y e viceversa assumere ora tutte le y reali e mostrare che mi danno un x mi faccia concludere che tutte le x dei reali "generano" tramite mx tutte le y nei reali.
Perché appunto si può giocare sull'inverso ma i due passi della dimostrazione (che ho ripostato nel I° post) non capisco perché mi porterebbero a dire che sia per x che y ho $RR$
Nessun ulteriore aiuto? 
La tua domanda purtroppo è del tutto incomprensibile. Non si capisce proprio di cosa stai parlando, credimi.
Il punto è questo: se $m$ è un reale diverso da $0$, la funzione $f:RR to RR$ definita da $f(x)=mx$ è biiettiva. Questo significa che
(a) per ogni $x in RR$ esiste un unico $y in RR$ tale che $f(x)=y$ e
(b) per ogni $y in RR$ esiste un unico $x in RR$ tale che $f(x)=y$.
io vorrei che tutte le y siano "generate" tramite non alcune ma TUTTE le x.Cosa significa? Se intendi che l'insieme ${mx\ :\ x in RR}$ è uguale a $RR$ questo è vero (banalmente) dove ovviamente $m ne 0$. Era questo che volevi sapere? Suggerisco di smettere di spiegarti a parole e cominciare a spiegarti con le formule e il formalismo matematico. Secondo me, nel momento in cui scrivi il tuo dubbio in termini logici inequivocabili (non lo hai ancora fatto), il tuo dubbio si risolve da solo.
Il punto è questo: se $m$ è un reale diverso da $0$, la funzione $f:RR to RR$ definita da $f(x)=mx$ è biiettiva. Questo significa che
(a) per ogni $x in RR$ esiste un unico $y in RR$ tale che $f(x)=y$ e
(b) per ogni $y in RR$ esiste un unico $x in RR$ tale che $f(x)=y$.
Ciao, grazie per avermi risposto.
Il mio problema è che mi accorgo come dici tu di non riuscire a rendere l'idea intuitiva in modo formale. L'idea è questa: sostituendo tutte le x reali nella $y=ax$ [nota [nota](uso "a" per coerenza con dopo)[/nota]] trovo y che sono di nuovo tutto l'insieme reale.
però vale anche il viceversa scambiando le x con y: scegliendo ogni y reale ritrovo varie x che saranno di nuovo tutto l'insieme R.
Però non saprei bene come rendere questa idea in formule (era il primo problema) che mi sembra risolto da quello che hai scritto tu in effetti.
Il (secondo problema) è che avevo letto questa dimostrazione, che è quello che vorrei fare cioè sfruttare la nozione di gruppo (senza scomodare la funzione, se possibile (?) ):
assimiamo la $ax=y$, ora posso mostrare che:
- qualunque sia x nei reali che ho scelto ho una rispettiva y che è ancora nei reali dato che $ax in RR$.
- prendo ora una y qualunque e considero di nuovo $ax=y$ poiché esiste $a^-1$ posso scrivere $a^-1ax=ay => x=ay$ quindi per ogni y ho una x!
Ma questo dimostra in effetti quanto cercavo? Non mi sembra perché mi par solo di mostrare che prese tutte le x nei reali trovo sempre una y (ancora reale), ma questo non mostra che presa ogni x nei reali ottengo tramite y=ax ogni numero dell'insieme reale.
Se poi dimostro la seconda parte è come se dicessi: per ogni y reale trovo qualche x sempre reale, ma anche qui ma non ho mostrato un legame "biunivoco" tra x e y che è ciò che vorrei per dire che a ogni x reale trovo ogni y nei reali.
Volevo quindi capire se potessi usare questa argomentazione per mostrare il legame uno a uno per ogni x che ha una relativa y, o se dovessi per forza usare la nozione di funzione.
Fatico in effetti a formalizzare questo, se potessi aiutarmi ti ringrazierei moltissimo
Era questo che volevi sapere?
Il mio problema è che mi accorgo come dici tu di non riuscire a rendere l'idea intuitiva in modo formale. L'idea è questa: sostituendo tutte le x reali nella $y=ax$ [nota [nota](uso "a" per coerenza con dopo)[/nota]] trovo y che sono di nuovo tutto l'insieme reale.
però vale anche il viceversa scambiando le x con y: scegliendo ogni y reale ritrovo varie x che saranno di nuovo tutto l'insieme R.
