Un numero che ho inventato (non so se già esiste)
Il numero che ho inventato (e non so se già esiste), non credo abbia qualche utilità, esso è pari a $ sum(1/i^i) $ con $ i $ che va da 1 a infinito. A quale insieme numerico appartiene? Se appartiene ai numeri reali (come penso che sia) è algebrico o trascendente? (Non mi intendo per niente di questo tipo di dimostrazioni)
Buon Lavoro!
Buon Lavoro!
Risposte
Ciao. Mi intrometto. Qualcuno mi può spiegare come calcolare le serie? mi riferisco per esempio a ciò che ha proposto caos81 al pitagorico...grazie vorrei provarci anch' io
Per le serie geometriche (come questa) c'è una formuletta semplice per calcolarne la somma che deriva dalla scomposizione della differenza di potenze $n$-esime.
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_geometrica
Non so/non ricordo se c'è un metodo più semplice.
Ciao kobeilprofeta
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_geometrica
Non so/non ricordo se c'è un metodo più semplice.
Ciao kobeilprofeta
@caos81 Ma in questo post che metodo di sommazione usi? Quello di Cesàro?
EDIT Come ha scritto Giammaria più innanzi (che saluto!) rispondimi pure in privato... clicca l'icona di lato colla sigla MP!
EDIT Come ha scritto Giammaria più innanzi (che saluto!) rispondimi pure in privato... clicca l'icona di lato colla sigla MP!
"Zero87":
Non so/non ricordo se c'è un metodo più semplice.
Con una serie geometrica semplice come quella non c'è bisogno della formula, specialmente se non la si conosce. Ci si può arrivare ragionando:
Diciamo che la serie converge a un valore $S$.
Quindi $S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots$
Non sappiamo come ottenere il valore $S$, ma proviamo a moltiplicare tutta la serie per $1/2$:
$1/2 S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots$
Notiamo facilmente che otteniamo una serie uguale, ma senza il valore $1$.
Sottraendo membro a membro le due uguaglianze ottenute otterremo quindi che $1/2 S = 1$, da cui si deduce immediatamente che $S = 2$.
Questo tipo di ragionamento però vale solo per serie semplici e di questo tipo.
Visto che vedo kobe interessato, propongo di calcolare $1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + \ldots$
"Pianoth":
Con una serie geometrica semplice come quella non c'è bisogno della formula, specialmente se non la si conosce. Ci si può arrivare ragionando [...]
Sì è vero, l'avevo letto recentemente anche sul libro di Derbyshire (prime obsession, Bernard Riemann and the greater... qualcosa di simile ma non ricordo il titolo): una lettura splendida che consiglio a chiunque abbia conoscenze dal quinto anno di scientifico in su.
@ caos81.
Riferendomi al tuo penultimo post, per il futuro ti prego di evitare in questa sezione (dedicata agli alunni della secondaria) rilanci chiaramente universitari; per rispondere a j18eos sii brevissimo, oppure usa messaggi privati, o ancora apri nella giusta sezione un altro thread e rimanda a quello.
Quanto al resto, è già stato precisato che $i$ è il contatore e non l'unità immaginaria; Il Pitagorico chiedeva di calcolare
$1/1^1+1/2^2+1/3^3+...$
e la risposta è già stata data.
Noto infine che non hai calcolato $i^i$, intendendo con $i$ l'unità immaginaria; eppure è facile. Per la formula di Eulero $i=e^(i pi/2$, quindi
$i^i=(e^(ipi/2))^i=e^(i^2pi/2)=e^(-pi/2)=0.207879...$
Riferendomi al tuo penultimo post, per il futuro ti prego di evitare in questa sezione (dedicata agli alunni della secondaria) rilanci chiaramente universitari; per rispondere a j18eos sii brevissimo, oppure usa messaggi privati, o ancora apri nella giusta sezione un altro thread e rimanda a quello.
Quanto al resto, è già stato precisato che $i$ è il contatore e non l'unità immaginaria; Il Pitagorico chiedeva di calcolare
$1/1^1+1/2^2+1/3^3+...$
e la risposta è già stata data.
Noto infine che non hai calcolato $i^i$, intendendo con $i$ l'unità immaginaria; eppure è facile. Per la formula di Eulero $i=e^(i pi/2$, quindi
$i^i=(e^(ipi/2))^i=e^(i^2pi/2)=e^(-pi/2)=0.207879...$
"Pianoth":
[quote="Zero87"]Non so/non ricordo se c'è un metodo più semplice.
Con una serie geometrica semplice come quella non c'è bisogno della formula, specialmente se non la si conosce. Ci si può arrivare ragionando:
Diciamo che la serie converge a un valore $S$.
Quindi $S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots$
Non sappiamo come ottenere il valore $S$, ma proviamo a moltiplicare tutta la serie per $1/2$:
$1/2 S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots$
Notiamo facilmente che otteniamo una serie uguale, ma senza il valore $1$.
Sottraendo membro a membro le due uguaglianze ottenute otterremo quindi che $1/2 S = 1$, da cui si deduce immediatamente che $S = 2$.
Questo tipo di ragionamento però vale solo per serie semplici e di questo tipo.
Visto che vedo kobe interessato, propongo di calcolare $1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + \ldots$
[/quote]
Bravissimo pianoth! Finalmente un metodo "Euleriano" nel calcolo delle serie infinite senza usare la formula. Cmq, anche se non è la sessione adatta (mi sa che ci cacceranno tra poco) la serie che hai proposto
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{k+1}}{k}} \)
è un caso particolare della serie di Mercator ed è uguale a \(\displaystyle \ln2 \)
In realtà è un tantino più complicato di quanto pensi, quella serie che ho proposto è una cosiddetta serie condizionatamente convergente (if you know what I mean)... Comunque visto che hai fatto un esempio di somma di termini positivi che porta a un numero negativo, permetti anche a me di farne uno che trovo molto più elegante:
$$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + \ldots + \infty = -1$$
Per capire la dimostrazione però non serve praticamente nessuna conoscenza avanzata
$$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + \ldots + \infty = -1$$
Per capire la dimostrazione però non serve praticamente nessuna conoscenza avanzata
Ciao ringrazio zero87 per la risposta e soprattutto pianoth (anche per l'esercizio proposto). Scusate se ho chiesto una cosa e non ho seguito il post per un po'.
Ho provato: ho notato che si può scrivere come:
$S=(2-1)/2+(4-3)/12+(6-5)/30+(8-7)/56+...$
quindi
$S=1/2+1/12+1/30+1/56+...$
vedo che
$(1/2)*S= 14/120+1/56$ che è un po' più di $16/120=2/15$
$S$ vale un po' più di $4/15$
Credo dunque che $S=5/15=1/3$
Non mi sembra una grande soluzione e non ho voluto guardare il testo nascosto...è giusta?
Ho provato: ho notato che si può scrivere come:
$S=(2-1)/2+(4-3)/12+(6-5)/30+(8-7)/56+...$
quindi
$S=1/2+1/12+1/30+1/56+...$
vedo che
$(1/2)*S= 14/120+1/56$ che è un po' più di $16/120=2/15$
$S$ vale un po' più di $4/15$
Credo dunque che $S=5/15=1/3$
Non mi sembra una grande soluzione e non ho voluto guardare il testo nascosto...è giusta?
Ciao ringrazio zero87 per la risposta e soprattutto pianoth (anche per l'esercizio proposto). Scusate se ho chiesto una cosa e non ho seguito il post per un po'.
Ho provato: ho notato che si può scrivere come:
$S=(2-1)/2+(4-3)/12+(6-5)/30+(8-7)/56+...$
quindi
$S=1/2+1/12+1/30+1/56+...$
vedo che
$(1/2)*S= 14/120+1/56$ che è un po' più di $16/120=2/15$
$S$ vale un po' più di $4/15$
Credo dunque che $S=5/15=1/3$
Non mi sembra una grande soluzione e non ho voluto guardare il testo nascosto...è giusta?
Ho provato: ho notato che si può scrivere come:
$S=(2-1)/2+(4-3)/12+(6-5)/30+(8-7)/56+...$
quindi
$S=1/2+1/12+1/30+1/56+...$
vedo che
$(1/2)*S= 14/120+1/56$ che è un po' più di $16/120=2/15$
$S$ vale un po' più di $4/15$
Credo dunque che $S=5/15=1/3$
Non mi sembra una grande soluzione e non ho voluto guardare il testo nascosto...è giusta?
