Due problemi

[Sascia63]

Salve volevo proporre due problemi tratti dalla Disfida Matematica "Urbi et Orbi" che non sono riuscito a risolvere:
a) Trovare il più grande intero $n$ tale che la disuguaglianza $ (x^7)^x ≤x^n+1-x$ sia vera per ogni $0
b)Un polinomio di settimo grado è tale che $p(x)-32$ è divisbile per $(x+1)^4$ e $p(x)+32$ è divisibile per $(x-1)^4$.Quanto vale $p(2)$?
Io ho iniziato a svolgerlo così:

deg $p(x)=7$
$p(x)-32=(x+1)^4s(x)$
$p(x)+32=(x-1)^4g(x)$ ho successivamente ricavato alcuni valori di $g(x)$ ed $s(x)$ ma non sono arrivato a nulla di concreto

[orsoulx]

@dan95
Distruggili!
Ciao

[giammaria2]

@orsoulx, relativamente al post per me.
Messa così, non hai torto: ho solo dimostrato che, in quell'intorno, la tesi è valida per $n<8$ e falsa per $n>8$ (questo non l'ho scritto, ma era abbastanza chiaro). E' possibile che 8 non sia il massimo ma solo un estremo superiore; però il testo parlava di massimo e io l'ho seguito.
NOTA: ho pensato che $n$ sia un reale qualsiasi, anche se la lettera usata fa pensare che sia naturale (ma non è scritto).

[axpgn]

"giammaria":NOTA: ho pensato che $n$ sia un reale qualsiasi, anche se la lettera usata fa pensare che sia naturale (ma non è scritto).

Beh, è scritto che è intero ...

NOTA: sono un rompiscatole, lo so ...

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Hai ragione, mi era sfuggito! E mi mangio le mani pensando al tempo che ho sprecato chiedendomi se le mie affermazioni valevano anche per $0 Vedo però una scappatoia: basta iniziare dicendo che amplio il campo di indagine pensando a numeri reali, quindi ... Così faccio una bella figura, fingendo che il problema diventi più difficile. Le critiche alla scappatoia sono inutili, dato che le ho già pensate anche io; ma è pur sempre una pagliuzza a cui aggrapparsi.

[dan952]

Bump

[Mathita]

@dan95: giusto per avere chiara la situazione, il tuo obiettivo è quello di dimostrare che $x^x\le x^2-x+1$ per ogni $x\in [0,1]$ (anche se in 0 il primo membro della disuguaglianza perde di significato - vabbé poco male, possiamo prolungare con continuità) senza utilizzare strumenti tipici dell'analisi matematica? Insomma, no derivate né integrali e compagnia cantante?

[dan952]

Sono riuscito a risolverlo senza usare derivate o integrali

[orsoulx]

"dan95":Sono riuscito a risolverlo...

Bravo! L'ultima volta che lessi mi pare di ricordare un'affermazione diversa
Quando vuoi condividi
Ciao

[dan952]

Sia $x \in (0,1]$. Dimostrare che


\begin{equation}
x^{nx} \leq x^{n+1}-x+1
\end{equation}



per ogni $n \in \mathbb{N}$.

\

{\itshape Soluzione}

\

Procediamo per induzione, verifichiamo prima che la tesi vale per $n=0,1$.

\

Con $n=0$ la (1) diventa

$$1 \leq 1$$

certamente vera, mentre per $n=1$
abbiamo

\begin{equation}
x^x \leq x^2-x+1
\end{equation}

Ora, supponiamo per assurdo esista $\xi \in (0,1)$ tale che

$$\xi^{\xi}> \xi^2-\xi+1$$

allora esiste un intorno destro (se fosse sinistro si procede in modo analogo) $(\xi, \xi+\delta) \subset (\xi,1]$ con $\delta>0$ in cui non vale (2), per la {\itshape proprietà archimedea} dei numeri reali si dimostra che esiste almeno un numero razionale tale che $\xi < \frac{p}{q} <\xi+ \delta$, con $p
$$\left(\frac{p}{q}\right)^{\frac{p}{q}} > \left(\frac{p}{q}\right)^2-\frac{p}{q}+1$$

da cui

\begin{equation}
q^{2q-p}p^{p} > (p^{2}-pq+q^{2})^{q}
\end{equation}

Per la disuguaglianza AM-GM abbiamo che


$$q^{q-p}p^{p} \leq \left(\frac{p^{2}+q(q-p)}{q}\right)^{q}$$

dunque moltiplicando entrambi i membri della disuguaglianza per $q^{q}$ otteniamo

$$q^{2q-p}p^{p} \leq \left(p^{2}+q(q-p)\right)^{q}$$

in contraddizione con la (3), concludiamo, che per ogni $x \in (0,1]$ vale (2).

\

Ora, supponiamo valga per $n$, vogliamo dimostrare che vale anche per $n+1$, notiamo che (?) per ogni $x \in [0,1]$ vale

$$(x^2-x+1)(x^n-x+1) \leq x^{n+1}-x+1$$

d'altra parte sappiamo che $x^{x} \leq (x^2-x+1)$ e $x^{(n-1)x} \leq (x^n-x+1)$, dunque

$$x^{nx}=x^{x}x^{(n-1)x} \leq x^{n+1}-x+1$$

come volevamo dimostrare.

Non fate caso alla numerazione sbagliata delle equazioni

[orsoulx]

Grazie Dan, cercherò di studiarmela.
Ciao

[Sascia63]

Bel lavoro!
@dan95

[Mathita]

Concordo con Sascia63, è una dimostrazione davvero bella!

Sfruttare il teorema della permanenza del segno - [edit]se non ho capito male, è lui, giusto?[/edit] - e la proprietà archimedea dei numeri reali per potersi avvalere della disuguaglianza AM-GM è un tocco di classe.

Chapeau!