Però non saprei bene come rendere questa idea in formule (era il primo problema) che mi sembra risolto da quello che hai scritto tu in effetti.
Il (secondo problema) è che avevo letto questa dimostrazione, che è quello che vorrei fare cioè sfruttare la nozione di gruppo (senza scomodare la funzione, se possibile (?) ):
assimiamo la $ax=y$, ora posso mostrare che:
- qualunque sia x nei reali che ho scelto ho una rispettiva y che è ancora nei reali dato che $ax in RR$.
- prendo ora una y qualunque e considero di nuovo $ax=y$ poiché esiste $a^-1$ posso scrivere $a^-1ax=ay => x=ay$ quindi per ogni y ho una x!
Ma questo dimostra in effetti quanto cercavo? Non mi sembra perché mi par solo di mostrare che prese tutte le x nei reali trovo sempre una y (ancora reale), ma questo non mostra che presa ogni x nei reali ottengo tramite y=ax ogni numero dell'insieme reale.
Se poi dimostro la seconda parte è come se dicessi: per ogni y reale trovo qualche x sempre reale, ma anche qui ma non ho mostrato un legame "biunivoco" tra x e y che è ciò che vorrei per dire che a ogni x reale trovo ogni y nei reali.
Volevo quindi capire se potessi usare questa argomentazione per mostrare il legame uno a uno per ogni x che ha una relativa y, o se dovessi per forza usare la nozione di funzione.
Fatico in effetti a formalizzare questo, se potessi aiutarmi ti ringrazierei moltissimo
Se fissi $x$ allora scrivendo $y=ax$ ottieni una sola $y$. Non ottieni tutti i numeri reali, ne ottieni uno solo.
Per ottenerli tutti devi far variare la $x$.
Per esempio prendiamo $a=2$. In questo modo la nostra equazione è
$y=2x$
Se scegliamo $x=3$ allora abbiamo $y=6$ e come vedi abbiamo trovato un valore solo. Ora cambiamo $x$, scegliamo $x=5$ ottenendo $y=10$ ma anche qui, un valore solo.
Per ottenere tutti i numeri reali dobbiamo far variare la $x$ tra tutti i reali. Per esempio per ottenere $y=sqrt(3)$ dobbiamo scegliere $x=sqrt(3)/2$.
Se questo non aiuta, non so proprio come aiutarti. Spero che qualcuno ti possa aiutare
Per ottenerli tutti devi far variare la $x$.
Per esempio prendiamo $a=2$. In questo modo la nostra equazione è
$y=2x$
Se scegliamo $x=3$ allora abbiamo $y=6$ e come vedi abbiamo trovato un valore solo. Ora cambiamo $x$, scegliamo $x=5$ ottenendo $y=10$ ma anche qui, un valore solo.
Per ottenere tutti i numeri reali dobbiamo far variare la $x$ tra tutti i reali. Per esempio per ottenere $y=sqrt(3)$ dobbiamo scegliere $x=sqrt(3)/2$.
Se questo non aiuta, non so proprio come aiutarti. Spero che qualcuno ti possa aiutare
Sì, certamente. E' proprio questo che intendevo: la x deve variare ovviamente.
Però visto così è solo un modo empirico (cioè i tuoi sono esempi ma voglio generalizzarlo con una dim.), cioè ci accorgiamo che variando in tutte le x dei reali ritrovo con ax=y tutti i reali di nuovo... io volevo formalizzare questa intuizione e capire come dimostrare quello che hai detto tu, in buona sostanza.
Facendo lo sforzo di formalizzare che mi consigliavi di fare io direi che voglio mostrare come ${mx | x∈R}$ così come ${y/m | y∈R, m!=0}$ sono di nuovo tutti i reali (chiamiamoli (A) tali insiemi). Quindi una sorta di biunivocità: variando tutte le x nei reali ritrovo con y tutti i reali e viceversa sostituendo in y tutti i reali titrovo nelle x tutti i reali: ma come si dimostra?
