Un numero che ho inventato (non so se già esiste)
Il numero che ho inventato (e non so se già esiste), non credo abbia qualche utilità, esso è pari a $ sum(1/i^i) $ con $ i $ che va da 1 a infinito. A quale insieme numerico appartiene? Se appartiene ai numeri reali (come penso che sia) è algebrico o trascendente? (Non mi intendo per niente di questo tipo di dimostrazioni)
Buon Lavoro!
Buon Lavoro!
Risposte
"Il Pitagorico":
A quale insieme numerico appartiene?
Credo sia un numero reale poiché una caratterizzazione del'insieme dei numeri reali è quella di definirne gli elementi come limiti di successioni di numeri razionali.
Ovviamente come successione intendo quella delle somme parziali $n$-esime: $S_n = \sum_(i=1)^n \frac{1}{i^i}$
da cui
$lim_(n->+\infty) S_n = lim_(n->+\infty) \sum_(i=1)^n \frac{1}{i^i}= \sum_(i=1)^\infty \frac{1}{i^i}$.
Sull'algebricità e/o la trascendenza propendo sulla seconda dato che la vedo difficile che sia un numero algebrico: ricordo che la definizione di reale algebrico è quella di "un numero reale che si può esprimere come soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti razionali".
Per il resto non metto in dubbio che sia un numero decisamente artistico, ma sull'utilità o sulle applicazioni ora come ora non so cosa dirti.
Thank you Zero87. Volevo chiedere anche come si fa a dimostrare se un numero è algebrico o trascendente.
"Il Pitagorico":
Thank you Zero87. Volevo chiedere anche come si fa a dimostrare se un numero è algebrico o trascendente.
Di nulla.
Comunque non so se ci sono metodi specifici poiché io della tdn non sono un tecnico, ma un appassionato (livello base
). Tuttavia si potrebbe prendere la definizione, cioè un numero reale è algebrico se si può esprimere come soluzione di un'equazione a coefficienti razionali.Per es. $\sqrt(2)$ è algebrico perché è (una) soluzione dell'equazione $x^2-2=0$.
Ok! solo una domanda, che cos'è tdn!?
"Il Pitagorico":
Ok! solo una domanda, che cos'è tdn!?
Sorry, mi sono preso questa (brutta) abitudine di usare l'abbreviazione per la Teoria Dei Numeri (in inglese, ovviamente, invece di tdn/TDN si usa NT, acronimo per Number Theory).
Non saprei dirti molto sul fatto che sia algebrico o trascendente, ma se ti interessa sapere come si fa a dimostrare se un numero è trascendente puoi vedere la dimostrazione della trascendenza di $e$ su questo sito (cerca). Un'altra cosa che ti posso dire è una buona approssimazione del tuo numero: si può facilmente dire, infatti, che questa serie non diverge: dal secondo termine della sequenza, $(1/i)^i<(1/2)^i$, e quest'ultima converge. Il numero è uguale a circa
Come frazione è più che sufficiente l'approssimazione $12929687474000/10013031585111$.
Comunque non è una scoperta, basta cercare 1.291285997 su google e troverai facilmente qualcosa.
Come frazione è più che sufficiente l'approssimazione $12929687474000/10013031585111$.
Comunque non è una scoperta, basta cercare 1.291285997 su google e troverai facilmente qualcosa.
"Il Pitagorico":
Volevo chiedere anche come si fa a dimostrare se un numero è algebrico o trascendente.
Non mi sembra che ci siano tecniche particolari; in molti casi il problema è ancora insoluto. Comunque, direi che sicuramente questo non è un numero razionale: è approssimato decisamente troppo bene da frazioni diverse dal numero.
Ho trovato alcune cose su questo numero ma non ho capito molto bene che cosa sia e a che cosa serva.
(credo ci sia qualcosa che non funziona nel forum)
...Tu dici?
@ Il Pitagorico. Noto anch'io alcuni malfuzionamenti; se ti riferivi al fatto che un tuo post è stato inserito più volte, ne ho cancellato io le versioni superflue. Spero che questo rientrasse nelle tue intenzioni.
Scusate se mi intrometto chiedendo e non rispondendo... Essendo "semi-ignorante" nei numeri complessi, qualcuno mi sa dire come è stata calcolata quella somma? O piú semplicemente come calcolare $1/i^n$? grazie
A giammaria: grazie molte, non sapevo come fare a cancellarli.