Beh indipendentemente da qual è il ragionamento che hai seguito non è facile dirti se hai fatto bene o male. Per esempio ecco un altro modo per ragionare:
$S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 ...$
Si può scrivere come $(1 - 1/2 - 1/4) + (1/3 - 1/6 - 1/8) + (1/5 - 1/10 - 1/12) + (1/7 - 1/14 - 1/16) + \ldots$
Questo è uguale a $1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 $ $+ 1/10 - 1/12 $ $+ 1/14 - 1/16 + ldots = 1/2S$, ovvero hai dedotto che $S = 1/2 S$, ovvero $S = 0$. Tuttavia quella serie, come ha detto giustamente caos81, converge a $ln 2$, ma si dice che non converge assolutamente (la motivazione e il significato non te la posso spiegare qui).
$S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 ...$
Si può scrivere come $(1 - 1/2 - 1/4) + (1/3 - 1/6 - 1/8) + (1/5 - 1/10 - 1/12) + (1/7 - 1/14 - 1/16) + \ldots$
Questo è uguale a $1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 $ $+ 1/10 - 1/12 $ $+ 1/14 - 1/16 + ldots = 1/2S$, ovvero hai dedotto che $S = 1/2 S$, ovvero $S = 0$. Tuttavia quella serie, come ha detto giustamente caos81, converge a $ln 2$, ma si dice che non converge assolutamente (la motivazione e il significato non te la posso spiegare qui).
E potresti per favore darmi (o se preferisci linkarmi) una dimostrazione di
$1+2+3+4+...+infty=-1$??? Mi sono incuriosito un cifro... Grazie
$1+2+3+4+...+infty=-1$??? Mi sono incuriosito un cifro... Grazie
Comunque mi sono ricordato a pioggia che la serie proposta da Pianoth - oltre ad essere $\eta(1)$ - si dimostra facilmente (per modo di dire, almeno fino al I anno di università) considerando lo sviluppo di Taylor di $log(1+x)$...
Adesso non ho molto tempo, ma rimedio con un linketto
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_armo ... ni_alterni
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Mercator
Ho qualche dubbio (vabbè che ho un gran sonno... magari domani ci arrivo meglio!)
Adesso non ho molto tempo, ma rimedio con un linketto
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_armo ... ni_alterni
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Mercator
"Pianoth":
\[ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + \ldots + \infty = -1 \]
Per capire la dimostrazione però non serve praticamente nessuna conoscenza avanzata
Ho qualche dubbio (vabbè che ho un gran sonno... magari domani ci arrivo meglio!)
"Zero87":
[quote="Pianoth"]
\[ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + \ldots + \infty = -1 \]
Per capire la dimostrazione però non serve praticamente nessuna conoscenza avanzata
Ho qualche dubbio... [/quote]
In effetti andrebbe fatta qualche precisazione, comunque la dimostrazione è more or less la seguente:
Per brevità $S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +\ldots + infty$. Sappiamo che se moltiplichiamo un numero per $1$ otteniamo lo stesso numero, ovvero $S = 1 * S$. D'altra parte $1 = 2 - 1$, quindi possiamo dire che $S = (2 - 1) * S$. Applicando la proprietà distributiva otteniamo quindi che:
$$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + \ldots + \infty = \underline{2 + 4 + 8 + 16 + 32 + \ldots + \infty}\; - 1 \;\underline{- 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - \ldots - \infty}$$
Si nota facilmente che tutti i termini $2 + 4 + 8 + 16 +32 + \ldots$ e $-2 - 4 - 8 - 16 - 32 - \ldots$ si semplificano, quindi resta solo $-1 => S = -1$.
Una dimostrazione completamente da pazzi!
[xdom="giammaria"]La discussione si è spostata su un piano decisamente diverso da quello previsto per questa sezione. Ho già ammonito in proposito; ora ritengo opportuno chiuderla, anche perché mi sembra che quello che può essere compreso nella secondaria abbia già avuto risposta. Per gli ultimi stravaganti problemi ricordo che una serie divergente non può essere trattata come una convergente; è come considerare una normale sottrazione la forma $oo-oo$.[/xdom]
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