La mia domanda era: posso in qualche modo mostrare questo fatto (quello che hai scritto tu nel tuo ultimo post) sfruttando il concetto di gruppo? Mi chiedevo se questa dimostrazione andasse bene per mostrare quanto voluto:
assimiamo la $ax=y$, ora posso mostrare che:
- qualunque sia x nei reali che ho scelto ho una rispettiva y che è ancora nei reali dato che $ax in RR$.
- prendo ora una y qualunque e considero di nuovo $ax=y$ poiché esiste $a^-1$ posso scrivere $a^-1ax=ay => x=ay$ quindi per ogni y ho una x!
(?)
A me sembra non funzionare perché da una parte mostro solo che per ogni x nei reali trovo delle y che sono nei reali, e il viceversa. Ma non mostro il legame 1 a 1 tra tutti i reali del primo insieme con tutti i reali del secondo (A).
Il mio dubbio è quindi, per dimostrare quanto voglio devo per forza usare il concetto di funzione? ↓
Ma anche questo non sembra del tutto dimostrare quanto abbiamo detto! Quindi come si fa?
Sono semplicemente questi i miei dubbi.
Però visto così è solo un modo empirico (cioè i tuoi sono esempi ma voglio generalizzarlo con una dim.), cioè ci accorgiamo che variando in tutte le x dei reali ritrovo con ax=y tutti i reali di nuovo... io volevo formalizzare questa intuizione e capire come dimostrare quello che hai detto tu, in buona sostanza.
Facendo lo sforzo di formalizzare che mi consigliavi di fare io direi che voglio mostrare come ${mx | x∈R}$ così come ${y/m | y∈R, m!=0}$ sono di nuovo tutti i reali (chiamiamoli (A) tali insiemi). Quindi una sorta di biunivocità: variando tutte le x nei reali ritrovo con y tutti i reali e viceversa sostituendo in y tutti i reali titrovo nelle x tutti i reali: ma come si dimostra?
La mia domanda era: posso in qualche modo mostrare questo fatto (quello che hai scritto tu nel tuo ultimo post) sfruttando il concetto di gruppo? Mi chiedevo se questa dimostrazione andasse bene per mostrare quanto voluto:
assimiamo la $ax=y$, ora posso mostrare che:
- qualunque sia x nei reali che ho scelto ho una rispettiva y che è ancora nei reali dato che $ax in RR$.
- prendo ora una y qualunque e considero di nuovo $ax=y$ poiché esiste $a^-1$ posso scrivere $a^-1ax=ay => x=ay$ quindi per ogni y ho una x!
(?)
A me sembra non funzionare perché da una parte mostro solo che per ogni x nei reali trovo delle y che sono nei reali, e il viceversa. Ma non mostro il legame 1 a 1 tra tutti i reali del primo insieme con tutti i reali del secondo (A).
Il mio dubbio è quindi, per dimostrare quanto voglio devo per forza usare il concetto di funzione? ↓
"Martino":
(a) per ogni $x in RR$ esiste un unico $y in RR$ tale che $f(x)=y$ e
(b) per ogni $y in RR$ esiste un unico $x in RR$ tale che $f(x)=y$.
Ma anche questo non sembra del tutto dimostrare quanto abbiamo detto! Quindi come si fa?
Sono semplicemente questi i miei dubbi.
"sisterioso":
Però visto così è solo un modo empirico
Ma non è vero ...
Cercando di capire i tuoi dubbi (e non è facile) a me sembra che tu non comprenda il concetto di "generalizzazione", se così posso dire.
Dato un dominio ovvero l'insieme a cui appartiene l'elemento da cui "partire" per "calcolare" la funzione, prendere un elemento $x$ del dominio NON significa prendere un elemento specifico ma uno qualsiasi e se riesco a dimostrare ciò che devo dimostrare SENZA usare un elemento specifico ALLORA ciò significa che l'ho dimostrato per TUTTI gli elementi del mio insieme.
Ti è chiaro questo? A me sembra di no ...
"sisterioso":
Facendo lo sforzo di formalizzare che mi consigliavi di fare io direi che voglio mostrare come ${mx | x∈R}$ così come ${y/m | y∈R, m!=0}$ sono di nuovo tutti i reali (chiamiamoli (A) tali insiemi). Quindi una sorta di biunivocità: variando tutte le x nei reali ritrovo con y tutti i reali e viceversa sostituendo in y tutti i reali titrovo nelle x tutti i reali: ma come si dimostra?
Prendiamo $A={mx\ :\ x in RR}$ dove $m ne 0$ è fissato. Ti dimostro che $A=RR$.
Per farlo dobbiamo dimostrare le due inclusioni, $A subseteq RR$ e $RR subseteq A$.
Prima inclusione: $A subseteq RR$. Per dimostrarla dobbiamo prendere un qualsiasi $a in A$ e dimostrare che $a in RR$. Siccome $a in A$, esiste $x in RR$ tale che $a=mx$ (perché gli elementi di $A$ sono di questo tipo). Essendo quindi $a$ un prodotto tra due numeri reali (perché anche $m in RR$), deduciamo che $a$ è un numero reale, cioè $a in RR$.
Seconda inclusione; $RR subseteq A$. Per dimostrarla dobbiamo prendere un qualsiasi $r in RR$ e dimostrare che $r in A$. Dobbiamo cioè mostrare che esiste $x in RR$ tale che $r=mx$. Ma per questo basta prendere $x=r/m$ (che ha senso perché $m ne 0$). Infatti con questa scelta di $x$ abbiamo $mx=m*r/m=r$.
Come vedi non ho usato il concetto di funzione nella dimostrazione.
È così che si dimostra che $A=RR$.
@axpgn: ti ringrazio per il tuo intervento ma se non ti scoccia per non fare un tremendo pasticcio preferirei risponderti dopo (in ordine cronologico rispetto a martino) così da chiudere il primo dubbio con lui e dedicarmi a rispondere approfonditamente a te nei prossimi post
@martino: ho capito la dimostrazione e ti ringrazio molto. Devo però dire che non sono perfettamente convinto che dimostri quello che stavo pensando, in effetti. Questo perché ho formalizzato male la domanda e me ne rendo conto ragionando sulla tua dimostrazione.
Quello che vorrei fare è infatti riuscire a dimostrare che è vero quanto segue: "data y=mx, mettendo in x uno alla volta tutti i valori dell'insieme reale trovo per tutte quelle x varie y che sono ancora tutto l'insieme reale". E questo non so proprio come renderlo in formule. Sono sicuro si possa, e ti vorrei chiedere come.
@martino: ho capito la dimostrazione e ti ringrazio molto. Devo però dire che non sono perfettamente convinto che dimostri quello che stavo pensando, in effetti. Questo perché ho formalizzato male la domanda e me ne rendo conto ragionando sulla tua dimostrazione.
Quello che vorrei fare è infatti riuscire a dimostrare che è vero quanto segue: "data y=mx, mettendo in x uno alla volta tutti i valori dell'insieme reale trovo per tutte quelle x varie y che sono ancora tutto l'insieme reale". E questo non so proprio come renderlo in formule. Sono sicuro si possa, e ti vorrei chiedere come.
Mi sto sforzando molto per cercare di capire e credo di aver focalizzato con il tuo aiuto il problema, spero mi permetterai di editare il messaggio perché vorrei aggiungere dele considerazioni utili.
"sisterioso":Stai dicendo esattamente che l'insieme ${mx\ :\ x in RR}$ è uguale all'insieme $RR$. La dimostrazione di questo fatto te l'ho scritta nell'intervento precedente.
Quello che vorrei fare è infatti riuscire a dimostrare che è vero quanto segue: "data y=mx, mettendo in x uno alla volta tutti i valori dell'insieme reale trovo per tutte quelle x varie y che sono ancora tutto l'insieme reale". E questo non so proprio come renderlo in formule. Sono sicuro si possa, e ti vorrei chiedere come.
Non capisco quale sia il problema. Dire che le y che ottieni sono tutti i reali è esattamente uguale a dire (più formalmente) che per ogni $y$ reale esiste $x$ reale tale che $mx=y$.
Ti giuro che non capisco da dove venga la tua confusione. A me sembra che stiamo dicendo tutti la stessa cosa.
Meglio se rispondi senza editare perché gli edit non vengono segnalati.
"sisterioso":
Quello che vorrei fare è infatti riuscire a dimostrare che è vero quanto segue: "data y=mx, mettendo in x uno alla volta tutti i valori dell'insieme reale trovo per tutte quelle x varie y che sono ancora tutto l'insieme reale".
Ma è esattamente quello che ti ha dimostrato Martino nel suo post.
Provo a rileggerlo passo passo e dicci quali sono i punti che non ti convincono,.
Ti giuro che non capisco da dove venga la tua confusione. A me sembra che stiamo dicendo tutti la stessa cosa.
Meglio se rispondi senza editare perché gli edit non vengono segnalati.
Certo scusami avevo scritto prima della tua risposta, non edito quello precedente... Scusami se ci metto un po', ma è perché ci sto ragionando e vorrei limare gli errori e le cose inutili, così da facilitare il lavoro di chi mi aiuta con gentilezza
Rispondo poi qui sotto appena sono riuscito a formulare meglio quello che volevo dire
PS:
@axpgn: si purtroppo siete stati più rapidi della mia mente, mi sono accorto alla n-esmia rilettura di martino di aver individuato il punto critico e che la dimostraizone è quelllo che cercavo (in effetti) a patto di capire un punto che mi è ancora un po' fumoso. Capito quello sarebbe risolto il dubbio credo. Però mi avete risposto prima che riuscissi a rendermene conto
Come dicevo tutto parte dal voler dimostrare questo fatto: "data y=mx, mettendo in x uno alla volta tutti i valori dell'insieme reale trovo per tutte quelle x varie y che sono ancora tutto l'insieme reale"
L'idea grafica è quella tipica di una retta passante per l'origine: ci accorgiamo che variando le ascisse (tutti i valori di R) trovo con le y (tutte di nuovo) i valori di R.
Ho letto più e più volte la tua dimostrazione e mi accorgo che potrebbe proprio dimostrare quanto cercato però se riuscissi a capire alcune considerazioni:
Mi rendo conto che il dubbio nasce dal fatto che quel che faccio è assumere qualunque $a$ in $A$, poi scelta questa (qualunque a) dato che $a in A$ allora per def. esiste una $x in R$, quindi io mi dico: non sto scegliendo tutte le x nei reali, come in realtà vorrei. Io scelgo tutte le $a$ e da questa scelta trovo alcune $x in RR$, e infine da questo mostro che questa data $a$ (con la caratteristica di avere una certa x in RR) è anche contenuta in R. (quindi vale $A⊆RR$)
Il mio dubbio sarebbe risolto se riuscissi invece a mostrare questo:
$AA x in RR$ ho che $mx in A => mx in RR$ e questa implicazione è vera, ma non è ancora A⊆R! Infatti in questo modo ho dimostrato quello che vorrei, solo a patto che $mx, AAx in RR$ siano tutti gli elementi dell insieme A. E questo non mi sembra ovvio, perché un conto è scegliere come facevo prima una qualsiasi $a$ e trovare che esiste una $x$, un conto è dire scelgo tutte le x, questo non garantisce che $mx=a$ siano tutte le $a$ di $ A$.
Risolto questo il resto vien da sé, infatti basterebbe concludere con la seconda inclusione:
e tutto questo assieme ci starebbe dicendo che sostituita una ad una ogni x "pescata" dai reali e sostituita in mx mi permette di trovare di volta in volta differenti y e che sostituendo tutti i reali in x trovero con y tutti i reali di nuovo.
L'idea grafica è quella tipica di una retta passante per l'origine: ci accorgiamo che variando le ascisse (tutti i valori di R) trovo con le y (tutte di nuovo) i valori di R.
Ho letto più e più volte la tua dimostrazione e mi accorgo che potrebbe proprio dimostrare quanto cercato però se riuscissi a capire alcune considerazioni:
Prima inclusione: $A subseteq RR$. Per dimostrarla dobbiamo prendere un qualsiasi $a in A$ e dimostrare che $a in RR$. Siccome $a in A$, esiste $x in RR$ tale che $a=mx$ (perché gli elementi di $A$ sono di questo tipo). Essendo quindi $a$ un prodotto tra due numeri reali (perché anche $m in RR$), deduciamo che $a$ è un numero reale, cioè $a in RR$.
Mi rendo conto che il dubbio nasce dal fatto che quel che faccio è assumere qualunque $a$ in $A$, poi scelta questa (qualunque a) dato che $a in A$ allora per def. esiste una $x in R$, quindi io mi dico: non sto scegliendo tutte le x nei reali, come in realtà vorrei. Io scelgo tutte le $a$ e da questa scelta trovo alcune $x in RR$, e infine da questo mostro che questa data $a$ (con la caratteristica di avere una certa x in RR) è anche contenuta in R. (quindi vale $A⊆RR$)
Il mio dubbio sarebbe risolto se riuscissi invece a mostrare questo:
$AA x in RR$ ho che $mx in A => mx in RR$ e questa implicazione è vera, ma non è ancora A⊆R! Infatti in questo modo ho dimostrato quello che vorrei, solo a patto che $mx, AAx in RR$ siano tutti gli elementi dell insieme A. E questo non mi sembra ovvio, perché un conto è scegliere come facevo prima una qualsiasi $a$ e trovare che esiste una $x$, un conto è dire scelgo tutte le x, questo non garantisce che $mx=a$ siano tutte le $a$ di $ A$.
Risolto questo il resto vien da sé, infatti basterebbe concludere con la seconda inclusione:
Seconda inclusione; $RR subseteq A$. Per dimostrarla dobbiamo prendere un qualsiasi $r in RR$ e dimostrare che $r in A$. Dobbiamo cioè mostrare che esiste $x in RR$ tale che $r=mx$. Ma per questo basta prendere $x=r/m$ (che ha senso perché $m ne 0$). Infatti con questa scelta di $x$ abbiamo $mx=m*r/m=r$.
e tutto questo assieme ci starebbe dicendo che sostituita una ad una ogni x "pescata" dai reali e sostituita in mx mi permette di trovare di volta in volta differenti y e che sostituendo tutti i reali in x trovero con y tutti i reali di nuovo.
"sisterioso":Non capisco niente di quello che dici!
Il mio dubbio sarebbe risolto se riuscissi invece a mostrare questo: $AA x in RR$ ho che $mx in A => mx in RR$ e questa implicazione è vera, ma non è ancora A⊆R! Infatti in questo modo ho dimostrato quello che vorrei, solo a patto che $mx, AAx in RR$ siano tutti gli elementi dell insieme A. E questo non mi sembra ovvio, perché un conto è scegliere come facevo prima una qualsiasi $a$ e trovare che esiste una $x$, un conto è dire scelgo tutte le x, questo non garantisce che $mx=a$ siano tutte le $a$ di $ A$.
Ma niente proprio.Gli elementi $mx$, $AA x in RR$ sono tutti gli elementi dell'insieme $A$, per definizione di $A$. Tutto il resto che dici è veramente incomprensibile per me, mi dispiace.
@sisterioso
Che cos'è per te l'insieme $A$ definito da Martino? Cosa contiene? Quale proprietà hanno i suoi elementi?
Soffermati su questo, non andare oltre. Rispondi a questo per ora.
Che cos'è per te l'insieme $A$ definito da Martino? Cosa contiene? Quale proprietà hanno i suoi elementi?
Soffermati su questo, non andare oltre. Rispondi a questo per ora.
Che cos'è per te l'insieme A definito da Martino? Cosa contiene? Quale proprietà hanno i suoi elementi?
Mi sembra che gli elementi dell'insieme A siano quelli per cui esiste una x che è un numero reale, tale che faccia si che ogni elemente scelto a sia pari ad $mx$.
Quindi io prendo un elemento (numero), guardo se esiste una x che rende vera $mx=a$ e allora quello vuol dire che $a$ è un elemento di $A$. Però nessuno mi dice che scegliendo $a$ di $A$ le varie $x$ che trovo (e che uso in $mx$) siano tutto l'insieme reale. No? per quanto ne so potrei scegliere tutte le $a$ e trovare che mi bastano solo una parte dei reali per rendere vera per ogni $a=mx, x in R^+$ (ad es).
E' come dire per ogni paziente esiste un dottore, ma questo non assicura che ogni dottore abbia un paziente (ad esempio un neolaureato che abbia appena superato il test): parimenti per ogni $a$ esiste una $x$ reale, ma non è detto che per ogni $x$ reale esista una $a$.
Per quello dicevo se io assumo $mx$, $AA x in RR$ non capisco perché sono tutti gli elementi dell'insieme $A$
Ancora una volta, se non fosse chiaro da sopra:
gli elementi dell'insieme $A$ sono le $AAa, a=mx$ t.c esiste $x in RR$
e non è la stessa cosa che dire
gli elementi dell'insieme $A$ sono le $a, a=mx$, $AAx in RR$
Gli elementi $mx$, $AA x in RR$ sono tutti gli elementi dell'insieme $A$, per definizione di $A$.
Credo il problema sia proprio qui per me, non capisco perché "$mx$, $AA x in RR$ sono tutti gli elementi dell'insieme $A$".
Mi sembra che l'insieme $A$ sia dato dagli elementi per cui ∃ un $x in RR$ che renda vera $mx$, cioè dico: per ogni a esiste un x.
Invece scrivere $mx$, $AA x in RR$, sarebbe come dire che l'insieme A è: $A={mx|AA x in RR}$ e mi sembra distinto da $A={mx|∃ x in RR}$.
Naaaa, sei fissato con il tuo modo di vedere la cosa e non segui invece quello che ti viene detto di fare.
L'insieme $A$ è stato definito da Martino, l'ha "inventato" lui, non è un insieme che esisteva comunque, ok?
Cosa ha scritto Martino (in modo formale)? Ha scritto che l'insieme $A$ è composto da TUTTI i prodotti $mx$ dove $m$ è un numero reale fissato mentre $x$ è un qualsiasi numero reale ovvero $x in RR$.
Ripeto: nell'insieme $A$ ci stanno TUTTI i prodotti $mx$ ma proprio tutti e questo semplicemente perché lo ha stabilito Martino. Ok?
Dato che sia $m$ che $x$ sono numeri reali allora anche il loro prodotto $mx$ è un numero reale quindi gli elementi di $A$ sono tutti numeri reali, inoltre in $A$ ci stanno SOLAMENTE i prodotti $mx$ perché è questo che ha scritto Martino, non ci stanno altri elementi.
Chiaro fino qui?
Non andare oltre, rifletti su questo poi ne riparliamo.
L'insieme $A$ è stato definito da Martino, l'ha "inventato" lui, non è un insieme che esisteva comunque, ok?
Cosa ha scritto Martino (in modo formale)? Ha scritto che l'insieme $A$ è composto da TUTTI i prodotti $mx$ dove $m$ è un numero reale fissato mentre $x$ è un qualsiasi numero reale ovvero $x in RR$.
Ripeto: nell'insieme $A$ ci stanno TUTTI i prodotti $mx$ ma proprio tutti e questo semplicemente perché lo ha stabilito Martino. Ok?
Dato che sia $m$ che $x$ sono numeri reali allora anche il loro prodotto $mx$ è un numero reale quindi gli elementi di $A$ sono tutti numeri reali, inoltre in $A$ ci stanno SOLAMENTE i prodotti $mx$ perché è questo che ha scritto Martino, non ci stanno altri elementi.
Chiaro fino qui?
Non andare oltre, rifletti su questo poi ne riparliamo.
Ok, almeno abbiamo circoscritto il problema a un'unica questione. Oltre a quanto detto da axpgn (su cui ti consiglio di riflettere bene) aggiungo che quando si scrive $A = {mx\ :\ x in RR}$ si intende l'insieme di tutti i numeri reali ottenuti moltiplicando $m$ per un qualsiasi numero reale. Cioè $a in A$ se e solo se esiste $x in RR$ tale che $a=mx$. Occhio al se e solo se. È questo che significa quella notazione. Questo tipo di notazione è molto di base e viene usata dappertutto nella matematica. Se hai un libro di riferimento su teoria degli insiemi e assiomi, ti suggerisco di consultarlo.
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