A kobeilprofeta: La i è una variabile in questo caso e non corrisponde a i dei numeri complessi. E' una lettera come la x o la n
A kobeilprofeta: La i è una variabile in questo caso e non corrisponde a i dei numeri complessi. E' una lettera come la x o la n
Lo stavo per dire io... Si usa a volte per convenzione, $i$ sta per $\text(iterazione)$.
"kobeilprofeta":
Come calcolare $1/i^n$?
In effetti non riguarda il post, ma è una domanda "facile":
Ricorda che $i^1 = i$, $i^2=-1$, $i^3=i^2*i=-i$, $i^4=i^3*i=-i^2=1$ e poi le potenze si continuano a ripetere ($i, -1, -i, 1, i \ldots$). Per calcolare $1/i^n$ basta quindi sapere il valore di $n mod 4$:
[list=1]
[*:2d6trt53] Se è $1$ allora è uguale a $1/i=i/i^2=-i$;[/*:m:2d6trt53]
[*:2d6trt53] Se è $2$ allora è uguale a $1/-1 = -1$;[/*:m:2d6trt53]
[*:2d6trt53] Se è $3$ allora è uguale a $1/(-i)=i/(-i^2)=i$;[/*:m:2d6trt53]
[*:2d6trt53] Se è $0$ allora è uguale a $1/1=1$.[/*:m:2d6trt53][/list:o:2d6trt53]
Domande interessanti da porsi sono invece $sqrt(i)$ ovvero $i^(1/2)$, $i^i$, $n^i$ (l'esatto opposto di quello che hai chiesto tu)...
Si conoscono già le risposte in effetti: $$\displaystyle \sqrt{i}={1+i \over \sqrt{2}}$$ $$\displaystyle i^i=e^{-{\pi \over 2}}$$ $$\displaystyle n^i = \cos(\ln(n))+i \sin(\ln(n))$$... Ma qui stiamo parlando di cose piuttosto... Complesse
$ i=(1+i)/sqrt(2) $
a Pianoth: Come si ricava?
a Pianoth: Come si ricava?
Non è semplice da spiegare:
ricordiamo la formula di Eulero: $e^(ix)=cos(x)+i sin(x)$
Notiamo che se $x=pi/2 => e^(i(pi/2))=cos(pi/2) + i sin(pi/2) = 0 + i * 1 = i$
Segue una radice quadrata a entrambi i membri: $pm sqrt(i) = e^(i(pi/4))$
Utilizziamo di nuovo la formula di Eulero: $pm sqrt(i) = cos(pi/4) + i sin(pi/4) = 1/(pm sqrt(2)) + i/(pm sqrt(2)) = (1 + i)/(pm sqrt(2))$
Si ricava in modo simile anche $i^i$ e molte altre.
ricordiamo la formula di Eulero: $e^(ix)=cos(x)+i sin(x)$
Notiamo che se $x=pi/2 => e^(i(pi/2))=cos(pi/2) + i sin(pi/2) = 0 + i * 1 = i$
Segue una radice quadrata a entrambi i membri: $pm sqrt(i) = e^(i(pi/4))$
Utilizziamo di nuovo la formula di Eulero: $pm sqrt(i) = cos(pi/4) + i sin(pi/4) = 1/(pm sqrt(2)) + i/(pm sqrt(2)) = (1 + i)/(pm sqrt(2))$
Si ricava in modo simile anche $i^i$ e molte altre.
"Pianoth":
Si ricava in modo simile anche $i^i$ e molte altre.
Per cose più complicate si utilizza la costruzione - analoga a quella reale - mediante l'esponenziale e il logaritmo
$a^z = e^(z log(a))$
che però nel campo complesso dà mooolti grattacapi (per es, il logaritmo complesso non è iniettivo come quello reale). Se andrai avanti con la matematica tratterai più o meno a fondo questi (splendidi) argomenti di analisi complessa.
Con "in modo simile" intendevo che spesso va usata la formula di Eulero, nulla di più 
È chiaro che non puoi risolvere tutto solo con quella.
È chiaro che non puoi risolvere tutto solo con quella.
@pianoth
Sì, scusa: $i^n$ lo sapevo fare anch'io, quello che cercavo era proprio ció che mi hai scritto tu, grazie mille. Magari a breve aprirò un altro argomento in cui si parli di numeri complessi: mi interessano e voglio capirci di più...
Sì, scusa: $i^n$ lo sapevo fare anch'io, quello che cercavo era proprio ció che mi hai scritto tu, grazie mille. Magari a breve aprirò un altro argomento in cui si parli di numeri complessi: mi interessano e voglio capirci di più...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo