Un numero che ho inventato (non so se già esiste)
Il numero che ho inventato (e non so se già esiste), non credo abbia qualche utilità, esso è pari a $ sum(1/i^i) $ con $ i $ che va da 1 a infinito. A quale insieme numerico appartiene? Se appartiene ai numeri reali (come penso che sia) è algebrico o trascendente? (Non mi intendo per niente di questo tipo di dimostrazioni)
Buon Lavoro!
Buon Lavoro!
Risposte
"Il Pitagorico":
$ i=(1+i)/sqrt(2) $
a Pianoth: Come si ricava?
Temo che la formula di Eulero non sia ancora alla portata di Il Pitagorico e quindi gli do un altro modo per calcolare la radice quadrata di un numero complesso, comodo e veloce ma pressoché sconosciuto.
Sappiamo che $i=sqrt(-1)$, quindi una formula come $sqrt(6-2i)$ è un radicale doppio e possiamo applicare la formula ad essi relativa, con l'avvertenza di farla precedere da un $+-$ perché vogliamo tutte le soluzioni. Poiché
$sqrt(6^2-(2i)^2)=sqrt(36+4)=sqrt40=2sqrt10$
otteniamo
$sqrt(6-2i)=+-(sqrt((6+2sqrt10)/2)-sqrt((6-2sqrt10)/2))=+-(sqrt(3+sqrt10)-isqrt(sqrt10-3))$
Nel caso della sua domanda, essendo $sqrt(0^2-i^2)=sqrt1=1$, si ha
$sqrti=sqrt(0+i)=+-(sqrt((0+1)/2)+sqrt((0-1)/2))=+-(1/sqrt2+i/sqrt2)=+-(1+i)/sqrt2$
Se si ha il numero complesso rappresentato su un piano con un angolo $\theta$ dall'asse reale e una distanza $r$ da 0, si può anche prendere il numero, la radice quadrata è data da ($\theta/2 ; \sqrt{r}$). Questo è il metodo che personalmente trovo più immediato.
In prima superiore dovrebbe conoscere già le leggi orarie del moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato, che in effetti altro non sono che sviluppi in serie. Pensandoci un po', potrebbe riuscire a capire il concetto (e a quel punto la dimostrazione della formula non presenta difficoltà).
"giammaria":
Temo che la formula di Eulero non sia ancora alla portata di Il Pitagorico
In prima superiore dovrebbe conoscere già le leggi orarie del moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato, che in effetti altro non sono che sviluppi in serie. Pensandoci un po', potrebbe riuscire a capire il concetto (e a quel punto la dimostrazione della formula non presenta difficoltà).
Altrimenti,in modo equivalente a quanto detto da Gianmaria,
osserva intanto che stai cercando $a,b in RR" t.c. "(a+i*b)^2=0+1*i hArr (a^2-b^2)+(2ab)*i=0+1*i$;
a quel punto,in una sorta di principio d'identità dei polinomi
(d'altronde $CC$ è un "allargamento" di $RR$,
e dunque le proprietà che valgono sui polinomi a coefficienti in quest'ultimo insieme dovranno valere su quelli a coefficienti nella sua estensione perché,in caso contrario,
non avremmo definito bene $CC$..),
si tratterà di trovare le soluzioni reali(che d'altronde lo sono $a,b$ per ipotesi..)
dell sistema ${(a^2-b^2=0),(2ab=1): }$:
saluti dal web.
osserva intanto che stai cercando $a,b in RR" t.c. "(a+i*b)^2=0+1*i hArr (a^2-b^2)+(2ab)*i=0+1*i$;
a quel punto,in una sorta di principio d'identità dei polinomi
(d'altronde $CC$ è un "allargamento" di $RR$,
e dunque le proprietà che valgono sui polinomi a coefficienti in quest'ultimo insieme dovranno valere su quelli a coefficienti nella sua estensione perché,in caso contrario,
non avremmo definito bene $CC$..),
si tratterà di trovare le soluzioni reali(che d'altronde lo sono $a,b$ per ipotesi..)
dell sistema ${(a^2-b^2=0),(2ab=1): }$:
saluti dal web.
Pitagorico è in primo superiore, è vero, non me lo ricordavo... Quindi dubito che abbia studiato ancora i radicali, né tanto meno i sistemi di secondo grado... Se conosce già queste cose ovviamente buon per lui. Quasi sicuramente comunque non avrà capito la mia risposta, con coseno, seno ed $e^(ix)$
"Pianoth":
Pitagorico è in primo superiore, è vero
Io lo ricordavo in terzo superiore, ma forse mi sbaglio con giampierovignola...
"Caenorhabditis":
In prima superiore dovrebbe conoscere già le leggi orarie del moto rettilineo uniforme
Se fa il PNI, altrimenti la vedo dura...
Sono di prima. Conosco già tutto quello di cui state parlando. Ho un manuale di trigonometria delle superiori che me lo sto mangiando e alle medie abbiamo fatto già i sistemi. La formula di Eulero la conoscevo , il suo gioiello $ e^(i*pi)+1=0 $. Ho letto qualcosa sui numeri complessi. Comunque mi avete chiarito tutti molte idee. Si potrebbe aprire un argomento dedicato proprio ai numeri complessi, forse sarebbe l'ideale. Ringrazio tutti!
diciamo che me la gioco abbastanza
Complimenti per le conoscenze rapportate all'età...ne so qualcosa anch'io: finita la terza mi sono studiato rapidamente il programma di quarta e quinta e poi mi sono dedicato a coae extra-superiori (come il calcolo delle probabilità)... Detto questo ti invito, per esperienza personale, a non perdere la mentalità scolastica perdendoti in cose più complesse di quelle che dovresti fare...mi è successo di rimanere infinocchiato in una verifica sulle C.E. di una funzione mentre stavo studiando per i zzi miei cose decisamente più complesse...buona fortuna
Sì, hai ragione, infatti cerco di stare attento a non sbandare troppo. (tipo il mio inglese che se ne sta andando chissà dove).
Io in effetti consiglierei a tutti i giovani appassionati di matematica di studiare qualcosa che non studiano a scuola, che magari studieranno negli anni successivi a scuola (non per forza, potrebbe essere anche approfondimento), di certo non fanno male se non tralasciano tutti gli altri doveri.
"Pianoth":
Io in effetti consiglierei a tutti i giovani appassionati di matematica di studiare qualcosa che non studiano a scuola, che magari studieranno negli anni successivi a scuola (non per forza, potrebbe essere anche approfondimento), di certo non fanno male se non tralasciano tutti gli altri doveri.
Un consiglio color d'oro... peccato che 5 ore di liceo al giorno e una decina di materie differenti da studiare ti fanno passare la voglia!
"kobeilprofeta":
[...] Detto questo ti invito, per esperienza personale, a non perdere la mentalità scolastica perdendoti in cose più complesse di quelle che dovresti fare...mi è successo di rimanere infinocchiato in una verifica sulle C.E. di una funzione mentre stavo studiando per i zzi miei cose decisamente più complesse...buona fortuna
Questo è un buon consiglio. La passione è una bella cosa, ma bruciare le tappe non lo trovo un comportamento particolarmente intelligente. La conoscenza matematica va costruita in maniera metodica, un pezzetto alla volta e cum grano salis, perché poi ci si stufa e non si capisce più niente.
E bisogna rassegnarsi al fatto che, salvo Terence Tao di turno, per alcune profonde idee si è ancora troppo immaturi.
Giusto. Però alcuni argomenti li ho fatti alle medie, tipo geometria analitica (sembra assurdo ma è cosi), avevo un professore molto preparato e bravo, infatti debbo più che altro a lui la maggior parte delle conoscenze, io cerco di tenermi abbastanza fresco per non perderle. Comunque vado bene a scuola, l'unica insufficienza è stata con inglese ma ho facilmente recuperato. Però, per esempio, è da 3 mesi che stiamo sulle scomposizioni e al compito ho preso 9 e mezzo, sinceramente nel frattempo ho finito il libro di fisica e di matematica (che per assurdo parla anche di probabilità, statistica e vettori alla fine con trigonometria). Passo poi la maggior parte del mio tempo in autobus (non abito vicino alla mia scuola) e lì che gioco molta parte del mio tempo in letture. Vi ringrazio per tutti i consigli e le discussioni, fra poco ho intenzione di aprire un circolo di appassionati di matematica per liceo in modo che di trovare qualcuno con cui discutere anche dal vivo.
PS non so minimamente chi sia Terence Tao.
PS non so minimamente chi sia Terence Tao.
"Il Pitagorico":
[...] PS non so minimamente chi sia Terence Tao.
E' solo uno che si è laureato a 17 anni, ed ha preso il Ph.D a Princeton a 21.
Ed è uno che si è avvicinato parecchio a Goldbach (click, clack).
"Zero87":
[quote="Caenorhabditis"]In prima superiore dovrebbe conoscere già le leggi orarie del moto rettilineo uniforme
Se fa il PNI, altrimenti la vedo dura...
[/quote]Il PNI non esiste più dalla riforma Gelmini. Io sto facendo lo Scienze Applicate, ma mi sembra che anche nello scientifico "tradizionale" il programma di fisica sia lo stesso.
"Il Pitagorico":
Conosco già tutto quello di cui state parlando.
Congratulazioni! Alla tua età stavo ancora cercando di capire bene cosa fosse una derivata, figuriamoci dimostrare la formula di Eulero con le serie di Taylor.
"Il Pitagorico":
Il numero che ho inventato (e non so se già esiste), non credo abbia qualche utilità, esso è pari a $ sum(1/i^i) $ con $ i $ che va da 1 a infinito. A quale insieme numerico appartiene? Se appartiene ai numeri reali (come penso che sia) è algebrico o trascendente? (Non mi intendo per niente di questo tipo di dimostrazioni)
Buon Lavoro!
Innanzitutto la definizione è imprecisa (non ho capito bene cosa vuol dire \(\displaystyle \sum_{i=1}^{}{} \)). Cioè si suppone che l'incremento sia un numero naturale e non l'unità immaginaria. Se la espliciti meglio (mostrandomi i primi tre termini della somma magari si capisce).
P.S. Ho ben chiaro cosa tu intenda ma dubito che tu possa trovare una risposta qui dentro (e forse anche fuori). Lo studio dell'indipendenza algebrica delle costanti (così come la loro trascendenza è molto difficile, i risultati scarseggiano). Non esiste in generale un modo per vedere se un numero è trascendente o no. Ora, il fatto che
\(\displaystyle \ln{i^{-2i}}=\pi \)
Non necessariamente significa che ogni volta che compaiano potenze immaginarie, queste diano luogo a numeri trascendenti.
Primo caso.
Ora, suppongo (nella tua testa) che tu volessi valutare esattamente la serie
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^i}}=\frac{1}{i} + \frac{1}{i^2} + \frac{1}{i^3}+... \)
Tenendo conto che \(\displaystyle \frac{1}{i}=-i \) e che \(\displaystyle i^2=-1 \) la precedente diventa:
\(\displaystyle -i -1+i + 1 - ... = -i(1-1+1-1+1-...) -1(1-1+1-1+1-...) \)
tenendo conto che \(\displaystyle (1-1+1-1+1-...)= \frac{1}{2} \), la precedente diventa
\(\displaystyle -\frac{1}{2}(i+1) \)
Secondo caso.
Se invece intendevi
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1^{k}}{i^i}} \)
anche qui il risultato è immediato (quasi banale):
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1^{k}}{i^i}}=\frac{1}{i^i} + \frac{1}{i^i} + \frac{1}{i^i} + ...=i^{-i}(1+1+1+1+1+...) \)
e tenendo conto che \(\displaystyle (1+1+1+1+...)=-\frac{1}{2} \) abbiamo
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1^{k}}{i^i}}=-\frac{i^i}{2} \)
Come volevasi dimostrare. Semplice no?
Rilancio! Dimostrare che
\(\displaystyle \zeta(-1)=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{-1}}}=1+2+3+4+5+6+7+....\infty=-\frac{1}{12} \)
Aiutino: Vatti a studiare le serie divergenti
Ciao e alla prossima!
"Il Pitagorico":
$ i=(1+i)/sqrt(2) $
a Pianoth: Come si ricava?
Semplice:
\(\displaystyle i=\frac{1}{2}+i-\frac{1}{2} \)
\(\displaystyle i=\frac{1}{2}i^2+i+\frac{1}{2} \) (tieni conto che \(\displaystyle i^2=-1 \))
\(\displaystyle i=\frac{1}{2}(i^2+2i+1)=\frac{(i+1)^2}{2} \)
e facendo la radice
\(\displaystyle i=\frac{i+1}{\sqrt{2}} \)
"caos81":
Ora, il fatto che
\(\displaystyle \ln{i^{-2i}}=\pi \)
Non necessariamente significa che ogni volta che compaiano potenze immaginarie, queste diano luogo a numeri trascendenti.
Il Pitagorico credo intendesse l'indice $i$ e non l'unità immaginaria $i$ (anzi, mi sembra proprio abbia detto così).
"caos81":
Rilancio! Dimostrare che
\(\displaystyle \zeta(-1)=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^{-1}}}=1+2+3+4+5+6+7+....\infty=-\frac{1}{12} \)
Aiutino: Vatti a studiare le serie divergenti
Ciao e alla prossima!
Per il rilancio basta estendere la $\zeta$ di Riemann tramite la formulazione integrale o l'equazione funzionale.
Personalmente preferisco la funzionale
$\zeta(-1)=\zeta(1-2)=2 \Gamma(2)(2\pi)^(-2)\sin(\frac{\pi(1-2)}{2})\zeta(2)= 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4 \pi^2}\cdot (-1) \cdot \frac{pi^2}{6}=-1/12$
E comunque, tre osservazioni che sono al di fuori del post in sé
- Il Pitagorico è fenomenale: ha quattordici anni e dimostra conoscenze davvero sbalorditive per la sua età, ma ciò non toglie che se ti metti a parlare di logaritmo complesso potrebbe avere qualche difficoltà
- Benvenuto al forum, se non lo sapevi, ti dico che questa sezione si riferisce alle scuole superiori quindi i problemi qui dovrebbero essere più difficili di argomenti trattati alle superiori, ma tu proponi argomenti difficili anche per l'università (sarebbe meglio la sezione "pensare un po' di più" che è l'analogo di "scervelliamoci un po'" delle superiori)
- Il "vatti a studiare le serie divergenti" lo leggo in tono "sfottò", ma forse sono io che fraintendo. Tuttavia non funziona il giochetto (e serve solo a sbarellare l'ignaro lettore che sgranerebbe gli occhi chiedendosi come fa una serie di termini positivi a dare un risultato negativo
)$\zeta(-1)= \sum_(k=1)^\infty \frac{1}{k^(-1)}=...= -1/12$
proprio perché la zeta definita così vale solo per $Re(s)>1$...
- Il Pitagorico è fenomenale: ha quattordici anni e dimostra conoscenze davvero sbalorditive per la sua età, ma ciò non toglie che se ti metti a parlare di logaritmo complesso potrebbe avere qualche difficoltà
- Benvenuto al forum, se non lo sapevi, ti dico che questa sezione si riferisce alle scuole superiori quindi i problemi qui dovrebbero essere più difficili di argomenti trattati alle superiori, ma tu proponi argomenti difficili anche per l'università (sarebbe meglio la sezione "pensare un po' di più" che è l'analogo di "scervelliamoci un po'" delle superiori)
- Il "vatti a studiare le serie divergenti" lo leggo in tono "sfottò", ma forse sono io che fraintendo. Tuttavia non funziona il giochetto (e serve solo a sbarellare l'ignaro lettore che sgranerebbe gli occhi chiedendosi come fa una serie di termini positivi a dare un risultato negativo
$\zeta(-1)= \sum_(k=1)^\infty \frac{1}{k^(-1)}=...= -1/12$
proprio perché la zeta definita così vale solo per $Re(s)>1$...
Davvero? Mah...strano che un ragazzino di 14 anni faccia domande sulle serie, cmq non intendevo minimamente prendere in giro nessuno e cmq pensavo si trattasse di una persona più grande...bè...visto che gli piacciono le serie, potrebbe cominciare con
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...=2 \)
Il problema di Achille e la Tartaruga potrebbe quantomeno incuriosirlo un pò...
"caos81":
Davvero? Mah...strano che un ragazzino di 14 anni faccia domande sulle serie, cmq non intendevo minimamente prendere in giro nessuno e cmq pensavo si trattasse di una persona più grande...bè...visto che gli piacciono le serie, potrebbe cominciare con
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...=2 \)
Il problema di Achille e la Tartaruga potrebbe quantomeno incuriosirlo un pò...
Anche gli altri paradossi di Zenone sono interessanti: tuttavia quello più matematico resta Achille che alla fin fine raggiunge la tartaruga anche se non sembra.
Comunque scusa se ho frainteso intendendo il "vatti a studiare le serie convergenti" come uno sfottò.
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